1. GEOMETRÍA
→ Producto escalar de dos vectores.
u v u v
⃗⋅⃗ =∣⃗∣∣⃗∣cos(α)=x u · x v + y u · y v +z u · z v
2
2
2
→ Módulo de un vector. ∣⃗∣= √ ⃗ ·⃗ = √ x + y +z
u
u u
u v u v
→ Perpendicularidad de vectores. ⃗ ⊥ ⃗ → ⃗ · ⃗ =0
⃗ ⃗ ⃗
i
j k
·El área del paralelogramo determinado
u v
u v
u v
→ Producto vectorial de dos vectores ⃗ ×⃗ = x u y u k u
por ⃗ y ⃗ es el módulo de ⃗ ×⃗ .
u v
·Para w ⊥ ⃗ y ⃗ hallaremos ⃗ ×⃗ .
⃗ u v
La j se cambia
xv yv k v
∣
de signo
∣
∣
∣
xu
→ Producto mixto de tres vectores. [⃗ ,⃗ , w ]= x v
u v ⃗
xw
yu zu
Es el volumen del paralelogramo
y v z v definido por esos vectores.
yw zw
→ Ecuaciones de la recta.
⃗
·Ecuación vectorial: OX =⃗
p+λ ⃗
d
x= p x +d x λ
y= p y +d y λ
z= p z+d z λ
x− p x y− p y z− p z
·Ecuación continua:
=
=
dx
dy
dz
ax+by+cz+d =0
·Ecuación implícita:
a ' x +b ' y+c ' z+d ' =0
·Ecuaciones paramétricas:
→ Posiciones relativas de dos rectas.
Suponiendo las siguientes rectas:
{
}{
( ) (
x= p x +d x λ
r y= p x +d y λ
z= p z+d z λ
x= p' x +d ' x λ
s y= p ' x +d ' y λ
z= p ' z +d ' z λ
De las que deducimos las siguientes matrices:
dx d 'x
M= d y d 'y
dz d'z
dx d'x
M '= dy d'y
d z d 'z
Si despejamos λ
}
p ' x− p x
p ' y− p y
p ' z− p z
)
Entonces:
·Rectas coincidentes si : rang(M)=rang(M')=1 por consiguiente:
⃗ ⃗
·Rectas paralelas si: rang(M)=1 rang(M')=2 d∥d ' → p ' ∉r
·Rectas que se cortan si: rang(M)=rang(M')=2
·Rectas que se cruzan si: rang(M)=2 rang(M')=3
→ Ecuaciones del plano.
⃗
·Ecuación vectorial: OX =⃗
p+λ ⃗ +μ ⃗
u
v
⃗ ⃗
d∥d ' → p ' ∈r
x= p x +u x λ+v x μ
·Ecuaciones paramétricas : y= p y +u y λ+v y μ
z = p z +u z λ+v z μ
·Ecuación implícita: ax+by +cz+d =0
·Ecuación a partir de un punto y un vector normal: a ( x− x 0)+b( y− y 0 )+( z− z 0)=0
Suponiendo este punto del plano: P 0 (x 0 , y 0 , z 0)
n
Y este vector normal del plano (perpendicular a él) ⃗ (a , b , c)
Si X pertenece al plano entonces: ⃗ ⊥⃗ →( a , b , c)· (x−x y− y z −z )=0
n P X
0
0,
0,
0

2. → Posiciones relativas de dos planos.
Suponiendo los siguientes planos:
ax+by+cz+d =0
a ' x +b ' y+c ' z+d ' =0
De los que deducimos las siguientes matrices:
(
M= a b
a ' b'
c
c'
)
(
M '= a
a'
b c d
b' c ' d '
)
Entonces:
·Planos que se cortan si: rang(M)=rang(M')=2
·Planos paralelos si: rang (M)=1 rang(m')=2
·Planos coincidentes si: rang(M)=rang(M')=1
→ Posición relativa de un plano y una recta.
⃗
Una recta r de vector dirección d es paralela o esta contenida en un plano de vector
⃗ n
⃗ n
n
normal ⃗ cuando d ⊥ ⃗ y solo en este caso d · ⃗ =0
→ Distancias.
⃗
·Entre dos puntos: dist ( P1, P 2 )=∣P 1 P 2∣
·Entre un punto y una recta:
Suponiendo la siguiente recta(R):
x− p x y− p y z− p z
=
=
dx
dy
dz
y el siguiente punto (P)(a,b,c)
-Método del punto genérico (si nos piden la recta):
1º Obtenemos un punto genérico de P igualándolo a λ y despejando esta.
RP
2º Obtenemos el vector variable ⃗ .
⃗ que sea perpendicular a R (producto escalar).
3º Hacemos al vector RP
4º Despejamos λ.
5º Para este punto tenemos el punto buscado P'.
-Método del producto vectorial (si nos piden la distancia):
1º Obtenemos un punto genérico de P igualándolo a λ y despejando esta.
RP
2º Obtenemos el vector variable ⃗ .
3º Aplicamos la siguiente fórmula
∣⃗ · ⃗
RP d∣
⃗
donde d es
dist ( P , R)=
⃗
∣d∣
el vector dirección de R.
·De un punto a un plano.
Suponiendo el punto P ( x 0 , y 0 , z 0 ,)
y el plano Π=ax+by+cz +d =0
1º Sustituimos el punto P en el plano Π.
2º Aplicamos la siguiente fórmula:
∣ax +by +cz +d∣
dist ( P , Π)= 0 2 0 2 0 2
√ a +b +c
·De una recta a un plano.
~Si se cortan la distancia es 0.
~Si no se cortan se extrae un punto cualquiera y se aplica la fórmula anterior.
·Entre dos planos.
~Si se cortan la distancia es 0.
~Si no se cortan se extrae un punto del plano y se aplica la fórmula anterior.
·Entre dos rectas que se cruzan.
-Método del punto genérico (si nos piden la recta):
1º Sacamos los puntos genéricos de ambas rectas.
2º Obtenemos el vector resultante de los puntos genéricos
anteriormente calculados.
3º Obligamos al vector a que sea perpendicular a los vectores dirección de
ambas rectas.
4º Resolvemos el sistema de ecuaciones y sustituimos en los puntos

3. genéricos reduciendo de este modo a la distancia entre dos puntos.
-Método del producto mixto (si nos piden la distancia):
1º Sacamos los puntos genéricos de ambas rectas.
2º Obtenemos el vector resultante de los puntos genéricos
anteriormente calculados.
3º aplicamos la siguiente fórmula:
∣[ ⃗ , ⃗ , ⃗ ]∣
u v PQ
dist ( r , s )=
donde u y
∣⃗ · ⃗∣
u v
v son los vectores dirección de las rectas y PQ el vector resultante de los puntos
genéricos.
→ Áreas y volúmenes.
u v
·Área de un paralelogramo: ∣⃗ ×⃗∣
1⃗ ⃗
∣ AB× AC∣
2
1
∣[⃗ , ⃗ , w ]∣
u v ⃗
·Volumen del tetraedro:
6
·Área de un triángulo: