Los números reales es el conjunto de todos los números:
los positivos, los negativos y el cero.
- Los números reales inclu...
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden:
Terminar
Repetirse inde...
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden terminar.
Ejemplos:
-5
2...
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden repetirse
indefinidament...
Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.
Los números decimales pueden continuar para siempre.
...
Ley de tricotomía
Para cualesquiera dos elementos y en una y
solamente una de las siguientes relaciones se verifica:
, ,
L...
El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud”
de un número, independientemente de su signo.
Si tenemos un número rea...
Si es un número real distinto de cero, entonces
o o es positivo.
Aquél de los dos que es positivo es llamado
valor absolut...
En la recta real, el valor absoluto de un
número es su distancia al 0 (al origen)
0x
Valor absoluto
Una desigualdad o inecuación es una relación
matemática que hace uso de la forma en que los
números reales están ordenados...
La solución de una desigualdad como -2x+6>0 son
los valores de x para los cuales la expresión -2x+6
es siempre mayor que c...
mayor que
< menor que
mayor o igual que
menor o igual que
>
≥
≤
2
Si y , entonces
Si , entonces
Si y 0, entonces
Si 0, entonces 0
a b c d a c b d
a b a b
a b c ac bc
a a
< < + < +
< − > ...
1
Si 0 y 0 , entonces
Si y tiene el mismo signo 0
Si y tiene diferente signo 0
tiene el mismo signo que
a b c d ac bd
a b ...
1 1
2 2
2
Si y tiene el mismo signo y , entonces
Si 0 y 0, entonces si y sólo si
Si 0, entonces si y sólo si ó
a b a b a b...
Resolver la desigualdad 3 5 3
3 5 3
3 5 5 3 5
2 8
4
La solución está dada por todos los
números reales mayores que 4
x x
x...
2
2
2
2
2
2
Resolver la desigualdad 2 6 0
2 6 0
1
3 0
2
1 49 49
3
2 16 16
1 1 49
2 16 16
1 49
4 16
x x
x x
x x
x x
x x
x
+...
2
2
Resolver la desigualdad 2 6 0
1 49
4 16
1 7 1 7
ó
4 4 4 4
3
ó 2
2
La solución está dada por todos los números reales
3...
( )
( ) { }
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo abierto no in
Interva
...
[ ]
[ ] { }
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
,
Nota: El intervalo cerrado in
Interval
cl...
{ }
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
( , ]
Nota: El intervalo cerrado no incl
Intervalo ...
{ }
Es el conjunto de todos los números reales ,
tales que .
Es decir,
[ , )
Nota: El intervalo cerrado incl
Intervalo abi...
( ) { }
{ }
( ) { }
{ }
( ) { }
,
[ , )
,
( , ]
,
a x R x a
a x R x a
a x R x a
a x R x a
x R
∞ = ∈ >
∞ = ∈ ≥
−∞ = ∈ <
−∞ ...
De manera intuitiva podemos decir
que una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera
que a cada valor de ...
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
Una función de A en B es una asociación de
un único elemento de B con todos y cada ...
•Todos los elementos del dominio tiene que
tener asociado un elemento del contradominio
•A un elemento del dominio se le a...
Conjunto
de seres
humanos
Conjunto
de seres
humanos
Conjunto
de seres
humanos
A cada ser humano
se le asocia su
padre biológico
Conjunto
de seres
humanos
Conjunto
de seres
humanos
A cada ser humano
se le asocia su
padre biológico
•Todo elemento del dominio tiene asociado un ú...
Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los...
( )
Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo l...
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
Dominio
a
b
c
d
e
Dominio
Codominio
a
b
c
d
e
Dominio
Codominio
Rango
A la calabaza se le asocian dos
elementos en el contradominio
∂
∇
∃
J
A
parcial
nabla
raiz
existe
B
∂
∇
∃
J
A
parcial
nabla
raiz
existe
B
El elemento en no tiene ningún elemento
asociado en
A
B
J
Definimos una función de x en y como
toda aplicación (regla, criterio
perfectamente definido), que a un
número x (variable...
Se llama función real de variable real a
toda aplicación f de un subconjunto no
vacío D de R en R
Una función real está de...
Una función real de una variable
real es una función cuyo dominio
es un subconjunto de los números
reales y su contradomin...
El subconjunto D de números reales que
tienen imagen se llama Dominio de definición
de la función f y se representa D(f).
...
( ): 3 2
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son to...
( ): 3 2f R R y f x x→ = = +
x f(x)
0 2
1 5
-1 -1
2 8
-2 -4
3 11
-3 -7
4 14
-4 -10
5 17
-5 -13
x f(x)
0.10 2.30
1.76 7.28
...
( ): exp
Su dominio son todos los números reales
Su contradominio o codominio son todos
los números reales
Su rango son to...
( )exp: exp x
R R y x e→ = =
x f(x)
0.10 1.1051709
11.88 144,350.5506832
-3.45 0.0317456
8.97 7,863.6016055
2.34 10.381236...
( )log : (0, ) ln
Su dominio son todos los números reales
positivos, ya que no existen el logaritmo de
un número negativo
...
( )log :(0, ) lnR y x∞ → =
x ln(x) x ln(x)
0.10 -2.303 0.01 -4.605
0.20 -1.609 0.02 -3.912
0.30 -1.204 0.03 -3.507
0.40 -0...
( ) ( )( ){ }2
Definición
La gráfica de la función es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuyas coordenadas
satisf...
( ): 3 2f R R y f x x→ = = +
( )exp: exp x
R R y x e→ = =
( )log :(0, ) lnR y x∞ → =
: R R y x→ =
1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, ...
1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto...
( )
( )
1 1 2
11
C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función c...
( )
( ) ( ) ( )( )
Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compue...
( ) ( )
2
2
2
( ) 2 6, ( ) ,
La función compuesta es en este caso
2 6
El dominio de la función compuesta son aquellos
valo...
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
2
( ) , ( ) sin ,
La función compuesta es en este caso
sin
Es claro que el rango de la función...
( )
( ) ( )
( ) { }
1
1
( ) , ( ) exp = ,
La función compuesta es en este caso
Dominio 0
y
x
y f x z g y y e
x
g f x e
g f...
Se llama función identidad a la función que le hace
corresponder a cada número real el propio número.
Se representa por ( ...
( )
Gráfica de la función identidad
:I R R I x x→ =
45o
Una función se dice
inyectiva o función uno a uno
si verifica que dos puntos
distintos no pueden tener
la misma imagen.
f
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no pue
Una relación lineal (cualqui...
2
Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica
que dos puntos distintos no puede
Una relación cuadrática ...
( )
( )( ) ( )
1
1
Sea una función.
Llamamos función inversa (en caso de que exista)
a una función notada que verifica que...
( )
( )
( )
ln
La función exponencial
exp : exp
tiene como inversa a la función logaritmo
ln : ln
Como
ln
tenemos
ln exp
x...
θ
a
b
c
sin
cos
tan
a
c
b
c
a
b
θ
θ
θ
=
=
=
θ
a
b
c
cot
sec
csc
b
a
c
b
c
a
θ
θ
θ
=
=
=
sin
cos
tan
y
r
x
r
y
x
θ
θ
θ
=
=
=
r
( ),x y
θ
r
( ),x y
θ
cot
sec
csc
x
y
r
x
r
y
θ
θ
θ
=
=
=
El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelv...
( )
( )
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera hacie...
( )
( )
2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los números
reales
N...
( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
( )2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
→
−
( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
( )2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
→
−
( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
13
( )2
2
¿lim 5 7 ?
x
x
→
−
( )
( )
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 13
x
g R R g x x
x
x
→
→ = −...
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, l...
{ } ( )
1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos e
1
: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límit...
{ } ( )
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
−
∞ − → =
−
1
1
¿lim ?
1x
x
x→
− 
 ÷
− 
{ } ( )
1
1
:(0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1
lim ...
{ } ( )
1
1
: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
1
lim 2
1
Sin embargo, la funció...
( )
( )
2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5
:
5
¿Cuál es...
( ) 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
− <
→ = 
>
( )
5
¿lim ?
x
a x
→
( )
( )
2
5
3 4 5
:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
N...
{ } ( )
0
Nota 1.- El dominio de la
1
: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende
o
los número...
{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =
0
1
¿lim ?
x x→
{ } ( )
0
No existe
Si
1
: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende
o se ac
da t...
{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =
{ } ( )
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R ...
{ } ( )
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R ...
{ } ( )
( )
1
: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l ...
( )
( )
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera hacie...
( )
( )
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera hacie...
{ } ( )
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contrad
sin
: 0
¿Cuál e...
{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
0
sin
¿lim ?
x
x
x→
{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
( )
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x
x
x
f x
x
x
x−
→
>
=
=
( )
0
Si 0,
sin
y
sin
lim 1
x...
{ } ( )
sin
: 0
x
f R R y f x
x
− → = =
El límite por la izquierda es 1−
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sin
Dado q...
( ) 2
: 5 7g R R g x x→ = −
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son iguales
{ } ( )
1
:(0, ) 1
1
x
Q R Q x
x
−
∞ − → =
−
En todo el dominio, el límite
por la derecha y el límite por
la izquierda son...
( ) 2
3 4 5
:
5
x x
a R R a x
x x
− ≤
→ = 
>
En todo el dominio, excepto en 5,
el límite por la derecha y el límite
por...
{ } ( )
1
: 0E R R E x
x
− → =
En todo el dominio, excepto en 0,
el límite por la derecha y el límite
por la izquierda son...
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R...
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R ...
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
lim
iii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x ...
De manera intuitiva podemos decir que una
función es continua cuando pequeños
cambios en la variable independiente
generan...
( )
( )
( ) ( )
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una funció...
( )sin : sinR R y x→ =
Esta función es continua
( )
3
2
:
5 2
x x
h R R y h x
x
 < −
→ = = 
> −
•Es discontinua en x=-2
•Es continua en todos los
otros puntos del domi...
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:...
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo c...
Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
x f(x)
0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decre...
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función entre y ?x x′
( ) ( )f f x f x′∆ = −
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (dec...
( ) 2
3 20y f x x x= = + +
´¿Cómo cambia la función entre y ?x x
( ) ( )f x f x
f
x x
′ −
∆ =
′ −
( )
( ) ( )2
3 20
f x f x
y f x x x f
x x
′ −
= = + + ∆ =
′ −
x x′
( ) ( )f x f x′ −
x x′ −
( ) ( )f x f x′ −
x x′ −
θ
( ) ( )tan
f x f x
x x
θ
′ −
=
′ −
La recta azul es la
secante a la curva
La recta azul es la
tangente a la curva
La recta azul es la
tangente a la
curva
θ
•La pendiente de la tangente nos
dice
•La rapidez con que la función está
•cambi...
( ) ( )
( )
( ) ( )
lim
lim
x x
x x
f x f x
m
x x
f x f xdf
x
dx x x
′→
′→
′ −
=
′ −
′ −
=
′ −
La recta azul es la
tangente a la curva
θ
( ) tan
df
m x
dx
θ= =
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
lim
x x
f x
x
f x f xdf
x
dx x x→
−
=
−
Dada una función
se define su derivada en el punto como
:f →R R
x
( )y f x=
x
( )y f x=
x x h+
θ
( ) ( )
secante tan
f x h f x
m
h
θ
+ −
= =
h
( ) ( )f x h f x+ −
x
( )y f x=
x
( ) ( ) ( )
tangente
0
tan lim
h
f x h f x df x
m
h dx
θ
→
+ −
= = ≡
θ
:f D R R⊂ →
( )
( ) ( )
0
0
0
0
lim
x x
f x f xdf
x x
dx x x→
−
= =
−
0x
( )f x
x
θ
( )0 tan
df
x x
dx
θ= =
( ):v R R v x a
a
v a
→ =
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
lim
0
0
x x
da
x
d
v R R v x a
v x v x a a
v x v x
x x
v x v x
x x
x
→...
( ):v R R v x a
a
v a
→ =
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La d...
( ) 0: v xR R
x
v a
dv
d
= =→
( )
( )
:l R R l x mx b
m b
l x mx b
m
→ = +
= +
∗
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es d...
( ):l R R l x mx b→ = +
θ
b
tanm θ=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
:
lim lim
x x x x
l R R l x mx b
l x l x m...
( ):l R R l x mx b→ = +
( )0
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la...
( ): l x mx b
d
d
l R mR
l
x
→ = =+
( ) 2
:f R R f x ax→ =
Una parábola
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
...
( ) 2
: 2f x ax
df
ax
d
f R
x
R→ = =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f xdf
x
dx x x
f x h f xdf
x
dx h
f x x f xdf
x
dx x
′→
→
...
( ): sinf R R f x x→ =
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
: sin
sin sin
sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin
sin cos 1 cos sin
cos 1 ...
( )
( )sin
si
co
n
i ss n : x
d x
R R y f x
dx
x→ = = =
( )exp : exp x
R R x e→ =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
0
exp : exp
exp exp 1
1exp exp
1 1
lim lim
exp exp
l
exp
p
i
x
m
e
x
x...
( )ln : (0, ) lnR x∞ →
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 0
0
ln : ln
ln ln ln
ln ln 1
ln
ln ln 1
lim lim
exp exp 1
l
ln 1
im
h
x x
h h
h
...
( )
( )ln 1
ln : (0, ) ln
d x
R x
dx x
∞ → =
1
ln 1
n
n
x
x
dx
nx
dx
de
e
dx
d x
dx x
−
=
=
=
2
sin
cos
cos
sin
tan
sec
d x
x
dx
d x
x
dx
d x
x
dx
=
= −
=
http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
( )
( )
( )
df
x
dx
df x
dx
Df
f x′
( )y f x
y
=
En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto
una representación explícita de la función, es decir,
hemos s...
( ) ( )
( )
2 2
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x y
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+ +
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Sin embargo, no siempre es posible tener la
repres...
( ) ( )
( ) ( )
, ,
, ,
x y x y
d x y d x y
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σ τ
σ τ
=
=
Si tenemos una representación implícita de la forma
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( ) ( )
( )
2
2
2
1 2
1 2
dy
x xy y
dx
d x xy d y
dx dx
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dx dx dx
dy dx dy
x y
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dy dy
x y
dx dx
+ =
+
=
+...
2
1 2
1
2
dy
x xy y
dx
dy dy
x y
dx dx
dy
dx
dy y
dx x
+ =
+ + =
+
=
−
Dada la ecuación , encontrar
2).- De la ecuación nu...
( )
3
3
2
2
cos
cos
cos
cos 3
cos sin 3
dy
x y y x
dx
d x y y dx
dx dx
dx d y dy
y x x
dx dx dx
dy dy
y x y x
dx dx
+ =
+
...
3
2
2
cos
cos sin 3
3 cos
1 sin
dy
x y y x
dx
dy dy
y x y x
dx dx
dy
dx
dy x y
dx x y
+ =
− + =
−
=
−
Dada la ecuación , e...
∗
∗
∗
Se deriva una función
Lo que se obtiene es otra función,
la función derivada
La función derivada puede ser evaluada
...
( )d af g df dg
a
dx dx dx
±
= ±
La derivada de una combinación lineal de
funciones es la combinación lineal de las
deriva...
( )d fg dg df
f g
dx dx dx
= +
La derivada de un producto es el primer factor
por la derivada del segundo más el segundo
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( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
sin sin sin cos sin
2 2
1 1 ln 1 1
ln ln ln 1 ln
2 2
x x x x x x
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x x x x x x x x
dx dx dx
d...
( )
2
0
f df dgd g fg dx dx
dx g
g x
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  =
≠
siempre que
2
2 2 2
sin
sin
sin cos sin cos sin
d x d
x x x
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d f dx d
x dx
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d
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x
x g g
x
−
−
− 
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( )
( ) ( ) ( ) ( )
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′ ′ ′=
o
o
ó
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 3
3 2 3 2
2 23 2 3 2
sin cos 2 cos
exp1
exp exp
2
d d x
x x x x
dx...
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
3 3
...
nD D D D
n
df d f d f d f
f x x x x x
dx dx dx dx
→ → → →
Dado que la derivada de una func...
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
5
4
2 5 4
3
2
3 5 2 4 3
2
3 2
4 5 3 ...
( ) sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7: cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−
( ) sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7 : cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
−
−
( )
( )
( )
2
1
...
( )exp :
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n
x x
n
x R R
d
e e
dx
n n
→
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( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
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x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
< + −
Una función tiene un
máximo relativo en si
i...
( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
> − +
Una función tiene un
mínimo relativo en si
i...
( )
( ) ( )
0
0
2
02
:
0
0
f D R R
x D
df
x
dx
d f df
x x
dx dx
⊂ →
∈
=
=
Una función tiene un
punto de inflexión en si
i)...
( ) 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x= − − + + − +
Encontrar los puntos críticos, en la recta real,
de...
( ) 6 5 4 3 21 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
p x x x x x x x= − − + + − +
( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
= − − + + − +
= ...
( ) 5 4 3 2
2 51 128 260 336
dp x
x x x x x
dx
= − − + + −
( )
( )
6 5 4 3 2
5 4 3 2
1 2 51 128
130 336 5
6 5 4 3
2 51 128 260 336
p x x x x x x x
dp x
x x x x x
dx
= − − + + − +
= ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 4 3 2
2 51 128 260 336 0
7 2 1 4 6 0
x x x x x
x x x x x
− − + + − =
+ + − − − =
Los puntos críticos...
( )
2
4 3 2
2
5 8 153 256 260
d p
x x x x x
dx
= − − + +
Los puntos críticos son
-7, -2, 1, 4, 6
Hay que evaluar la segund...
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
4 3 2
2
2
2
2
2
2
5 8 153 256 260
7 5720
2 720
1 360
4 396
6 1040
d p
x x x
d p
x
dx
d...
a
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscritos en una esfer...
( )
2
2
2 2
2
2
2
4
a
r h
h
r a
h
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π
π
 
= −  ÷
 
 
= − ÷
 
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c...
( ) [ ]
2
9 0,6
4
h
V h h hπ
 
= − ∈ ÷
 
( ) [ ]
[ ]
( ) ( )
2
2
2 2
3
0,2
4
3
0,2
4
2
0
3
2
0, ,2
3
2 4
0 0 2 0
3 3 3
h
V h a h h a
dV
a h h a
dh
dV a
h
dh
a
a
a
...
34
3 3
2
3
a
a
a
π
Determinar las dimensiones y el volumen de un
cilindro circular recto de volumen máximo entre
los inscr...
Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su ancho de manera que ...
a
l
Se va a construir un rectangulo que debe tener un
perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y
su a
Sea el ancho d...
( ) ( )40A l l l= −
( ) ( )
( )
( )
40
40 2
0
20
A l al l l
dA l
l
dl
dA l
dl
l
= = −
= −
=
=
Se va a construir un rectangulo que debe tener u...
( ) ( )
( )
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2
40
0 20
2 0
A l al l l
dA l
l
dl
d A l
dl
= = −
= ⇒ =
= − <
Se va a construir un rectangulo que debe te...
Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los va...
( )
( )
( )
( )
( )
0
,
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n
n
n
f x
a r a r
f a
x a
n
∞
=
− +
−∑
La serie de Taylor de una función real
infinitamente dife...
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3
3
3
1
1
2!
1 1
... ...
3! !
1
!
x a x a
n
n
n
x a x a
n
n
n
n x a
df d f
f x f a x...
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1
0
0
0
sin
sin sin
s
0
in : sin
sin
sin 0 0 y cos
1
!
sin
1
n
n
n a
x
n
x
x
x
d
R R y f
d...
( )sin x x
( )sin x x
( )sin x x
x sin(x) x
0.500 0.479 0.500
0.400 0.389 0.400
0.300 0.296 0.300
0.200 0.199 0.200
0.100 0.100 0.100
0.000 0.000 0.000
( )
( ) ( )
2 2
0
1
2
0
sin sin
sin sin0
sin : sin
1
!
2
n
n
n
n x a
x x
d f
f x x
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d x x d x
x x
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n
x d
a
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...
( )
0
2 2
2 2
2
0
2 2
0
0
2
sin sin
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sin sin
sin sin
sin sin0 co
sin sin
s
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s0 sin0
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0 0
in 0
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2
0
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x...
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 32
3
2 3
0 0
1
0
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sin sin
sin
0
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1
x x
n
n
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n x
x
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( ) ( )
( ) ( )
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( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 32
3
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0 0 0
3
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0
2 3
3
si
s
sin sin sin1
sin sin...
( )
3
in
6
s
x
xx −
( )
3
in
6
s
x
xx −
x sin(x) x-x^3/6
0.500 0.479 0.479
0.400 0.389 0.389
0.300 0.296 0.296
0.200 0.199 0.199
0.100 0.100 0.100
0.000 0.000 0.0...
3 5 7 9
sin 0
cos 1
sin 0
cos 1
sin 0
cos 1
sin 0 0 0 0 0 ...
3! 5! 7! 9!
x
x
x
x
x
x
x x x x
x x
→
→
− →
− → −
→
→
≈ + + ...
3 5 7 9
sin
3! 5! 7! 9!
x x x x
x x≈ − + − +
( )2 3 41 1 3 5
1
2 8 161
1
0.5, 1.414213562
1
1 1,
1 0.25 1.25,
1 0.25 0.09375 1.34375,
1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427
x...
( )ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
alrededor del 1.
R R y x+
→ =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
11
2
2 2
11
3
3 3
11
1 1
11
ln : ln
Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo
al...
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3 4
1
ln : ln
1 1 1 1
ln 1 ... 1 ...
2 3 4
n
n
R R y x
x x x x
x x
n
+
−
→ =
− − − −
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( )
( ) ( )
ln : ln
ln 1
R R y x
x x
+
→ =
≈ −
( )
( ) ( )
( )
2
ln : ln
1
ln 1
2
R R y x
x
x x
+
→ =
−
≈ − −
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3
ln : ln
1 1
ln 1
2 3
R R y x
x x
x x
+
→ =
− −
= − − +
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4
ln : ln
1 1 1
ln 1
2 3 4
R R y x
x x x
x x
+
→ =
− − −
= − − + −
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4
ln : ln
1 1 1
ln 1
2 3 4
R R y x
x x x
x x
+
→ =
− − −
= − − + −
x ln(x) x-1
x-1-(x-
1)^2/2
...
{ } ( )
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
f R R y f x
x
− → = =
−
{ } ( )
( )
( )
( )
3/ 2
00
2
5 / 2
2 2
00
3
7 / 2
3 3
00
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 1
1
2...
{ } ( )
( )2 3
1
: 1
1
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
2 1 !!1 1 3 5
1 ... ...
2 8 16 !21
n
n
f R R y f x
x...
2 3 435
128
1
1
6
3
82
1
1
5
1
x x
x
x x≈ + + ++
−
( )exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
x
R R y x e→ = =
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
2
2 0
0
3
3 0
0
0
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1
1
1
1
x
x x
x
x
x x
x...
( )
2 3
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 1 1
1 ... ...
2 6 !
x
x n
R R y x e
e x x x x
n
→ = =
=...
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
lim
x x
f x f xdf
x
dx x x
f x f xdf
x
dx x x
df
f x f x x x x...
( )
( )
( ) ( )
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y es...
( ) ( )
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difi...
La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una const...
( )
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante...
( )
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2
donde es una constante arbitraria
I I R R ...
( )
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1
donde es una constante arbitraria
n
n
n
n
f R R f x x n n
x
x
...
{ } ( )
( )
1
: 0
Dado que
1
ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f x
x
d
x
dx x
dx
x c
x
c
− → =
=
...
sin
cos
cos
sin
d x
x
dx
d x
x
dx
=
= −
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
= −
=
∫
∫
es claro que:
( ) ( )
( ) ( )
exp exp
exp exp
d
x x
dx
x dx x c
c
=
= +∫
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria
( ) ( ) ( ) ( )
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integra...
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
...
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
inde...
( ) ( )( ) ( )
( )
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
ξ ξ
ξ
′=
=
∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
Ejemplo 1: cosx x dx∫
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
...
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
...
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: c...
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo ...
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
Ejem...
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1 1
sin sin
2 2
x x d...
( )
( ) ( )
2
2 2
Ejemplo 1: cos
1
cos sin
2
Es fácil evaluar la derivada, con la regla
de la cadena, para comprobar la ex...
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f ...
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
pe
De
ro por la definición misma de la integral indefinida...
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos entonces
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx...
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos
Despejando
que es la formu...
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫
Ejemplo 1: x
xe dx∫
( )
( )
Ejemplo 1:
Identificamos
y
x
x
xe dx
df x
e g x x
dx
= =
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
...
( )
( )
Ejemplo 1:
y
Entonces
x
x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
= =
= −
∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df ...
( )
( )
Ejemplo 1:
y
De donde
x
x
x x x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
xe dx xe e dx
= =
= −
= −
∫
∫ ∫
∫ ...
( )
( )
( )
Ejemplo 1:
y
Finalmente
1
x
x
x x x x x
x x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx xe e dx
dx
xe dx xe e x...
( )
Es muy fácil verificar que el resultado
es correcto haciendo la deriva
1
da
x x
xe dx x e= −∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )d...
RRf →:
x
( )f x
x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a
x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b
x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b
Esta área
x
( )f x
( )
b
a
f x dx∫
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la
curva de la gráfica de la ...
( ) 2 3
2 3f x x x x= − + −
( ) 2 3
2 3f x x x x= − + −
( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:5
2 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.5
2.5 2 3 4
1.0
1.0 1.0 1.0
...
( ) 2 3
2 3f x x x x= − + −
Valor aproximado 6.1172
Valor exacto 5.4844
=
=
1n =
5.4844exactoValor
5.6426aproximadoValor
=
=
2n =
Valor aproximado 5.5239
Valor exacto 5.4844
=
=
4n =
Valor aproximado 5.4907
Valor exacto 5.4844
=
=
10n =
Valor aproximado 5.4846
Valor exacto 5.4844
=
=
50n =
Valor aproximado 5.4844
Valor exacto 5.4844
=
=
100n =
( )if x
( )i if x x∆
( )
0
N
i i
i
f x x
=
∆∑
( )0
0
lim
i
N
i i
x
i
f x x
∆ →
=
∆∑
( ) ( )0
0
lim
i
bN
i i
x
i a
f x x f x dx
∆ →
=
∆ =∑ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx + = + ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
( ) ( )
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
( ) 0
a
a
f x dx =∫
( )
( ) [ ] ( )
4 4 4
4
2
2 2 2
: 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
f R R f x
f x dx dx dx x
→ =
= = = = − = × =∫ ∫ ∫
2 2 4× =
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
0 0 0 0
3 3 3 3
0 22 2
0
3
3
: 3 2
3 2 3 2
30
3 2 3 2 0 3
2 2 2
9 27 15
3 2 3 6
2 2 2
g R R g ...
623 =×
3 9 27
2 2
×
=
27 15
6
2 2
+ =
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 3 23 2 3 2
2 2
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8 3 8 3
2 22 2
8 3 8 3
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•Se emplea en todas las áreas de la física
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Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese
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a
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F x f d
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b
a
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Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
Calculo diferencial e integral
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Calculo diferencial e integral

  1. 1. Los números reales es el conjunto de todos los números: los positivos, los negativos y el cero. - Los números reales incluyen a todos los enteros. - Los números reales incluyen a todos los números racionales, es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de dos números enteros. - También incluyen a los números irracionales, como , 2, que no pueden ser escrito eπ como el cociente de dos números enteros
  2. 2. Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal. Los números decimales pueden: Terminar Repetirse indefinidamente Continuar para siempre
  3. 3. Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal. Los números decimales pueden terminar. Ejemplos: -5 2 0.4 5 3 0.75 4 = − =
  4. 4. Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal. Los números decimales pueden repetirse indefinidamente Ejemplos: 1 0.333333333333... 3 0.2121212121212121... =
  5. 5. Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal. Los números decimales pueden continuar para siempre. Ejemplos: =3.1415926535897932384626433832795028841 971693993751058209749445923078 π 16406286208 998628034825342117068... 2.7182818284590452353602874713526624977 57247093699959574966967627724076630353547 594571382178525166427... 2=1.414213562373095048801688724209698078 5696718753769480731 e = 76679737990732478462107 038850387534327641573...
  6. 6. Ley de tricotomía Para cualesquiera dos elementos y en una y solamente una de las siguientes relaciones se verifica: , , Ley transitiva Si y , entonces Si , entonces, para todo a b R a b a b a b a b b c a c a b c < = > < < < < , Si y 0 , entonces R a c b c a b c ac bc ∈ + < + < < <
  7. 7. El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de un número, independientemente de su signo. Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe │x│. •El valor absoluto de 7 es 7 •El valor absoluto de –π es π •El valor absoluto de -3 es 3 El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto, 20
  8. 8. Si es un número real distinto de cero, entonces o o es positivo. Aquél de los dos que es positivo es llamado valor absoluto de . El valor absoluto de un número real , denotado por , se define por a a a a a a − la regla si 0 y si 0 a a a a a a = ≥ = − <
  9. 9. En la recta real, el valor absoluto de un número es su distancia al 0 (al origen) 0x Valor absoluto
  10. 10. Una desigualdad o inecuación es una relación matemática que hace uso de la forma en que los números reales están ordenados. •La desigualdad 7<11 dice que el número 7 es menor que el 11 •La desigualdad x2 ≥0 expresa el hecho que el cuadrado de cualquier número real siempre es mayor o igual que cero Las desigualdades aparecen constantemente en todos los campos de las matemáticas y en todas las áreas de su aplicación
  11. 11. La solución de una desigualdad como -2x+6>0 son los valores de x para los cuales la expresión -2x+6 es siempre mayor que cero. Las reglas del álgebra pueden ser aplicadas para resolver las desigualdades (como se hacen con una igualdad), excepto que la dirección de la desigualdad debe ser invertida cuando se multiplica o divide por números negativos
  12. 12. mayor que < menor que mayor o igual que menor o igual que > ≥ ≤
  13. 13. 2 Si y , entonces Si , entonces Si y 0, entonces Si 0, entonces 0 a b c d a c b d a b a b a b c ac bc a a < < + < + < − > − < < > ≠ >
  14. 14. 1 Si 0 y 0 , entonces Si y tiene el mismo signo 0 Si y tiene diferente signo 0 tiene el mismo signo que a b c d ac bd a b ab a b ab a a− ≤ < ≤ ≤ < < > <
  15. 15. 1 1 2 2 2 Si y tiene el mismo signo y , entonces Si 0 y 0, entonces si y sólo si Si 0, entonces si y sólo si ó a b a b a b a b a b a b b a b a b a b − − < > ≥ ≥ > > ≥ > > < −
  16. 16. Resolver la desigualdad 3 5 3 3 5 3 3 5 5 3 5 2 8 4 La solución está dada por todos los números reales mayores que 4 x x x x x x x x x x + > − + > − + − − > − − − > − > − −
  17. 17. 2 2 2 2 2 2 Resolver la desigualdad 2 6 0 2 6 0 1 3 0 2 1 49 49 3 2 16 16 1 1 49 2 16 16 1 49 4 16 x x x x x x x x x x x + − > + − > + − > + − + > + + >   + > ÷  
  18. 18. 2 2 Resolver la desigualdad 2 6 0 1 49 4 16 1 7 1 7 ó 4 4 4 4 3 ó 2 2 La solución está dada por todos los números reales 3 mayores que ó números reales menores 2 x x x x x x x + − >   + > ÷   + > + < − > < − que 2−
  19. 19. ( ) ( ) { } Es el conjunto de todos los números reales , tales que . Es decir, , Nota: El intervalo abierto no in Interva cluye "los extremos", de ahí lo su nomb abierto , re x a x b a b x a b R a x b < < = ∈ < < a b
  20. 20. [ ] [ ] { } Es el conjunto de todos los números reales , tales que . Es decir, , Nota: El intervalo cerrado in Interval cluye "los extremos", de ahí su n o cerrado , ombre x a x b a b a R x b x a b ≤ ≤ = ∈ ≤ ≤ a b
  21. 21. { } Es el conjunto de todos los números reales , tales que . Es decir, ( , ] Nota: El intervalo cerrado no incl Intervalo abie uye el extremo izquierdo y sí in rto-cerrado ( , ] cluye el derecho a b x a x b a b x R a x b < ≤ = ∈ < ≤ a b
  22. 22. { } Es el conjunto de todos los números reales , tales que . Es decir, [ , ) Nota: El intervalo cerrado incl Intervalo abie uye el extremo izquierdo y no incluye rto-cerra el d do er [ , ) echo a b x a x b a b x R a x b ≤ < = ∈ ≤ < a b
  23. 23. ( ) { } { } ( ) { } { } ( ) { } , [ , ) , ( , ] , a x R x a a x R x a a x R x a a x R x a x R ∞ = ∈ > ∞ = ∈ ≥ −∞ = ∈ < −∞ = ∈ ≤ −∞ ∞ = ∈
  24. 24. De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
  25. 25. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Una función de A en B es una asociación de un único elemento de B con todos y cada uno de los elementos de A. •El conjunto A es llamado el dominio de la función. •El conjunto B se llama contradominio ó codominio de la función.
  26. 26. •Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio •A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio •Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio
  27. 27. Conjunto de seres humanos
  28. 28. Conjunto de seres humanos
  29. 29. Conjunto de seres humanos A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos
  30. 30. Conjunto de seres humanos A cada ser humano se le asocia su padre biológico •Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico •No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico Conjunto de seres humanos
  31. 31. Sean y dos conjuntos arbitrarios. Una función de en es una asociación entre elementos de y donde a todos y cada uno de los elementos de se les asocia un único elemento de . El conjunto A B A B A B A B A∗ se llama de la función. Al conjunto dominio codominiose le cdenomina ontradomio .nioB∗
  32. 32. ( ) Es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la función. También se le llama imagen del dominio bajo la función. Dada la función : el rango de , es el conjunto Rango de : para f A B f f x B x f a → = ∈ ={ } Evidentemente el rango de es un subconunto del contradominio: El rango de Rango de Cont alguna radomini deo a f f A f ∈ ∗ ⊂
  33. 33. a b c d e
  34. 34. a b c d e Dominio
  35. 35. a b c d e Dominio Codominio
  36. 36. a b c d e Dominio Codominio Rango
  37. 37. A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio
  38. 38. ∂ ∇ ∃ J A parcial nabla raiz existe B
  39. 39. ∂ ∇ ∃ J A parcial nabla raiz existe B El elemento en no tiene ningún elemento asociado en A B J
  40. 40. Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).
  41. 41. Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.
  42. 42. Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.
  43. 43. El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.
  44. 44. ( ): 3 2 Su dominio son todos los números reales Su contradominio o codominio son todos los números reales Su rango son todos los números reales f R R y f x x→ = = + ∗ ∗ ∗
  45. 45. ( ): 3 2f R R y f x x→ = = + x f(x) 0 2 1 5 -1 -1 2 8 -2 -4 3 11 -3 -7 4 14 -4 -10 5 17 -5 -13 x f(x) 0.10 2.30 1.76 7.28 -3.45 -8.35 8.97 28.91 2.34 9.02 13.33 41.99 1.41 6.23 16.77 52.31 -44.44 -131.32 0.01 2.03 -123.00 -367.00
  46. 46. ( ): exp Su dominio son todos los números reales Su contradominio o codominio son todos los números reales Su rango son todos los números reales positivos x f R R y x e→ = = ∗ ∗ ∗
  47. 47. ( )exp: exp x R R y x e→ = = x f(x) 0.10 1.1051709 11.88 144,350.5506832 -3.45 0.0317456 8.97 7,863.6016055 2.34 10.3812366 13.33 615,382.9278900 6.99 1,085.7214762 -91.23 0.0000000 2.22 9.2073309 0.50 1.6487213 -12.45 0.0000039 x f(x) 0.00 1.000 1.00 2.718 -1.00 0.368 2.00 7.389 -2.00 0.135 3.00 20.086 -3.00 0.050 4.00 54.598 -4.00 0.018 5.00 148.413 -5.00 0.007
  48. 48. ( )log : (0, ) ln Su dominio son todos los números reales positivos, ya que no existen el logaritmo de un número negativo Su contradominio o codominio son todos los números reales R y x∞ → = ∗ ∗
  49. 49. ( )log :(0, ) lnR y x∞ → = x ln(x) x ln(x) 0.10 -2.303 0.01 -4.605 0.20 -1.609 0.02 -3.912 0.30 -1.204 0.03 -3.507 0.40 -0.916 0.04 -3.219 0.50 -0.693 0.05 -2.996 0.60 -0.511 0.06 -2.813 0.70 -0.357 0.07 -2.659 0.80 -0.223 0.08 -2.526 0.90 -0.105 0.09 -2.408 1.00 0.000 0.10 -2.303
  50. 50. ( ) ( )( ){ }2 Definición La gráfica de la función es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación ( ) , , f y f x G x y R x f x = = ∈
  51. 51. ( ): 3 2f R R y f x x→ = = +
  52. 52. ( )exp: exp x R R y x e→ = =
  53. 53. ( )log :(0, ) lnR y x∞ → =
  54. 54. : R R y x→ =
  55. 55. 1 1 2 2 s 1 2 1 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: y Se llama función suma de ambas, a la función: Análogamente podemos definir la funci y f (x) y f (x). y y y f (x) f (x). = = = + = + d 1 2 1 2 El dominio de definición de la función suma, y también el de la función diferencia será la intersecci ón diferencia c ón de los dominios de am omo bas funciones. y y y f (x) f (x)= − = −
  56. 56. 1 1 2 2 p 1 2 1 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: ( ) ( ). Se llama función producto de ambas, a la función: ( ) ( ) Análogamente a lo que o y f x y y f x y y y f x f x = = = × = × curre con las funciones suma y diferencia, el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección de los dominios.
  57. 57. ( ) ( ) 1 1 2 11 C 2 2 Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones: ( ) y ( ). Se llama función cociente de ambas, a la función: = = El dominio de definic y f x y f x f xy y y f x = = 2 ión de esta función es la intersección de los dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que serán puntos que anulen el denominador de dicha función. f x
  58. 58. ( ) ( ) ( ) ( )( ) Dadas dos funciones ( ), ( ), se llama función compuesta a la función Para que exista la función compuesta es necesario que el recorrido de la función quede totalmente incluido en el y f x z g y g f g f x g f x f = = = o o ( ) ( ) ( ) ( ){ } dominio de la función . Dominio Dom tales que Dom g g f x f f x g= ∈ ∈o
  59. 59. ( ) ( ) 2 2 2 ( ) 2 6, ( ) , La función compuesta es en este caso 2 6 El dominio de la función compuesta son aquellos valores de para los que se cumple que 2 6 0 Esa desigualdad la resolvimo y f x x x z g y y g f x x x x x x = = + − = = = + − + − ≥ o ( ) s (con >) y da 3 Dominio y 2 2 g f x R x x   = ∈ ≥ ≤ −    o
  60. 60. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ( ) , ( ) sin , La función compuesta es en este caso sin Es claro que el rango de la función queda totalmente incluido en el dominio de la función sin . Dominio y f x x z g y y g f x x x y g f R = = = = = = o o
  61. 61. ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 1 ( ) , ( ) exp = , La función compuesta es en este caso Dominio 0 y x y f x z g y y e x g f x e g f R − = = − = = = = − o o
  62. 62. Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número real el propio número. Se representa por ( ). *El dominio de la función identidad son todos los números reales *El contradom I x inio o codominio de la función identidad son todos los numeros reales *El rango de la función identidad son todos los números reales
  63. 63. ( ) Gráfica de la función identidad :I R R I x x→ = 45o
  64. 64. Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden tener la misma imagen. f
  65. 65. Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pue Una relación lineal (cualquier recta den tener la mi ) es inyectiva ó uno sma ima a uno gen. y mx b f = +
  66. 66. 2 Una función se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no puede Una relación cuadrática (una parábola) es inyectiva ó uno a uno n tener la misma imag 4 en NO . y x f =
  67. 67. ( ) ( )( ) ( ) 1 1 Sea una función. Llamamos función inversa (en caso de que exista) a una función notada que verifica que con ( ) la función identidad. Para que exista la función inversa de es nec y f(x) f x f f x I x I x f − − = =o esario que la función sea inyectiva.f
  68. 68. ( ) ( ) ( ) ln La función exponencial exp : exp tiene como inversa a la función logaritmo ln : ln Como ln tenemos ln exp x x x R R y x e R R y x x e e I + → = = → = = = =o
  69. 69. θ a b c sin cos tan a c b c a b θ θ θ = = =
  70. 70. θ a b c cot sec csc b a c b c a θ θ θ = = =
  71. 71. sin cos tan y r x r y x θ θ θ = = = r ( ),x y θ
  72. 72. r ( ),x y θ cot sec csc x y r x r y θ θ θ = = =
  73. 73. El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
  74. 74. ( ) ( ) Sea una función y un número real. La expresión lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a . Se dice "el límite de en , cuand x c y f(x) c f x L f x L x c f x → = = ( ) ( ) o se aproxima a , es ". Lo anterior es cierto aún si Más aún, puede no estar definida en . x c L f x L f x c ∗ ≠ ∗
  75. 75. ( ) ( ) 2 2 2 Nota 1.- El dominio : 5 7 ¿Cuál es e de la función l límite de esta función c son todos los números reales Nota 2.- El contradominio de la función uando tiende o se acerca a 2? ¿lim 5 7 ? son tod x g R R g x x x x → → = − − os los números reales Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R− ∞ ⊂
  76. 76. ( ) 2 : 5 7g R R g x x→ = − ( )2 2 ¿lim 5 7 ? x x → −
  77. 77. ( ) 2 : 5 7g R R g x x→ = − ( )2 2 ¿lim 5 7 ? x x → −
  78. 78. ( ) 2 : 5 7g R R g x x→ = − 13 ( )2 2 ¿lim 5 7 ? x x → −
  79. 79. ( ) ( ) 2 2 2 : 5 7 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 2? lim 5 7 13 x g R R g x x x x → → = − − =
  80. 80. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 5 7 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 2? lim 5 7 1 E 3 n este caso, lim x x c g R R g x x x x f x f c → → → = − − = =
  81. 81. { } ( ) 1 Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales positivos menos e 1 : (0, ) 1 1 ¿Cuál es el límite de esta función l 1 Nota 2.- cuando tiende o se acerca a 1? 1 ¿lim ? E 1 l x x Q R Q x x x x x→ − ∞ − → = − −   ÷ −  ( ) contradominio de la función son todos los números reales Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R∞ ⊂
  82. 82. { } ( ) 1 :(0, ) 1 1 x Q R Q x x − ∞ − → = − 1 1 ¿lim ? 1x x x→ −   ÷ − 
  83. 83. { } ( ) 1 1 :(0, ) 1 1 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 1? De la gráfica es claro que 1 lim 2 1x x Q R Q x x x x x→ − ∞ − → = − −  = ÷ − 
  84. 84. { } ( ) 1 1 : (0, ) 1 1 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 1? 1 lim 2 1 Sin embargo, la función ni siquiera está definida en 1 x x Q R Q x x x x x x → − ∞ − → = − −  = ÷ −  =
  85. 85. ( ) ( ) 2 5 Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales Nota 2.- El contradominio de 3 4 5 : 5 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerc la fu a a 1? ¿li nción m ? x x x a R R a x x x x a x → − ≤ → =  > son todos los números reales Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales menos el intervalo (11,25]
  86. 86. ( ) 2 3 4 5 : 5 x x a R R a x x x − < → =  > ( ) 5 ¿lim ? x a x →
  87. 87. ( ) ( ) 2 5 3 4 5 : 5 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca a 5 Si nos acercamos por la izquierda No exi tiende a 11 Si nos acercamos por la derecha tiende a 25 ? l steim x x x a R R a x x x x a x → − < → =  > =
  88. 88. { } ( ) 0 Nota 1.- El dominio de la 1 : 0 ¿Cuál es el lím función son todos ite de esta función cuando tiende o los números reales menos el cero Nota se acerca a 0? 1 ¿ 2.- El contradom l i im ? nio de la funci x E R R E x x x x→ − → = ón son todos los números reales Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
  89. 89. { } ( ) 1 : 0E R R E x x − → = 0 1 ¿lim ? x x→
  90. 90. { } ( ) 0 No existe Si 1 : 0 ¿ nos Cuál es acercamo el límite de est s por la izquier a función cuando tiende o se ac da tiende a Si nos acercamo e s rca a por la derecha tiende a 1 + 0? lim x E R R E x x x x→ − ∞ − → = = ∞
  91. 91. { } ( ) 1 : 0E R R E x x − → =
  92. 92. { } ( ) 1 : 0 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? E R R E x x x − → = ∞
  93. 93. { } ( ) 1 : 0 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? E R R E x x x − → = ∞
  94. 94. { } ( ) ( ) 1 : 0 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande? l 0im x E R R E x x x E x →∞ − → = ∞ =
  95. 95. ( ) ( ) Sea una función y un número real. La expresión lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda. Se dice "el límit x c y f(x) c f x L f x L x c − → = = ( ) ( ) e de en , cuando se aproxima a por la izquierda, es ". Lo anterior es cierto aún si Más aún, puede no estar definida en . f x x c L f x L f x c ∗ ≠ ∗
  96. 96. ( ) ( ) Sea una función y un número real. La expresión lim significa que se puede hacer tan cercano a como se quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha. Se dice "el límite x c y f(x) c f x L f x L x c + → = = ( ) ( ) de en , cuando se aproxima a por la derecha, es ". Lo anterior es cierto aún si Más aún, puede no estar definida en . f x x c L f x L f x c ∗ ≠ ∗
  97. 97. { } ( ) 0 Nota 1.- El dominio de la función son todos los números reales menos el cero Nota 2.- El contrad sin : 0 ¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende o se acerca ominio a 0? si d n ¿li e m ? x x f R R y f x x x x x→ − → = = [ ] la función son todos los números reales Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R⊂
  98. 98. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x − → = = 0 sin ¿lim ? x x x→
  99. 99. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x − → = = ( ) 0 Si 0, sin y sin lim 1 x x x f x x x x− → > = = ( ) 0 Si 0, sin y sin lim 1 x x x f x x x x− → < = − = −
  100. 100. { } ( ) sin : 0 x f R R y f x x − → = = El límite por la izquierda es 1− El límite por la derecha es +1 0 0 sin sin Dado que lim lim , el límite no existe x x x x x x− + → → ≠
  101. 101. ( ) 2 : 5 7g R R g x x→ = − En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
  102. 102. { } ( ) 1 :(0, ) 1 1 x Q R Q x x − ∞ − → = − En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
  103. 103. ( ) 2 3 4 5 : 5 x x a R R a x x x − ≤ → =  > En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente
  104. 104. { } ( ) 1 : 0E R R E x x − → = En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
  105. 105. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los límites lim y lim i).- lim lim + lim x x x x x f D R R g C R R f x g x af x bg x a f x b g x ξ ξ ξ ξ ξ → → → → → ⊂ → ⊂ →  + = 
  106. 106. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los límites lim y lim ii).- lim lim lim x x x x x f D R R g C R R f x g x f x g x f x g x ξ ξ ξ ξ ξ → → → → → ⊂ → ⊂ →      =        
  107. 107. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sean : y : Supongamos que existen los límites lim y lim lim iii).- lim / si lim 0 lim x x x x x x f D R R g C R R f x g x f x f x g x g x g x ξ ξ ξ ξ ξ ξ → → → → → → ⊂ → ⊂ →       = ≠      
  108. 108. De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
  109. 109. ( ) ( ) ( ) ( ) Una función es continua en el punto de su dominio si: a) está definida, es decir, está en el Si una función es continua en todos los dominio puntos de su dominio se le denom de ) i lim x c f x c f c c f b f x f c → = na continua Si una función no es continua entonces es discontinua
  110. 110. ( )sin : sinR R y x→ = Esta función es continua
  111. 111. ( ) 3 2 : 5 2 x x h R R y h x x  < − → = =  > − •Es discontinua en x=-2 •Es continua en todos los otros puntos del dominio
  112. 112. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si y son continuas en el punto de su dominio y , son números reales arbitrarios, entonces: i).- es continua en ii).- es continua en iii).- es continua en , siempre y cua f x g x c a b af x bg x c f x g x c f x c g x + ( ) ndo 0g c ≠
  113. 113. •La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo •La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo •La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición •La inflación: Como cambian los precios con el tiempo •El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo •Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo •Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
  114. 114. Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas
  115. 115. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + x f(x) 0 20 1 24 -1 22 2 34 -2 30 3 50 -3 44
  116. 116. ( ) 2 3 20y f x x x= = + +
  117. 117. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + ¿Cómo cambia la función? •Cuando va de 0 a 1 crece en 4 •Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) •Cuando va de 1 a 2 crece en 10 •Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
  118. 118. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + ¿Cómo cambia la función entre y ?x x′ ( ) ( )f f x f x′∆ = −
  119. 119. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + ¿Cómo cambia la función? •Cuando va de 0 a 2 crece en 14 •Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
  120. 120. ( ) 2 3 20y f x x x= = + + ´¿Cómo cambia la función entre y ?x x ( ) ( )f x f x f x x ′ − ∆ = ′ −
  121. 121. ( ) ( ) ( )2 3 20 f x f x y f x x x f x x ′ − = = + + ∆ = ′ − x x′ ( ) ( )f x f x′ − x x′ −
  122. 122. ( ) ( )f x f x′ − x x′ − θ ( ) ( )tan f x f x x x θ ′ − = ′ −
  123. 123. La recta azul es la secante a la curva
  124. 124. La recta azul es la tangente a la curva
  125. 125. La recta azul es la tangente a la curva θ •La pendiente de la tangente nos dice •La rapidez con que la función está •cambiando en ese punto
  126. 126. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x x f x f x m x x f x f xdf x dx x x ′→ ′→ ′ − = ′ − ′ − = ′ −
  127. 127. La recta azul es la tangente a la curva θ ( ) tan df m x dx θ= =
  128. 128. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim x x f x x f x f xdf x dx x x→ − = − Dada una función se define su derivada en el punto como
  129. 129. :f →R R x ( )y f x=
  130. 130. x ( )y f x= x x h+ θ ( ) ( ) secante tan f x h f x m h θ + − = = h ( ) ( )f x h f x+ −
  131. 131. x ( )y f x= x ( ) ( ) ( ) tangente 0 tan lim h f x h f x df x m h dx θ → + − = = ≡ θ
  132. 132. :f D R R⊂ → ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f xdf x x dx x x→ − = = − 0x ( )f x x θ ( )0 tan df x x dx θ= =
  133. 133. ( ):v R R v x a a v a → = donde es un número real arbitrario, pero fijo. Es decir, es una función constante igual a .
  134. 134. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 : 0 0 lim 0 0 x x da x d v R R v x a v x v x a a v x v x x x v x v x x x x → → = − = − = − = − − = = − Esto es válido para todos los puntos del dominio
  135. 135. ( ):v R R v x a a v a → = donde es un número real arbitrario, pero fijo. Es decir, es una función constante igual a . La derivada es cero, La función “no cambia”
  136. 136. ( ) 0: v xR R x v a dv d = =→
  137. 137. ( ) ( ) :l R R l x mx b m b l x mx b m → = + = + ∗ donde y son números reales. Esta es la función lineal más general, es decir, engloba todas las rectas posibles. El real es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del án X b Y θ ∗ gulo que hace con el eje El real es la ordenda al origen, es decir, el punto en el cual la recta corta al eje
  138. 138. ( ):l R R l x mx b→ = + θ b tanm θ=
  139. 139. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : lim lim x x x x l R R l x mx b l x l x mx b mx b m x x l x l x m x x m x x x x l d mx x l x m m x x bdl x x m dx dx x → → + → = + − = + − + = − − − = = = = − − − = = − para todo en el dominio
  140. 140. ( ):l R R l x mx b→ = + ( )0 Es lógico, la tangente a la recta es ella misma. El cambio está dado por la inclinación de la recta dl x m dx =
  141. 141. ( ): l x mx b d d l R mR l x → = =+
  142. 142. ( ) 2 :f R R f x ax→ = Una parábola
  143. 143. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 0 2 : lim lim lim lim 2 2 x x x x x x x x f R R f x ax f x f x ax ax a x x a x x x x f x f x a x x x x a x x x x x x f x f x a x x x x a x x a x x a x x ax d axdf x ax dx dx ′→ → ′→ ′→ → = ′ ′ ′ ′ ′− = − = − = − + ′ ′ ′− − + ′= = + ′ ′− − ′ − ′= + = − ′ ′= + = = = = + = +
  144. 144. ( ) 2 : 2f x ax df ax d f R x R→ = =
  145. 145. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim lim x x h x f x f xdf x dx x x f x h f xdf x dx h f x x f xdf x dx x ′→ → ∆ → ′ − = ′ − + − = + ∆ − = ∆
  146. 146. ( ): sinf R R f x x→ =
  147. 147. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 : sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos 1 cos sin sin cos 1 cos sin cos 1 sin lim 0 lim 1 lim co c s s sin o h h h f R R f x x f x h f x x h x x h x h x x h x h f x f x x h x h h h h h h h f x h d x x f x d x h x → → → → = + − = + − = = + − = − + ′ − − + = − = = + = − =
  148. 148. ( ) ( )sin si co n i ss n : x d x R R y f x dx x→ = = =
  149. 149. ( )exp : exp x R R x e→ =
  150. 150. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 exp : exp exp exp 1 1exp exp 1 1 lim lim exp exp l exp p i x m e x x h x x h x x h x h x h h x x x h h h R R x e x h x e e e e e e e e ex h x h h e e e e e h h x h d x x x x e d h + → → → → = + − = − = − = − −+ − = − − = = = + − =
  151. 151. ( )ln : (0, ) lnR x∞ →
  152. 152. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ln : ln ln ln ln ln ln 1 ln ln ln 1 lim lim exp exp 1 l ln 1 im h x x h h h R R x x h x h x x x h x x h h h x x h x e e e h h x h x h d x dx x x → → → → +  + − =  ÷   + − +  =  ÷   + − − = + = = = −
  153. 153. ( ) ( )ln 1 ln : (0, ) ln d x R x dx x ∞ → =
  154. 154. 1 ln 1 n n x x dx nx dx de e dx d x dx x − = = = 2 sin cos cos sin tan sec d x x dx d x x dx d x x dx = = − =
  155. 155. http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
  156. 156. ( ) ( ) ( ) df x dx df x dx Df f x′
  157. 157. ( )y f x y = En todo lo estudiado hasta ahora hemos supuesto una representación explícita de la función, es decir, hemos supuesto que que la variable dependiente, , está escrita en términos explicitos de la varia ( ) ( ) 3 2 * sin * 2 8 3 * sinx y x x y x x x y xe x x = = − + − = ble independien .te
  158. 158. ( ) ( ) ( ) 2 2 * 1 * sin cos , ,x y x y y x x y x y xy σ τ + = + + = = Sin embargo, no siempre es posible tener la representación explicita de una función y se tiene una representación implícita de la forma que determina a como función de . ( ) ( )* lnxy xy xye x=
  159. 159. ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , x y x y d x y d x y dx dx σ τ σ τ = = Si tenemos una representación implícita de la forma lo que se hace para derivarla es: 1).- Diferenciar ambos lados de la ecuación para obtener una nueva ecuación 2).- Resolver la dy dx y x ecuación anterior para . La respuesta usualmente involucra a y a .
  160. 160. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 dy x xy y dx d x xy d y dx dx d xydx dy dx dx dx dy dx dy x y dx dx dx dy dy x y dx dx + = + = + = + + = + + = Dada la ecuación , encontrar 1).-
  161. 161. 2 1 2 1 2 dy x xy y dx dy dy x y dx dx dy dx dy y dx x + = + + = + = − Dada la ecuación , encontrar 2).- De la ecuación nueva despejamos ,
  162. 162. ( ) 3 3 2 2 cos cos cos cos 3 cos sin 3 dy x y y x dx d x y y dx dx dx dx d y dy y x x dx dx dx dy dy y x y x dx dx + = + = + + = − + = Dada la ecuación , encontrar 1).-
  163. 163. 3 2 2 cos cos sin 3 3 cos 1 sin dy x y y x dx dy dy y x y x dx dx dy dx dy x y dx x y + = − + = − = − Dada la ecuación , encontrar 2).- De la ecuación nueva despejamos ,
  164. 164. ∗ ∗ ∗ Se deriva una función Lo que se obtiene es otra función, la función derivada La función derivada puede ser evaluada en cualquier punto de su dominio
  165. 165. ( )d af g df dg a dx dx dx ± = ± La derivada de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de las derivadas
  166. 166. ( )d fg dg df f g dx dx dx = + La derivada de un producto es el primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero
  167. 167. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin sin sin cos sin 2 2 1 1 ln 1 1 ln ln ln 1 ln 2 2 x x x x x x d d dx x x x x x x x x dx dx dx d d dx x e x e e x e xe xe x dx dx dx d d d x x x x x x x x dx dx dx x x x = + = + = + = + = +   = + = + = + ÷  
  168. 168. ( ) 2 0 f df dgd g fg dx dx dx g g x    ÷ −   = ≠ siempre que
  169. 169. 2 2 2 2 sin sin sin cos sin cos sin d x d x x x d x x x x x xd df dg g f d f dx d x dx dx x x d x x x x g g x − − −  = = = − ÷   = ÷    
  170. 170. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d f g df dg dx dg dx f g x f g g x = ′ ′ ′= o o ó
  171. 171. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 2 3 2 2 23 2 3 2 sin cos 2 cos exp1 exp exp 2 d d x x x x x dx dxx x x x d d x x x x x dx dx xd d x x x dx dx x − − + = − + = − + − + = =   = =  
  172. 172. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 ... nD D D D n df d f d f d f f x x x x x dx dx dx dx → → → → Dado que la derivada de una función es a su vez una función, entonces podemos derivarla nuevamente. Esto da origen a las "derivadas de orden superior".
  173. 173. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 4 2 5 4 3 2 3 5 2 4 3 2 3 2 4 5 3 4 2 3 2 4 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 6 5 5 4 4 3 3 2 2 6 5 4 3 2 : 5 5 20 5 20 60 5 20 60 120 5 20 60 120 120 5 20 60 120 12 f x x d x x dx d x d x x dx dx d x d x d x x dx dx dx d x d x d x d x x dx dx dx dx d x d x d x d x d x dx dx dx dx dx d x d x d x d x d x d dx dx dx dx dx = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ( )0 0 dx = ..... todas las derivadas que siguen son cero
  174. 174. ( ) sin 0: sin 1: cos 2: sin 3: cos 4: sin 5: cos 6: sin 7: cos 8: sin f x x x x x x x x x x x = − − − −
  175. 175. ( ) sin 0: sin 1: cos 2: sin 3: cos 4: sin 5: cos 6: sin 7 : cos 8: sin f x x x x x x x x x x x = − − − − ( ) ( ) ( ) 2 1 2 sin 0,1,2,... 1 sin sin 1 cos n n n n f x x n x nd x dx x n − = =  − =   − Para par impar
  176. 176. ( )exp : 0 n x x n x R R d e e dx n n → = ≥para todo entero con
  177. 177. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx ⊂ → ∈ = < + − Una función tiene un máximo relativo en si i) ii) ó va de a
  178. 178. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx ⊂ → ∈ = > − + Una función tiene un mínimo relativo en si i) ii) ó va de a
  179. 179. ( ) ( ) ( ) 0 0 2 02 : 0 0 f D R R x D df x dx d f df x x dx dx ⊂ → ∈ = = Una función tiene un punto de inflexión en si i) ii) ó no cambia de signo
  180. 180. ( ) 6 5 4 3 21 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 p x x x x x x x= − − + + − + Encontrar los puntos críticos, en la recta real, del siguiente polinomio
  181. 181. ( ) 6 5 4 3 21 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 p x x x x x x x= − − + + − +
  182. 182. ( ) ( ) 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 2 51 128 260 336 p x x x x x x x dp x x x x x x dx = − − + + − + = − − + + − Encontrar los puntos críticos, en la recta real, del siguiente polinomio Sacamos la derivada
  183. 183. ( ) 5 4 3 2 2 51 128 260 336 dp x x x x x x dx = − − + + −
  184. 184. ( ) ( ) 6 5 4 3 2 5 4 3 2 1 2 51 128 130 336 5 6 5 4 3 2 51 128 260 336 p x x x x x x x dp x x x x x x dx = − − + + − + = − − + + − Encontrar los puntos críticos, en la recta real, del siguiente polinomio Sacamos la derivada Los puntos críticos son aquellos donde l 5 4 3 2 2 51 128 260 336 0x x x x x− − + + − = a derivada se anula
  185. 185. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 2 51 128 260 336 0 7 2 1 4 6 0 x x x x x x x x x x − − + + − = + + − − − = Los puntos críticos son -7, -2, 1, 4, 6
  186. 186. ( ) 2 4 3 2 2 5 8 153 256 260 d p x x x x x dx = − − + + Los puntos críticos son -7, -2, 1, 4, 6 Hay que evaluar la segunda derivada para saber que tipo de puntos críticos son:
  187. 187. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 5 8 153 256 260 7 5720 2 720 1 360 4 396 6 1040 d p x x x d p x dx d p x dx d p x dx d p x dx d p x d x x dx x = − = = = − = − = = = = − − + = = − + Mí Los puntos críticos so nimo Máximo Mínimo Máxim n -7, -2, 1, o Mí 4, 6 nimo
  188. 188. a Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen máximo entre los inscritos en una esfera de radio h r a
  189. 189. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 a r h h r a h V h a π π   = −  ÷     = − ÷   Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen máximo entre los inscritos en una esfera de radio Volumen del cilindro: Ahora Así que [ ]0,2h h a∈ h r a
  190. 190. ( ) [ ] 2 9 0,6 4 h V h h hπ   = − ∈ ÷  
  191. 191. ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0,2 4 3 0,2 4 2 0 3 2 0, ,2 3 2 4 0 0 2 0 3 3 3 h V h a h h a dV a h h a dh dV a h dh a a a V V a V a π π π   = − ∈ ÷     = − ∈ ÷   = ⇒ =   = = = ÷   Los puntos críticos son: Ahora h r a
  192. 192. 34 3 3 2 3 a a a π Determinar las dimensiones y el volumen de un cilindro circular recto de volumen máximo entre los inscritos en una esfera de radio El volumen máximo es El radio del cilindro es La altura del ci 2 3 a lindro es h r a
  193. 193. Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y su ancho de manera que el área sea máxima?
  194. 194. a l Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y su a Sea el ancho del rectán ncho de manera que el área gulo Sea el largo del re sea máxima? ctángulo Sea ( ) ( ) 2 2 80 40 40 A l a a l A l al l l + = = − = = − el área del rectangulo Tenemos que , así que El área es
  195. 195. ( ) ( )40A l l l= −
  196. 196. ( ) ( ) ( ) ( ) 40 40 2 0 20 A l al l l dA l l dl dA l dl l = = − = − = = Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y su ancho de manera que el área sea máxima?
  197. 197. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 40 0 20 2 0 A l al l l dA l l dl d A l dl = = − = ⇒ = = − < Se va a construir un rectangulo que debe tener un perimetro de 80 cm. ¿Cuáles deben ser su largo y su ancho de manera que el área sea máxima?
  198. 198. Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto
  199. 199. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ! n n n f x a r a r f a x a n ∞ = − + −∑ La serie de Taylor de una función real infinitamente diferenciable, definida en un intervalo abierto , es la serie de potencias
  200. 200. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 1 2! 1 1 ... ... 3! ! 1 ! x a x a n n n x a x a n n n n x a df d f f x f a x a x a dx dx d f d f x a x a dx n dx d f f x x a n dx = = = = ∞ = = = + − + − + + − + + − + = −∑
  201. 201. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 sin sin sin s 0 in : sin sin sin 0 0 y cos 1 ! sin 1 n n n a x n x x x d R R y f d f x x f x x a n d x x x x x dx x x d dx x = = ∞ = = = → ≈ = = = + = = = − ≈ ∑
  202. 202. ( )sin x x
  203. 203. ( )sin x x
  204. 204. ( )sin x x
  205. 205. x sin(x) x 0.500 0.479 0.500 0.400 0.389 0.400 0.300 0.296 0.300 0.200 0.199 0.200 0.100 0.100 0.100 0.000 0.000 0.000
  206. 206. ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 0 sin sin sin sin0 sin : sin 1 ! 2 n n n n x a x x d f f x x R R y f x x d x x d x x x d n x d a dx x ∞ = = = = = − + → ≈ = = + ∑
  207. 207. ( ) 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 sin sin cos cos0 sin sin sin sin sin sin0 co sin sin s sin : s s0 sin0 in 0 0 in 0 2 2 0 sin x x x x d x x d d x d x x dx dx d x d x x dx d x R R y f x x x x x x x x x dx x x d = = = = → = ≈ + = ⇒ = = − ⇒ ≈ + − = + = = − − = +
  208. 208. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3 2 3 0 0 1 0 sin sin sin1 sin sin sin 0 2 ! : sin 6 1 x x n n n n x x a d f f d x d x d xx x x x dx dx x x a R R y f x n x d x x d ∞ = = = = = ≈ + → + = = − + = ∑
  209. 209. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 32 3 2 3 0 0 0 3 3 3 0 2 3 3 si s sin sin sin1 sin sin 0 2 6 1 sin si n : in sin cos n 0 cos 0 sin 0 cos 0 2 6 6 cos 0 sin x x x x d x d x d xx x R R y f x x x dx dx d x x x x d x d x x dx d x x x x x = = = = = − → = = ≈ + − − = ⇒ = − + − ≈ + +
  210. 210. ( ) 3 in 6 s x xx −
  211. 211. ( ) 3 in 6 s x xx −
  212. 212. x sin(x) x-x^3/6 0.500 0.479 0.479 0.400 0.389 0.389 0.300 0.296 0.296 0.200 0.199 0.199 0.100 0.100 0.100 0.000 0.000 0.000 ( ) 3 in 6 s x xx −
  213. 213. 3 5 7 9 sin 0 cos 1 sin 0 cos 1 sin 0 cos 1 sin 0 0 0 0 0 ... 3! 5! 7! 9! x x x x x x x x x x x x → → − → − → − → → ≈ + + − + + + − + + +
  214. 214. 3 5 7 9 sin 3! 5! 7! 9! x x x x x x≈ − + − +
  215. 215. ( )2 3 41 1 3 5 1 2 8 161 1 0.5, 1.414213562 1 1 1, 1 0.25 1.25, 1 0.25 0.09375 1.34375, 1 0.25 0.09375 0.030518 1.37427 x x x O x x x x = + + + + − = = − = + = + + = + + + =
  216. 216. ( )ln : ln Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo alrededor del 1. R R y x+ → =
  217. 217. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 2 11 3 3 3 11 1 1 11 ln : ln Hacer el desarrollo de Taylor del logaritmo alrededor del 1. ln 1 0 ln 1 1 ln 1 1 ln 2 2 ln 1 ! 1 1 1 ! xx xx xx n n n n n xx R R y x d x dx x d x dx x d x dx x d x n n dx x + == == == − − == → = = = = = − = − = = − = − = − −
  218. 218. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 ln : ln 1 1 1 1 ln 1 ... 1 ... 2 3 4 n n R R y x x x x x x x n + − → = − − − − = − − + − + + − +
  219. 219. ( ) ( ) ( ) ln : ln ln 1 R R y x x x + → = ≈ −
  220. 220. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln : ln 1 ln 1 2 R R y x x x x + → = − ≈ − −
  221. 221. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 ln : ln 1 1 ln 1 2 3 R R y x x x x x + → = − − = − − +
  222. 222. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 ln : ln 1 1 1 ln 1 2 3 4 R R y x x x x x x + → = − − − = − − + −
  223. 223. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 ln : ln 1 1 1 ln 1 2 3 4 R R y x x x x x x + → = − − − = − − + − x ln(x) x-1 x-1-(x- 1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x- 1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3- (x-1)^4/4 0.500 -0.693 -0.500 -0.625 -0.667 -0.682 0.600 -0.511 -0.400 -0.480 -0.501 -0.508 0.700 -0.357 -0.300 -0.345 -0.354 -0.356 0.800 -0.223 -0.200 -0.220 -0.223 -0.223 0.900 -0.105 -0.100 -0.105 -0.105 -0.105 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.100 0.095 0.100 0.095 0.095 0.095 1.200 0.182 0.200 0.180 0.183 0.182 1.300 0.262 0.300 0.255 0.264 0.262 1.400 0.336 0.400 0.320 0.341 0.335 1.500 0.405 0.500 0.375 0.417 0.401
  224. 224. { } ( ) 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. f R R y f x x − → = = −
  225. 225. { } ( ) ( ) ( ) ( ) 3/ 2 00 2 5 / 2 2 2 00 3 7 / 2 3 3 00 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 2 21 1 1 3 1 3 1 2 2 21 1 1 3 5 1 3 5 1 2 2 2 21 1 xx xx xx n n f R R y f x x d x dx x d x dx x d x dx x d dx − == − == − == − → = = −   = − = ÷ −    ×  = − = ÷  ÷ −      × ×   = − = ÷  ÷ ÷ −     ( ) 0 2 1 !! 21 n x n x = −  = ÷ − 
  226. 226. { } ( ) ( )2 3 1 : 1 1 Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 2 1 !!1 1 3 5 1 ... ... 2 8 16 !21 n n f R R y f x x n x x x x nx − → = = − − = + + + + + + −
  227. 227. 2 3 435 128 1 1 6 3 82 1 1 5 1 x x x x x≈ + + ++ −
  228. 228. ( )exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. x R R y x e→ = =
  229. 229. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 3 3 0 0 0 exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x n x n x R R y x e d e e dx d e e dx d e e dx d e dx = = = = = = = → = = = = = = = = =
  230. 230. ( ) 2 3 exp : exp Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0. 1 1 1 1 ... ... 2 6 ! x x n R R y x e e x x x x n → = = = + + + + + +
  231. 231. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim x x f x f xdf x dx x x f x f xdf x dx x x df f x f x x x x dx → − = − − ≈ − ≈ + −
  232. 232. ( ) ( ) ( ) ( ) Lo opuesto de una derivada es una La integral indefinida de una función se denota co ant mo iderivada y está definida por la propied o integral indef d d a ini a f x f x d f x dx f x d d x x =∫ ∫
  233. 233. ( ) ( ) Si una función es diferenciable, su derivada es única Una función tiene un número infinito de integrales, que difieren por una constante aditiva d f x dx f x dx = ∗ ∗ ∫
  234. 234. La integral indefinida de una función cuya derivada es identicamente cero es una constante, es decir, 0 donde es una constante arbitraria. La integral indefinida de una función identicamente cero es dx c c =∫ una constante.
  235. 235. ( ) Función constante: : donde a es una constante La integral indefinida de la función constante es donde es una constante arbitraria f R R f x a adx ax c c → = = +∫
  236. 236. ( ) 2 Función identidad : : La integral indefinida de la función identidad es 2 donde es una constante arbitraria I I R R I x x x xdx c c → = = +∫
  237. 237. ( ) 1 : entero, 1 La integral indefinida de la función es 1 donde es una constante arbitraria n n n n f R R f x x n n x x x dx c n c + → = ≠ − = + +∫
  238. 238. { } ( ) ( ) 1 : 0 Dado que 1 ln se tiene que ln donde es una constante arbitraria f R R f x x d x dx x dx x c x c − → = = = +∫
  239. 239. sin cos cos sin d x x dx d x x dx = = − De: sin cos cos sin xdx x xdx x = − = ∫ ∫ es claro que:
  240. 240. ( ) ( ) ( ) ( ) exp exp exp exp d x x dx x dx x c c = = +∫ Tenemos que así que donde es una constante arbitraria
  241. 241. ( ) ( ) ( ) ( ) Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales - La integral indefinida de una combina indefini ción li das: neal af x bg x dx a f x dx b g x dx + = + ∫ ∫ ∫
  242. 242. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales indefinid - De la regla de la cadena t a enemos así que c s: 1 a a a a d f x a f x f x dx f x f x f x dx c a − + ′   =      ′  = +  +∫ on 1a ≠
  243. 243. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para cada una de las identidades de la derivada corresponde una identidad para las integrales indef - De la derivada del logar 1 ln para 0 ini itmo ln tenemos ln das: f xd f x d dx f x f x dx f x c f x x x dx x ′   = =   ′ = + ≠ ∫
  244. 244. ( ) ( )( ) ( ) ( ) De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x ξ ξ ξ ′= = ∫ ∫
  245. 245. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( )2 Ejemplo 1: cosx x dx∫
  246. 246. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( )2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos x x dx xξ = ∫
  247. 247. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( )2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos Por tanto, se tiene 2 x x dx x d xdx ξ ξ = = ∫
  248. 248. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 Así que 1 cos 2 cos 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx ξ ξ= = = ∫ ∫ ∫
  249. 249. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 Así que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d ξ ξ ξ ξ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫
  250. 250. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 Así que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 1 sin 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d c ξ ξ ξ ξ ξ = = = = = = + ∫ ∫ ∫ ∫
  251. 251. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 Ejemplo 1: cos Escogemos y tenemos 2 Así que 1 1 cos 2 cos cos 2 2 1 1 sin sin 2 2 x x dx x d xdx x x dx x x dx d c x c ξ ξ ξ ξ ξ = = = = = = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
  252. 252. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 Ejemplo 1: cos 1 cos sin 2 Es fácil evaluar la derivada, con la regla de la cadena, para comprobar la exactitud del resultado x x dx x x dx x c= + ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
  253. 253. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la regla para obtener la derivada de un producto se tiene df x dg xd f x g df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx dx x g x f x dx dx dx   = +    = + ∫ ∫ ∫
  254. 254. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pe De ro por la definición misma de la integral indefinida la regla para obtener la derivada de un producto se tiene df x dg xd f x g x g x f x dx dx dx df x dg xd f x g x d d f x g x dx f x x g x dx f x dx dx dx dx g x dx   = +   =      = +  ∫ ∫ ∫ ∫
  255. 255. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la expresión tenemos entonces df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx d df x dg x f x g x g x dx f x dx dx x dx   = +  = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
  256. 256. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la expresión tenemos Despejando que es la formula de integración por pa entonc rtes es df x dg xd f x g x dx g x dx f x dx dx dx dx df x dg x f x g x g x dx f x dx dx dx df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx   = +  = + = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
  257. 257. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫ Ejemplo 1: x xe dx∫
  258. 258. ( ) ( ) Ejemplo 1: Identificamos y x x xe dx df x e g x x dx = = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫
  259. 259. ( ) ( ) Ejemplo 1: y Entonces x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx dx = = = − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫
  260. 260. ( ) ( ) Ejemplo 1: y De donde x x x x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx dx xe dx xe e dx = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫
  261. 261. ( ) ( ) ( ) Ejemplo 1: y Finalmente 1 x x x x x x x x x x x xe dx df x e g x x dx dx xe dx xe e dx xe e dx dx xe dx xe e x e = = = − = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫
  262. 262. ( ) Es muy fácil verificar que el resultado es correcto haciendo la deriva 1 da x x xe dx x e= −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )df x dg x g x dx f x g x f x dx dx dx = −∫ ∫
  263. 263. RRf →: x ( )f x
  264. 264. x ( )f x ( ) b a f x dx∫
  265. 265. x ( )f x ( ) b a f x dx∫ a
  266. 266. x ( )f x ( ) b a f x dx∫ a b
  267. 267. x ( )f x ( ) b a f x dx∫ a b Esta área
  268. 268. x ( )f x ( ) b a f x dx∫ a b Esta área La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
  269. 269. ( ) 2 3 2 3f x x x x= − + −
  270. 270. ( ) 2 3 2 3f x x x x= − + −
  271. 271. ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2:5 2:5 2:5 2:5 2:5 2 3 2 3 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 2.5 2 3 4 1.0 1.0 1.0 1.0 2 2 3 3 4 4 2 3 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 4 1 1 2 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2 4 1 2 1.5 6.25 1 2 f x x x x x x x dx dx xdx x dx x dx x x x x = − + − − + − = − + − =       = − + − =           = − − − + − − − = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 .0 15.625 1.0 39.063 1.0 4 1 1 3.0 5.25 14.625 38.063 2 4 3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842 + − − − = = − + − = = − + − =
  272. 272. ( ) 2 3 2 3f x x x x= − + −
  273. 273. Valor aproximado 6.1172 Valor exacto 5.4844 = = 1n =
  274. 274. 5.4844exactoValor 5.6426aproximadoValor = = 2n =
  275. 275. Valor aproximado 5.5239 Valor exacto 5.4844 = = 4n =
  276. 276. Valor aproximado 5.4907 Valor exacto 5.4844 = = 10n =
  277. 277. Valor aproximado 5.4846 Valor exacto 5.4844 = = 50n =
  278. 278. Valor aproximado 5.4844 Valor exacto 5.4844 = = 100n =
  279. 279. ( )if x
  280. 280. ( )i if x x∆
  281. 281. ( ) 0 N i i i f x x = ∆∑
  282. 282. ( )0 0 lim i N i i x i f x x ∆ → = ∆∑
  283. 283. ( ) ( )0 0 lim i bN i i x i a f x x f x dx ∆ → = ∆ =∑ ∫
  284. 284. ( ) ( ) ( ) ( ) Linearidad b b b a a a rf x sg x dx r f x dx s g x dx + = + ∫ ∫ ∫
  285. 285. ( ) ( ) ( ) División del rango de integración b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
  286. 286. ( ) ( ) Antisimetría b a a b f x dx f x dx= −∫ ∫
  287. 287. ( ) 0 a a f x dx =∫
  288. 288. ( ) ( ) [ ] ( ) 4 4 4 4 2 2 2 2 : 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 f R R f x f x dx dx dx x → = = = = = − = × =∫ ∫ ∫ 2 2 4× =
  289. 289. ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 3 3 3 3 0 22 2 0 3 3 : 3 2 3 2 3 2 30 3 2 3 2 0 3 2 2 2 9 27 15 3 2 3 6 2 2 2 g R R g x x g x dx x dx xdx dx x x − − − − − − → = − = − = − =  −   = − = − − − − =            = − = − = ÷   ∫ ∫ ∫ ∫
  290. 290. 623 =× 3 9 27 2 2 × = 27 15 6 2 2 + =
  291. 291. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 23 2 3 2 2 2 : 8 3 8 3 8 3 2 22 2 8 3 8 3 3 2 3 3 2 2 8 8 4 4 16 128 8 3 8 3 3 2 2 3 3 h R R h x x x h x dx x x dx x dx xdx x x − − − − − − → = + = + = + =    − −    = + = − + − =                        = + + − = = ÷  ÷  ÷       ∫ ∫ ∫ ∫
  292. 292. •Longitudes, áreas, volumenes •Se emplea en todas las áreas de la física •En general en toda la matemática aplicada la integral es ampliamente empleada
  293. 293. [ ] ( ) ( ) Si y son funciones continuas en el intervalo , y se cumple que en todo el intervalo, entonces el área de la región limitada por las gráficas de y , y las rectas verticales y , es: f g a b g x f x f g x a x b A f ≤ = = = ( ) ( ) b a x g x dx − ∫
  294. 294. a) Es importante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que y g sean continuas y de que ( ) ( ). b) Las gráficas de y pueden estar situadas de cualquier manera res f g x f x f g ≤ pecto del eje . c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que ( ) ( ) y otras veces que ( ) ( ), entonces el área de la región comprendida entre y sobre el intervalo [ , ], viene dado po OX g x f x f x g x f g a b ≤ ≤ ( ) ( ) r la fórmula: b a A g x f x dx = − ∫
  295. 295. 2 Hallar el área de la región lim ( )itada por y ) .(g xf x x x==
  296. 296. [ ] [ ] 2 Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( ) . * El intervalo de integración es 0,1 que son los dos puntos en los cuales las curvas se intersectan. * Es claro que en el intervalo 0,1 se cu f x x g x x= = [ ] 2 1 2 0 mple * En el intervalo 0,1 las dos funciones son continuas Por tanto, el área entre las dos curvas es x x x x dx ≤  − ∫
  297. 297. 2 1 11 1 1 2 2 3/ 2 3 0 00 0 0 Hallar el área de la región limitada por ( ) y ( ) 2 1 2 1 1 3 3 3 3 3 El área entre las dos curvas es igual a 1/3 f x x g x x x x dx xdx x dx x x = =  − = − = − = − = ∫ ∫ ∫
  298. 298. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce co E mo eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje o al eje . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución. OX OY
  299. 299. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un ej 2 e adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio y de anchura es: Volumen del disco = R R ω π ω
  300. 300. ( ) [ ] ( ) ( ){ } Si tenemos una función continua y no negativa en el intervalo , , entonces el sólido obtenido al hacer rotar la región , : ,0 alrededor del eje , tiene un volumen dado por la fórmula f x a b R x y a x b y f x X V V π = ≤ ≤ ≤ ≤ = ( ) 2 b a f x dx  ∫
  301. 301. ( ) ( ) Definimos la función donde es una constante y es la variable independiente x a F x f d a x ζ ζ= ∫
  302. 302. ( ) ( ) x a F x f dζ ζ= ∫( )f x a x
  303. 303. ( ) ( ) ( ) ( ) Se tiene x a F x f d d F x f x dx ζ ζ= = ∫
  304. 304. ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= −∫

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