2. Ecuaciones Diferenciales HOMOGÉNEAS Este método consiste en verificar que todos los términos de la ecuación sean del mismo grado para así usar ciertos cambios de variables y resolverlas. El primer paso es verificar que todos los términos de la ecuación sean del mismo grado, para esto existen dos métodos. Después de verificar que la ecuación es homogénea (que todos los términos son del mismo grado), se utiliza uno de los tres elementos clave para el cambio de variables.
3. Ejemplo Acomodamos nuestra ecuación para que nos quede de la siguiente manera: 𝑀𝑥,𝑦𝑑𝑥+𝑁𝑥,𝑦𝑑𝑦=0 Ejemplo: 𝑑𝑦𝑑𝑥=−2𝑥3𝑦𝑥4+𝑦4 𝑥4+𝑦4𝑑𝑦=−2𝑥3𝑦 𝑑𝑥 2𝑥3𝑦 𝑑𝑥+𝑥4+𝑦4𝑑𝑦=0
4. Ejemplo Primer método para verificar el grado. Verificamos el grado de acuerdo a lo siguiente: 𝑀(𝑡𝑥,𝑡𝑦)𝑡𝑛𝑓(𝑥,𝑦) 𝑁(𝑡𝑥,𝑡𝑦) n = grado de la función Ejemplo: 𝑀2𝑥3𝑦 M𝑡𝑥,𝑡𝑦=2(𝑡𝑥)3(𝑡𝑦)=2𝑡4𝑥3𝑦=𝑡42𝑥3𝑦 𝑁𝑥4+𝑦4 𝑁𝑡𝑥,𝑡𝑦=(𝑡𝑥)4+(𝑡𝑦)4=𝑡4𝑥4+𝑦4
5. Ejemplo Segundo método para verificar el grado. Se suman los exponentes de cada termino. Ejemplo: 2𝑥3𝑦1 𝑑𝑥+𝑥4+𝑦4𝑑𝑦=0 Como notaron tanto «M» como «N» son de 4°grado, por lo tanto la ecuación si es homogénea y se puede proceder a resolver usando cambio de variables. 3+1=4 4 4
6. Ejemplo Elementos claves para los cambios de variables de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas: 𝑦=𝑢𝑥𝑑𝑦=𝑢 𝑑𝑥+𝑥 𝑑𝑢 𝑥=𝑢𝑦𝑑𝑥=𝑢 𝑑𝑦+𝑦 𝑑𝑢 𝑢=𝑥+𝑦𝑦=𝑢−𝑥𝑑𝑦=𝑑𝑢−𝑑𝑥 Se observa nuestra ecuación y se selecciona el elemento clave que nos genere una ecuación mas corta. 2𝑥3𝑦 𝑑𝑥+𝑥4+𝑦4𝑑𝑦=0 En nuestro caso usaremos la opción 2 ya que «dy» esta multiplicando un binomio y nos generaría una larga ecuación al desarrollarlo.
7. Ejemplo Ecuación original: 2𝑥3𝑦 𝑑𝑥+𝑥4+𝑦4𝑑𝑦=0 Ecuación haciendo los cambios de variables de el elemento clave 2: 2(𝑢𝑦)3𝑦𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢+𝑢𝑦4+𝑦4𝑑𝑦=0 2𝑢3𝑦4𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢+𝑢4𝑦4+𝑦4𝑑𝑦=0 Factorizando y dividiendo entre el termino en común en toda la ecuación (y4): 2𝑢3𝑦4𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢+𝑦4𝑢4+1𝑑𝑦=0 2𝑢3𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢+𝑢4+1𝑑𝑦=0
8. Ejemplo Continuamos simplificando y acomodando la ecuación: 2𝑢3𝑢𝑑𝑦+𝑦𝑑𝑢+𝑢4+1𝑑𝑦=0 2𝑢4𝑑𝑦+2𝑢3𝑦𝑑𝑢+𝑢4𝑑𝑦+𝑑𝑦=0 3𝑢4𝑑𝑦+𝑑𝑦+2𝑢3𝑦𝑑𝑢=0 3𝑢4+1𝑑𝑦+2𝑢3𝑦𝑑𝑢=0 𝑑𝑦𝑦+2𝑢33𝑢4+1𝑑𝑢=0
9. Ejemplo Finalmente integramos y regresamos los valores originales: 𝑑𝑦𝑦+2𝑢33𝑢4+1𝑑𝑢=0 ln𝑦+2𝑢33𝑢4+1𝑑𝑢=0 𝑎=3𝑢4+1𝑑𝑎=12𝑢3𝑑𝑢 𝑑𝑎12=𝑢3𝑑𝑢 ln𝑦+212𝑑𝑎𝑎=0 ln𝑦+ln3𝑢4+16=𝑐 ln𝑦+ln3𝑥𝑦4+16=𝑐
