Solucion exámen mep 01 2005 versión word 2007

Examen Explicado por el profesor Marco A. Cubillo Murray 2011
SELECCIÓN

1) Uno de los factores de 16 x 2 − 80 x + 100 es:
A) 2 x − 5
B) 4 x − 5
C) 2 x + 5
D) 4 x + 5

Solución: Se resuelve utilizando la calculadora e introduciendo las valores para a=16,
b=-80 y c=100, ya que es una cuadrática. O también se puede resolver despejando la
− b ± b 2 − 4ac
ecuación general x = . Recordar que con la calculadora o por la
2a
5
fórmula general siempre obtenemos solo un valor x = , lo que indica que las dos
2
raíces deben ser iguales y se despejan como se muestra a continuación:

5
x= Lo primero es pasar el 2 a multiplicar.
2

2x = 5 Luego pasamos el 5 negativo.

2x − 5 = 0 Todo queda igualado a cero.

(2 x − 5)(2 x − 5) Ahora solo lo representamos como
factores, siempre deben ser dos.
Entonces la respuesta correcta es la opción: A.

2) Uno de los factores de − 3m 2 + 4mn − n 2 es:
A) m + n
B) 3m + n
C) 3m + 1
D) n − 3m
Solución: Este tipo de factorización se desarrolla muy bien por el método de
INSPECCIÓN, veamos su desarrollo:

− 3m 2 + 4mn − n 2 Lo primero es descomponer los
extremos cuadrados de las letras.
m n

m n Ahora colocamos los números
en cada columna que al ser
multiplicados me den en valor
que acompaña a cada letra al
cuadrado.

Examen de Bachillerato de Matemáticas Resuelto y Explicado Page 1

( − 3m + n) Ahora debemos colocar los
signos entre los valores para
obtener los factores
(m - n) correspondientes pero que
cumplan que la multiplicación
en cruz de ambos y su suma de
al valor del término del medio.
(− 3 • −1) + (1 • 1) = 4 . Incluso
observen que los signos también
deben corresponder a los signos
de las constantes de los
extremos.
(− 3m + n )(m − n ) Así es como quedan los factores.
La respuesta es la opción: D. Solo que está acomodada de diferente manera, por lo que
debo siempre fijarme de cómo me presentan las respuestas.

25 3
3) Uno de los factores de x 2 y − xy es:
4
A) x 3 y 3
5
B) x − y
2
5
C) x 2 + y 2
2
25 y 2
D) x 2 +
4
Solución: Para poder contestar de manera correcta, se debe primero aplicar el método
de factorizar por factor común, así logramos obtener entre los paréntesis la tercera
fórmula notable. Veamos como.

25 3
x2 y − xy Sacamos a factor común las
4
letras que se repiten, estas son la
 25 2 
xy x 2 − y  x y la y. Saldrán a factor las que
 4 
tengan el exponente más
pequeño.
 2  5 2 
xy x −  y   Ahora representamos el segundo
 2  
 
factor como un cuadrado
perfecto para poder aplicar


directo la tercera fórmula
 5  5 
xy x + y  x − y  notable, como sigue.
 2  2 
La respuesta entonces es la opción: B.

4) Uno de los factores de 6 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 8 es:
A) 3x + 2
B) 3 x 2 − 2
C) 3 x 2 + 2
D) (3 x − 2 )
2

Solución: El método de factorización que se debe aplicar aquí es el de AGRUPACIÓN.
Por dicha la operación está acomodaba de manera que los dos primeros se agrupan y los
dos juntos también, pero no se puede uno confiar ya que puede ser que nos presenten la
operación desordenada por lo que debemos acomodarla tomando como punto de partida
los factores literales o las letras y juntar las que son iguales. Veamos el método
aplicado.
6 x 3 + 12 x 2 − 4 x − 8 Ahora agrupemos los términos
semejantes.
(6 x + 12 x ) − (4 x + 8)
3 2
Observe que tuvimos que poner
paréntesis para agrupar y que
cuando un signo negativo queda
por fuera del mismo, lo que
queda adentro es cambiado de
signo.
6 x ( x + 2 ) − 4( x + 2)
2
Al aplicar factor común en cada
agrupación nos quedan los
paréntesis iguales, con esto
( )
(x + 2) 6 x 2 − 4 podemos también sacar a factor
común el mismo como sigue.
Claro hasta que factorizamos de
(
(x + 2)2 3x − 2
2
) nuevo por factor común es que
podemos obtener un respuesta al
ejercicio.
La respuesta es la opción: B.



n 2 − n − 12
5) La expresión es equivalente a:
2n 2 − 18
n+4
A)
2n − 3
n−4
B)
2(n − 3)
n−4
C)
2(n + 3)
n+4
D)
2(n + 3)
Solución: Aquí debemos aplicar lo que se nos presentó en la pregunta primera, la
cuadrática ya sea por calculadora o aplicando la fórmula general y abajo por factor
común, el fin último es simplificar al máximo la expresión. Veamos.

n 2 − n − 12
Aplicando arriba cuadrática y
2n 2 − 18
abajo factor común tenemos.
(n − 4)(n + 3)
( )
Ahora tenemos la tercera
2 n2 − 9
fórmula notable en el
denominador.
(n − 4)(n + 3) Entonces eliminamos los
2(n + 3)(n − 3)
paréntesis que son iguales ya
que se están multiplicando arriba
y abajo( numerador y
denominador). Entonces queda
(n − 4) la expresión.
2(n − 3)
La respuesta es la opción: B

NOTA: Existe otro camino para resolver este tipo de operación, cuando nos pregunten
sobre una expresión equivalente. Aprendamos este método donde la calculadora es
vital.
n 2 − n − 12
Le asignamos un valor numérico
2n 2 − 18
a la variable, cuando sean más
n=0 de una los valores serán
diferentes y resolvemos cuanto
(1) 2 − 1 − 12
nos da, para este ejemplo
2(1) 2 − 18
asignamos a n= 1. No debemos

asignar un valor que me vaya a
afectar la expresión, como por
− 12 12 6 3
= = = ejemplo en el caso de fracciones
− 16 16 8 4
que me quede un CERO en el
denominador ya que la división
por cero no estás definida en
3
matemáticas. Ahora solo debo
4
sustituir el mismo o valores
1− 4
Opción: B. cuando sean más de una variable
2(1 − 3)
en cada una de las respuestas y
obtendremos la respuesta
−3 3
= correcta ya que esta será la que
−4 4
me de el mismo valor que la
operación original.

2x 4
6) La expresión − es equivalente a:
25 x − 1 10 x − 2
2

− 8x
A)
25 x 2 − 1
− 8x + 1
B)
25 x 2 − 1
− 8x − 2
C)
25 x 2 − 1
2x − 4
D)
25 x + 10 x − 3
2

Solución: Bueno ya sabemos que podemos tomar un atajo con solo sustituir la variable
por un valor numérico y probar cada una de las respuestas, la que de igual será la
respuesta correcta, esto quedara para el estudiante que desee aplicarlo. Nosotros vamos
a aplicar el proceso netamente algebraico.
2x 4
− Ahora aplicamos la suma de
25 x − 1 10 x − 2
2

fracciones.
(
2 x(10 x − 2) − 4 25 x − 1
2
)
( )
Aplicamos factor común tanto
25 x 2 − 1 (10 x − 2 )
arriba como abajo (numerador y
denominador) para ver que



2 x(2 )(5 x − 1) − 4(5 x − 1)(5 x + 1)
podemos simplificar eliminando
(5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1)
términos iguales en la fracción.
4 x(5 x − 1) − 4(5 x − 1)(5 x + 1)
Vamos a sacar a factor común el
(5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1)
paréntesis que se repite en cada
término como sigue.
(5 x − 1)(4 x − 4(5 x + 1)) Ahora eliminamos el factor con
(5 x − 1)(5 x + 1)2(5 x − 1)
uno de los de abajo que se están
multiplicando entre sí, sino el
(4 x − 4(5x + 1))
(5x + 1)2(5x − 1) proceso no sería válido.

Ahora sacamos a factor el
número 4 para simplificarlo con
4( x − (5 x + 1))
(5x + 1)2(5x − 1) el denominador.

2( x − (5x + 1))
(5x + 1)(5x − 1) Eliminamos ahora el paréntesis

del numerador y nos queda.
2( x − 5 x − 1)
(5x + 1)(5x − 1) Aplicar la suma o resta de

semejantes en el numerador.
signos cambiaron como se puede
observar.
2(−4 x − 1)
(5x + 1)(5x − 1) Por último solo realizamos la

operación en el numerador y al
− 8x − 2
denominador lo representamos
25x 2 − 1
como la tercera fórmula notable.
La respuesta entonces es la opción: B.



x 2 y 2 − 36 y 4 xy − 6 y 2
7) La expresión ÷ es equivalente a:
6 12
A) 2 y ( x − 6 y )
B) 2 y ( x + 6 y )

C)
(xy − 6 y )2 3

72

D)
(
xy − 6 y 2 ) (xy + 6 y )
2 2

72
Solución: Debemos aplicar la división de fracciones, la cual se ejecuta multiplicando en
cruz los términos y obteniendo una sola fracción. Claro está debemos factorizar cuando
así me lo permita la operación.

x 2 y 2 − 36 y 4 xy − 6 y 2
÷ Multipliquemos en cruz.
6 12

12( x 2 y 2 − 36 y 4 )
Ahora simplifiquemos los
6( xy − 6 y 2 )
números 12 y 6.
2( x y − 36 y )
2 2 4
Apliquemos factor común en el
( xy − 6 y 2 )
numerador y en el denominador.
2 y ( x − 36 y )
2 2 2
Veamos como nos queda de
y( x − 6 y)
nuevo la tercera fórmula notable
en el numerador (Arriba de la
2 y 2 ( x 2 − (6 y ) 2 )
fracción), entonces debemos
y( x − 6 y)
desarrollarla como sigue.
2 y ( x + 6 y )( x − 6 y )
2
Bueno solo simplifiquemos el
y( x − 6 y)
paréntesis igual.
2 y( x + 6 y) Además simplificamos la letra y
que estaba en el numerador al
cuadrado y abajo a la uno.
La respuesta es la opción: B.



8) El conjunto solución de 6 x 2 − 7 x = −2 es:
1 2 
A)  , 
2 3
1 
B)  ,1
3 
−1 − 2
C)  , 
2 3 
 7 + 97 7 − 97 
D)  , 
 12 12 
Solución: Lo que se debe hacer aquí es resolver la ecuación, despejando el valor de la
variable como sigue.
6 x 2 − 7 x = −2 Despejamos el -2 al otro lado del
igual y se le cambia de signo,
acorde a las leyes de ecuaciones.
6x − 7 x + 2 = 0
2
Ahora tenemos otra cuadrática,
solo utilizamos la calculadora y
obtendremos los valores para x,
2 1
X1 = X2 = aquí no se debe despejar la x,
3 2
sino que los valores que nos da
se aplican directo y YA.
La respuesta correcta es la opción: A.

9) El conjunto solución de x 2 + x = − x( x + 1) es:
A) {0}
B) { ,2}
1
C) {− 1,0}
 1
D) − 1, 
 2
Solución: Igual que la pregunta anterior solo debemos despejar la variable y como nos
volverá a quedar una cuadrática, solo utilizamos la calculadora.
x 2 + x = − x( x + 1) Realicemos la multiplicación del
término de la derecha del igual.
x2 + x = −x2 − x Ahora coloquemos las variables
al lado izquierdo, recordar
cambiar de signos.
x +x +x+x=0
2 2
Sumemos los monomios
semejantes.
2x 2 + 2x = 0 Entonces el valor de las equis
serán.


X1 = 0 X 2 = −1 También se pudo resolver
mediante el factor común y
luego cada paréntesis igualarlo a
2 x ( x + 1) = 0 cero, para después solo despejar.
2x=0 y x+1=0
X=0 y X= -1
La respuesta correcta es la opción C.

10) El conjunto solución de − 3x − (1 − x ) = x − 4 es:
2

A) {3,1}
B) {− 3,1}
{
C) 3 − 6 ,3 + 6 }
D) {− 2 − 7 ,−2 + 7 }
Solución: Observemos que el paréntesis elevado al cuadrado es la tercera fórmula
notable de nuevo, así que solo debemos desarrollarla para comenzar y continuar con el
proceso.
− 3x − (1 − x ) = x − 4
2
Apliquemos la III fórmula
notable.
( )
− 3x − 1 − 2 x + x 2 = x − 4 Ahora quitamos el paréntesis,
pero hay que recordar que el
− 3x − 1 + 2 x − x = x − 4
2
signo negativo fuera cambia de
signo todo lo que está adentro.
− x −1 − x2 = x − 4 Restemos los monomios
semejantes.
− x − x − x = −4 + 1
2
Despejamos monomios con
variables (letras) a la izquierda y
constantes (números) a la
− 2 x − x = −3
2
derecha y efectuamos las
operaciones correspondientes.
− x − 2x + 3 = 0
2
Luego se acomoda el polinomio
de mayor a menor y despejamos
la constante a la izquierda para
X 1 = −3 X2 =1 tener la cuadrática. Claro ya
sabemos que hacer, solo aplicar
la calculadora o desarrollar la
fórmula general.
La respuesta es la opción B.



3x + 5 5 x − 1
11) Una solución de = es:
x +1 4x
A) − 8 + 31
B) − 8 + 62
− 8 + 31
C)
2
− 8 − 57
D)
7

Solución: Lo primero es pasar a multiplicar a ambos lados del igual los términos que se
encuentran en los denominadores, con el fin de que no hayan fracciones.
3x + 5 5 x − 1
= Pasemos entonces los
x +1 4x
denominadores a multiplicar a
ambos lados del igual.
4 x(3 x + 5) = ( x + 1)(5 x − 1) Luego desarrollamos las
multiplicaciones.
12 x + 20 x = 5 x − x + 5 x − 1
2 2
Ahora sumamos o restamos los
monomios que son semejantes.
12 x 2 + 20 x = 5 x 2 + 4 x − 1 Pasemos todos los términos al
lado izquierdo para tener otra
vez la fórmula cuadrática. Ya
12 x − 5 x + 20 x − 4 x + 1 = 0
2 2
sabemos como desarrollarla.
Claro antes debemos volver a
sumar o restar todos aquellos
7 x + 16 x + 1 = 0
2
monomios que sean semejantes.
− 8 + 57 − 8 − 57
X1 = X2 = Claro está con la calculadora lo
7 7
que obtenemos es un número
con decimales, por lo que la
X 1 = −0.0643 X 2 = −2.2214 única opción de verificar las
respuestas es probando los
resultados y ver cuál me da el
mismo número.
La respuesta es la opción D.



12) En un rombo, la medida de la diagonal mayor es tres veces la medida de la diagonal
menor. Si su área es 37,5 entonces. ¿ Cuál es la longitud de la diagonal mayor del
rombo?.
2 D=3X
A) 5
1
d=X
B) 15
C) 75
225
D)
4
Solución: Aca solo debemos utilizar la fórmula del área del rombo y asignar una
variable X a la medida del lado menor, veamos como.
D•d
A= Fórmula del área del rombo.
2
Pasemos el denominador (2) a
2A = D • d multiplicar al A, ya que nos dan
este dato.
Ahora solo sustituimos los
2(37.5) = (3 x ) • ( x ) datos.
75 = 3 x 2 Despejemos el 3 a dividir.
75
= x2 Por último sacamos la raíz
3
25 = x 2 cuadrada a ambos lados del
25 = x 2
igual y obtenemos la respuesta.
5= x Ahora solo debemos sustituir el
D = 3(x ) valor de X en el planteo original
D = 3(5) = 15 y obtenemos el resultado.
La respuesta es la opción B.

13) Considere el siguiente enunciado.

El producto de dos números enteros consecutivos disminuido
en 16 es igual al menor de ellos. ¿Cuál es el número?.

Si “X” representa el menor de ellos, entonces una ecuación que permite resolver el
problema anterior es.
A) x 2 − x = x + 16
B) x 2 + x = x + 16
C) x 2 + x = x − 16
D) x 2 − x = x − 16


Solución: Si x es el menor de ellos, el planteo quedará como sigue.
x( x + 1) − 16 = x Donde solo debemos despejar la
constante al lado derecho del
igual para obtener una ecuación
x + x = x + 16
2
igual a las que nos plantean las
respuestas. Claro está también se
debe efectuar la multiplicación
de los números consecutivos.
La respuesta correcta es la opción B.

4x 2 − x
14) Sea f una función dada por f ( x) = , la imagen de -5 es:
3x − 4
95
A)
11
105
B)
11
− 45
C)
19
− 105
D)
19
Solución: Debemos tener muy claro que -5 es la preimagen, o sea el valor X que será
sustituido en la función para obtener su imagen ya sea el valor Y.
4x 2 − x
f ( x) = Sustituyamos el valor de X en -5
3x − 4
4(−5) 2 − (−5)
f (−5) = Luego efectuamos las
3(−5) − 4
operaciones indicadas.
100 + 5
f (−5) = Obtenemos entonces la
− 19
respuesta correcta.
105
f (−5) = Pero no pueden haber negativos
− 19
en el denominador, por lo que
solo subimos el signo y lo
− 105
f (−5) = multiplicamos con el numerador.
19
La respuesta correcta es entonces la opción: D.



15) Si {(− 3,4 ), (− 1,2 ), (0,0 ), (1,2 ), (3,6 )} es el gráfico de una función, entonces el dominio
Y 6
de esa función es:
A) [0,6] 4 DOMINIO MÁXIMO

B) [− 3,6] 2

C) {0,2,4,6} X
D) {− 3,−1,0,1,3}
-3 -1 0 1 2 3

Solución: Aquí solo debemos ubicar que el dominio se ubica siempre en funciones en
el eje X, por lo que con solo identificar los valores de X de los pares de coordenadas
cartesianas es suficiente.
X= {− 3,−1,0,1,3} Sólo con esta análisis es
suficiente para tener la
respuesta.
La respuesta correcta es la opción D.

9x 2 − 4
16) El dominio máximo de la función dada por f ( x) = es:
3 + x2
A)
B) − {− 3,3}
− 2 2
C) − , 
 3 3
D) {
− − 3, 3 }
Solución: Bueno sabemos que debemos siempre fijarnos en el denominador de la
función, ya que cuando es una fracción el dominio estará limitado a todos los valores
menos los que me hacen cero el denominador ya que la división entre cero no está
definida en matemáticas. (restricción vital). Entonces procedemos como sigue:
9x 2 − 4
f ( x) = Separemos el denominador y lo
3 + x2
planteamos como sigue.
3+ x = 0
2
Igualamos a cero la expresión y
despejamos.
x 2 = −3 Luego para eliminar el cuadrado
de la variable solo se le saca raíz
x2 = − 3 en ambos lados del igual.
Pero de nuevo tenemos una
restricción ya que las raíces
x ≠ −3 negativas de números pares no
están definidas en matemáticas
Está claro que la respuesta será
todo el conjunto de los reales ya
que no existe ningún valor


definido que me haga cero la
función.
La respuesta correcta es la opción: D.

1
17) El dominio máximo de la función f dada por f ( x) = corresponde a:
− x+3
A) ]− α ,3[
B) ]− α ,3]
C) ]3,+α [
D) [3,+α [
Solución: La función planteada en principio es fraccionaria por lo que la restricción de
la división entre cero es importante, pero además tenemos una raíz, esto nos modifica el
planteo hacia una INECUACIÓN con el signo >, veamos:
1
f ( x) = Separemos el subradical y lo
−x+3
planteamos como sigue.
− x+3>0 Bien, despejemos la inecuación
para obtener todos los valores
− x > −3 que son permitidos en el
dominio máximo.
x<3 Observemos como cuando se da
un cambio de signo, ya sea
porque la X no puede quedar
negativa o por algún choque de
signos, la dirección del > cambió
−α -3 -1 0 1 2 3 a <.
La respuesta correcta es la opción: A.

18) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, el ámbito es:
A) Y
B) [0,2]
C) [0,+α [ 2
D) ]− α ,4[
X
−α 0 2 4

Solución: Según la gráfica el ámbito no tiene fin, este sabemos se encuentra sobre el eje
Y, y nos presentan una flecha sin termino, por lo que su fin será el infinito. Solo tiene
una principio en cero.
La respuesta correcta será la opción: C.


19) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, considere las siguientes
proposiciones:

I. f es constante en ]− α ,−6[
II. f es estrictamente decreciente en ]− 2,2[

¿Cuál de ellas son VERDADERAS?.
A) Ambas
B) Ninguna.
C) Solo la I. 2
D) Solo la II.

-4 -3 0 2 3

-4

Solución: Claramente observamos que ninguna de las proposiciones es VERDADERA
ya que la función tendrá los intervalos siguientes como correctos:
f constante en: ]− α ,−3]....[2,+α [
f es estrictamente decreciente en: [− 3,2]
La respuesta correcta será entonces la opción: B.

20) La pendiente de la recta que contiene los puntos (-2,3) y (-4,8) es:
5
A)
8
2
B)
11
−5
C)
2
−5
D)
8
Solución: La solución es realmente muy simple, ya que solo debemos asignar a cada
par de coordenadas cartesianas un orden lógico y aplicar la formula para su cálculo.
y − y1
m= 2 Esta es la fórmula a utilizar.
x 2 − x1
Ahora solo le asignamos las
posiciones a los pares de
(-2,3) serán ( x1 , y1 ) coordenadas.


(-4,8) serán ( x 2 , y 2 ) Solo debemos sustituir en la
fórmula y efectuar los cálculos
correspondientes.
8−3
m= Tenemos entonces.
− 4− − 2
−5
m=
2
La respuesta correcta será entonces la opción: C.

3 y
21) El punto donde la recta definida por x − = −1 se interseca con el eje “Y”
2 4
corresponde a:
A) (4,0 )
B) (0,4 )
−2 
C)  ,0 
 3 
 −2
D)  0, 
 3 

Solución: Lo primero es tener la ecuación lineal representada de la forma general:
y = mx + b . Luego solo identificamos cual es el valor de la “b” ya que este será el
punto de corte con el eje de coordenada “y”.
y −3
− = x −1 Primer paso de despeje de la Y.
4 2
−3 
− y = 4 x − 1 Segundo paso de despeje.
 2 
− 12
−y= x−4 Luego de multiplicar el 4 por
2
todo lo que está adentro del
paréntesis.
− y = −6 x − 4 Ahora solo le cambiamos el
signo a la Y, ya que no puede
y = 6x + 4 quedar negativa nunca. Claro
todo lo demás también cambia
de signo.
La respuesta será entonces la opción: B. Veamos gráficamente la respuesta.
Para esto solo debemos calcular dos valores: Cuando x=0 y cuando y=0. luego
marcamos los pares de coordenadas.

X 0 −2
3
Y 4 0



Cuando x=0 entonces Y= 4.

y = 6(0) + 4
y = 0+4 Punto de
y=4 corte con el
4 eje Y
−2 Par de
Cuando y=0 entonces X= coordenadas
3 (0,4)
0 = 6x + 4 (x,y)

− 4 = 6x
−4 −2
=x -1 0
6 3
−2
=x
3

22) Una ecuación de una recta, paralela a la dada por la ecuación 3 y − 5 = −2 x es:
3
A) y = x − 5
2
2
B) y = x − 5
3
−3
C) y = x+5
2
−2
D) y = x+5
3

Solución: Para que una recta sea paralela a otra solo de debe cumplir que: m1=m2,
entonces solo debemos despejar la ecuación original y localizar el valor de la pendiente
m, la respuesta será aquella que tenga el mismo valor en su pendiente.

3 y − 5 = −2 x Despejemos la ecuación en
función del valor Y.
3 y = −2 x + 5
− 2x + 5
y= Ahora solo debemos representar
3
a fracciones homogéneas.
− 2x 5 −2
y= + Entonces el valor de m1 es: .
3 3 3
Respuesta: La opción correcta será: D.



23) La ecuación de la recta a la que pertenece el punto (2,-3) y que es perpendicular a la
recta determinada por 4 x − 2 y + 6 = 0 es equivalente a:
A) y = 2 x − 7
1
B) y = x − 4
2
C) y = −2 x + 1
−1
D) y = x−2
2

Solución: La condición vital para que dos rectas sean perpendiculares es que sus
pendientes cumplan que: m1 • m2 = −1 . Entonces solo debemos calcular el valor de la
pendiente de la ecuación que nos dan y calcular la pendiente de la recta que nos piden,
para luego poder calcular el valor de la variable b. Veamos como.

4x − 2 y + 6 = 0 Despejemos la ecuación en
función de Y.
− 2 y + 6 = 4x
− 2 y = 4x − 6
4x − 6
y= Pero nunca puede quedar un
−2
número negativo en el
denominador, entonces solo
− 4x + 6
y= cambiamos el signo de todo lo
2
que está arriba.
4x 6
y= + Separé en fracciones homogéneas y me
2 2
quedará la ecuación como sigue.
y = 2x + 3 Dividiendo las fracciones.
m1 • m2 = −1 Ahora sustituyamos el valore de la
primera m1 y despejemos para obtener
el valor de la segunda m2.
2 • m2 = −1
−1
m2 = Ahora solo calculemos el valor de b.
2
Para ello tomamos el valor de m2 y los
valores de (x,y) que nos dan y que
pertenecen a la recta el cuestión.


y = mx + b
−1
y= x+b
2
−1 Observemos que el calculo del valor
−3= (2) + b de b, se realiza solo con sustituir los
2
valores que nos dan junto con el que
−2
−3= +b hemos calculado de m2 y luego solo
2 despejamos.
− 3 = −1 + b
− 3 +1 = b
−2=b
−1
y= x−2 Esta es la ecuación que necesitamos
2
encontrar.
Respuesta: la opción D, es la correcta.

24) Si f es una función dada por f ( x) = 2 − 3x , entonces f −1 (−2) es:
A) 8
B) 0
4
C)
3
D) -4
Solución: Aquí hay dos posibles caminos para resolver correctamente esta operación.
La primera tiene que ver con el calculo de la función inversa de la función original y
luego calcular le imagen de la función inversa, el otro consiste en solo calcular el valor
sustituyendo la preimagen de la función inversa en el función original donde se localiza
f(x) y despejar para llegar a la respuesta correcta. Observemos los dos caminos usted
escoge.
f ( x) = 2 − 3x Calculemos la inversa de la
función en cuestión.
y = 2 − 3x Solo debemos despejar el valor
de x.
y − 2 = −3 x
y−2
=x Pero de nuevo no puede haber
−3
un número negativo en el
denominador, por esto solo
− y+2
=x cambiamos el signo de todo lo
3
que está en la expresión y ya
solucionamos todo.


−x+2
f −1 ( x) = Ahora solo sustituimos el valor
3
de la preimagen de la función
inversa.
− (− 2 ) + 2
f −1 (−2) = Obtenemos lo siguiente.
3
2+2
f −1 (−2) =
3
4
f −1 (−2) = Bien hasta aquí recorrimos el
3
primer camino posible, ahora
veamos el segundo camino.
f ( x) = 2 − 3x Solo se sustituye el valor de la
preimagen inversa en el función
original como se puede ver.
− 2 = 2 − 3x Ahora solo calculamos el valor
de x despejando.
− 2 − 2 = −3 x
− 4 = −3 x
−4
=x
−3
4
=x Donde podemos ver que la
3
solución es la misma.
Respuesta: La opción correcta será entonces: C.

−x
25) Si f es una función biyectiva dada por f ( x) = + 2 , entonces se cumple que:
5
A) f −1
(x ) = 5 x − 2
B) f (x ) = 2 − 5 x
−1

C) f −1 ( x ) = 5 x − 10
D) f −1 ( x ) = 10 − 5 x
Solución: Bueno aquí debemos calcular de manera algebraica la función inversa
despejando la x en le función original.
−x
y= +2 Despejemos el valor de x.
5


−x
y−2=
5
5( y − 2 ) = − x Como vemos no se puede tener
5 y − 10 = − x
− 5 y + 10 = x
al valor de x en negativo por lo
que solo se le cambia de signo a
todo y YA.
f ( x ) = −5 x + 10
−1
Logrando obtener la solución.
Respuesta: La opción correcta es la D, solo que está acomodada de otra manera.

26) El eje de simetría de la gráfica de la función g dada por g ( x) = 3 − 6 x 2 corresponde
a:
A) y = 0
B) x = 0
1
C) y =
4
1
D) x =
4

Solución: El eje de simetría esta dado en la ecuación cuadrática por el valor que tiene
la X en el calculo del vértice.

 − b 4ac − b 2 
Vértice 
 2a , 4a 
 Estos son los puntos del vértice.
 
a=-6, b=0 y c=3 Donde solo tomamos los valores
de b y a.
−0
Aquí calculamos el valor de x.
2(− 6 )
0
=0 Entonces el valor de la x es de
− 12
cero.
Respuesta: La opción B es la correcta.



x2
27) La función dada por f ( x) = + 1 es estrictamente creciente en:
5
A) [0,+α [
B) ]− α ,0]
−1 
C)  ,+α 
 10 
 − 1
D)  − α , 
 10 
Solución: Primero debemos calcular el valor de los puntos que componen el vértice y a
partir del valor de la x y la forma de la curva, si es cóncava hacia abajo o hacia arriba,
realizamos un barrido visual sobre el eje x para ver donde es creciente la curva dada.
x2
f ( x) = +1 Calculemos el punto del
5
vértice de X.
 − b 4ac − b 2
Vértice  2a , 4a  
 
1
a= , b= 0, c= 1
5
−0
Sigamos con el cálculo.
1
2 
5
0
=0 Nos da cero en el eje de
2
5
simetría. Veamos la gráfica.

a>0

Punto mínimo
1 +α

Ya que el vértice se encuentra en
el punto: (0,1) , luego de calcular
el valor de Y también. El
intervalo será: [0,+α [
La respuesta será entonces la opción: A.



28) Para la función dada por f ( x ) = 3 − x considere las siguientes proposiciones.

I. El ámbito es ]0,+α [ .
II. f es creciente.

¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?
A) Ambas.
B) Ninguna.
C) Solo la I.
D) Solo la II.
Solución: Veamos la gráfica de la función exponencial y examinemos donde se ubica el
ámbito dependiendo de los valores de a y cuando es creciente, también dependiendo de
a.
f (x ) = 3− x La gráfica estaría dada por:
+α
Como podemos
ver la gráfica nos
da una relación
decreciente. Por
esto la opción II es
totalmente falsa.
Pero vemos como
el ámbito se acerca
a cero pero no lo
toca, por esto
debemos entender
que la opción I si
es correcta.
Además se sabe que la función
exponencial es creciente si a>0 y
en este caso no se cumple ya que
1
a vale: x esto da valores muy
3
por debajo de 0. Otra razón para
que el intervalo no incluya al
cero es que como el exponente
es negativo y la expresión
positiva hace que me queda en el
denominador y nunca puede
haber un cero en el mismo ya
que no está definida en
matemáticas.
Respuesta: La opción C es la correcta.



29) La gráfica de la función dada por f ( x) = 2 x −1 se interseca con el eje “Y” en el
punto.
A) (1,0 )
B) (0,1)
1 
C)  ,0 
2 
 1
D)  0, 
 2

Solución: Para calcular el punto de corte con el eje Y solo debemos calcular cuando la
X vale cero y representar el valor con exponentes positivos. Veamos el gráfico.

1
Veamos el punto de corte en
2
en el eje Y.

El calculo por sustitución con
cero en X será como sigue.

y = 2 0−1 Luego.
1
y= Porque el 2 queda con un
2
exponente negativo.
Respuesta: La opción D será la correcta, donde se localiza el punto de corte con Y.

30) La solución de 16 x +1 = 64 2 x −3 es:
1
A)
2
7
B)
4
1
C)
8
11
D)
4


Solución: Cuando tenemos exponenciales con bases diferentes la estrategia es que los
exponentes sean iguales a ambos lados del igual para que se puedan eliminar y luego
nos queda una ecuación lineal fácil de resolver.
16 x +1 = 64 2 x −3 Vamos a factorizar las bases
para lograr que me queden bases
iguales.
16 4 64 4
4 4 16 4
1 4 4
1 Tienen en común el 4 de base.
(4 )
2 x +1
= 43( )2 x −3
Apliquemos la propiedad de
potencias: Potencia a una
potencia, se conserva la base y
4 2 x + 2 = 4 6 x −9 se multiplican los exponentes.
2x + 2 = 6x − 9 Se eliminan las bases y nos
queda una ecuación lineal, solo
2 x − 6 x = −9 − 2 debemos resolverla y YA.
− 4 x = −11
− 11
x= Leyes de signos en división.
−4
11
x=
4
Respuesta: La opción D es la correcta entonces.

x +1
2 x −1  1 
31) El conjunto solución de 36 =  es:
 216 
2
A)  
7 
3
B)  
7 
 − 1
C)  
7
− 5
D)  
 7 

Solución: El primer objetivo de nuevo es factorizar para que las bases en ambos lados
del igual sean iguales, así las eliminamos, facilitando el cálculo. Veamos como.
x +1
2 x −1  1 
36 =  Factoricemos las bases que nos
 216 
dan.


x +1

(6 )
2 2 x −1  1 
= 3 Al lado derecho debemos subir
6 
el denominador, así el exponente
se vuelve negativo.
(6 )
2 2 x −1
( )
= 6 −3
x +1
Ahora apliquemos la propiedad
de una potencia elevada a otra
potencia que dice: se conserva la
6 2( 2 x −1) = 6 −3( x +1) base y se multiplican los
exponentes.
2(2 x − 1) = −3( x + 1) Se cancelaron las bases
aplicando una propiedad de las
ecuaciones exponenciales.
4 x − 2 = −3 x − 3 Ahora se multiplica el número
que está fuera de los paréntesis
por cada uno de los electos que
4 x + 3 x = −3 + 2 se encuentra dentro. Despejamos
los términos que poseen letras a
la izquierda y las constantes a la
7 x = −1 derecha. Por último apliquemos
las operaciones aritméticas de
sumas y restas con sus
−1
x= respectivas leyes de signos y
7
despejamos la variable que nos
da la respuesta al ejercicio.
Respuesta: La opción C es la correcta.

32) Considere los siguientes criterios de funciones logarítmicas.

I- f(x)= log 1 x
5

II- g(x)= log 2 x
3

II- h(x)= log 6 x
3

¿Cuáles de ellos corresponden a funciones decrecientes?
A) Solo el I.
B) Solo el III.
C) Solo el I y el II.
D) Solo el II y el III.



Solución: Analicemos los intervalos donde la función logarítmica es decreciente y
creciente, ya que depende del valor de la base a la que esté dicho logaritmo.

Sí 0 < a < 1 ]
la función decrece en 0, + α [
Sí a> 1 ]
la función crece en 0, + α [ Como vemos los intervalos
donde crece y decrece son los
mismos, por lo que debemos
solo fijarnos en el valor que
En la opción I la base vale: tiene la base del logaritmo para
0,2 y en la opción II vale ubicar aquel que será
0,67. decreciente.
Respuesta: La alternativa correcta será entonces C.

log a b
33) Si = −2 entonces se cumple que
3
1
A) b6 =
a
1
B) a6 =
b
C) a = −6
b

D) b a = −6

Solución: Bueno la manera correcta para resolver esta operación me permitirá darme
cuenta de que la respuesta que el MEP dio como válida no sirve en realidad, veamos.

log a b
= −2 Primero pasamos el 3
3
al otro lado del igual.
log a b = −2(3) Luego convertimos a su
expresión exponencial aplicando
el dibujo del corazón.
log a b = −6
Esto me indica que la base a del
logaritmo para a ser la base del
exponencial y el resultado será
b = a −6 ahora la potencia de esta base.

1
b= Por último solo debemos tener el
a6
resultado con exponentes


positivos así que solo bajamos la
a y listo.
Respuesta: No hay un alternativa correcta dentro de las planteadas como válidas.
APELAR

34) Si se cumple que log 1 x = 4 , entonces el valor de x es
2
A) 2
1
B)
16
C) -2
1
D) 4
2

Solución: Fácil solo aplicar a la forma logarítmica el efecto CORAZÓN y tendremos la
forma exponencial, para luego solo resolver la ecuación.

log 1 x = 4 Veamos como queda de forma
2
exponencial.

4
1
x=  Apliquemos propiedad de
2
potencias.
4
1
x= Ahora solo resolvamos las
24
potencias y listo.
1
x=
16
Respuesta: La alternativa B.

1
35) EL valor de x para que la expresión log x =4 sea verdadera es
2
1
A)
4
B) -4
1
C) 6
2
1
D) 8
2


Solución: Debemos aplicar la propiedad de logaritmos para cuando una potencia pasa a
multiplicar el logaritmo para después despejarlo al otro lado del igual, así podré
convertir con el efecto CORAZÓN la expresión exponencial misma que dará por
resultado.
1
log x =4 Recordar que las raíces son en
2
realidad exponentes
1
fraccionarios, así a =a . 2

1
1 2
log x   = 4 Pasemos el exponente a
2
multiplicar al logaritmo,
1 1
log x   = 4 como la potencia quedó
2 2
multiplicando la despejamos al
otro lado del igual, en su
operación contraria.
1 4
log x   = Ahora multiplico extremos y
2 1
2
medios de acuerdo a las leyes de
división de fracciones. Cuando
4
1
log x = 1 algún número no tiene
2 1
2
denominador le ponemos un 1
abajo y YA. Multipliquemos
extremos y medios.
1
log x =8 Ahora el efecto CORAZÓN.
2

1
= x8 Pues bien ahora solo debemos
2
sacar la raíz octava en ambos
lados del igual y listo.
1
8 =8 La potencia de la X se canceló
2
con la raíz por tener igual valor,
ley de radicales y potencias,
operaciones opuestas.
Respuesta: Opción D la correcta.



36) Considere las siguientes proposiciones.

I. log 2 (8 x) = log 2 x + 3

log 3 x
II. log 3 x =
2

¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?

A) Ambas
B) Ninguna
C) Solo la I.
D) Solo la II.

Solución: Resolvamos primero la proposición I, aplicando las leyes de logaritmos de
multiplicación, misma que pasa a suma con el resultado podremos comprobar que la
igualdad se da o NO. Con la proposición II, igual aplicaremos las propiedades de
logaritmos, pero acá será la de potencias, para igual comprobar que la igualdad se
cumple.

log 2 (8 x) = log 2 x + 3 Bueno primero apliquemos la
propiedad de la multiplicación
por suma al lado izquierdo de la
ecuación.
log 2 8 + log 2 x = log 2 x + 3 Convirtamos el 8 en potencia,
para poder aplicar la propiedad
de potencias en logaritmos.
log 2 2 3 + log 2 x = log 2 x + 3 Sigamos.

3 log 2 2 + log 2 x = log 2 x + 3 Recordemos que cuando la base
y el valor del logaritmo son
iguales, esto vale 1.
3(1) + log 2 x = log 2 x + 3 Podemos observar que en efecto
la igualdad se da, por lo que esta
proposición se cumple.
Evaluemos la II.
log 3 x
log 3 x = Bueno representemos la raíz con
2
su respectivo exponente
fraccionario.



1
log 3 x
log 3 ( x) 2 = Ahora pasemos el exponente a
2
multiplicar según la propiedad.
1 log 3 x
log 3 x = Ahora solo falta que lo
2 2
representemos de una sola forma
fraccionaria el lado izquierdo
para ver si queda igual que el
lado derecho o NO.
log 3 x log 3 x
= Entonces la igualdad también se
2 2
da.
Respuesta: La A es la correcta.

37) La expresión log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 es equivalente a.
A) log 5 (5 x)
B) log 5 ( x + 5)
x+ y
C) log 5 
 y +1 
 
 5( x + y ) 
D) log 5 
 

 y 

Solución: De nuevo me preguntan “es equivalente a”, entonces tengo dos caminos a
seguir, primero resolverla de forma algebraica y luego podría ser por sustitución,
asignando valores a las variables de manera arbitraria. Para efectos de este ejercicios
diremos que x=2 y que y=3. Veamos los dos métodos aplicados.
log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 Primero apliquemos la
propiedad de la resta de
logaritmos con iguales bases,
x+ y
 y  +1
log 5   como es el caso de la base 5.
 
x+ y
 y  + log 5 5
log 5   Ahora convertimos el 1 en el
 
logaritmo de igual base e igual
valor.
x+ y
log 5 5
 y  Por último aplicamos la
 
propiedad de la suma de



 5( x + y ) 
log 5 
 
 logaritmos de igual base.
 y 
Ahora solo se representa según
la respuesta.
log 5 ( x + y ) − log 5 y + 1 Ahora apliquemos el método de
sustitución. Solo asignamos los
valores de x y de y dados al
principio de ejercicio.
log 5 (2 + 3) − log 5 3 + 1 Como vemos en la calculadora
no podemos obtener el logaritmo
de base 5, así que solo
log(5) log 3
− +1 aplicamos el cambio de base y
log 5 log 5
nos quedan en base 10. Veamos.
1.31739…… Este es el resultado que me da la
sustitución, ahora solo se debe
probar cada una de las
respuestas aplicando las
propiedades como hemos visto y
comprobamos que la que de
igual es la correcta.

Respuesta: La opción D es la correcta por cualquiera de los dos métodos a emplear.

 x +1
38) El conjunto solución de log 2   = 9 es.
 3 
A) {23}
B) { }
191
C) {242}
D) {1535}

Solución: De nuevo me preguntan el “conjunto solución” entonces también puedo
aplicar sustitución o resolver de forma algebraica. El método de sustitución aquí es nada
más sustituir las respuestas que me dan en x de la pregunta y calcular para que me de 9,
la que dé el 9 es la respuesta correcta.
 x +1
log 2  =9 Vamos a aplicar el método
 3 
algebraico primero. Hagamos
corazoncitos de nuevo y
x +1
= 29 convirtamos la expresión
3
logarítmica en exponencial.


x + 1 = (512) • 3 Despejemos la variable x.
x + 1 = 1536
x = 1536 − 1 Así obtenemos la respuesta
x = 1535
correcta.

 x +1
log 2  =9 Ahora por sustitución con solo
 3 
probar cada una de las opciones
de respuesta es suficiente para
 1535 + 1 
log 2  =9 que me dé 9 en ambos lado del
 3 
igual.
 1536 
log 
 3  =9 Solo se debe resolver con la
log 2
calculadora y ya está listo.

Respuesta: es le Opción D la correcta.

39) La solución de log 5 ( x − 2) − log 5 (5 − x) = 2 es.
A) 81
81
B)
17
127
C)
2
127
D)
26

Solución: De nuevo por el tipo de pregunta “la solución de” se puede hacer por
cualquiera de los métodos de sustitución o algebraico, usted escoge por lo pronto aquí
resolveremos solo por el método algebraico.
log 5 ( x − 2) − log 5 (5 − x) = 2 Primero apliquemos la
propiedad de resta en
logaritmos.
 x −2
log 5  =2 Ahora hagamos de nuevo
5− x
corazoncitos.
x−2
= 52 Despejemos ahora la X.
5− x


x − 2 = 25(5 − x)
x − 2 = 125 − 25 x
x + 25 x = 125 + 2 Como vemos es solo algebra lo
26 x = 127
127
x=
26
que hay que aplicar.

40) De acuerdo con los datos de la figura. Si m ∠ SPO = 55 o , entonces la m PR es.
A) 35 0
B) 70 0 P
C) 140 0
D) 220 0

Q
S O

R O: centro de la circunferencia

Solución: Lo primero aquí es colocar en la figura los datos que nos dan, además de
aquellas secciones de la circunferencia que nos piden de datos y luego aplicar la
propiedad de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados,
además de que una cuerda cortada por un rayo en la circunferencia divide a esta en dos
segmentos congruentes. Adelante.

Ubiquemos los datos y las
P secciones que nos piden.

550

X Q
S O

R



P

550

Ahora ubiquemos los demás
350 datos del triángulo que se formó.
X= 700 Q 350
Además se formaron dos
S O
triángulos congruentes que a su
vez nos dan la medida del
ángulo central que determina el
R arco que nos están pidiendo.
Respuesta: La opción B, por la propiedad de que al ángulo central mide igual que el
arco que forma.

41) De acuerdo con los datos de la figura, si m ∠ AOB = 50 0 , m BCY = 60 0 y
XY es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C, entonces la medida del
ACX es igual a. A
A) 20 0
B) 70 0
C) 90 0
D) 95 0 O
B

X

C

Y

Solución: De nuevo primero ubiquemos en la figura los datos que nos presentan y
luego apliquemos las propiedades sobre los ángulos inscritos, que miden la mitad de
lo que mide el arco que comprenden y que el ángulo llano formado por la recta
tangente mide 180 grados.
A

500
O Ubiquemos los datos que nos
B dan, primero y observemos
cuales propiedades podemos
X
aplicar con respecto a los
600 ángulos centrales y inscritos.
C

Y

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