Propiedades funciones trigonométricas

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Trigonometría
1

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• Conocer el periodo de las funciones trigonométricas
• Conocer el dominio y el alcance de las funciones seno,
coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del
ángulo.
• Derivar algunas identidades trigonométricas.
• Conocer las identidades trigonométricas fundamentales,
pares impares, de ángulos complementarios y de ángulos
suplementarios.
• Aplicar las identidades trigonométricas fundamentales,
pares impares, de ángulos complementarios y de ángulos
suplementarios.
Objetivos
2

Una función es periódica si existe un numero real
tal que + = ( ) para toda en el dominio de . El
menor número real positivo , si existe, es el periodo de .
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas
Las funciones seno, coseno, cosecante y secante del
ángulo tienen período igual a .
+ 2 = + 2 =
+ 2 = + 2 =
Las funciones tangente del ángulo y cotangente del ángulo
tienen periodo igual a .
+ = + =
Funciones Periódicas
3

4
Buscar el exceso a veces el período
de la función coseno del ángulo.
Solución:
= ( )
= ( )
= ( )
=
El ángulo tiene un giro mayor al
período de la función coseno del ángulo
que es 2 .
EL exceso a veces 2 es , por lo
tanto se busca el coseno de que es
equivalente a buscar el coseno de .
Ejemplo 1:
Hallar el valor exacto de la siguiente expresión ( ).

5
Buscar el exceso a veces el
período de la función cosecante del
ángulo.
Solución:
!"
# = ( $
#
!
#
)
= ( $
# )
= ( $
#
)
= 2
El ángulo %&'
(
tiene un giro mayor al
período de la función cosecante del
ángulo que es 2 .
EL exceso a veces 2 es %)
(
, por
lo tanto se busca la cosecante de %)
(
que es equivalente a buscar la
cosecante de %&'
(
.
Ejemplo 2:
Hallar el valor exacto de la siguiente expresión (%&'
(
) .

7
Buscar el exceso a veces el
período de la función cotangente del
ángulo.
Solución:
"
# = (#
#
# )
= (# )
= (#
)
El ángulo '
(
tiene un giro mayor al
período de la función cotangente del
ángulo que es .
EL exceso a veces es (
, por lo
tanto se busca la cotangente de (
que
es equivalente a buscar la cotangente
de '
(
.
= 3
Ejemplo 4:
Hallar el valor exacto de la siguiente expresión ('
(
).

Práctica
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1
8

a) csc(%&.
) =
b)
%'
(
=
c) cos(&&
.
) =
Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
d) 600° =
e) tan(−930°) =
f) 675° =
Funciones trigonométricas
9

Las funciones seno y coseno del ángulo
Tienen el mismo dominio (todos los números reales).
Tienen el mismo alcance ( desde −1 hasta 1 incluidos).
Dominio y alcance
funciones trigonométricas
10
0
>?
2
@
A
1
−1

La función tangente del ángulo
El dominio es el conjunto de todos los números reales
excepto los múltiplos impares de B
.
El alcance es el conjunto de los números reales
La función cosecante del ángulo
Tiene dominio igual a todos los números reales excepto
los múltiplos enteros de .
El alcance es el conjunto de los números reales menores
o iguales que −1 y el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que 1.
Dominio y alcance
11

La función cotangente del ángulo
El dominio es el conjunto de todos los números reales
excepto los múltiplos enteros de π.
El alcance es el conjunto de los números reales.
La función secante del ángulo
Tiene dominio igual a todos los números reales excepto
los múltiplos impares de .
El alcance es el conjunto de los números reales menores
o iguales que −1 y el conjunto de todos los números
reales mayores o iguales que 1.
Dominio y alcance
12

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Al sustituir cualquier número real
en @ siempre obtenemos un valor del
coseno.
D EF F = −∞, ∞
IJ = −1, 1
Solución:
Al buscar el alcance de la función
coseno a la constante se suma y resta
el coeficiente del coseno.
0 ± 1 =
0 + 1 =
0 − 1 =
1
−1
Después se escribe el conjunto
alcance.
Dominio y alcance
Ejemplo 1:
Hallar el dominio y el alcance de @ = cos(@ + B
).

Al buscar el dominio de la función
tangente se iguala el argumento a múltiplos
impares de .
D EF F = Todos los números reales excepto los múltiplos enteros de π.
Los valores de la función que se
obtienen al sustituir cualquier número real
en @ siempre son números reales.
IJ = −∞, ∞
Solución:
@ +
2
= −
2
@ +
2
=
2
@ = −
2
−
2
@ =
2
−
2
@ = @ = 0
Luego se busca el patrón si alguno. Estos
valores tienen una diferencia de
Dominio y alcance
Ejemplo 3:
Hallar el dominio y el alcance de @ = (@ + B
).

Al buscar el dominio de la función
secante se iguala el argumento a múltiplos
impares de .
D EF F = Todos los números reales excepto los múltiplos enteros de π.
Solución:
@ −
2
= −
2
@ −
2
=
2
@ = −
2
+
2
@ =
2
+
2
@ = 0 @ =
Luego se busca el patrón si alguno. Estos
valores tienen una diferencia de
Al buscar el alcance de la función
secante a la constante se suma y resta el
coeficiente de la secante.
1 ± 3 =
1 + 3 =
1 − 3 =
4
−2
IJ = (−∞, −2M ∪ O4,∞)
El alcance de la
función es de 4 hacia arriba y de −2 hacia
abajo.
Dominio y alcance
Ejemplo 4:
Hallar el dominio y el alcance de @ = 3 @ − B
+ 1.

Práctica
17

a) @ = 2 cos 2@ − + 1
b) @ = sen(@ + )
c) @ = 3tan(2@ + )
18
Práctica:
Hallar el dominio y el alcance de los siguientes funciones.
d) @ = csc @ − B
− 1
e) @ = 2sec(@ − )
f) @ = cot(2@ + B
)
Dominio y alcance

Identidades recíprocas
Identidades cociente
Identidades pitagóricas
θ
θ
sen
1
csc =
θ
θ
cos
1
sec =
θ
θ
tan
1
cot =
θ
θ
θ
cos
tan
sen
=
θ
θ
θ
sen
cos
cot =
1cos22
=+ θθsen θθ 22
sec1tan =+ θθ 22
csccot1 =+
θ
P = (@, A)
A
@
A
@
Q
Las identidades se
derivan utilizando la
circunferencia unitaria.
19
Identidades Fundamentales

222
ryx =+
2
2
2
2
2
2
x
r
x
y
x
x
=+
( )
22
2
1 





=





+
x
r
x
y
Por el Teorema de Pitágoras
Se divide por @
Por definición =
R
S
y =
T
S
.
Se sustituyen las expresiones
T
S
y
R
S
por y respectivamente.θθ 22
sectan1 =+
Derivar la identidad = 1 +
Identidades Pitagóricas
20
Ejemplo Demostración

Ejemplo 1:
Simplifica la siguiente expresión: cos sec
21
Solución:
1
Utilizar una identidad reciproca
para la secante del ángulo y
sustituir secante del ángulo por
uno sobre coseno del ángulo.1
Simplificar los cosenos del ángulo
Recordar que al simplificar todos los
factores el resultado es uno.

Ejemplo 2:
Simplifica la siguiente expresión: ( )csc( ) − ( )
( )csc( ) − ( )
−
1 −
( + ) −
Solución:
Se utiliza una identidad de recíproco
para sustituir la cosecante del ángulo.
Simplificar la expresión seno del ángulo.
Utilizar una identidad pitagórica para
transformar el 1 en otra cantidad.
Los cosenos cuadrados del ángulo suman
cero.
1
22

Práctica
26

Práctica:
Simplificar las siguientes expresiones.
c) 1 −
UVWB X
! YZ[ X
b) sin ] cot ] + ]
a) csc θ ∗
d)
UVWB X !
UVWB X UVW X
27

Práctica:
Si =
$
!>
y θ está en el cuadrante tres. Halle las razones
trigonométricas tangente y secante del ángulo θ utilizando
identidades.
28

Identidades pares
− =
− =
Identidades impares
− = −
− = −
− = −
− = −
θ
A
@
(@, A)
(@, −A)
−
Q
Identidades Pares e Impares
29
Por definición:
El = @ y el − = @.
Luego se iguala la variable @ de cada
ecuación y se obtiene que
− = .

Ejemplo 1:
Hallar el valor exacto de la expresión: tan 15° +
UVW( !$°)
YZ[ !$°
30
Utilizar una identidad impar para
transformar (−15°) en − 15° .
Solución:
15° +
(−15°)
15°
15° −
15°
15°
Utilizar una identidad de cociente
para la expresión seno de 15 grados
sobre coseno de 15 grados.
15° − 15°
Sumar las tangentes de 15 grados de
forma algebraica.0
Luego se sustituye esta expresión
por tangente de 15 grados.

Ejemplo 2:
Hallar el valor exacto de la expresión: sec 20° −
!
YZ[( i°)
31
Utilizar una identidad par para
transformar co (−20°) en cos 20° .
Solución:
20° −
1
(−20°)
20° −
1
20°
Utilizar una identidad de reciproco
para la expresión uno sobre coseno
de 20 grados.
por secante de 20 grados.
Sumar las secantes de 20 grados de
forma algebraica.0
20° − 20°

Práctica
32

Práctica:
c) (15°) + (−15°)
b) sec − cos
a) csc (70°) ∗ (−70°)
33
d) cot(65°) +
jkU(#$°)
UVW #$°

90° − =
90° − =
90° − =
90° + =
90° + = −
90° + = −
Por definición:
= @ y 90° − = @
= A y 90° − = A
=
T
S
y 90° − =
T
S
= @ y 90° + = @
= A y 90° + = −A
=
T
S
y 90° + = −
T
S
Identidades de Ángulos
Complementarios
34
Demostración
= @ y 90° − = @
Se igualan las @
90° − =
A
@
(@, A)
(−A, @)
90° +
90° −
Q
θ

Solución:
15° −
75°
7 5°
15° −
15° −
0
Utilizar una identidad de cociente para
la expresión coseno de 75 grados sobre
seno de 75 grados.
75°
35
Ejemplo 1:
Hallar el valor exacto de la expresión: tan 15° −
jkU"$°
[mn "$°
Luego se sustituye esta expresión por
cotangente de 75 grados.
Utilizar una identidad de ángulos
complementarios para transformar la
cotangente de 75 grados.
15° Luego se sustituye esta expresión por
tangente de 15 grados.
Sumar las tangentes de 15 grados de
forma algebraica.
Complementarios

Solución:
−!
$
!
− ! !
− &B
−1
para sustituir la csc
!
por
!
UVW
&B
.
Simplificar los senos de &B
radianes.
Después de simplificar se multiplican y
dividen los factores que no simplificaron.
1
!
Se utiliza una identidad impar para lograr
ángulos positivos. Luego se usa la
identidad de ángulos complementarios
para transformar la sec
$
!
en csc
!
.
Ejemplo 2:
Hallar el valor exacto de la expresión:
!
$
!
Complementarios

Práctica
37

Práctica:
d) tan(25°) −
jkU(#$°)
UVW (#$°)
38
a) sec (20°) ∗ (70°) c) (75°) + (15°)
b) csc −
#
cos
>
Complementarios

180° − =
180° − = −
180° − = −
180° + = −
180° + = −
180° + =
Demostración
= @ y 180° − = −@
Se igualan las @
180° − = − .
Por definición:
= @ y 180° − = −@
= A y 180° − = A
=
T
S
y 180° − =
T
S
= @ y 180° + = −@
= A y 180° + = −A
=
T
S
y 180° + =
T
S
θ
A
@
(@, A)(−@, A)
(−@, −A)
180° −
180° +
Q
Suplementarios
39

Ejemplo 1:
Hallar el valor exacto de la expresión: &&
&B
B)
&B
Solución:
!!
!
$
!
! !
&B
1
Se utiliza una identidad de recíproco para
sustituir la cosecante del ángulo por uno
sobre el seno del ángulo.
Simplificar los senos de &B
radianes.
Después de simplificar se multiplican y
dividen los factores que no simplificaron.
1
!
Se utiliza una identidad de ángulos
suplementarios para la expresión (&&
&B
).
También se utiliza el concepto de ángulos
coterminales para lograr ángulos menores
de una revolución.
40
Suplementarios

Ejemplo 2:
Hallar el valor exacto de la expresión: cot 15° +
jkU!#$°
[mn !#$°
Solución:
15° +
165°
165°
15° +
15° +
0
Utilizar una identidad de cociente
para la expresión coseno de 165
grados sobre seno de 165 grados.
165°
Sumar las cotangentes de 15 grados de
forma algebraica.
41
Sustituir utilizando una identidad de
ángulos suplementarios para la
expresión cotangente de 165 grados.
− 15°
por cotangente de 165 grados.
Suplementarios

Ejemplo 3:
Hallar el valor exacto de la expresión: 35° +
!
jUjB! $°
Solución:
35° +
1
145°
35° +
1
35° + 145°
35° +
1
para sustituir la cosecante cuadrado del
ángulo por uno sobre el seno cuadrado del
ángulo.
Efectuar la división (aplicar el reciproco).
Aplicar una identidad Pitagórica que
relaciona el seno cuadrado del ángulo y el
coseno cuadrado del ángulo.
42
35°
Se utiliza una identidad de ángulos
suplementarios para sustituir el seno
cuadrado de 145 grados .
1
145°
Suplementarios

Ejemplo 4:
Hallar el valor exacto de la expresión: cot 200° −
YZ[ i°
UVW> i°
Solución:
cot 200° −
cos 20°
380°
cot 20° −
cot 20° − cot 20°
0
Se utiliza el concepto de funciones
periódicas para transformar la expresión
cot 200° en cot 20° y 380° en 20°
Utilizar una identidad de cociente para
sustituir
YZ[ i°
UVW i°
por cot 20°
Sumar algebraicamente las cotangentes
de 20 grados.
cos 20°
20°
43
Identidades Trigonométricas

Práctica
44

Práctica:
c) (165°) + (15°)
b) sec − cos
a) csc (70°) ∗ (110°)
d) tan(115°) −
UVW(#$°)
jkU (#$°)
45
Suplementarios

Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas
Características
Identidades
Propiedades Funciones Trigonométricas
• Fundamentales
• Reciproco
• Cociente
• Pitagóricas
• Ángulos
• Complementarios
• Suplementarios
• Pares e impares
• Periodicidad
• Dominio
• Alcance

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