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Unidad 1

  1. 1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS GUIA UNIDAD I: Expresiones Algebraicas CINU – Octubre 2013 “El éxito no es la clave para la felicidad. La felicidad es la clave del éxito. Si le gusta lo que está haciendo, usted será un éxito”
  2. 2. Expresiones Algebraicas Definición:Es la combinación de constantes, variables y signos de operación que, entre otras cosas, pueden definir una regla o principio general. Un ejemplo de expresión algebraica es: -2/3 Está compuesta por términos y cada término consta de: Variable de un término: es aquella(letra) sobre la cual se define el término o expresión algebraica e indica que su valor va variando. Grado: Es el número que se encuentra en la parte superior derecha de la variable. Signo: Es el que precede al término, puede ser positivo (+) o negativo (-), si éste no aparece, el signo del término es positivo. Coeficiente: Es el factor que acompaña a la parte variable, y su valor no cambia, es constante. Término: Es cada sumando, o cada parte, en una expresión algebraica, separada por + o −. Tipos de Expresiones Algebraicas: Se definen como toda expresión algebraica en donde las potencias son números enteros positivos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas enteras se clasifican en: Monomios: Cuando consta de un solo término, por ejemplo: Binomio: Cuando Consta de dos términos, por ejemplo: Trinomio: Cuando Consta de tres términos, por ejemplo: Polinomio: cuando consta de más de un término:
  3. 3. Expresiones Algebraicas Racionales Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras en la cual sus variables deben estar afectadas por exponentes enteros. Ejemplos: ,2 Expresiones Algebraicas Radicales Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz. Ejemplos: , Valor Absoluto El valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. =3 =3 Propiedades de las Expresiones: Adición: Ejemplo 1.- (Suma de polinomios de igual grado) A= B= Resultado:
  4. 4. (2 ) + (-5 )= -3 - 18 NOTA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado (el resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado). Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0 . Y por último, se les suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. Ejemplo 2.-(Suma de polinomios de distinto grado) A= B= Resultado: (0 )+( )= NOTA: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede término a término con el otro polinomio. Ejemplo 3.- (Uno de los términos del resultado es cero) A= B= Resultado: ( ) + (0 )= Nota: La suma de los términos de grado 2 dio 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero.
  5. 5. Ejemplo 4.-(No hay términos semejantes) A= B= Resultado: ( ) + (0 )= 4x3 + x2 - 2x + 5 4x3 + x2 - 2x + 5 Nota:Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. Ejemplo 5-(Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y Resultado: (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y)= = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = Nota: Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma "parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. Sustracción: Ejemplo 1.- (Resta de polinomios de igual grado) A= - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B= 5x4 - 10 + 3x + 7x3 Resultado:
  6. 6. (9x4- 4x3 - 3x2+ 1/2 x -8) – (5x4+ 7x3+ 3x – 10) La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: = (9x4- 4x3 - 3x2+ 1/2 x -8) + (-5x4-7x3- 3x+10) = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 Nota: Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Ejemplo 2.- (Resta de polinomios de distinto grado) A= 5x - 4 - 3x2 B= 2x + 4x3 + 1 + 5x2 Resultado: (0x3 - 3x2 + 5x – 4) – (4x3 - 5x2 + 2x + 1) = (0x3 - 3x2 + 5x – 4) + (-4x3 + 5x2 - 2x - 1) = -4x3 + 2x2 + 3x – 5 Nota: Igual que en la suma, en el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede término a término con el otro polinomio. Multiplicación: EJEMPLO 1.- (Multiplicación por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4
  7. 7. -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base. También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. EJEMPLO 2.- (Multiplicación de polinomios completos) A= B = 3x - 6 +2x+1 A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.
  8. 8. EJEMPLO 3.- (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios. EJEMPLO 4.- (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2
  9. 9. En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x2, no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué pensar en dónde ponerlos. EJEMPLO 5.- (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x2 debajo del -27x2, y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado. EJEMPLO 6.- (Sin ordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2
  10. 10. Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente. División: Ejemplo 1.- De polinomios entre monomios A= B= 4x + + 20x Hallar: A ÷ B + 4x = + 4x + 20x = 4x4x Resultado:A ÷ B = Ejemplo 2.- Polinomio entre polinomio A= Hallar: A ÷ B B= (-) (-) Resultado:A ÷ B = X+ 5 X+5

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