1. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
C´alculo Integral
Eduardo Mena Caravaca
Grado de Administraci´on y Direcci´on de Empresa
3 de diciembre de 2015
Departamento de Matem´aticas
EPSA
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
2. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
´Indice
1 Integral Indefinida
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
2 M´etodos de integraci´on
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
3 Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
3. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
4. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
5. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Ejemplo
Sea f (x) = x2 + 1, calcular ∆f (x) y df (x) cuando x pasa de 1
a 1,15
Calculamos ∆f (1)
∆f (1) = f (1, 15) − f (1) = 1, 152 + 1 − (12 + 1) = 1, 152 − 12 =
1,3225 − 1 = 0,3225
Calculamos df (1)
f (x) = 2x
df (1) = f (1) · ∆(1) = 2 · 1 · (1, 15 − 1) = 2 · 0, 15 = 0,30
Vemos que ∆f (1) ∼= df (1)
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6. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
PRIMITIVA DE UNA FUNCI´ON
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7. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Definici´on
Sea f : R −→ R se dice que una funci´on F es una primitiva de f
si se verifica F (x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )
Una definici´on que equivale a resolver la siguiente ecuaci´on
(ecuaci´on diferencial)
F (x) = f (x) ⇒
dF(x)
dx
= f (x) ⇒ dF(x) = f (x) · dx
dF(x) = f (x) · dx
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8. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Si la ecuaci´on F (x) = f (x) tiene soluci´on, entonces, tiene
infinitas soluciones.
En efecto:
La funci´on F + C donde C ∈ R tambi´en es soluci´on, ya que:
(F + C) (x) = F (x) + C = F (x) + 0 = F (x) = f (x)
(F + C) (x) = f (x)
Por tanto, F + C es una primitiva de f
A las infinitas primitivas de f se le llama integral indefinida y la
representamos por:
f (x) dx = F(x) + C
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9. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
INTEGRAL INDEFINIDA
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10. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Definici´on
Si F : R −→ R es una primitiva de la funci´on f : R −→ R a la
expresi´on F(x) + C se le llama integral indefinida de la funci´on
f y se representa por el s´ımbolo:
S´ımbolo de la operaci´on inversa de la derivada, por ello, a la
integral indefinida tambi´en se le llama antiderivada y tiene la forma
de una S (suma)
dF(x) = f (x) · dx ⇒ dF(x) = f (x) dx = F(x) + C
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11. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
Signo de la integral, una S deformada
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12. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
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13. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
Integrando
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14. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
f (x)
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15. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
f (x)
Elemento de integraci´on
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16. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
f (x)
f (x) · dx
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17. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
f (x)
f (x) · dx
Expresi´on completa
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18. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Elementos que componen la expresi´on de la integral indefinida:
f (x)
f (x) · dx
f (x) dx
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19. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)
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20. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integraci´on
d f (x) dx = f (x) dx dx = f (x) dx
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21. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integraci´on
d f (x) dx = f (x) dx dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una funci´on es igual a la
funci´on m´as una constante
df (x) = f (x) dx = f (x) + C
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22. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
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23. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
2 La integral de una constante por una funci´on es igual, a la
constante por la integral de la funci´on
k · f (x) dx = k · f (x) dx
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24. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
INTEGRALES INMEDIATAS
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25. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previos
Primitiva de una funci´on
Integral Indefinida
xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C
ax
dx =
ax
ln a
+ C
sin x dx = − cos x + C
1
cos2 x
dx = tan x + C
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + C
1
x
dx = ln x + C
ex
dx = ex
+ C
cos x dx = sin x + C
−1
sin2
x
dx = cot x + C
1
1 + x2
dx = arctan x + C
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26. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
M´ETODOS DE INTEGRACI´ON
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27. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Cambio de variable
f (x) dx
Hacemos el cambio x = g(t) ⇒ dx = g (t) dt
f (x) dx = f (g(t)) g (t) dt
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28. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Ejemplo
Calcular
ln x
x
dx
Hacemos el cambio ln x = t ⇒ 1
x dx = dt
ln x
x
dx = t dt =
1
2
t2
=
1
2
ln2
x + C
O bien, sin cambio, si observa que:
ln x
x
dx = ln x d(ln x) =
1
2
ln2
x + C
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29. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Por partes
Sabemos que:
d(u(x) · v(x)) = v(x) · u (x) · dx + u(x) · v (x) · dx
d(u(x) · v(x)) = v(x) · d(u(x)) + u(x) · d(v(x))
Despejando, nos queda:
u(x) · d(v(x)) = d(u(x) · v(x)) − v(x) · d(u(x))
u(x) · dv(x) = u(x) · v(x) − v(x) · du(x)
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30. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Ejemplo
Calcular (2x + 1)ex
dx
Tomamos las partes
u(x) = 2x + 1 ⇒ du(x) = 2dx
dv(x) = ex dx ⇒ v(x) = ex
(2x + 1)ex
dx = (2x + 1)ex
− 2ex
dx
= (2x + 1)ex
− 2ex
+ C = (2x − 1)ex
+ C
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31. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Racionales
P(x)
Q(x)
dx
Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.
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32. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
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33. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos
3x − 6
x2 + x − 2
, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2
=
−1
x − 1
+
4
x + 2
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34. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Sustituci´on o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos
3x − 6
x2 + x − 2
, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2
=
−1
x − 1
+
4
x + 2
3 x − 1 −
1
x − 1
+
4
x + 2
dx =
1
2
x2
−x −ln |x −1|+4 ln |x +2|
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35. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
INTEGRAL DEFINIDA
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36. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
37. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
TEOREMA de WEIERSTRASS
Si la funci´on f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] entonces alcanza el
m´aximo y el m´ınimo absoluto en dicho intervalo.
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38. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
TEOREMA de BOLZANO
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y el signo{f (a)} = signo{f (b)}
entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.
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39. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/f (a) < α < f (b)
entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.
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40. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Corolario
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/m < α < M
siendo m = m´ın {f }[a,b] y M = m´ax {f }[a,b] entonces
∃c ∈ (a, b)/f (c) = α
Demostraci´on
Por el teorema de Weierstrass f alcanza el
m´aximo y el m´ınimo en [a, b]. Sea A(x1, f (x1))
donde alcanza el m´ınimo y M(x2, f (x2)) donde
alcanza el m´aximo. Tomamos el intervalo
[x1, x2] ⊂ [a, b] y definimos en ´el la funci´on
g(x) = f (x) − α.
g cumple Bolzano en el intervalo [x1, x2] ya
que es cont´ınua y se verifica:
g(x1) = f (x1) − α < 0 y g(x2) = f (x2) − α > 0,
por tanto ∃c ∈ (a, b)/g(c) = 0 ⇒ f (c) = α
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41. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
EL ´AREA COMO PRIMITIVA DE
UNA FUNCI´ON
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42. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Cosideremos el ´area plana delimitada por la gr´afica de la funci´on f ,
el eje OX y las ordenadas correspondiente a los valores x = a y
x = b
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43. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S
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44. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
S ≤ M(b − a)
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
45. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
m(b − a) ≤ S ≤ M(b − a)
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
46. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
m ≤
S
b − a
≤ M
Y por el teorema del valor intermedio ir al teorema
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47. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
∃c ∈ [a, b] /
S
b − a
= f (c) ⇒ S = f (c)(b − a)
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48. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
S(x)
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49. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x)
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50. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x) − S(x)
Eduardo Mena Caravaca C´alculo Integral
51. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
S(x + ∆x) − S(x) = f (c) · ∆x con c ∈ (x, x + ∆x)
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52. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Teorema Fundamental del C´alculo Integral
l´ım
∆x→0
S(x + ∆x) − S(x)
∆x
= l´ım
c→x
f (c) = f (x)
S (x) = f (x) ⇒ S(x) =
x
a
f (x) dx
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53. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Regla de Barrow
Si F : [a, b] −→ R es una primitiva de f : [a, b] −→ R se verifica:
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
Demostraci´on
Si F(x) es una primitiva de f (x), sabemos que
S(x) =
x
a
f (x) dx tambi´en es una primitiva de f (x).
Pero dos primitivas cualesquiera se diferencian en una
constante C.
Por tanto, podemos escribir: S(x) − F(x) = C
Haciendo
x = a ⇒ S(a) − F(a) = C ⇒ 0 − F(a) = C
x = b ⇒ S(b) − F(b) = C ⇒ S(b) = F(b) − F(a) ⇒
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
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54. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
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55. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Ejemplo
Calcular el ´area comprendida entre la curva f (x) = ln x, el eje
OX y las ordenadas correspondientes a x = 2 y x = 5
Soluci´on
S =
5
2
ln x dx. Calculamos por partes la
integral.
Tomamos las partes
u(x) = ln x ⇒ du(x) =
1
x
dx
dv(x) = dx ⇒ v(x) = x
ln x dx = x ·ln x − x
1
x
dx = x ·ln x −x
S = x · ln x − x]5
2 = 5 ln 5 − 5 − (2 ln 2 − 2)
S = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 ∼= 3, 661 u2
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56. Integral Indefinida
M´etodos de integraci´on
Integrales Definidas
Conocimientos previo
El ´area plana es una primitiva de una funci´on
Aplicaciones de la integral definida
Ejemplo
Calcular el ´area comprendida entre las curvas f (x) = x3
− 2x2
+ x − 1, y
g(x) = −x2
+ 3x − 1 y que se encuentra en el primer y cuarto cuadrante.
Soluci´on
Calculamos los puntos de corte de las dos curvas.
x3 − 2x2 + x − 1 = −x2 + 3x − 1 ⇒
x3 − x2 − 2x = 0
x1 = −1
x2 = 0
x3 = 2
En nuestro problema tomamos x2 = 0 y x3 = 2
El ´area viene dada por:
S =
2
0
g(x) − f (x) dx =
2
0
(−x3
+ x2
+ 2x) dx
=
−x4
4
+
x3
3
+ x2
2
0
= −4 +
8
3
+ 4 =
8
3
u2
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