Progresiones Aritméticas y Geométricas

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UNIDAD 3
Progresiones

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Progresiones
 También conocida como una sucesión es un conjunto
infinito de números ordenados que tienen un
comportamiento común entre si.
 A los números que forman la sucesión se les llama
términos y todas las sucesiones tienen un primer término
seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos.
 Una sucesión se puede representar mediante una
expresión que permite conocer el valor de cada término
sabiendo el lugar (n) que ocupa.
 Estudiaremos las más conocidas:
Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

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Progresiones
 A) 1, 6, 11, 16……
 B) 45, 40, 35, 30
 C) 10, 20, 40, 80……
 D) 24, 12, 6, 3
 ¿Cuáles progresiones crecen y cuales
decrecen?
 ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a
cada progresión?

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Progresión Aritmética
 Una progresión aritmética es una sucesión de
números llamados términos, en la que cualquier
término es el resultado de sumar al anterior una
cantidad constante (positiva o negativa), llamada
diferencia común y se calcula como:
 Un término n menos el que le antecede
1−−= nn aad

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Progresión Aritmética
 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad
constante que se suma es 5:
 1 + 5 = 6
 6 + 5 = 11
 11 + 5 = 16
 Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se
suma es: -3
 45 - 3 = 42
 42 - 3 = 39
 39 - 3 = 36

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Progresión Aritmética
 Una progresión finita es aquella que tiene un
número determinado de términos.
 Una progresión infinita es aquella que tiene un
número indefinido de términos.

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Progresión Aritmética
 Para calcular el enésimo término de cualquier
progresión aritmética utilizamos:
 Donde:
 l = último término
 n = número de términos
 a = primer término
 d = la diferencia común
dnal )1( −+=

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Progresión Aritmética
 Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
 El primer termino es (a) es 4.
 La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
 El número de términos (n) es 6.
 Primer termino: a = 4
 Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8
 Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12
 Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16
 Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20
 Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

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Progresión Aritmética
 Además la suma de los n primeros términos de este tipo
de sucesiones se puede calcular como:
 Donde:
 S = es la suma de los n términos
 l = último término
 n = número de términos
 a = primer término
 d = la diferencia común
2
)(an
S
+ l
=

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Progresión Aritmética
Progresión Primer
Término
a
Diferencia
común
d
Valor del
8° término
l
Clasificació
n de la
progresión
12, 18, 24, 30, 36
-3, -3/2, 0, 3/2, 3,
9/2 ….
2, 6, 10, 14, 18,
22
½, 1, 1 ½, 2 ....

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Progresión Geométrica
 Es una sucesión de números llamados
términos, de tal forma que cada uno de
ellos, después del primero, se obtiene
multiplicando el termino anterior por una
cantidad constante (entero o fracción,
positivo o negativo) llamada razón
común.
1−
=
n
n
a
a
r

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Progresión Geométrica
 6/3, 12/3, 24/3….
 La razón común es r = 2 dado que:
 6/3 * 2 = 12/3
 12/3 * 2 = 24/3
 Los elementos de una progresión geométrica son:
 a = primer término
 r = la razón común
 l = último término o enésimo termino
 n = número de términos

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Progresión Geométrica
 Para calcular el enésimo término tenemos:
 Donde :
 a = primer término
 r = la razón común
 l = último término o enésimo termino
 n = número de términos
1−
= n
ral

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Progresión Geométrica
 La suma de los n primeros términos
se podría calcular como:
 Cuando r = 1
r - al
S
−
=
r 1

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Progresiones - Interés simple
 Es el rendimiento que da un capital invertido durante un
tiempo determinado, invertido a una tasa de interés
dada………..
Cuando una persona deposita un capital en un banco
durante un cierto tiempo, el banco paga intereses.
Dependiendo de que se retiren o no los intereses
periódicamente, el interés se llama simple si se retiran los
intereses o compuesto si se dejan en el banco.
Ejemplo:
 ¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 pesos al
10 % en dos años a interés simple?

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Progresiones
 INTERÉS SIMPLE.
 El interés total es: 1.600.000 · 0,1 = 160.000 pesos.
 Al final del primer año retiramos los intereses y el capital
sigue siendo el mismo: 1.600.000 pesos.
 En el segundo año, el capital vuelve a producir otros
160.000 pesos.
 En los dos años el interés producido es: 160.000 +
160.000 = 320.000 pesos. Por tanto, el capital se
convierte en los dos años en:
 1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 pesos.

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Interes simple
 Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
 M = 1.600.000 * 0,1 * 2 = 320.000 pesos.
 En general, si:
 M es el monto producido después de un tiempo.
 C es el capital,
 i es la tasa de interés anual
 t es el tiempo en años, entonces el monto generado con interés
simple es:
( )tiCM += 1

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Interes compuesto
 Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto
compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La
diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el
interés compuesto.
 El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el
nombre de período de capitalización. La frecuencia de
capitalización es el número de veces por año en que el interés
pasa a convertirse en capital, por acumulación.

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Interes compuesto
 Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto:
 El capital original (C o VA)
 La tasa de interés por período (i)
 El número de períodos de conversión durante el plazo que dura
la transacción (n).
 El número de veces por año en los que los intereses se
capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización (k)
 El número de veces por año en los que los intereses se
capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización.
 Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual,
entonces las expresiones siguientes son equivalentes:
"el interés es capitalizable mensualmente",
"es convertible mensualmente",
"es compuesto mensualmente",

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Interes compuesto
n
 M = C ( 1 + i )
En donde:
 M = es el valor futuro
 C = es el valor original o actual
 n = número de capitalizaciones en el periodo de inversión
 i = tasa por periodo de tiempo
 J = tasa nominal (tasa anual)
M = C + I j
i = ---
k

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Interes compuesto
 Con el interés compuesto, pagamos o
ganamos no solo sobre el capital inicial sino
también sobre el interés acumulado, en
contraste con el interés simple que sólo paga o
gana intereses sobre el capital inicial.