Ampliación de Matemáticas 
Primera prueba de evaluación 
1. Comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de ...
3. Comprueba que y = cx + c2 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial 
y = xy0 + (y0)2 
Determina k de form...
6. Comprueba que 
y = 3 
 
1 + ce6x 
1 − ce6x 
 
es una familia de soluciones de la ecuación diferencial 
dy 
dx 
− y2 = −...
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  1. 1. Ampliación de Matemáticas Primera prueba de evaluación 1. Comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial x2y00 + xy0 + y = 0 Solución Derivando, se tiene y0 = 1 x (−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x)) y, también y00 = 1 x2 ((C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x)) Por lo tanto x2y00 + xy0 + y = (C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x) −C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x) +C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x) = 0 Así, pues, y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) verifica la ecuación diferencial y es, por tanto, una familia de soluciones. 2. Comprueba que y = C1ex+C2e−x+C3e2x+3 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y000 − 2y00 − y0 + 2y = 6 Solución Se tiene y0 = C1ex − C2e−x + 2C3e3x, y00 = C1ex + C2e−x + 4C3e3x e y000 = C1ex − C2e−x + 8C3e3x Por tanto y000 − 2y00 − y0 + 2y = C1ex − C2e−x + 8C3e3x −2C1ex − 2C2e−x − 8C3e3x −C1ex + C2e−x − 2C3e3x +2C1ex + 2C2e−x + 2C3e2x + 6 = 6
  2. 2. 3. Comprueba que y = cx + c2 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y = xy0 + (y0)2 Determina k de forma que y = kx2 sea una solución singular de la ecuación diferencial dada. Solución Se tiene que y0 = c y, por tanto, xy0 + (y0)2 = xc + x2 = y Por otra parte, para que y = kx2 sea solución de la ecuación debe cumplirse que kx2 = 2kx2 + (2kx)2 (Observa que y0 = 2kx). De donde (k + 4k2)x2 = 0 Así que debe ser k + kx2 = 0 y, resolviendo, o bien k = 0 o bien k = −1/4. 4. Encuentra, si es posible, m tal que y = xm sea solución de la ecuación diferencial x2y00 + 6xy0 + 4y = 0 Solución Teniendo en cuenta que y0 = mxm−1 e y00 = m(m − 1)xm−2, para que y = xm sea solución de la ecuación diferencial debe verificarse que m(m − 1)xm + 6mxm + 4xm = 0 Es decir, que m(m − 1) + 6m + 4 = 0 Resolviendo, entonces la ecuación. obtenemos m = −1 o m = −4. 5. Un medicamento se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con intensidad constante r gra-mos/ segundo. Simultáneamente, la sustancia se elimina con una velocidad proporcional a la can-tidad de sustancia x(t) presente en cada instante. Halla la ecuación diferencial que explica el comportamiento de x(t). Solución dx dt = r − kx, k > 0
  3. 3. 6. Comprueba que y = 3 1 + ce6x 1 − ce6x es una familia de soluciones de la ecuación diferencial dy dx − y2 = −9 Determina, si existen, soluciones que pasen por los puntos a) (0, 0), b) (0, 3) y c) (1/3, 1) Solución Derivando, se tiene y0 = 36ce6x (1 − ce6x)2 Por lo tanto, y0 − y2 = 36ce6x (1 − ce6x)2 − 9 (1 + ce6x)2 (1 − ce6x)2 = −9 Por otra parte, se tiene que para que la curva solución pase por (0, 0) ha de cumplirse que 0 = 3 1 + c 1 − c de donde c = −1. Del mismo modo, para que pase por (0, 3) ha de verificarse que 0 = 3 1 + ce18 1 − ce18 de donde se obtiene que c = −e18. Finalmente, para que pase por (1/3, 1) debe ser 1/3 = 3 1 + ce6 1 − ce6 y, resolviendo, c = −(4/5)e−6.

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