Ejercicio en el que calculo el equilibrio de Nash tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas.

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es
EJERCICIO DE TEORÍA DE JUEGOS: CÁLCULO DEL EQUILIBRIO DE
NASH EN ESTRATEGIAS PURAS Y EN ESTRATEGIAS MIXTAS
Enunciado:
Calcule los Equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como en estrategias mixtas,
de los siguientes juegos:
(a)
Jugador nº 2
Jugador
nº1
X Y
A 0,2 2,0
B 5,4 0,1
(b)
Jugador nº 2
Jugador
nº1
X Y
A 0, 0 1, 1
B 2, 2 0, 0
SOLUCIÓN
(a) En estrategias puras es sencillo; subrayamos los mejores pagos que cada jugador
pueda obtener en función de la estrategia que el otro pueda seguir; las celdas en
las que ambos pagos estén subrayados constituirán un Equilibrio de Nash:
Jugador nº 2
Jugador
nº1
X Y
A 0, 2 2, 0
B 5, 4 0, 1
En este caso, por tanto, el único equilibrio de Nash en estrategias puras es: (B, X).
En estrategias mixtas hay que hallar la función de pagos de cada jugador, y
desarrollar el ejercicio de la manera siguiente:
1
1
0 2 (1 ) 5 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 5 5 ;
2 7 5
PJ pq p q p q p q p pq q pq
PJ p pq q
           
  

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p
q
1
1
2/7
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos:
1 (2 7 ) [5 ]PJ p q q  
Lo representado entre corchetes va a obtenerlo el jugador nº 1 independientemente
de cuál sea su elección pues no depende de p. El otro sumando es el que, por
tanto, nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo
que haga el otro.
Fácilmente se puede apreciar que si 2 7,q  el valor del paréntesis es cero, por lo
que el jugador nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá
en el pago que va a recibir.
En otras palabras, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 2/7 y
por la estrategia Y con probabilidad 5/7, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pago
utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de
ambas.
Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 2/7, el valor del paréntesis será positivo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p debe valer 1.
Finalmente, si q tiene un valor superior a 2/7, el valor del paréntesis será negativo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p debe valer 0.
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nos
indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.

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Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:
2
2
2 0 (1 ) 4 (1 ) 1(1 ) (1 )
2 4 4 1
3 1
PJ pq p q p q p q
pq q pq p q pq
PJ pq q p
        
      
    
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos:
2 (3 ) [1 ]PJ q p p   
Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes va
a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues no
depende de q. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer
cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador.
Fácilmente se puede apreciar que, sea cual sea el valor de p, el valor del paréntesis es
po-sitivo dado que p es una probabilidad y por tanto su valor está comprendido
entre cero y uno, por lo que el jugador nº 2, si pretende maximizar su pago, habrá
de dar a q el va- lor más alto posible, es decir, tratándose como en este caso de una
probabilidad, q debe valer 1.
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nos
indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p.
Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada individuo,
que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos ante lo que haga el
otro, obtendremos, allí donde coincidan, los Equilibrios de Nash.
1
p
q
1

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En este caso, el único Equilibrio de Nash en estrategias mixtas (E.N.E.M.) es aquel
en el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia B con probabilidad 1 y el jugador nº 2
emplea la estrategia X con probabilidad 1; es el Equilibrio de Nash que ya habíamos
calculado en estrategias puras, y no hay ninguno más.
(b) Resolviendo del mismo modo que el ejercicio anterior, los Equilibrios de Nash
en estrategias puras son (B, X) y (A, Y):
Jugador nº 2
Jugador
nº1
X Y
A 0, 0 1, 1
B 2, 2 0, 0
Puede ocurrir, no obstante, que exista algún otro Equilibrio de Nash en estrategias
mixtas. Lo calculamos, hallando en primer lugar la función de pagos de los
individuos, sus correspondientes funciones de reacción, y finalmente la intersección
entre ellas.
1
1
0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ;
3 2
PJ pq p q p q p q p pq q pq
PJ p pq q
           
  
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 1, tenemos:
1 (1 3 ) [2 ]PJ p q q  
p
q
1
1
2/7

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Como se puede apreciar, si 1 3,q  el valor del paréntesis es cero, por lo que el jugador
nº 1 será indiferente ante cualquier valor de p, pues eso no influirá en el pago que va a
recibir.
Dicho de otro modo, si el jugador nº 2 opta por la estrategia X con probabilidad 1/3
y por la estrategia Y con probabilidad 2/3, el jugador nº 1 obtendrá el mismo pago
utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de
ambas.
Por otro lado, si q tiene un valor inferior a 1/3, el valor del paréntesis será positivo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más alto posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p debe valer 1.
Finalmente, si q tiene un valor superior a 1/3, el valor del paréntesis será negativo,
por lo que si el jugador nº 1 pretende maximizar su pago habrá de dar a p el valor
más bajo posible, es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad,
p deberá valer 0.
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 1 que nos
indica cuál es el p óptimo (p*), en función del valor de q.
Análogamente, la función de pagos del jugador nº 2 será:
2
2
0 1 (1 ) 2 (1 ) 0 (1 ) (1 ) 2 2 ;
3 2
PJ pq p q p q p q p pq q pq
PJ p pq q
           
  
Sacando factor común la variable de decisión del jugador nº 2, tenemos:
2 (2 3 ) [ ]PJ q p p  
Del mismo modo que ocurría con el jugador nº 1, lo representado entre corchetes va
a obtenerlo el jugador nº 2 independientemente de cuál sea su elección pues no
depende de q. El otro sumando es el que, por tanto, nos va a interesar para conocer
cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador.
p
q
1
1
1/3

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Fácilmente se puede apreciar que si p es 2/3, el valor del paréntesis será cero, por lo
que el jugador nº 2 estará indiferente por el valor de q, dado que siempre obtendrá
el mismo pago sea cual sea éste. Si p es menor de 2/3 el valor del paréntesis será
positivo, por lo que lo óptimo para el jugador nº 2 será otorgar a q el valor 1 (es
decir, utilizar la estrategia X), mientras que si p es mayor de 2/3, dado que el valor
del paréntesis será negativo, debería utilizar la estrategia Y (o lo que es lo mismo,
dar a q el valor cero).
Podríamos representar, por tanto, esta función de reacción del jugador nº 2 que nos
indica cuál es el q óptimo (q*), en función del valor de p.
Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada uno de los
dos individuos, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos
ante cualquier estrategia que pueda seguir el otro, obtendremos, allí donde
coincidan, los Equilibrios de Nash.
En este caso, aparecen tres Equilibrios de Nash en estrategias mixtas (E.N.E.M.),
que son los dos que ya conocíamos en estrategias puras y uno adicional. Éste es
aquel en el que el jugador nº 1 utiliza la estrategia A con probabilidad 2/3 y la
1
p
q
12/3
1
p
q
12/3
1/3

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estrategia B, por tanto, con probabilidad 1/3, y el jugador nº 2 emplea la estrategia
X con probabilidad 1/3 y la estrategia Y con probabilidad 2/3:
E.N.E.M. (2 3 1 3 , 1 3 2 3 ).A B X Y  
El E.N. que figura en la parte superior izquierda del gráfico es en el que p vale cero
y el valor de q es 1; es decir, (B, X). El de la parte inferior derecha se produce para
unos valores de p y de q, respectivamente, de uno y cero, por lo que se trata del
E.N. ( , ).A Y
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/juegos.html