El resumen analiza 15 problemas relacionados con la trigonometría circular. Los problemas incluyen calcular valores, determinar veracidad de proposiciones, hallar áreas de regiones y calcular expresiones trigonométricas. El documento proporciona información relevante para comprender conceptos básicos de trigonometría circular.

1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
1.
RESOLUCIÓN
Si: " "
¿Qué valores puede tomar “x”
para que se cumpla:
x
Sen
2
x
3
1
1 sen
1 2x
3
Como: sen
siendo
2
III C
1 2x
0
3
3 1 2x 0
4
2x
1
1
2 x
2
1
"x"
;2
2
1
un arco del tercer cuadrante?
1 3
;
5 5
2
D) 0;
5
1 2
;
5 5
3
E) 0;
5
A)
B)
C)
1;
1
5
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
x 2
3
Sen
Como:
x 1
2
III C
5x 1
6
1
3.
Sen
0
5x 1
0
6
6 <5x 1 > 0
5 <5x < 1
1
1<x<
5
1;
Sabemos:
0 cos2
1
3
1 sen
1
RPTA.: C
2.
Si: sen
B) 36
E) 20
C) 9
RESOLUCIÓN
1
5
1-2x
3
Indique el producto de los
valores mínimo y máximo de la
expresión:
Q 4 3 cos 2
2 sen 3 ;
A) 18
D) 40
1
x
0
" "
IIIC ;
Halle la variación de “x”
1
1
;2
2;
A)
B)
2
2
1
;2
C)
D) 2;2
2
E) 1;1
3 ….(i)
2 .(ii)
0 3 cos2
2 2sen 3
(i) + (ii):
2 3 cos 2
2sen 3
2 4 3 cos
2
QMínimo
“Q”
Qmínimo
máximo
2sen
5
3
9
QMàximo
18
RPTA.: A

2. 4.
Determine la veracidad (V) o
falsedad (F) de c/u de las
siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 (
(II) sen 6 > sen4 > sen5 (
(III) cos 6 cos1 cos5 (
(IV) cos 2 cos 4 cos3 (
A) FFVV
C) VVFV
E) VFVF
A) VVFV
C) VVVF
E) VFFF
)
)
)
)
B) VFVF
D) VFFV
RESOLUCIÓN
2
x2
B) VVFF
D) FVFV
x1
RESOLUCIÓN
1,57
2
2
cos 2
1
O
sen 4
314
cos 3
sen 3
2
sen 6
3
sen 1
sen 2
cos 1
6,28
I.
II.
III.
IV.
RPTA.: E
sen 5
6
cos 4
6.
cos 5
3
2
4,71
2
x2
5
;
x1
analizar
cos( x1 )
III.
IV.
tgx1
valor de:
E 5 cos a 3 sen b siendo “a” y
“b” ángulos diferentes.
mínimo
ctg( x2 )
B) -5
E) -8
C) -6
RESOLUCIÓN
Como:
EMin
EMin
5
E 5 cos a
Mín
Mín
1
3 sen2 b
Máx
3(1)
8
RPTA.: E
7.
Calcule el valor máximo que
toma la expresión:
cos( x2 )
tgx2
ctg( x1 )
el
A) -4
D) -7
la
verdad (v) ó falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
sen x1 sen x2
I.
II.
Halle
2
Según la C.T. las proposiciones
serán:
(I)
(V)
(II)
(V)
(III)
(F)
(IV)
(F)
RPTA.: C
Si:
(V)
(F)
(F)
(F)
cos 6
4
5.
sen x, sen x 2
cos ( x1 ) cos( x 2 )
tg x1 tg x 2
ctg ( 1) ctg ( x 2 )
E
4 sen x 3
4 sen x

3. 7
3
7
D)
4
1
5
3
E)
5
A)
B)
2
5
C)
9.
y
y
C)
E)
1
;1
3
1
;1
2
4 sen 2 x 1
0 4 sen 2 x 4
1 y 3
y
1; 3
RPTA.: C
10.
cos x
B)
D)
Halle
cos x
Entre que límites está “a”
A)
1)
Pero: 0 sen 2 x 1
RPTA.: B
IV C
de
B) 0; 3
D) 1; 4
2; 3
1; 3
1; 2
Como: y
Pero: 1 sen x 1
3 4 sen x
5
1
1
1
5 4 sen x 3
7
1
1
E
Emáx
3
5
5
x
intervalo
RESOLUCIÓN
Como:
4 sen x 3
E
4 4
4 sen x
19
E
4
4 sen x
Si:
el
(2 senx 1)(2 senx
A)
C)
E)
RESOLUCIÓN
8.
Calcule
3a 1
4
1;1
1
;1
4
los
valores
30 , si x 0;30
A)
1
;1
2
B)
3
;1
2
C)
1 3
;
2 2
D)
3 1
;
2 2
E)
de
1;1
RESOLUCIÓN
Como:
0
x 30
30
1; 2
x 30
60
C.T.
RESOLUCIÓN
Como: 0
0
1
3
a
cos 60º
cos x 1
3a 1
1
4
a 1
O 60º
cos 30º
1
;1
3
RPTA.: A
cos x 30
O 30º
1 3
;
2 2
RPTA.: C

4. 11.
Si
y
II C
csc
sen
sen
2
1
RESOLUCIÓN
determine la variación de “
csc2 ”
A)
C)
E)
9
;10
2
B)
3 3
;
4 4
2 sen
2
1
1
sen
2
3 2
;
5 5
1
3 1
2
3
2
2
3
3 7
D)
;
5 5
5
O
6
9
;4
4
RESOLUCIÓN
csc
1
1
C.T.
sen
1
II C
Como
0 sen 1 1 sen
1 2
1
1
3
1
1
1
2 sen
1
2
sen
2 5
;
3 6
RPTA.: C
1
2
13.
csc
9
Luego:
csc2
4
9
csc2
;4
4
En la figura mostrada halle las
coordenadas del punto “P”
y
4
Determine la extensión de “
que cumple con:
1
2
2 sen
2
1
A
O
”
P(x,y)
3 1
2
A)
2 5
;
3 6
B)
2 5
;
3 6
A) P
C)
5
3 6
D)
2 5
;
3 6
C) P
E)
2 5
;
3 6
;
1
1
RPTA.: E
12.
C.T.
1
sen ; cos
B) P sen ; cos
sen ; cos
D) P cos ; sen
E) P sen ; cos
x

5. RESOLUCIÓN
Del gráfico:
2 cos
S
y
cos ;sen
C.T.
sen ;cos
3 cos
S
RPTA.: E
14.
En
la
circunferencia
trigonométrica mostrada halle
el área de la región sombreada.
y
sen
2
P sen ;cos
 sen
2
S
sen
2
3 cos
S
x
O
cos
2
1,5sen cos
RPTA.: A
15.
En
la
figura
halle
PR ,
si:
5
7
sen
y
1
1
1
P
x
O
1
A
R
C.T.
A)
B)
C)
D)
E)
x
1
C.T.
2
1,5.sen .cos
1,5.sen .cos
2
3.sen .cos
2
2
3.sen .cos
sen .cos
7
11
10
D)
7
A)
2
RESOLUCIÓN
B)
7
10
C)
11
7
E) 2
RESOLUCIÓN
y
y
C.T.
C.T.
P
1
x
O
cos
sen
S
2 cos
R
O
1
cos
sen
M
5
7
x

6. PMO : 1
5
7
2
24
cos2
49
2
PMR : PR
2
PR
sen
2
RESOLUCIÓN y
2
PM
2
cos
2
MR
cos
cos
2
2
2
2 cos
2
sen 2
4 cos2
25
24
2
PR
4
49
49
121
2
PR
49
11
PR
7
PR
sen
B’
RPTA.: C
16.
En
la
circunferencia
trigonométrica determine el
área de la región en término de
“ “ siendo OP PB .
y
(+)
sen
S
2
S
´
M
( )
cos
1
2
sen . cos
.u 2
2
2
RPTA.: B
Q
17.
o
A
Del gráfico mostrado calcule el
área
del
cuadrilátero
sombreado. y
P
C.T.
B’
sen
B)
2 cos
1
2 cos2
C)
D)
2 sen
1
1 2 cos .sen
E)
sen
A)
sen cos
2
sen 
cos
2sen
1
x
A) 0,5 sen
cos
B) 0,5 sen
cos
C) 0,5 cos
sen
D)
0,5 sen
cos

7. E) 0,5sen
cos
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
y
S S1 S 2
Calculamos
C.T.
2
2
cos 135º
135º
cos
180º
S1
210º
cos180º
1
cos 210º
3
2
x
S2
sen
cos
Se observa:
210
Si: 135
1 cos
1
(cos )
2
1
(sen )
2
0,5(sen
S1
S2
S
2
1
2
2
2 cos
2
P 1
1
2cos
1 0
2; 0
RPTA.: D
cos )
RPTA.: A
18.
Si se sabe que: “
,
P
dar
la
2 . cos
1
A)
C)
E) 1
”
135 ; 210
variación
de:
19.
Si: 2
sen
halle: “ csc
1
8 5cos
sec
“
A) 2
9
4
E)
9
4
B)
2
2
B) 1
2; 0
D)
2; 1
D) 1
2; 0
,
C)
1
4
1
4
RESOLUCIÓN
1;
2; 0
Condición:
2
sen 1
8 5cos
Se observa que:
sen 1 0 sen
1
sen
1
sen
1
csc
1
¡Incompatible!
Reemplazando en la condición:
2 0
8 5cos

8. cos
4
5
csc
sec
csc
1
5
4
1
( sen
cos )
2
1
S
. 2 sen
4
2
3
Como:
4
3
2
4
4
2
sen
1
2
4
1
1
4
S
RPTA.: C
20.
3
;
4
Si
,
de
la
circunferencia
trigonometrica
determina la variación de la
región sombreada.
1
2
2
. sen
2
S
1 2
;
2 2
4
2
2
RPTA.: A
21.
A)
1 2
;
2 2
C) 0;
E)
B) 0;
1
2
D)
2
2
x2
y2
1 2
;
2 2
cos ;sen
sen
sen ; cos
cos
1
1 sen
2
cos
1
x
1 3
;
2 2
RESOLUCIÓN
S
Halle el área de la región
sombreada en términos de “
”.
y
A) 1 cos
C) 1 sen
E) 2 sen
B) 1 sen
D) 1 cos

9. 2b - a = 1...
RESOLUCIÓN
y
3b = 2
b
sen
x
1
3
a
1 + Sen
cos
2
3
a
b
tg
tg
1
1
3
2
3
tg
III C, tg ( )
1
2
RPTA.: C
A = (1 + sen ) x 1
A = 1 + sen
23.
RPTA.: C
22.
El siguiente gráfico es una
circunferencia trigonométrica.
Calcule el área del triángulo
EBF.
Calcule “ tg ” en el siguiente
circulo trigonométrico.
y
B
y
F
A
x
1
A
=
=
2
A)
2
B) 2
1
C)
2
3
D)
2
E) 1
2b = 1 + a
C.T.
E
C.T.
A) cos
C) sen
RESOLUCIÓN
a+b=1…
(
OBT) =
1 1 a
1
b
2
x
E)
BPR
1
sen
2
B) 2 cos
D) 2 sen

10. RESOLUCIÓN
24.
Si:
2
3 tg x
1,
entonces
todos los valores de “x” en
que
verifique
la
0;
B
cos
F
desigualdad, se
comprendido en:
encuentran
1
A)
C)
B)
;
3 2
2 3
;
3 2
D)
;
4 3
;
6 3
E) 0; 6
E
RESOLUCIÓN
1
(2) cos
2
Área EBF cos
Área EBF
RPTA.: A
1 2
1
3
3 tan x 1
3
tg x
3
3
3
3
3
x
3tg x
1
;
6 3
RPTA.: D