UACH Fisica En Las Ciencias Forestales 1 2 Saturacion

Física en las Ciencias Forestales
1.2 Suelo Saturado
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

16.08.2009

W. Gerber Física en las Ciencias Forestales - 1.2 Suelo Saturado - Teoría 16.08.2009 1 / 59

Suelo y Agua

Como vimos en la Introducción del Capitulo anterior, el Agua
en el Suelo es clave para la Vida. Por ello nos interesa ver que
sucede cuando:

▶ el Agua penetración el Suelo
▶ el Suelo esta Saturado con Agua
▶ el Suelo NO esta Saturado con Agua

En este capitulo nos concentraremos en los dos primeros
Puntos. El ultimo se vera en el próximo Capitulo.


Penetración de Agua en el Suelo
Si se vierte Agua en una probeta
con Suelo, se observa que:
▶ El Agua penetra la muestra
llenando los Poros en la parte
inferior.
▶ El Gas es expulsado
generando pequeñas
Burbujas.
▶ Mientras más compacto el
Material, más se demora el
Agua en alcanzar los Poros.


Suelo Saturado y No-Saturado
Después de que el Agua termina
de ﬂuir, podemos observar que se
han formado dos Zonas:
▶ una superior, en que el Agua
se encuentra en la Superﬁcie
de los Granos y solo en parte
llena la Porosidad existente.
▶ otra inferior, en que toda la
Porosidad se ha llenado de
Agua.
Suelo con Porosidad llena de
Agua se denomina Suelo
Saturado. El restante Suelo se
denomina Suelo No Saturado.


La Presión Hidrostatica

En el Suelo Saturado, la Columna de Agua tiene un Peso que
genera Presión. En detalle debemos estudiar:

▶ La Columna de Agua
▶ El Peso de la Columna
▶ La Presión del Agua
▶ La independencia de la Forma
▶ La Presión Atmosférica
▶ Diferencia de Presión


La Columna de Agua
La Masa de una Columna de Agua
se puede calcular del Área S, su
Altura h y Densidad w mediante:

m = Sh w (1)

donde
m Masa de la Columna [M]
h Altura de la Columna [L]
S Sección de la Columna [L2 ]
w Densidad del Agua [M/L3 ]


El Peso de la Columna
La Fuerza que ejerce la Columna
del Agua es igual a la Masa m
multiplicado por la Aceleración
Gravitacional g:

F = mg = w Shg (2)

donde
m Masa de la Columna [M]
g Aceleración Gravitacional [L/T 2 ]
S Sección de la Columna [L2 ]


La Presión de Agua
La Fuerza que ejerce la Columna
de Agua (2) es proporcional a la
Sección de la Columna, por lo que
tiene sentido deﬁnir una Magnitud
del tipo Fuerza por Área:

F Sh w g
p= = = w gh (3)
S S

donde
p Presión [M/LT 2 ]
F Fuerza [ML/T 2 ]
La Presión se mide en g Aceleración Gravitacional [L/T 2 ]
Pascal (Pa = N/m2 h Altura de la Columna [L]
[M/LT 2 ]) S Sección de la Columna [L2 ]

La independencia de la Forma

Es importante comprender que la
Presión solo depende de la
Profundidad sin ser necesario que
exista una Columna directamente
encima del Punto en que se mide
la Presión. Esto se debe a que
cualquier diferencia de Presión a
una misma Profundidad llevara a
un Flujo hasta que la Presión sea
pareja.


La Presión Atmosférica
La Presión Atmosférica se Suma a
la Presión generada por la
Columna de Agua. Por ello la
Presión total es:

p = p0 + w gh (4)

donde
p Presión [M/LT 2 ]
p0 Presión Atmosférica [L/T 2 ]


Diferencia de Presión I
La Presión en la primera Columna
es igual a

p1 = p0 + w gh1

mientras que en la segunda

p2 = p0 + w gh2

La diferencia de Presión es por
consiguiente

Δp ≡ p2 − p1 = w g(h2 − h1 )

y con
Δh = h2 − h1


Diferencia de Presión II
se obtiene

Δp = w gΔh (5)

donde
Δp Diferencia de Presión [M/LT2 ]
Δh Diferencia de
Altura de la Columna [L]
Nota, cuando hay una diferencia
de Presión, y por ambos lados
existe una Presión atmosférica,
esta no depende de la Presión
atmosférica.

El Desplazamiento del Agua

La diferencia de Presión que calculamos en los Puntos
anteriores es la que origina el Movimiento del Agua dentro del
Solido. Por ello estudiaremos:

▶ La Conservación de Cantidad
▶ Ecuación de Continuidad
▶ Flujo Laminar
▶ Flujo Turbulento
▶ El Numero de Reynold
▶ Ley de Hagen-Poiseuille
▶ Flujo por un Poro
▶ Flujo por el Suelo


La Conservación de Cantidad
Si se asume que el Agua es
incompresible (no se deja
comprimir) el Volumen sera
siempre el mismo. En tal caso
existe una Conservación del
Volumen, es decir el Volumen total
se mantendrá constante. No se
creara ni destruira.
Esto signiﬁca que el Volumen de
Agua que entra en un Canal debe
ser igual al Volumen que sale por
el otro extremo, independiente de
la variación en la Sección que
tenga este.


Aplicación al Suelo

En el Caso del Suelo, esto
signiﬁca que la Cantidad de Agua
que ingrese en el Suelo Saturado,
debe ser igual al Volumen de
abandona la Muestra. En el caso
del Suelo la variación de la
Sección correspondería a
variaciones en la Porosidad a lo
largo del camino que recorre el
Agua.


Flujo de Volumen
El Flujo se calcula de la Sección
del Canal y de la Velocidad con
que se mueve el liquido:

ΔV
JV = =S (6)
Δt

donde
JV Flujo de Volumen [L3 /T]
ΔV Volumen que pasa por una
Sección en Δt [L3 ]
Δt Tiempo [T]
S Sección por la que pasa
la Corriente [L2 ]
Velocidad de la Corriente [L/T]


Densidad de Flujo de Volumen

Si se divide el Flujo por el Área de
la Sección, se obtiene la Densidad
de Flujo, que corresponde a la
Velocidad media de la Corriente:

JV
jV = = (7)
S

donde
jV Densidad de Flujo
de Volumen [L/T]
la Corriente [L2 ]
Velocidad de
la Corriente [L/T]

Ecuación de Continuidad I
Si el Liquido es incompresible, el
Volumen se conserva, lo que
signiﬁca que el Flujo es una
Constante:

JV = S = cte (8)

donde
JV Densidad de Flujo de
Volumen [L3 /T]
la Corriente [L2 ]
Velocidad de
la Corriente [L/T]


Ecuación de Continuidad II
En otras palabras, mientras no
existan perdidas de liquido en un
Canal, el Flujo en dos Secciones 1
y 2 del Canal serán iguales:

JV1 = JV2 o S1 1 = S2 2 (9)

donde
JV1 , JV2 Flujo en 1 y 2 [L3 /T]
S1 , S2 Sección en 1 y 2 [L2 ]
1, 2 Velocidad en 1 y 2 [L/T]


El Numero de Reynold
Se puede deﬁnir un números
a-dimensional que caracteriza el
tipo de Flujo que se Observara.
Uno de estos numero es el
denominado Numero de
Reynolds:

2 /R R
Re = = (10)
/R2

donde
Re Numero de Reynold [−]
Densidad [M/L3 ]
Osborne Reynolds
Viscosidad [M/LT]
(1842 − 1912)
R Dimensión [L]
Velocidad [L/T]

Flujo Laminar
Cuando el Numero de Reynold es menor que 20∗ (Re < 20), la
corriente es estable. No solo muestra un patrón parejo,
cualquier perturbación es amortiguada desapareciendo
ﬁnalmente.

Si uno deja escurrir en este tipo de Corriente en varios Lugares
una tinta de marcaje, las Lineas van formando Laminas. Por
este motivo se le denomina una Corriente Laminar.
∗:caso de un Cuerpo esférico en una Corriente (el limite
depende de la geometría)

Flujo Turbulento

Cuando el Numero de Reynold es mayor que 2000∗ (Re > 2000)
la corriente es turbulenta. Si llegara a ﬂuir en forma laminar,
cualquier perturbación la hará volverse turbulenta.

Si uno deja escurrir en este tipo de Corriente en varios Lugares
una tinta de marcaje, las Lineas se mezclan y hacen difusas.
∗:caso de un Cuerpo esférico en una Corriente (el limite
depende de la geometría)


Flujo laminar en un Canal
Si se considera un ﬂujo a través
de un Tubo de Radio R, Largo

ΔL = x2 − x1

con un gradiente de Presión

Δp = p2 − p1 ,

lo que genera un ﬂujo que en
según el Números de Reynold es
laminar.


Ley de Hagen-Poiseuille
Para el caso Laminar, se puede
mostrar (ver Anexo 2), que el ﬂujo
de un Liquido o Gas en un Tubo
obedece la Ley de
Hagen-Poiseuille:

R4 Δp
JV = − (11)
8 w ΔL

donde
Jean Louis Poiseuille w Viscosidad [M/LT]
(1799-1869) R Radio del Canal [L]
Δp Gradiente de Presión [M/LT 2 ]
ΔL Largo del Canal [L]

Signiﬁcado del Signo
El Signo de la Ecuación
Hagen-Poiseuille nos indica en
que dirección ﬂuye la Corriente. Si

x2 > x1 o sea Δx > 0,
p1
el Flujo sera positivo (en la
dirección de valores de x
crecientes) si
p2
p1 > p2 o sea Δp < 0.

En otras palabras, la Corriente es
x1 x2
siempre de el Sector de mayor
Presión al de menor Presión.


Poros en el Suelo
El Suelo esta compuesto
por múltiples Poros. En una
Superﬁcie S existen N Poros
de una Superﬁcie de R2 . Si
la porosidad es de f el
Numero sera:

fS
N= (12)
R2

donde
N Numero de Poros [−]
f Fracción de Porosidad [−]
S Sección del la Muestra [L2 ]
R Radio del Poro [L]


Flujo por varios Poros
Para calcular el ﬂujo total
debemos sumar el Flujo por cada
uno de los Poros:

JVt = NJV

Empleando el ﬂujo por poro (11) y
el numero de Poros (15) se
obtiene:
R4 Δp fS
JVt = −
8 ΔL R2
o sea
fSR2 Δp
=−
8 ΔL


Ecuación del Flujo por el Suelo
Con ello el Flujo por el Suelo esta
descrito por

fSR2 Δp
JVt = − (13)
8 w ΔL

donde
JVt Flujo de Volumen [L3 /T]
w Viscosidad [M/LT]
S Sección del Canal [L2 ]
f Porosidad del Material [−]
Δp Gradiente de Presión [M/LT 2 ]
ΔL Largo del Canal [L]


Flujo por Capas

Una vez hemos descrito como se desplaza el Agua por un
Medio homogéneo, podemos estudiar como ﬂuye si hay capas
de distintos Materiales. Para ello veremos:
▶ Conductividad Hidráulica
▶ Permeabilidad del Suelo
▶ Resistencia Hidráulica
▶ Analogía Eléctrica
▶ Ley de Darcy
▶ Capas en Paralelo
▶ Resistencia en Paralelo
▶ Capas en Serie
▶ Resistencia en Serie


Interpretación del Flujo
Si consideramos una Muestra de
Suelo entre dos Columnas con un
desnivel

Δh = h2 − h1

con lo que se genera según (5)
una diferencia de Presión

Δp = w gΔh

la ecuación de Flujo (13) se
transforma en
fSR2 wg Δh
JVt = − (14)
8 ΔL


Conductividad Hidráulica
La Ecuación (14) contiene un
elemento que es propio del tipo de
Suelo y su Geometría:

fR2 wg
Ks = (15)
8 w

donde
Ks Conductividad Hidráulica [L/T]
w Viscosidad [M/LT]
w Densidad [M/L3 ]
g Aceleración Gravitacional [M/T 2 ]


Permeabilidad del Suelo
La Conductividad Hidráulica a su
vez se puede separar en un factor
propio del Material que se
denomina Permeabilidad
Hidráulica:

fR2
ki = (16)
8

donde
ki Permeabilidad [L2 ]


Resistencia Hidráulica
El Inverso de la Conductividad es
la Resistencia:

ΔL
Rs = (17)
Ks S

donde
Rs Resistencia Hidráulica [T/L2 ]
ΔL Largo del Suelo [L]
S Sección del Suelo [L2 ]


Analogía Eléctrica
Si se reescribe la Ecuación (14)
con la Deﬁnición de la Resistencia
(17) se obtiene
Δh
JVt = −
Rs
o despejando Δh

Δh = Rs JVt

que es similar a la Ecuación de
Ohm en que Δh juega el rol del
Potencial.


Ley de Darcy

Δh
JVt = −Ks S (18)
ΔL
donde
JVt Flujo de Volumen [L3 /T]
Δh Altura de la Columna [L]
ΔL Largo del Suelo [L]
Henry Darcy S Sección del Suelo [L2 ]
(1803-1858)


Capas en Paralelo
Siguiendo la Analogía Eléctrica, se
calcula la Resistencia total de un
Sistema de Resistencia en
paralelo. Todas estas Resistencias
están expuestas a la misma
diferencia de Presión Δp. En cada
Resistencia Rsi se tiene un Flujo
igual a:
Δp
JVi = −
R si
El Flujo total es igual a la Suma de
los Flujos parciales:
Δp Δp
JVt = JVi = − ≡−
i i
R si R st


Resistencia en Paralelo
con lo que se puede deﬁnir una
Resistencia Total:

1 1
= (19)
R st i
R si

donde
R st Resistencia Total [T/L]
R si Resistencia i-esima [T/L]


Capas en Serie
Siguiendo la Analogía Eléctrica se
calcula la Resistencia total de un
Sistema de Resistencia en Serie.
Todas estas Resistencias están
expuestas a la misma diferencia
de Presión Δp. En todas las
Resistencias Rsi existe el mismo
Flujo:
Δpi
JVt = −
R si
La Presión total es igual a la Suma
de las Presiones parciales:

Δp = Δpi = − Rsi JVt ≡ −Rst JVt
i i


Resistencia en Serie

con lo que se puede deﬁnir una
Resistencia Total:

R st = i R si (20)

donde
R st Resistencia Total [T/L]
R si Resistencia i-esima [T/L]


Aplicaciones

A continuación se discuten algunas Aplicaciones de la Teoría
aquí presentada. En particular se calcula:

▶ Presión
▶ Numero de Reynold
▶ Flujo por un Poro
▶ Flujo por el Suelo
▶ Flujo por Capas
▶ Flujo por Capas Paralelas
▶ Flujo por Capas en Serie


Presión

Si encontramos Agua subterránea en una Profundidad de 0,8 m
bajo el Suelo, Cual es la Presión del Agua a una Profundidad
de 2,2 m bajo el Suelo?
La Columna de Agua tiene una altura de

h = 2,2 m − 0,8 m = 1,4 m

Si la Presión Atmosférica es de 1 atm o sea p0 = 105 Pa, la
Densidad del Agua es w = 1,0 g/cm3 y la Aceleración
Gravitacional g = 9,8 m/s2 se obtiene con la Ecuación (2) la
Presión buscada:

p = p0 + w gh = 1,137 × 10+5 Pa


Flujo por un Poro

En un Capilar de Arena el Radio típico es de R = 0,2 mm,
Densidad = 1 g/cm3 , Viscosidad 8,90 × 10−4 Pa s y la
Velocidad de = 0,1 mm/s. Que tipo de Corriente podemos
esperar?
r
Re = = 2,25 × 10−2

Al ser Re < 20 concluimos que el ﬂujo es laminar.


Flujo por un Poro I

Si deseamos drenar un Suelo Saturado evacuando Agua a
h = 1 m de profundidad, esta sera impulsada por una diferencia
de Presión según se calcula con (5):
Δp = w gΔh = 9,8 × 10+3 Pa
en donde se asumio que la densidad del Agua era
= 1,0 g/cm3 y la Aceleración Gravitacional igual a
g = 9,8 m/s2 .
Si el Radio de la Porosidad es de R = 20 m, el Canal de
Evacuacion tiene un largo de Δl = 0,2 m y la viscosidad es de
= 8,90 × 10−4 Pa s, el Flujo sera según (11)
R4 Δp 3,1415(20 m)4 −9,8 × 10+3 Pa
JV = − =−
8 w ΔL 88,90 × 10−4 Pa s 0,2 m
= 3,46 × 10−12 m3 /s

Flujo por un Poro II

Este numero parece chico, sin embargo si se calcula la
Densidad del Flujo se obtiene

JV 3,46 × 10−8 m3 /s
jV = = = 0,275 × 10−3 m/s
R2 3,1415(200 m)2

que corresponde a 1 m cada 6 minutos.


Flujo por el Suelo

En el caso del Flujo por el Suelo se requiere de calcular el
numero de Poros. Si consideramos una Superﬁcie de
(10 cm × 10 cm o sea S = 0,01 m2 ) y una Porosidad de f = 0,4 el
numero de Poros de Dimensionas según el Ejercicio anterior
seria de:
fS 0,40,01 m2
N= = = 3,18 × 10+6
R2 3,1415(20 m)2

Con el Flujo calculado en el Ejercicio anterior se obtiene así un
Flujo total por la Sección considerada de:

JVt = NJV = 3,18 × 10+6 3,46 × 10−12 m3 /s = 1,1 × 10−5 m3 /s

lo que equivale que ﬂuye un litro cada 2,88 años.


Flujo por Capas I

Cuando se trabaja con Capas se deben calcular las
Resistencias Hidráulicas de cada una. Para ello a su vez se
deben calcular las Conductividades Hidráulicas. Estas
dependen por un lado de las Propiedades del Agua (por
ejemplo Densidad = 1,0 g/cm3 , Viscosidad
= 8,90 × 10−4 Pa s) y de la Aceleración Gravitacional
(g = 9,8 m/s2 ) y por el otro lado de la Porosidad y Radio de los
Capilares.
Se suponen dos muestras de Suelo de Sección 10 × 10 cm2 ,
20 cm de Largo con Porosidad f1 = 0,4 y f2 = 0,3, y Radios de
Capilares de R1 = 20 m y R2 = 10 m. En ese caso la
Conductividad Hidráulica con
wg 1,0 g/cm3 9,8 m/s2
= = = 1,1 × 10+7 1/ms
w 8,90 × 10−4 Pa s

Flujo por Capas II

sera
2
f1 R1
K s1 = = 2,20 × 10−4 m/s
8
y
f2 R2
2
K s2 = = 4,13 × 10−5 m/s
8
que nos da una idea de la Velocidad con que se mueve el Agua
por las Muestras. Con estas expresiones la Resistencia
Hidráulica es:
ΔL 0,2 cm
R s1 = = = 9,08 × 10+4 s/m2
K s1 S 2,20 × 10−4 m/s100 cm2
y
ΔL 0,2 cm
R s2 = = = 4,84 × 10+5 s/m2
K s2 S 4,13 × 10−5 m/s100 cm2

Flujo por Capas Paralelas

Si las Muestras descritas en el Ejercicio anterior se conectan
en forma paralela, el Agua tendera a pasar por aquel Elemento
que muestre menor resistencia. Si la diferencia de Altura que
genera la Presión fuese h = 1 m las corrientes serán:
Δh −1 m
JV1 = − =− = 1,10 × 10−5 m3 /s
R s1 9,08 × 10+4 s/m2
y
Δh −1 m
JV2 = − =− = 2,06 × 10−6 m3 /s
R s2 4,84 × 10+5 s/m2
La Resistencia total se calcula según (9):
1
Rt = = 7,65 × 10+4 s/m2
1 1
+
R s1 R s2


Flujo por Capas en Serie

Si las Muestras descritas en el Ejercicio anterior se conectan
en forma serial, el Agua tendera a pasar por ambos Elemento.
La Resistencia total se calcula según (11):

Rt = Rs1 + Rs2 = 5,75 × 10+5 s/m2

Con esta Resistencia el Flujo total sera:
Δh −1 m
JV = − =− = 1,74 × 10−6 m3 /s
R s1 + R s2 5,75 × 10+6 s/m2
La caída de Presión en cada Muestra es:

Δp1 = w gΔh1 = w gRs1 JV = 1547,4 m

y
Δp2 = w gΔh2 = w gRs2 JV = 8252,6 m

Anexos

▶ Desarrollo Ecuación Hagen-Poiseuille
▶ Unidades
▶ Conversiones
▶ Bibliograﬁa
▶ Contacto


Ecuacion de Naviar Stokes

Los ﬂuidos pueden ser descritos por la ecuación de Navier
Stokes
∂⃗ ⃗ ⃗
+ (⃗ ⋅ ∇)⃗ = −∇p + ∇2 ⃗
∂t
En el caso estático
∂⃗
=0
∂t
y laminar
⃗
∣(⃗ ⋅ ∇)⃗ ∣
Re = 2⃗ ∣
≪0
∣∇
se tiene que
⃗
−∇p + ∇2 ⃗ = 0


Ecuación del Perﬁl

En coordenadas cilíndricas esta ecuación
1 ∂ ∂ z 1 ∂p
r =
r ∂r ∂r ∂z
la solución general es
r2 ∂p
z (r) = + c1 ln r + c2
4 ∂z
Con la condición de borde en el Origen

z (0) = ﬁnito → c1 = 0
y aquella en el Borde del Canal
R2 ∂p R2 ∂p
z (R) =0→ + c2 = 0 → c2 = −
4 ∂z 4 ∂z

Solución

Solución caso poro:

1 ∂p 2
z (r) =− (R − r2 )
4 ∂z

Flujo total
R
1 ∂p R4 ∂p
Q=− 2 rdr(R2 − r2 ) = −
4 ∂z 0 8 ∂z

Si la presión desciende en Δp a lo largo ΔL del poro

∂p Δp R4 Δp
= →Q=−
∂z ΔL 8 ΔL


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Adicionalmente se indican libros disponibles en la Biblioteca
UACH y/o en la Interna
T. Miyazaki, Water Flow in Soils, Taylor Francis, 2006,
INSB-13: 978-0-8247-5325-2 Soil Properties for plant
growth, A. Hewitt, Landcare Research Science Series No.
26, Manaaki Whenua Press, 2004
´
→ Código Biblioteca Interna 631.432-dc22
Soil Physics, T.J. Marshall, J.W. Holmes, C.W. Rose,
Cambridge University Press, May 1996, ISBN-13:
978-0-5214-5766-8
→ Leer en Google Books


Bibliograﬁa II

Principles of Soil Physics, R. Lal, M.K. Shukla, Taylor
Francis, Inc., May 2004, ISBN-13: 978-0-8247-5324-5
Soil Physics Companion, A.W. Warrick (Editor), CRC
Press, December 2001, ISBN-13: 978-0-8493-0837-6
→ Código Biblioteca Interna 631.4-3dc21
Soil Physics, R. Horton, W.A. Jury, Wiley, John Sons, Inc.,
March 2004, ISBN-13: 978-0-4710-5965-3


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125

Set del Curso:
http://www.gphysics.net/physics-in-forestry-uach


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