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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓNGrados de libertad: n-1 = 8-1 =7a = 0,0054.- Un investigador de mercados y hábitos de co...
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN5.- Un error de tipo I cuando m=50, pero x para la muestra considerada cae en laregión c...
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN   H1: La preferencia no es independiente del tipo de contrato   a=0.05                 ...
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN   H0: m1 = m2   H1: m1 > m2 (se busca evidencia fuerte que indique que el tiempo de sec...
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN2.- resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psimedia puntual:X media = 28.08 ...
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN5.- El promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la medianacional de...
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  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓNUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN Procesos Industriales Área de Manufactura Irene Alejandra Cordero Acosta Estadística “Prueba de Hipótesis e Intervalos de Confianza” UNIDAD III Torreón, Coahuila A 18 de abril de 2012 Estadística 1
  2. 2. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN Prueba de Hipótesis1.- Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca derelojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razónsuficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de estamarca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketingrealiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionadosaleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de estamarca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media =169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que lasventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivelde significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Seconsiderará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?n = 51H0: ( = 170000H1: ( < 170000a = 0,05 Estadística 2
  3. 3. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN2.- Se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor para lossistemas de salida de emergencia en aeronaves. (Esta rapidez es una variablealeatoria con alguna distribución de probabilidad). Especialmente interesa larapidez de combustión promedio (que es un parámetro (m) de dichadistribución). De manera más específica, interesa decidir si esta rapidez promedioes o no 50 cm/seg.El planteamiento formal de la situación se realiza en términos de una HipótesisNula (que es la proposición que se quiere poner a prueba) y una HipótesisAlternativa, la cual se aceptará si se rechaza la hipótesis nula:Hipótesis Nula: H0: m = 50 cm/segHipótesis Alternativa: H1: m 50 cm/seg3.- Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio susrepresentantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estosrepresentantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Unamuestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitassemanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99%para aclarar esta cuestión.( = 40n=8Nivel de confianza del 99%Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005H0: ( = 40H1: ( > 40 Estadística 3
  4. 4. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓNGrados de libertad: n-1 = 8-1 =7a = 0,0054.- Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que eltiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cadasemana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviaciónestándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación demercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma unamuestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendocomo resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.n = 64a = 5% = 0,05H0: ( = 22H1: ( > 22a = 0,05 Estadística 4
  5. 5. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN5.- Un error de tipo I cuando m=50, pero x para la muestra considerada cae en laregión crítica y se cometerá un error de tipo II cuando m 50 pero x para lamuestra considerada cae en la región de aceptación; calcular a para el ejemplode la rapidez de combustión para una muestra de N=10 datos, suponiendo que ladesviación estándar de la rapidez de combustión es s=2.5 cm/seg.Calcular a del ejemplo anterior paraa) los nuevos límites de la región de aceptación 48 y 52.b) Para N=16 con los límites originalesc) con ambas modificacionesa) a = normcdf(48,50,0.79) + (1-normcdf(52,50,0.79)) = 0.0114b) a = normcdf(48.5,50,0.625)+(1-normcdf(51.5,50,0.625)) = 0.0164c) a = normcdf(48,50,0.625)+(1-normcdf(52,50,0.625)) = 0.00146.- Los empleados de una compañía eligen uno de tres posibles planes depensión. La gerencia desea saber con a=0.05 si la preferencia en la elección esindependiente de la clasificación del contrato (asalariados y por horas). De unamuestra aleatoria de 500 empleados se obtiene la siguiente tabla decontingencia Tipo de contrato Plan 1 Plan 2 Plan 3 Total Asalariados 160 140 40 340 Por Horas 40 60 60 160 Total 200 200 100 500 La variable de interés es la preferencia de los empleados por los planes de pensión H0: La preferencia es independiente del tipo de contrato Estadística 5
  6. 6. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN H1: La preferencia no es independiente del tipo de contrato a=0.05 c r (Oij E ij ) 2 El estadístico de prueba es χ 2 j 1 i 1 E ij Como r=2, c=1, c2 tiene 2 grados de libertad, por lo tanto H0 debe rechazarse si c2> c20.05,2=5.99 Cálculos: c2 = 49.63 Como 49.63>5.99, Se rechaza la hipótesis de independencia. El valor P para c2 = 49.63 es P=1.671x10-11Rechazar H0 si la rapidez promedio de combustión m es mayor que 52 cm/seg omenor que 48 cm/seg. Dada la simetría sólo se requiere evaluar la probabilidadde aceptar H0: m=50 cuando el valor verdadero es m=52.b = normcdf(51.5,52,0.79) - normcdf(48.5,52,0.79) = 0.26437.- Un diseñador quiere reducir el tiempo de secado de una pintura. Se pruebandos fórmulas de pintura. La fórmula 1 es la normal y la fórmula 2 posee uningrediente secante que se espera reduzca el tiempo de secado. Se sabe que eltiempo de secado tiene una desviación estándar de 8 min y que ésta no seafecta con la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especímenes con lafórmula 1, y 10 con la fórmula 2, obteniéndose tiempos promedio de secado dex1=121 min, y x2=112 min. Respectivamente. ¿A qué conclusión se llega sobre laeficacia del nuevo ingrediente utilizando a=0.05? Cantidad de interés: m1 - m2 Estadística 6
  7. 7. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN H0: m1 = m2 H1: m1 > m2 (se busca evidencia fuerte que indique que el tiempo de secado promedio de la muestra 2 es menor) a=0.05 El estadístico de prueba es H0 se rechazará si z>z0.05 = 1.645 Sustituyendo los datos, obtenemos z=(121-112)/(12.8)1/2=2.52 z = 2.52 > 1.645 se rechaza H0 con un nivel de significancia a=0.058.- Un embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que usatienen en promedio un valor que supera el mínimo de présión de estallamiento de200 psi. El embotellador puede formular una prueba de hipótesis de dos maneras:H0: m=200 psi H0: m=200 psi H1: m>200 psi H1: m<200 psi Estadística 7
  8. 8. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN Intervalos de Confianza1.- Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo deconfianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es: 100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad deobtener un punto fuera de ese intervalo.Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos quepara un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960. C.I. Multiplicador Z /2 99 2.576 95 1.960 90 1.645 85 1.439 80 1.282Para tamaños de muestra >30, o conocida usar la distribución NormalPara muestras de menor tamaño, o desconocida usar la distribución tEl ancho del intervalo de confianza decrece con la raíz cuadrada del tamaño dela muestra. Estadística 8
  9. 9. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN2.- resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psimedia puntual:X media = 28.08 con S = 1.02intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 con n-1=3grados de libertad) Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)3.- Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escalade depresión. 2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional,asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacionaldesconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, unintervalo de confianza aproximado esLuego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es decir, el puntajepromedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.4.- En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6%eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujereshipertensas en la Región Metropolitana está dado por:Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianzade 95%. Estadística 9
  10. 10. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN5.- El promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la medianacional de 3250 gramos. Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de lapoblación en estudio, se obtuvo: = 2930 s= 450 n= 30Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, seobtiene:Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianzade 95%.Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis,entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5). 6.- Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La semana encontró que la distribución de cantidades gastadas por semana tendía a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de $5. Una muestra de de 64 fumadores reveló que  = $20. ¿Cuál es el estimador de intervalo de confianza de 95% para la μ? n = 64= 20σ= 5N.C = 95% = .9500 1 - .9500 = .0500 2 = .0250 Intervalo de confianza Estadística 10
  11. 11. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN . 7.- María considera postularse para la alcaldía de la ciudad de Torreón. Antes de solicitar la postulación, decide realizar una encuesta entre los electores de Carolinas. Una muestra de de 400 electores revela que 300 la apoyarían en las elecciones de noviembre. Construya un intervalo de confianza del 99% para la proporción poblacional .9900 = .0100 2 = .0050n = 300x = 15 p = x/n = 15/300 =0.05 N.C = 80% Intervalo de confianza =8.- La Doctora Burgos es profesora de inglés. Hace poco contó el número depalabras con faltas de ortografía en un grupo de ensayos de sus estudiantes.Observó que la distribución de palabras con faltas de ortografía por ensayo seregía por una distribución normal con una desviación estándar de 2.44 palabraspor ensayo. En su clase de 40 alumnos de las 10 de la mañana, el número mediode las palabras con faltas de ortografía fue de 6.05. Construya un intervalo deconfianza de 90%n = 40= 6.05σ= 2.44N.C = 90% = .9000.9000 = .1000 2 = .0500 Intervalo de confianza Estadística 11

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