Calculo integral

Integral Indefinida
Métodos de integración
Integrales Definidas
Cálculo Integral
Eduardo Mena Caravaca
eduardomena@cemath.com
2 de septiembre de 2015
Centro de Educación Matemática
CEMATH
Eduardo Mena Caravaca Cálculo Integral

Índice
1 Integral Indefinida
Conocimientos previos
Primitiva de una función
2 Métodos de integración
Sustitución o cambio de variable
Por partes
Integrales racionales
3 Integrales Definidas
Conocimientos previo
El área plana es una primitiva de una función
Aplicaciones de la integral definida

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Ejemplo
Sea f (x) = x2 + 1, calcular ∆f (x) y df (x) cuando x pasa de 1
a 1,15
Calculamos ∆f (1)
∆f (1) = f (1, 15) − f (1) = 1, 152 + 1 − (12 + 1) = 1, 152 − 12 =
1,3225 − 1 = 0,3225
Calculamos df (1)
f (x) = 2x
df (1) = f (1) · ∆(1) = 2 · 1 · (1, 15 − 1) = 2 · 0, 15 = 0,30
Vemos que ∆f (1) ∼= df (1)

PRIMITIVA DE UNA FUNCI´ON

Definición
Sea f : R −→ R se dice que una función F es una primitiva de f
si se verifica F (x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )
Una definición que equivale a resolver la siguiente ecuación
(ecuación diferencial)
F (x) = f (x) ⇒
dF(x)
dx
= f (x) ⇒ dF(x) = f (x) · dx
dF(x) = f (x) · dx

Si la ecuación F (x) = f (x) tiene solución, entonces, tiene
infinitas soluciones.
En efecto:
La función F + C donde C ∈ R también es solución, ya que:
(F + C) (x) = F (x) + C = F (x) + 0 = F (x) = f (x)
(F + C) (x) = f (x)
Por tanto, F + C es una primitiva de f
A las infinitas primitivas de f se le llama integral indefinida y la
representamos por:
f (x) dx = F(x) + C

INTEGRAL INDEFINIDA

Definición
Si F : R −→ R es una primitiva de la función f : R −→ R a la
expresión F(x) + C se le llama integral indefinida de la función
f y se representa por el s´ımbolo:
S´ımbolo de la operación inversa de la derivada, por ello, a la
integral indefinida también se le llama antiderivada y tiene la forma
de una S (suma)
dF(x) = f (x) · dx ⇒ dF(x) = f (x) dx = F(x) + C

Elementos que componen la expresi´on de la integral indeﬁnida:
Signo de la integral, una S deformada

Integrando

f (x)

f (x)
Elemento de integraci´on

f (x)
f (x) · dx

f (x)
f (x) · dx
Expresi´on completa

f (x)
f (x) · dx
f (x) dx

Corolarios
1 La derivada de una integral es igual al integrando
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)

Corolarios
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integraci´on
d f (x) dx = f (x) dx dx = f (x) dx

Corolarios
f (x) dx = (F(x) + C) = f (x)
2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integración
d f (x) dx = f (x) dx dx = f (x) dx
3 La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a la
función más una constante
df (x) = f (x) dx = f (x) + C

Propiedades de la integral indeﬁnida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx

Propiedades de la integral indefinida
1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales
(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx
2 La integral de una constante por una función es igual, a la
constante por la integral de la función
k · f (x) dx = k · f (x) dx

INTEGRALES INMEDIATAS

xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C
ax
dx =
ax
ln a
+ C
sin x dx = − cos x + C
1
cos2 x
dx = tan x + C
1
√
1 − x2
dx = arcsin x + C
1
x
dx = ln x + C
ex
dx = ex
+ C
cos x dx = sin x + C
−1
sin2
x
dx = cot x + C
1
1 + x2
dx = arctan x + C

Por partes
M´ETODOS DE INTEGRACI´ON

Por partes
Cambio de variable
f (x) dx
Hacemos el cambio x = g(t) ⇒ dx = g (t) dt
f (x) dx = f (g(t)) g (t) dt

Por partes
Ejemplo
Calcular
ln x
x
dx
Hacemos el cambio ln x = t ⇒ 1
x dx = dt
ln x
x
dx = t dt =
1
2
t2
=
1
2
ln2
x + C
O bien, sin cambio, si observa que:
ln x
x
dx = ln x d(ln x) =
1
2
ln2
x + C

Por partes
Por partes
Sabemos que:
d(u(x) · v(x)) = v(x) · u (x) · dx + u(x) · v (x) · dx
d(u(x) · v(x)) = v(x) · d(u(x)) + u(x) · d(v(x))
Despejando, nos queda:
u(x) · d(v(x)) = d(u(x) · v(x)) − v(x) · d(u(x))
u(x) · dv(x) = u(x) · v(x) − v(x) · du(x)

Por partes
Ejemplo
Calcular (2x + 1)ex
dx
Tomamos las partes
u(x) = 2x + 1 ⇒ du(x) = 2dx
dv(x) = ex dx ⇒ v(x) = ex
(2x + 1)ex
dx = (2x + 1)ex
− 2ex
dx
= (2x + 1)ex
− 2ex
+ C = (2x − 1)ex
+ C

Por partes
Racionales
P(x)
Q(x)
dx
Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

Por partes
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2

Por partes
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos
3x − 6
x2 + x − 2
, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2
=
−1
x − 1
+
4
x + 2

Por partes
Ejemplo
Calcular
x3 − 4
x2 + x − 2
dx
x3
− 4
x2 + x − 2
= x − 1 +
3x − 6
x2 + x − 2
2 Descomponemos
3x − 6
x2 + x − 2
, en fracciones simple
3x − 6
x2 + x − 2
=
−1
x − 1
+
4
x + 2
3 x − 1 −
1
x − 1
+
4
x + 2
dx =
1
2
x2
−x −ln |x −1|+4 ln |x +2|

INTEGRAL DEFINIDA

CONOCIMIENTOS PREVIOS

TEOREMA de WEIERSTRASS
Si la funci´on f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] entonces alcanza el
m´aximo y el m´ınimo absoluto en dicho intervalo.

TEOREMA de BOLZANO
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y el signo{f (a)} = signo{f (b)}
entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/f (a) < α < f (b)
entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.

Corolario
Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/m < α < M
siendo m = m´ın {f }[a,b] y M = máx {f }[a,b] entonces
∃c ∈ (a, b)/f (c) = α
Demostración
Por el teorema de Weierstrass f alcanza el
máximo y el m´ınimo en [a, b]. Sea A(x1, f (x1))
donde alcanza el m´ınimo y M(x2, f (x2)) donde
alcanza el máximo. Tomamos el intervalo
[x1, x2] ⊂ [a, b] y definimos en él la función
g(x) = f (x) − α.
g cumple Bolzano en el intervalo [x1, x2] ya
que es cont´ınua y se verifica:
g(x1) = f (x1) − α < 0 y g(x2) = f (x2) − α > 0,
por tanto ∃c ∈ (a, b)/g(c) = 0 ⇒ f (c) = α

EL ´AREA COMO PRIMITIVA DE
UNA FUNCI´ON

Cosideremos el área plana delimitada por la gráfica de la función f ,
el eje OX y las ordenadas correspondiente a los valores x = a y
x = b

m(b − a) ≤ S

S ≤ M(b − a)

m(b − a) ≤ S ≤ M(b − a)

m ≤
S
b − a
≤ M
Y por el teorema del valor intermedio ir al teorema

∃c ∈ [a, b] /
S
b − a
= f (c) ⇒ S = f (c)(b − a)

S(x)

S(x + ∆x)

S(x + ∆x) − S(x)

S(x + ∆x) − S(x) = f (c) · ∆x con c ∈ (x, x + ∆x)

Teorema Fundamental del C´alculo Integral
l´ım
∆x→0
S(x + ∆x) − S(x)
∆x
= l´ım
c→x
f (c) = f (x)
S (x) = f (x) ⇒ S(x) =
x
a
f (x) dx

Regla de Barrow
Si F : [a, b] −→ R es una primitiva de f : [a, b] −→ R se verifica:
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
Demostración
Si F(x) es una primitiva de f (x), sabemos que
S(x) =
x
a
f (x) dx también es una primitiva de f (x).
Pero dos primitivas cualesquiera se diferencian en una
constante C.
Por tanto, podemos escribir: S(x) − F(x) = C
Haciendo
x = a ⇒ S(a) − F(a) = C ⇒ 0 − F(a) = C
x = b ⇒ S(b) − F(b) = C ⇒ S(b) = F(b) − F(a) ⇒
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA

Ejemplo
Calcular el ´area comprendida entre la curva f (x) = ln x, el eje
OX y las ordenadas correspondientes a x = 2 y x = 5
Soluci´on
S =
5
2
ln x dx. Calculamos por partes la
integral.
Tomamos las partes
u(x) = ln x ⇒ du(x) =
1
x
dx
dv(x) = dx ⇒ v(x) = x
ln x dx = x ·ln x − x
1
x
dx = x ·ln x −x
S = x · ln x − x]5
2 = 5 ln 5 − 5 − (2 ln 2 − 2)
S = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 ∼= 3, 661 u2

Ejemplo
Calcular el área comprendida entre las curvas f (x) = x3
− 2x2
+ x − 1, y
g(x) = −x2
+ 3x − 1 y que se encuentra en el primer y cuarto cuadrante.
Solución
Calculamos los puntos de corte de las dos curvas.
x3 − 2x2 + x − 1 = −x2 + 3x − 1 ⇒
x3 − x2 − 2x = 0



x1 = −1
x2 = 0
x3 = 2
En nuestro problema tomamos x2 = 0 y x3 = 2
El área viene dada por:
S =
2
0
g(x) − f (x) dx =
2
0
(−x3
+ x2
+ 2x) dx
=
−x4
4
+
x3
3
+ x2
2
0
= −4 +
8
3
+ 4 =
8
3
u2

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