Conceptos y ejemplos de: Definición de conjuntos Operaciones con conjuntos Números reales Desigualdades Definición de valor absoluto Desigualdades con valor absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Números
reales
Estudiante:
Liliana Hernández
Sección:TU0123
Febrero,2023

2. Definición de conjuntos
Un conjunto es una colección de
elementos considerada en sí misma
como un objeto. Los elementos de un
conjunto, pueden ser las siguientes:
personas, números, colores, letras,
figuras, etc. Se dice que un elemento
pertenece al conjunto si está definido
como incluido de algún modo dentro de
él.

3. Tipos de conjuntos
• Conjuntos finitos : Sus elementos pueden contarse o
enumerarse en su totalidad. Por ejemplo: los meses
del año, los días de la semana o los continentes.
• Conjunto infinito : Sus elementos no se pueden
contar o enumerar en su totalidad, debido a que no
tienen fin. Por ejemplo: los números.
• Conjunto unitario : Está compuesto por un único
elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento
en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”.
• Conjunto vacío : No presenta ni contiene elementos.
• Conjunto homogéneo : Sus elementos presentan
una misma clase o categoría.
• Conjunto heterogéneo: Sus elementos difieren en
clase y categoría.

4. Conjuntos y subconjuntos
Se denomina subconjunto al conjunto que se
encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el
conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos
los elementos de A están incluidos en B.
Por ejemplo:
•Los números impares son un
subconjunto del conjunto
números naturales.

5. La álgebra de conjuntos​​​ es el estudio de las operaciones
básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión,
intersección y complementación.
Operaciones con conjuntos
Ejercicio
con el operador unión
 La unión de los conjuntos A={10,20,30} y B={40,50,60}
sería el conjunto C={10,20,30,40,50,60}, esto es:
{10,20,30}∪{40,50,60}={10,20,30,40,50,60}
*Solución : Sean A y B dos conjuntos, la junta de ambos (A ∪ B) es el
conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al
conjunto A o al conjunto B. Es la suma de ambos conjuntos que dan
como resultado el conjunto C.

6. Ejercicio
con el operador complemento
Solución : El complemento de U conjunto ,
se forma con los elementos que le hacen
falta al conjunto A para ser igual al conjunto
universal esto de representa con Ac. Es otro
conjunto que contiene todos los elementos
que no están en el conjunto original.
El símbolo del operador es : A∁, o también se suele representar con el símbolo A
.
Resultado:
U = {1,3,5,7,9,11}
A = { 1,3,5,7} por lo tanto
Ac = Es {9,11} ya que son los elementos que le
hacen falta al conjunto A para ser igual al
conjunto U.

7. Números reales
El conjunto de los números reales (denotado por R) incluye tanto
los números racionales (positivos, negativos y el cero) como
los números irracionales​ y en otro enfoque, a los transcendentes y a
los algebraicos. Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra
entre menos infinito y más infinito.
En los números reales existen dos operaciones
básicas: la suma y la multiplicación. De ellas se
extiende la resta y división como operaciones
opuestas de la suma y la multiplicación
respectivamente.

8. Propiedades de los números reales
• Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no altera el producto. Ejemplo:
• a+b=b+a
• 2+3=3+2=5
• Propiedad asociativa de la suma: dados tres o más sumandos, se pueden agrupar de cualquier forma sin que
se altere el resultado. Ejemplo:
• a+b+c=a+b+c=a+(b+c)
• 2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1
• Propiedad conmutativa de la multiplicación: el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo:
• a*b=b*a
• 2*3=3*2=6
• Propiedad asociativa de la multiplicación: dados tres o más factores, se pueden agrupar de cualquier forma
sin que se altere el resultado. Ejemplo:
• a*b*c=a*b*c=a*(b*c)
• 2*3*6=2*3*6=2*3*6=36
• Propiedad distributiva: es una propiedad derivada de la suma y la multiplicación. Dados tres números a, b y c el
producto de a por la suma b con c es igual a la suma de los productos ab y ac. Ejemplo:
• a*(b+c)=a*b+a*c
• 2*(3+6)=2*3+2*6=18
• Elemento neutro de la suma y la multiplicación:
• El elemento neutro de la suma, es aquel número que sumado con otro da como resultado al segundo número.

9. Ejercicio
Dados los siguientes números:
a) Coloca cada número en su conjunto (o conjuntos, si
pertenece a más de uno) correspondiente.
b) Ordena los números de menor a mayor
a)SOLUCIÓN
Conjunto Números
N (naturales)
Z (enteros)
Q (racionales)
I (irracionales)
R (reales)
b) Ordenar :

10. Ejercicio 2
 En la siguiente igualdad 35+37=3(5+7)35​+37​=3(5​+7​) se ejemplifica la propiedad _________ de
los números reales.
1. Asociativa
2. Distributiva
3. Conmutativa
4. Neutro aditiva
• Solución: la respuesta correcta es la
b) Propiedad Distributiva. Ya que si se examina la igualdad con atención y recuerda la forma de la
propiedad distributiva: a*(b+c)=a*b+a*c te darás cuenta que el número 3 juega el papel de a, 5 seria b
y 7 la letra c.

11. Desigualdades
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Propiedades de desigualdades :
• Transitividad
• Adición y sustracción
• Multiplicación y división
• Opuesto
• Reciproco
• Función monótona
• Valor absoluto

12. Definición de valor absoluto
El valor absoluto de un número es la
distancia desde 0 hasta ese número
en la recta numérica. El valor
absoluto se relaciona con la medida
de distancias o diferencias en los
casos en donde la dirección no es
importante. El valor absoluto
siempre es positivo.
El valor absoluto es denotado por dos
líneas verticales que encierran al número
o a la expresión. Por ejemplo, el valor
absoluto del número 3 es escrito |3|. Esto
significa que la distancia desde 0 es 3.

13. Valor Absoluto — Enfoque Numérico
El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número,
variable o expresión dentro de barras verticales, así:
|20|
|x|
Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre
positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor
absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos
deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El
valor absoluto de -5 es también 5.
¿Cuál de los siguientes es
el valor correcto de |6 − 9|?
A) -3
B) 3
C) (-3)
D) 15
B) 3
Correcto. |6 − 9| = |-3| = 3.
C) (-3)
Incorrecto. |6 − 9| = |-3|. Las barras de valor
absoluto no son lo mismo que los paréntesis. La
respuesta correcta es 3.

14. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que
tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro.
VALOR ABSOLUTO (<)
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
La desigualdad significa que la distancia entre X y 0 es menor
que

15. Ejercicio
Desigualdad de valor absoluto (<)
Resuelve la desigualdad ∣x+4∣−6<9.
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣x+4∣−6<9
∣x+4∣<9+6
∣x+4∣<15
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número positivo,
15. Nos movemos al paso 3.
Paso 3: Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este
problema es un signo menor que, por lo que formamos una desigualdad de
tres partes:
−15<x+4<15
Paso 4: Resuelve la desigualdad:
−15−4<x<15−4
−19<x<11

16. Ejercicio
Desigualdad de valor absoluto (>)
Resuelve la desigualdad ∣3x−4∣+9>5.
Paso 1: Despeja el valor absoluto:
∣3x−4∣+9>5
∣3x−4∣>5−9
∣3x−4∣>−4
Paso 2: ¿Es el número en el otro lado negativo? Sí, es un número
negativo, -4. Vamos a mirar los signos de cada lado de la
desigualdad para determinar la solución para el problema:
∣3x−4∣>−4
positivo > negativo
Este enunciado siempre es verdadero, por lo que la solución al
problema es todos los números reales.

17. Revisión bibliográfica
• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge
Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.
• https://www.neurochispas.com
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Jean Robert
Argand» (en inglés), MacTutor History of Mathematics
archive, Universidad de Saint Andrews.
• Larson, Harold J. (2002). «1. Teoría de
conjuntos». Introducción a la teoría de probabilidades e
inferencia estadística. Editorial
Limusa. ISBN 9789681807306.
• Nachbin, Leopoldo (1980). «1. Conjuntos y
funciones». Introducción al álgebra.
Reverté. ISBN 9788429150995.