Integrales dobles

1. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
45. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales:
ሺܽሻ ׭ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ቄሺݔ, ݕሻ א Թଶ ൑ ݔ ൑ ଵ
ଶ , ݕ ൅ ݔ ൑ 1, ݕ ൒ 0ቅ
Observando el dibujo, lo más cómodo es parametrizar el recinto de la siguiente forma
Así nuestra integral resulta
ඵ ݀ݔ݀ݕ
஽
ଵି௫
ൌ න ሾන ݀ݕ
଴
ሿ
ଵଶ
଴
ଵଶ
݀ݔ ൌ න ሺ1 െ ݔሻ
଴
݀ݔ ൌ ݔ െ
ݔଶ
2
ଵଶ
቉
଴
ൌ
1
2
െ
1
8
ൌ
3
8
൝ 0 ൑ ݔ ൑
1
2
0 ൑ ݕ ൑ 1 െ ݔ

2. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas de
cálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto está formado por un triángulo y un rectángulo);
pero esto ya lo sabíamos, porque una el área de un recinto ܦ es precisamente ׭ ݀ݔ݀ݕ ஽
ሺܾሻ ׭ ݔଷݕ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ቄሺݔ, ݕሻ א Թଶ/0 ൑ ݔ ൑ ଵ
ଶ , ݕ ൅ ݔ ൑ 1, ݕ ൒ 0ቅ
Como el recinto es el mismo, parametrizamos de igual forma la integral (sólo cambia el integrando)
ඵ ݔଷݕ ݀ݔ݀ݕ
஽
ଵି௫
ൌ න ሾන ݔଷݕ ݀ݕ
଴
ሿ
ଵଶ
଴
݀ݔ
Realizamos primero la integral indefinida respecto de la variable ݕ calculando una primitiva
න ݔଷݕ ݀ݕ ൌ ݔଷ න ݕ ݀ݕ ൌ ݔଷ ݕଶ
2
Así nuestra integral resulta
ඵ ݔଷݕ ݀ݔ݀ݕ
஽
ଵି௫
ൌ න ሾන ݔଷݕ ݀ݕ
଴
ሿ
ଵଶ
଴
ଵି௫ ଵଶ
଴
݀ݔ ൌ න ݔଷ ݕଶ
2
቉
଴
݀ݔ ൌ න ݔଷ ሺ1 െ ݔሻଶ
2
ଵଶ
଴
݀ݔ ൌ
ൌ
1
2
ଵଶ
න ݔଷሺ1 െ ݔሻଶ
଴
݀ݔ ൌ
1
2
ଵଶ
න ሺݔଷ
଴
െ 2ݔସ ൅ ݔହሻ݀ݔ ൌ
ݔସ
8
െ
ݔହ
5
൅
ݔ଺
12
ଵଶ
቉
଴
ൌ
ൌ
1
2ସ 8
െ
1
2ହ 5
൅
1
2଺12
ൌ
11
2଼ 15
ൌ
11
3840

3. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
ሺܿሻ ׭ ௫
௬ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ/ݔݕ ൑ 16, ݔ ൒ ݕ, ݔ െ 6 ൑ ݕ, ݔ ൒ 0, ݕ ൒ 1ሽ

4. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija
la variable ݕ, quedando la variable ݔ acotada entre dos funciones de ݕ. Así resultan integrales que se
pueden resolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la ݔ entre valores fijos y la
variable ݕ acotada entre funciones de ݔ, necesitamos 3 recintos diferentes y las integrales resultantes
tienen un poco más de dificultad, pero también salen)
Así los recintos parametrizados son:
Así nuestra integral queda:
ඵ
ݔ
ݕ
݀ݔ݀ݕ
஽భ
൅ ඵ
ݔ
ݕ
1 ൑ ݕ ൑ 2
ݕ ൑ ݔ ൑ ݕ ൅ 6 ܦଶ ቊ
݀ݔ݀ݕ ൌ න ሾන
ݔ
ݕ
݀ݔ
௬ା଺
௬
ሿ
ଶ
ଵ
݀ݕ
஽మ
൅ න ሾන
ݔ
ݕ
݀ݔ
ଵ଺
௬
௬
ሿ
ସ
ଶ
݀ݕ ൌ
ଶ ௬ା଺
ൌ න
1
ݕ
ݔଶ
2
቉
௬
ଵ
݀ݕ ൅ න
ସ ௬
1
ݕ
ݔଶ
2
ଵ଺
቉
௬
ଶ
݀ݕ ൌ
1
2
ቈන
ሺݕ ൅ 6ሻଶ
ݕ
ଶ
ଵ
݀ݕ െ න
ݕଶ
ݕ
ଶ
ଵ
݀ݕ቉ ൅
1
2
൦න
ሺ16
ݕ ሻଶ
ݕ
ସ
ଶ
݀ݕ െ න
ݕଶ
ݕ
ସ
ଶ
݀ݕ൪ ൌ
1
2
ቈන ሺݕ ൅ 12 ൅
36
ݕ
ଶ
ଵ
ଶ
ሻ݀ݕ െ න ݕ
ଵ
݀ݕ቉ ൅
1
2
ቈන
256
ݕଷ
ସ
ଶ
ସ
݀ݕ െ න ݕ
ଶ
݀ݕ቉ ൌ
ൌ
1
2
ሺ
ݕଶ
2
൅ 12ݕ ൅ 36 ln|ݕ|ሻ቉
ଶ
െ
ଵ
ݕଶ
4
ଶ
െ
቉
ଵ
1
4
ሺ
256
ݕଶ ሻ൨
ସ
െ
ଶ
ݕଶ
4
ସ
ൌ
቉
ଶ
ൌ
1
2
ሺ
27
2
൅ 36ln 2ሻ െ
3
4
െ
1
4
ሺ16 െ 64ሻ െ 3 ൌ 15 ൅ 18 ln 2
ܦଵ ൜
2 ൑ ݕ ൑ 4
ݕ ൑ ݔ ൑ ଵ଺
௬

5. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
ሺ݀ሻ ׭ ݔݕ݁ି௬మ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ/1 ൑ ݔ ൑ 2, 0 ൑ ݕ, ݕଶ ൑ ݔሽ
La parametrización del recinto puede ser
Por tanto esta integral se puede resolver
ା√௫
න ሺන ݔݕ݁ି௬మ
଴
ଶ
ଵ
ା√௫
1 ൑ ݔ ൑ 2
0 ൑ ݕ ൑ ൅√ݔ
݀ݕሻ݀ݔ ൌ න ሺݔ න ݕ݁ି௬మ
଴
ଶ
ଵ
݀ݕሻ݀ݔ ൌ න ሺ
െݔ
2
ା√௫
න ሺെ2ሻݕ݁ି௬మ
଴
ଶ
ଵ
݀ݕሻ݀ݔ ൌ
൜

6. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
ൌ න ሺ
െݔ
2
ଶ
ଵ
ା√௫
݁ି௬మ ൧଴
ሻ݀ݔ ൌ
െ1
2
න ݔ݁ି௫݀ݔ ൅
1
2
ଶ
න ݔ݀ݔ
ଵ
ൌ
ଶ
ଵ
݁ି௫ሺ1 ൅ ݔሻ
2
ଶ
൅
൨
ଵ
ݔଶ
4
ଶ
ൌ
቉
ଵ
3 െ 2݁
2݁ଶ ൅
3
4
Donde la primitiva de la última integral se ha calculado por partes haciendo (puede comprobarlo el
alumno)
ሺ݁ሻ ׭ ሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మା௬ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ቄሺݔ, ݕሻ א Թଶ/ ݔ ൅ ݕ ൒ 1, ݔ ൒ ଵ
ଶ , ݕ ൅ ݔଶ ൑ 1ቅ
ቄ
ݑ ൌ ݔ
݀ݒ ൌ ݁ି௫

7. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
Observando de nuevo el dibujo tenemos una parametrización fácil del recinto
Así nuestra integral quedaría
ଵି௫మ
න ሺන ሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మା௬
ଵି௫
ଵ
ଵଶ
ଵି௫మ
݀ݕሻ݀ݔ ൌ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మන ݁௬
ଵି௫
ଵ
ଵଶ
݀ݕሻ݀ݔ ൌ
ଵ
න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మ
ଵଶ
ଵି௫మ ሻ݀ݔ ൌ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మ
݁௬ሿଵି௫
ଵ
ଵଶ
ଵ
݁ଵି௫మ݀ݔ െ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మ
ଵଶ
݁ଵି௫݀ݔ ൌ
ଵ
න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మାଵି௫మ
ଵଶ
ଵ
݀ݔ െ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మାଵି௫
ଵଶ
݀ݔ ൌ
ଵ
න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁
ଵଶ
ଵ
݀ݔ െ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మାଵି௫
ଵଶ
݀ݔ ൌ
ଵ
݁ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ
ଵଶ
ଵ
݀ݔ െ න ሺሺ2ݔ െ 1ሻ݁௫మାଵି௫
ଵଶ
݀ݔ ൌ
ଵ െ ݁௫మାଵି௫൧ଵଶ
݁ ሺݔଶ െ ݔሻ൧ଵଶ
ଵ
ൌ
െ3݁
4
൅ ݁
ଷସ
ቐ
1
2
൑ ݔ ൑ 1
1 െ ݔ ൑ ݕ ൑ 1 െ ݔଶ

8. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
ሺ݂ሻ ׭ ݕ ݀ݔ݀ݕ ஽ siendo ܦ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ /ݕ ൒ 0, ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ݕଶ ൑ 1, ሺݔ െ 2ሻଶ ൅ ݕଶ ൑ 1ሽ

9. Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2011­2012
los recintos parametrizados son:
ඵ ݕ ݀ݔ݀ݕ
஽భ
ାඥଵିሺ௫ିଶሻమ
൅ ඵ ݕ ݀ݔ݀ݕ ൌ න ሾන ݕ ݀ݕ
଴
ሿ
ଷଶ
ଵ
݀ݔ
஽మ
ାඥଵିሺ௫ିଵሻమ
൅ න ሾන ݕ ݀ݕ
଴
ሿ
ଶ
ଷଶ
݀ݔ ൌ
ൌ න
ݕଶ
2
ାඥଵିሺ௫ିଶሻమ
቉
଴
݀ݔ
ଷଶ
ଵ
൅ න
ݕଶ
2
ାඥଵିሺ௫ିଵሻమ
቉
଴
݀ݔ
ଶ
ଷଶ
ൌ
ൌ
1
2
ଷଶ
න ሺെ3 െ ݔଶ ൅ 4ݔሻ݀ݔ
ଵ
൅
1
2
ଶ
න ሺെݔଶ ൅ 2ݔሻ݀ݔ
ଷଶ
ൌ
ൌ
1
2
ሺെ3ݔ െ
ݔଷ
3
൅ 2ݔଶሻ቉
ଷଶ
ଵ
൅
1
2
ሺെ
ݔଷ
3
൅ ݔଶሻ቉
ଷଶ
ଵ
ൌ ڮ
(Termine el alumno las operaciones y así practica)
ܦଵ ൝
1 ൑ ݔ ൑ ଷ
ଶ
0 ൑ ݕ ൑ ൅ඥ1 െ ሺݔ െ 2ሻଶ
ܦଶ ൝
ଷ
ଶ ൑ ݔ ൑ 2
0 ൑ ݕ ൑ ൅ඥ1 െ ሺݔ െ 1ሻଶ