Interés simple y compuesto, anualidades de capitalización, anualidades de amortización y parámetros económicos y sociales (TAE, Números índice, IPC, Índice de desarrollo humano, Euribor)

1. MATEMÁTICA
FINANCIERA
Prof. Carlos A. Blanco

2. MATEMÁTICA FINANCIERA
En esta presentación trataremos los siguientes apartados:
• Interés simple
• Interés compuesto
• Anualidades de capitalización
• Anualidades de amortización
• Parámetros económicos y sociales (TAE, IPC, Euribor,…)

3. INTERÉS SIMPLE
Si depositamos una cantidad de dinero en un banco, al
cabo de un determinado periodo, el banco nos da una
cantidad de dinero en concepto de pago por el préstamo
realizado al banco. Esta cantidad de dinero se denomina
interés.
El interés simple es aquel interés que se genera sobre un
capital que permanece constante en el tiempo.
• Denotaremos por Ci al capital inicial
• Denotaremos por r al interés producido por 100€ y es el
rédito o tanto por ciento.
• Denotaremos por I al interés producido por el capital.
• Denotaremos por CF al capital final, que será la suma del
capital inicial más los intereses producidos.

4. INTERÉS SIMPLE
En el interés simple, los intereses producidos en cada
periodo no se suman al capital inicial y por tanto no generan
intereses en el siguiente periodo.
De este modo, los intereses son directamente
proporcionales al número de años que dura el préstamo.
En esta fórmula, el rédito está expresado en tanto por
uno y el tiempo tiene que estar dado en años:
• Si el tiempo está dado en meses, se expresará en años
dividiendo entre 12
• Si el tiempo está dado en días, se expresará en años
dividiendo entre 360
𝐼 = 𝐶𝑖 𝑟𝑡 𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 + 𝐼

5. INTERÉS SIMPLE
Calcula los intereses que producen 6000€ depositados a un
interés simple del 5% durante 4 años:
𝐼 = 𝐶𝑖 𝑟𝑡 = 6000 · 0,05 · 4 = 1200
Calcula cuánto dinero debemos depositar a un interés simple
del 3% durante 5 años para obtener unos intereses de 240€
𝐼 = 𝐶𝑖 𝑟𝑡 ⇒ 240 = 𝐶𝑖 · 0,03 · 5 ⇒ 𝐶𝑖 =
240
0,03 · 5
= 1600
Halla el rédito al que tenemos que depositar 5000€ durante 6
años para que produzcan unos intereses de 1200€
𝐼 = 𝐶𝑖 𝑟𝑡 ⇒ 1200 = 5000 · 𝑟 · 6 ⇒ 𝑟 =
1200
5000 · 6
= 0,04 ⇒ 𝑟 = 4%

6. INTERÉS COMPUESTO
Si al cabo de cada periodo de tiempo los intereses se
acumulan en el capital inicial para seguir generando
intereses, a estos periodos de tiempo los llamamos periodos
de capitalización.
Se llama interés compuesto al interés que se genera
sobre el capital inicial además de sobre los intereses
generados en cada periodo de capitalización.
Observamos la evolución con periodos de capitalización
de 1 año a lo largo de t años.
𝐼 = 𝐶𝑖 𝑟𝐶𝑖
1 Año
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 + 𝐶𝑖 𝑟
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟
2 Años
𝐼 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑟
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 +
+𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑟
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 2
…
…
…
…
t Años
𝐶 𝐹
𝐼 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑡−1 𝑟
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑡−1 +
+𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑡−1 𝑟
𝑪 𝑭 = 𝑪𝒊 𝟏 + 𝒓 𝒕

7. INTERÉS COMPUESTO
Si los periodos de capitalización son distintos de un año, y
suponemos que hay k periodos de capitalización en un año:
• Por una parte habrá que calcular el rédito para cada
periodo de capitalización, que se hace dividiendo el rédito
anual entre el número de periodos de capitalización que
haya en un año.
• Por otra parte habrá que considerar que en t años habrá k
veces más periodos de capitalización.
La fórmula por tanto será:
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 +
𝑟
𝑘
𝑡·𝑘

8. INTERÉS COMPUESTO
Calcula el capital final que se obtiene al depositar 7500€ al
4% anual durante 3 años, con capitalizaciones bimensuales:
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟
𝑘
𝑡·𝑘
= 7500 1 + 0,04
6
3·6
≅ 8452,86€
Calcula el rédito al que hay que colocar 4000€ para que al
cabo de 6 años se obtenga un capital final de 6000€
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑡 ⇒ 6000 = 4000 1 + 𝑟 6 ⇒ 1,5 = 1 + 𝑟 6 ⇒
⇒
6
1,5 = 1 + 𝑟 ⇒ 𝑟 =
6
1,5 − 1 ≅ 0,0699 = 6,99%
Halla el tiempo que deben estar depositados 5000€ al 3% de
interés anual para que se conviertan en 6149,37€
𝐶 𝐹 = 𝐶𝑖 1 + 𝑟 𝑡
⇒ 6149,37 = 5000 1 + 0,03 𝑡
⇒
⇒ 1,23 = 1,03 𝑡 ⇒ 𝑙𝑜𝑔1,23 = 𝑡 · 𝑙𝑜𝑔1,03 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔1,23
𝑙𝑜𝑔1,03 ≅ 7

9. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
Las operaciones de capitalización son operaciones en las
que se entrega un capital cada periodo de tiempo de forma
que, al finalizar la operación, se consigue un capital que es la
suma de los capitales entregados más los intereses generados.
Cuando se ingrese siempre la misma cantidad y los
periodos sean anuales, serán anualidades de capitalización.
Ejemplos de este tipo de operaciones son los planes de
pensiones y las cuentas ahorro vivienda.

10. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
Suponemos que entregamos al principio de cada año la
misma cantidad, que denotaremos por a.
𝐶 𝐹 =
𝑎 1 + 𝑟 1 + 𝑟 𝑡
− 𝑎 1 + 𝑟
1 + 𝑟 − 1
=
𝑎 1 + 𝑟 𝑡+1
− 𝑎 1 + 𝑟
𝑟
Año 1
Año 1
Año 2
Año 2
Año t
Año t
𝑎
Inicio
𝑎
Inicio
𝑎
Inicio
𝑎 1 + 𝑟 𝑡
𝑎 1 + 𝑟
𝑎 1 + 𝑟 𝑡−1
Fin
𝑎 1 + 𝑟 2
𝑎 1 + 𝑟
Fin
𝑎 1 + 𝑟
Fin
… ……………
…
…
…
…
…
…
…
El capital final es la suma de los capitales de última columna,
que forman una progresión geométrica de razón 1 + 𝑟

11. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN
Calcula el capital con el que se contará tras ingresar 400€ al
principio de cada año durante 20 años al 5% de interés.
𝐶 =
𝑎 1+𝑟 𝑡+1− 1+𝑟
𝑟 =
400 1,05 21− 1,05
0,05 ≅ 13887,70€
Calcula durante cuántos años hay que ingresar 400€ anuales
para reunir 4185,55€ si el interés es del 3% anual.
𝐶 =
𝑎 1+𝑟 𝑡+1− 1+𝑟
𝑟 ⇒ 4185,55 =
400 1,03 𝑡+1− 1,03
0,03 ⇒
⇒ 4185,55 · 0,03 + 400 · 1,03 = 400 · 1,03 𝑡+1 ⇒ 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔1,34
𝑙𝑜𝑔1,03 − 1 ≅ 9
Calcula qué cantidad hay que ingresar al principio de cada
año durante 5 años al 5% para reunir 50000€
𝐶 =
𝑎 1+𝑟 𝑡+1− 1+𝑟
𝑟 ⇒ 50000 =
𝑎 1,05 6− 1,05
0,05 ⇒
⇒ 𝑎 = 50000·0,05
1,056−1,05
≅ 8617,85€

12. ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
En esta ocasión es el banco el que nos ha prestado un
dinero y nosotros debemos devolver el préstamo mediante el
pago de una cantidad fija cada año, que se llamará anualidad
de amortización.
Al final, la suma de las cantidades aportadas más los
intereses generados por dichas cantidades deberá ser igual a
la cantidad prestada, más los intereses que hubiera generado
dicha cantidad.
El ejemplo más común de préstamo es el préstamo
hipotecario, que es el que se concede para la compra de una
vivienda.

13. ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
En esta ocasión, los pagos se realizan al finalizar cada
periodo. Llamaremos a a la cantidad que se paga.
• Al final de primer periodo ingresamos la cantidad a, que se
convertirá al final de la operación en:
𝑎 1 + 𝑟 𝑡−1
• Al final del segundo periodo ingresamos la cantidad a, que
se convertirá al final de la operación en:
𝑎 1 + 𝑟 𝑡−2
• Así sucesivamente con cada periodo, hasta el penúltimo
periodo que ingresamos la cantidad a que se convierte al
final de la operación en:
𝑎 1 + 𝑟
• La operación concluye con el último pago de la cantidad a.

14. ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
Como se ha comentado, la suma de todas las cantidades
anteriores deber ser igual al capital prestado más los intereses
que hubiera generado: 𝐶 1 + 𝑟 𝑡 Es decir:
𝑎 + 𝑎 1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑎 1 + 𝑟 𝑡−1
= 𝐶 1 + 𝑟 𝑡
Vemos que a la izquierda hay la suma de t términos de una
progresión geométrica de primer término a y de razón 1 + 𝑟
𝑎 1 + 𝑟 𝑡 − 𝑎
1 + 𝑟 − 1
= 𝐶 1 + 𝑟 𝑡
⇒
𝑎 1 + 𝑟 𝑡 − 1
𝑟
= 𝐶 1 + 𝑟 𝑡
⇒
𝑎 =
𝐶𝑟 1 + 𝑟 𝑡
1 + 𝑟 𝑡 − 1
Si hubiera k periodos de
capitalización al año, nos quedaría:
𝑎 =
𝐶 𝑟
𝑘 1 + 𝑟
𝑘
𝑡·𝑘
1 + 𝑟
𝑘
𝑡·𝑘
− 1

15. ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
Calcula la anualidad que deberá pagarse para devolver un
préstamo de 120000€ en 20 años al 4% de interés anual.
𝑎 = 𝐶𝑟 1+𝑟 𝑡
1+𝑟 𝑡−1
= 120000·0,04·1,0420
1,0420−1
≅ 8829,81€
Halla el importe máximo del préstamo que podemos solicitar
si se va a pagar en 15 años, al 5% anual, y si podemos pagar
900€ cada tres meses como máximo.
𝑎 =
𝐶
𝑟
4
1+
𝑟
4
4𝑡
1+
𝑟
4
4𝑡
−1
⇒ 900 =
𝐶
0,05
4
1+
0,05
4
60
1+
0,05
4
60
−1
⇒ 𝐶 =
900· 1+
0,05
4
60
−1
0,05
4 1+
0,05
4
60 ⇒
⇒ 𝐶 ≅ 37831,13€

16. PARÁMETROS ECONÓMICOS
• El TAE
En algunas operaciones financieras los periodos de
capitalización son diferentes de un año.
Podemos observar que para un mismo rédito, el capital
final es mayor cuánto menor sea el periodo de capitalización.
La Tasa Anual Equivalente (TAE) es el rédito que
produciría el mismo capital si el periodo de capitalización
fuera de un año.
𝐶𝑖 1 +
𝑟
𝑘
𝑘
= 𝐶𝑖 1 + 𝑇𝐴𝐸 ⇒ 𝑇𝐴𝐸 = 1 +
𝑟
𝑘
𝑘
− 1
En la fórmula anterior, el TAE está dado en tanto por uno.
Para verlo como tanto por ciento, multiplicaremos por 100

17. PARÁMETROS ECONÓMICOS
• Números índice
Los números índice expresan la variación de una
magnitud económica relativa a un momento concreto del
tiempo que llamaremos referencia o base.
El número índice correspondiente al momento 𝑡1
respecto a un momento 𝑡0 dividiremos el valor de la
magnitud correspondiente al momento 𝑡1 entre el valor de la
magnitud correspondiente al momento 𝑡0.
Para ver este número como un porcentaje, multiplicamos
por 100.
𝑁𝐼𝑡1
𝑡0
=
𝑥𝑡1
𝑥𝑡0
· 100

18. PARÁMETROS ECONÓMICOS
• El índice de precios al consumo (IPC)
Se trata de un caso particular de número índice, donde se
comparan los precios en un tiempo 𝑡0 con los precios en un
tiempo 𝑡1
Los precios utilizados para el IPC son los que se
consideran representativos del consumo habitual. Cada uno
de ellos con un peso o ponderación según su importancia:
𝐼𝑃𝐶 =
𝑝1
𝑡1
· 𝑞1
𝑡1
+ ⋯ + 𝑝 𝑛
𝑡1
· 𝑞 𝑛
𝑡1
𝑝1
𝑡0
· 𝑞1
𝑡0
+ ⋯ + 𝑝 𝑛
𝑡0
· 𝑞 𝑛
𝑡0
• 𝑝𝑖
𝑡1
y 𝑞𝑖
𝑡1
son los precios y sus ponderaciones en el año 𝑡1
• 𝑝𝑖
𝑡0
y 𝑞𝑖
𝑡0
son los precios y sus ponderaciones en el año 𝑡0

19. PARÁMETROS ECONÓMICOS
• El índice de desarrollo humano (IDH)
Es un indicador socioeconómico elaborado por la ONU
para medir el grado de desarrollo de los diferentes países.
Se trata de la media aritmética de tres indicadores:
• La esperanza de vida al nacer o longevidad (L)
• El nivel de estudios académicos (E), que mide su nivel
cultural.
• La renta per cápita (R), que mide el nivel económico de los
habitantes.
Cada uno de los indicadores se expresa en un número
entre 0 y 1, siendo 1 el nivel más alto.
𝐼𝐷𝐻 =
𝐿 + 𝐸 + 𝑅
3

20. PARÁMETROS ECONÓMICOS
• El Euribor
Se trata de la principal referencia sobre el tipo de interés
al que se presta dinero en la zona euro.
El la media aritmética simple de los tipos de interés que
aplican los principales bancos de la zona euro cuando se
prestan dinero entre ellos.
El Euribor es el acrónimo de European Interbank Offered
Rate, que significa “tipo europeo de oferta interbancaria”

21. PARÁMETROS ECONÓMICOS
Calcula el TAE equivalente al 6% anual con capitalizaciones
bimensuales
𝑇𝐴𝐸 = 1 + 0,06
6
6
− 1 ≅ 6,15%
En la tabla se dan las poblaciones de una ciudad a lo largo de
los últimos años. Calcula la variación relativa al año 2011
𝑁𝐼2010
2011
= 65998
65525 · 100 ≅ 100,72%
Año Población
2010 65998
2011 65525
2012 65362
2013 64986
2014 64423
𝑁𝐼2012
2011
= 65362
65525 · 100 ≅ 99,75%
𝑁𝐼2013
2011
= 64986
65525
· 100 ≅ 99,18%
𝑁𝐼2014
2011
= 64423
65525 · 100 ≅ 98,32%

22. PARÁMETROS ECONÓMICOS
En la tabla se muestran los precios del carburante durante los
meses de enero y febrero de 2015 en la provincia de Zamora.
Se muestra también su ponderación. Calcula el IPC del
carburante del mes de febrero
Enero Febrero Ponder.
SP 95 1,120 1,207 30%
Diésel 1,081 1,152 50%
SP 98 1,240 1,327 5%
Dies. Cal 1,149 1,222 15%
𝐼𝑃𝐶 =
𝑝1
𝑡1·𝑞1
𝑡1+⋯+𝑝 𝑛
𝑡1·𝑞 𝑛
𝑡1
𝑝1
𝑡0·𝑞1
𝑡0+⋯+𝑝 𝑛
𝑡0·𝑞 𝑛
𝑡0
= 30·1,207+50·1,152+5·1,327+15·1,222
30·1,120+50·1,081+5·1,240+15·1,149
⇒
⇒ 𝐼𝑃𝐶 ≅ 1,0692 = 106,92%
Así que los precios subieron un 6,92% en febrero de 2015.