matemcaticas

1. MATRICES

2. MATRICES
• INTRODUCCION

3. Definición:
Una matriz es todo aquel arreglo rectangular
de elementos de R ó C en filas y columnas
perfectamente definidas. Una matriz no está
asociada a un valor real o complejo.
• Ejemplo:
2 3
9 29
Es una matriz de elementos:2,3,9 y 29.

4. 1. Notación Matricial
A las matrices se les designa mediante
símbolos o letras mayúsculas y a los elementos
con la designación Aij.
• Donde:
i: es la fila i – ésima.
j: es la columna j – esima.

5. A los elementos de las matriz se les aísla
mediante el uso de paréntesis o corchetes.
• Ejemplo:
A=
3
7
2
9
15
23
F
I
L
A
S
B=(7 4 9 5 ); C= [ a i j ]
COLUMNAS
Una matriz carece de valor numérico.

6. 2. Orden de una Matriz
Se establece por el producto de una matriz.
• Donde:
m: Es el número de filas de la matriz.
n: Es el número de columnas de la matriz.
• Ejemplo:
A=
3
7
2
9
15
23
es una matriz de 3. 2; es decir 3 filas y
2 columnas.
También A= ( a i j ) m * n
que es la notación abreviada.

7. 3. Igualdad de matrices
Dos matrices M y N son iguales si verifican:
i: Igualdad de orden
ii: Igualdad de elementos correspondientes.
• Ejemplo:
B=
13
7
15
4
29
37
y
3*2
M=
13
7
15
4
29
37
B=M
3*2

8. 4. Matriz Cuadrada
Si el número de filas es igual que el número de
columnas.
• Ejemplo:
M=
41 29
37 87
es una matriz cuadrada.

9. • Únicamente las matrices cuadradas poseen
diagonales
denominadas
principal
y
secundaria.
• Ejemplo:
11
5
81
21
10
18
3
29
Es la diagonal secundaria
9
Es la diagonal principal

10. 5. La Matriz Nula
Aquella cuyos elementos son iguales a cero.
• Ejemplo:
H=
0 0
0 0
;
Q=
0 0
0 0
0 0

11. 6. La Matriz Diagonal
Es la matriz cuadrada cuyos elementos son
iguales a cero con excepción de los elementos de
la diagonal principal.
• Ejemplo:
M=
4 0
0 15
;
M=
17 0 0
0 5 0
0 0 23

12. 7. La Matriz Escalar
Es toda matriz diagonal en La cual todo sus
elementos son iguales.
• Ejemplo:
Q=
12 0
0 12
;
T=
5 0 0
0 5 0
0 0 5

13. 8. La Matriz Identidad
• Es toda matriz diagonal en la cual los
elementos de la diagonal principal son iguales
que la unidad.
• Ejemplo:
G=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I

14. 9. Transpuestas de una matriz (
)
Es la que se obtiene de transformar las filas en
columnas.
• Ejemplo:
A=
9 35 41
2 10 38
=
9
35
41
2
10
88

15. 10. Matriz Simétrica
Si A es matriz cuadrada y A =
• Ejemplo:
A=
2
5
11
5
4
17
11
17
6
=
2
5
11
5 11
4 17
17 6
Los elementos simétricos de la diagonal principal son
iguales.

16. 11. Matriz Antisimétrica
Si A es cuadrada y A = A es Asimétrica.
• Ejemplo:
A=
0
4
9
-4
0
16
-9
-16
0
;
A es Antisimétrica.
=
0
-4
-9
4 9
0 16
-16 0
A=-

17. 12. Adición de Matrices
Si A y B poseen el mismo orden, la suma se realiza con los
elementos correspondientes.
• Ejemplo:
A=
2
7
31
41
6
8
y
B=
10
40
2*3
60 80
90 100
2*3
Por tener iguales ordenes.
A+B=
2 + 10
7 + 40
31 + 60
41 + 90
6 + 80
8 + 100
.A+B=
12 91
47 131
68
108

18. 13. Axiomas de la Adición de Matrices:
M, N y P
•
M+N=N+M
Conmutatividad
•
(M + N) + P = M + (N + P)
Asociatividad
•
K (M + N) = KM + KN,
Si “K” es escalar o elemento de R
•
1. M = M
•
-M = (-1)M
•
M – N = M + (-M)
Existencia del elemento opuesto
definición de sustracción de matrices.

19. 14. Multiplicación de un Escalar por
una Matriz
Al multiplicar una matriz por un escalar K, éste
se distribuye sobre cada elemento de la
matriz.
• Ejemplo:
40.
5 7
3 11
9 2
=
5.40
3.40
9.40
7.40
11.40
2.40
=
200
120
360
280
440
80

20. 15. Multiplicación de una Matriz Fila
por una Matriz columna
Si A es un matriz de orden 1.n y B una matriz
de orden n.1, luego A.B es de orden 1.1 (un
elemento de R).
A.B = [a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + … + a1n bn1]
• Ejemplo:
(2 5 18)1.3
3
4
7
= (2.3 + 5.4 + 18.7 )1.1 = (6+20+126)1.1 = (152)1.1
3.1

21. 16. Multiplicación de dos Matrices
Definición:
Sean las matrices [a i j]m*n y [b i j]n*p
[a i j]m*n X
• Ejemplo:
7 9
4 3
(7 9) g h j
14
11
2*2
[b j k]n*p = [c i x]m*p
=
2*1
14
11
(4 3) g d f 14
11
7.14 + 9.11
=
2*1
2*1
197
98 + 99
=
4.14 + 3.11
=
56 + 33
2*1
89
2*1

22. 17. Axioma de la Multiplicación de
Matrices: A, B y C
i. A.B
B.A
ii. A.B = B.A
A=B
iii. (A+B).C = A.C + B.C
iv. C.(A+B) = C.A + C.B
v. A.B.C = A.(B.C) = (A.B).C
vi. A.A = A
vii. A. A = A y A . A = A

23. 18. Determinante de una Matriz
cuadrada
A=
a c
b a
det A det =
a c
b d
= ad - bc

24. 19. Menor de una Matriz cuadrada
Es una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor
“Mij” a la matriz cuadrada de orden “n-1” que resulta
de eliminar los elementos de la fila i y la columna j,
luego del (Mij) se denominará menor complementaria
de la matriz M.
• Ejemplo:
M=
3 7 11
4 8 31
9 2 41
M31 =
3 7 11
4 8 31
9 2 41
M31=
M31=
Eliminar la fila 3
Y la columna 1
7 11
8 31
Es el menor del
elemento a31

25. 20. Cofactor del elemento aij de una
matriz cuadrada
Si aij es el elemento y mij es el menor, se
define el cofactor del elemento aij como:
aij = (-1)
det (mij)

26. 21. Matriz de cofactores
• Sea M una matriz cuadrada de orden n tal que
Aij es el factor del elemento aij y sea Cofac (M)
la matriz de los cofactores de M.
cofac. (M)
A11 A12…………… Am
A21 A22 ……….... A2m
A31 A32 ……………A3m
……………………………………
An1 An2
Anm

27. 22. Matriz Adjunta
La matriz adjunta de M es la matriz transpuesta
de la matriz de los cofactores de M, si:
Adjunta (M) = [Cofact (M)]

28. 23. La Matriz Inversa
• Si M es una matriz cuadrada, se denomina matriz
inversa como M y definida por:
M =
x [Adjunta(M)]; det (M)
0

29. 24. Propiedad
M.M
= I o M .M= I

30. 25. Sea el sistema de ecuaciones
simultáneos de incógnitas x e y
ax + by = p
X
y
mx + ny = q
=
a b
m n
.
P
q

31. • Ó
ax + by + cz = p
mx + ny + qz = r
ix + ky + mz = t
X
Y
z
MATRIZ DE
INCOGNITAS
=
a b c
m n q
I k u
MATRIZ
INVERSA
DE LOS
COEFICIENTES
.
p
r
t
MATRIZ DE LOS
TERMINOS
INDEPENDIENTES