S

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Circunferencia Trigonométrica”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con circunferencia trigonométrica.
 Representar gráficamente las razones trigonométricas de arcos dirigidos en posición
normal.
 Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
Definición
Se llama circunferencia trigonométrica a aquella
circunferencia cuyo centro coincide con el origen del
sistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del
sistema. En el gráfico adjunto tenemos:
Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en
grados sexagesimales, en radianes o como números
reales, para ello se recomienda tener en cuenta:
Líneas trigonométricas
Son segmentos de medida positiva, negativa o nula;
que van a representar los valores numéricos de las
razones trigonométricas de un arco, ángulo o número
real, siempre que esté definido.
1. L.T. seno
Variación del seno de un arco:
2. L.T. coseno
Variación del coseno de un arco:
B
y
M
B' N
R = 1
A' A
x


(+)
(-)
y 
2

2
0
x
3
2

y
90º
180º
360º
270º
0º
x
y
0
x
1,57
6,28
4,71
3,14
y
A
x
Q
sen
(-)

-1
sen
(+)

M
1sen
(+)
N

sen
(-)

P

IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 1 1 0 0 -1 -1 0
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
sen

IC
0

2
IIC

2
IIIC

3
2

IVC
2
3
2

0 11 0 0 -1 -1 0
0<cos <1 0<cos <1-1<cos <0 -1<cos <0
cos

Semana N° 5

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
3. L.T. tangente
4. L.T. Cotangente
En el gráfico:
Se observa que BT

representa a la cotangente del
arco trigonométrico .
Línea Secante:
En el gráfico:
Se observa que OR

representa a la secante del arco
trigonométrico.
Línea Cosecante:
En el gráfico:
Se observa que OM

representa a la cosecante del
arco trigonométrico.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Sabiendo que ¿Cuál es la variación
de:
a) b) c)
d) e)
2) Halle “b” si pertenece a una
circunferencia cuya ecuación es x2 + y2 = 1
A) B) C) D) E)
3) Calcule los valores que toma “k”;
si K3 = 7cos2x + seny, además x e y son
variables independientes.
A) B) C) D) E)
4) Si , Hallar el intervalo de:
y
x
N

M

cos
(-)
-1
1
cos
(+)
A

P
cos
(-)
 cos
(+)

Q
y
x
N

O
P


Q

M
T
T1
A
tan
tan
tan
tan


C.T.
P
0
T
rad
Tangente
Geométrica
tangente
geométrica


C.T.
P
0
rad
A
Y
tangente
geométrica


C.T.
P
M
0
rad
B(0;1)Y
IIC
?1Sen3L 
2;0 2;1 3;0
1;1  2;4
3
P ;b
2
 
  
 
1
2
2
2

1
2

1
2

2
2

 1;8 1;2  1;2  2;1  2;8
;5
2 6
 

1 2sen
M
1 2sen
 

 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
A’ AO
B
B’

y
x
L
A) B) C) D) E)
5) Siendo , hallar los valores de 𝛼 tal
que:
A) B) C) D) E)
6) Halle el área de la región sombreada:
A) B)
C) D)
E)
7) Hallar 𝜃 si el área de la región sombreada es
A) B) C) D) E)
8) Si “A” es el máximo valor y “B” el mínimo
valor de la expresión:
𝑀 = (3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) (3 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)
Calcular:“A + B”
A) 2 B) 0 C) 17 D) 9 E) 1
9) Calcular el producto del máximo y mínimo
valor de:
Siendo α, β y  independientes entre sí.
a) 0 b) 4 c) 8 d) - 8 e) - 12
10) En la figura, calcule la longitud del segmento
A) sec2 𝜃-1 B) csc 𝜃 +1
C) sec 𝜃 -1 D) 1-tg 𝜃 E) 1-cot 𝜃
11) Determine el área de la región sombreada en
la C.T.
a) Sen b) -Cos c) Sen/2
d) -Cos e) -Cos/2
12) Determine el área de la región sombreada en
la C.T.
a) Tg b)
c) -Tg d) -
e) -Tg2 
13) Determine la variación de:
a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5]
d) [-1,3] e) [-3,3]
14) Si: 
6
5
;0x









2
Hallar los valores de: 1senx3P 
A) [-1; 13  ] B) [ 1
2
3
 ; 13  ]
C) [- 3 ; 13  ]
D) [-1; 13  > E) [0; 13  ]
 1,  1, 1, 
1
,1
2 , 2 
0;2 
sen cos 
;
4
 
   0;2
;
4 2
  
  
5
;
4 4
  
  
5
;
4 4
 
1
sen (1 sen )
2
  
1
sen .sec
2
3 
1
sen .cos
2
   
1
sen . 1 sen
2
2  
1
.cos .csc
2
3 
1
u
8
2
6

8


4


6


3


 Sen|Cos|3Sen2),,(f 2
PQ
A’ AO
B
B’

y
x
2
Tg
2
Tg
3Cos2A 2


4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-05 Ingreso Directo
y
x
L : y-2x+ 1= 01x + y = 12 2

15) Hallar los valores de la expresión:
x2sen4x2sen2P 2
 . Si: x R
A) [0; 6] B) [-6; 6] C) [-4; 4]
D) <-2; 6> E) [-2; 6]
16) Hallar el área de la región sombreada en la
C.T.
a) b)
c) d) e)
17) Siendo , Señale la variación de:
a) b) c) d) e)
18) Sabiendo que
Señale la variación de:
a) b) c) d) e)
19) En la C.T. calcular un valor de:
a) b)
c) d) e) 1
20) Hallar todos los valores que debe tomar "K"
para que la igualdad no se verifique:
a) b)
c) d) e)
21) Sabiendo que:
¿Cuál es la variación de :
a) b) c)
d) e)
22) Si: ; ;
Calcular la suma del máximo y mínimo valor
de :
a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) – 2
23) De las cuatro proposiciones, indicar dos que
son imposibles:
I. II. ,
III. ; IV.
a) I y II b) I y III c) II y IV
d) II, III e) III, IV
24) Dada la C.T. hallar el arco de la región
sombreada en términos de 
A) )cossen(
2
1

B) )cossen(
2
1

C) )tg(
2
1

D) )cossen(
2
1
 E) )tg(
2
1

25) Dada la C.T. hallar el área de la región
sombreada en términos de :
A)  tg)cos1( 2
B)  tg)cos1( 2
C)  tg)cos1( 2
D)  tg)cos1( 2
E) )cos1(tg2

26) En la figura la ordenada del punto “P” es:
A)


sen1
cos
B)


cos1
sen
C)


sen1
cos
D)
1cos
sen


E)
2
sen


y
x
C.T.
150º
2
4
1
4
3 







 2
34
1 




 
2
2
1
6





  2
2
1
2





  2
2
1
3





 
24
5;
8
x 
1
4
x2Sen2
4L





 

2;1 4;1 4;2 6;3 8;4



 
8
7;
24
17x
3
12
x2Cos4L 




 
 3;1  3;1  5;1  3;3  6;3
 CosSenK
5
3
5
4
5
7
5
1
5
3K2Sec 
4K1K  4K1 
4K1  4K1K  4K1K 
 2x
?1
2
xCos3L 
 2;4 2;4 1;4
1;4   1;4
2
 
2  2
 Sen4Cos3Sen2E
2xSen3 2
 mn2Cosx)nm( 22
 Rnm 
2222
nmCscx)nm(  0nm  3Secx 