Mรกs contenido relacionado La actualidad mรกs candente (20) Similar a Ecuaciones Diferenciales ESPOL -Erick conde 2do parcial (20) Mรกs de HAGO HIJOS A DOMICILIO (10) Ecuaciones Diferenciales ESPOL -Erick conde 2do parcial1. ๏ท RESOLUCIรN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR
DE PUNTOS SINGULARES
๏ท TRANSFORMADA DE LAPLACE
๏ท RESOLUCIรN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
๏ท TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
๏ท RESOLUCIรN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
๏ท APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN
๏ท SERIES DE FOURIER
๏ท ECUACIONES EN DERIVADA PARCIALES
ESPOL
ECUACIONES
DIFERENCIALES
(2DO PARCIAL)
[ERICK CONDE]
2. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 2
RESOLUCIรN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ALREDEDOR DE PUNTOS SINGULARES
MรTODO DE FROBENIUS
1) ๐๐โฒโฒ
โ ๐โฒ
+ ๐๐ ๐
๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
โ1
๐ฅ
= โ1
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
4๐ฅ3
๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
โ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 4๐ฅ3
๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 โ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 + 4 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+3 = 0
Multiplicando por โxโ a toda la expresiรณn:
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ ๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 4๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+3
= 0
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 4 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+4
= 0
๐ = ๐ + 4
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 4 ๐ ๐โ4
+โ
๐=4
๐ฅ ๐+๐
= 0
Generando tรฉrminos hasta n=4
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ ๐1 ๐ + 1 ๐ ๐ฅ ๐+1
+ ๐2 ๐ + 2 ๐
+ 1 ๐ฅ ๐+2
+ ๐3 ๐ + 3 ๐ + 2 ๐ฅ ๐+3
โ
๐0 ๐ ๐ฅ ๐
โ ๐1 ๐ + 1 ๐ฅ ๐+1
โ ๐2 ๐ + 2 ๐ฅ ๐+2
โ ๐3 ๐ + 3 ๐ฅ ๐+3
+ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ โ ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=4
= 0
3. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 3
๐0 ๐ฅ ๐ ๐ ๐ โ 1 โ ๐ = 0
๐ ๐ โ 1 โ 1 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = 2 โน ๐ ๐ โ ๐
๐1 ๐ฅ ๐+1 ๐ ๐ + 1 โ ๐ + 1 = 0
๐1 ๐ฅ ๐+1
2 2 + 1 โ (2 + 1) = 0 โน ๐1 ๐ฅ ๐+1
(3) = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐2 ๐ฅ ๐+2
๐ + 1 ๐ + 2 โ ๐ + 2 = 0
๐2 ๐ฅ ๐+2
2 + 1 2 + 2 โ (2 + 2) = 0 โน ๐2 ๐ฅ ๐+2
(8) = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐3 ๐ฅ ๐+3 ๐ + 3 ๐ + 2 โ ๐ + 3 = 0
๐3 ๐ฅ ๐+3
2 + 3 2 + 2 โ 2 + 3 = 0 โน ๐2 ๐ฅ ๐+2
15 = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ โ ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 ๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ โ ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 = 0 โ ๐ ๐(๐) =
๐๐ ๐โ๐
๐ + ๐ (๐ โ ๐ โ ๐)
; โ๐ โฅ ๐
๐๐๐๐ ๐ = 2
๐ ๐ = โ
4๐ ๐โ4
๐ + 2 (๐)
; โ๐ โฅ 4
๐ = 4 โน ๐4 = โ
4๐0
4โ6
๐ = 5 โน ๐5 = โ
4๐1
5โ7
โน ๐5 = 0
๐ = 6 โน ๐6 = โ
4๐2
6โ8
โน ๐6 = 0
๐ = 7 โน ๐7 = โ
4๐3
7โ9
โน ๐7 = 0
๐ = 8 โน ๐8 = โ
4๐4
8โ10
โน ๐8 =
4โ4๐0
4โ6โ8โ10
.
.
.
๐ = 12 โน ๐12 = โ
4๐8
12โ14
โน ๐12 =
4โ4โ4๐0
4โ6โ8โ10โ12โ14
.
.
.
4. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 4
Entonces:
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+2
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ2 + ๐1 ๐ฅ3 + ๐2 ๐ฅ4 + ๐3 ๐ฅ5 + ๐4 ๐ฅ6 + ๐5 ๐ฅ7 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ2
+ ๐1 ๐ฅ3
+ ๐2 ๐ฅ4
+ ๐3 ๐ฅ5
+ ๐4 ๐ฅ6
+ ๐5 ๐ฅ7
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ2
โ
4๐0
4 โ 6
๐ฅ6
+
4 โ 4๐0
4 โ 6 โ 8 โ 10
๐ฅ10
โ
4 โ 4 โ 4๐0
4 โ 6 โ 8 โ 10 โ 12 โ 14
๐ฅ14
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ2 โ
4
3! โ 22
๐ฅ6 +
42
5! โ 24
๐ฅ10 โ
43
7! โ 26
๐ฅ14 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ4๐+2
โ 4 ๐
โ (โ1) ๐
2๐ + 1 ! โ 22๐
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
(โ1) ๐
(๐ฅ2
)2๐+1
2๐ + 1 !
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐๐๐(๐ฅ2
)
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
Encontrando v(x)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ โ
1
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)2
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐
1
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ ๐๐ ๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)2
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)2
๐๐ฅ
Integrando por cambio de variable:
๐ข = ๐ฅ2
๐๐ข = 2๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
1
2
๐๐ข
๐๐๐(๐ข)2
โ ๐ฃ ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก ๐ข โ ๐ฃ ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก(๐ฅ2
)
๐ฆ2 ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก ๐ฅ2
๐๐๐ ๐ฅ2
= โ
1
2
๐ถ๐๐ ๐ฅ2
๐ ๐ ๐ = ๐บ๐๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ = โ
๐
๐
๐ช๐๐ ๐ ๐
5. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 5
2) ๐๐๐โฒโฒ
+ (๐ + ๐)๐โฒ
+ ๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
(1 + ๐ฅ)
2๐ฅ
=
1
2
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
1
2๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
2๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2 + (1 + ๐ฅ) (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 + ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ = 0
2 ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
Multiplicando por โxโ:
2๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ ๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ ๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
2 ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1 + ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1 = 0
๐ = ๐ + 1
2 ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ (๐ โ 1 + ๐)๐ ๐
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
+ ๐ ๐โ1
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
= 0
Generando tรฉrminos hasta n=1
2๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ ๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ 2 ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + ๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ + ๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=1
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
2๐ ๐ โ 1 + ๐ = 0 โน ๐ 2๐ โ 2 + 1 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = 1
2 โน ๐ ๐ โ ๐
2 ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + ๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ + ๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐
= 0
2 ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + ๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ + ๐ ๐โ1 = 0
๐ ๐ ๐ = โ
๐ ๐โ๐(๐ โ ๐ + ๐ + ๐)
๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐ โ ๐ + ๐
; โ๐ โฅ ๐
6. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 6
๐ ๐ ๐ = โ
๐ ๐โ1
(2๐ + 2๐ โ 1)
; โ๐ โฅ 1
๐๐๐๐ ๐ = 1
2
๐ ๐ = โ
๐ ๐โ1
2๐
; โ๐ โฅ 1
๐ = 1 โน ๐1 = โ
๐0
2
๐ = 2 โน ๐2 = โ
๐1
4
โน ๐2 =
๐0
2โ4
๐ = 3 โน ๐3 = โ
๐2
6
โน ๐3 = โ
๐0
2โ4โ6
๐ = 4 โน ๐7 = โ
๐3
8
โน ๐7 =
๐0
2โ4โ6โ8
.
.
.
Entonces:
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+
1
2
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ
1
2 + ๐1 ๐ฅ
3
2 + ๐2 ๐ฅ
5
2 + ๐3 ๐ฅ
7
2 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ
1
2 โ
๐0
2
๐ฅ
3
2 +
๐0
2โ4
๐ฅ
5
2 โ
๐0
2โ4โ6
๐ฅ
7
2 +
๐0
2โ4โ6โ8
๐ฅ
9
2 โ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ
1
2 โ
1
2
๐ฅ
3
2 +
1
2! โ 22
๐ฅ
5
2 โ
1
3! โ 23
๐ฅ
7
2 +
1
4! โ 24
๐ฅ
9
2 โ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
(โ1) ๐
๐ฅ
2๐+1
2
๐! โ 2 ๐
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
(โ1) ๐
๐ฅ ๐
โ ๐ฅ
1
2
๐! โ 2 ๐
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ
โ
๐ฅ
2
๐
๐!
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ ๐
โ๐ฅ
2
7. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 7
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
1+๐ฅ
2๐ฅ
๐๐ฅ
๐ฅ ๐
โ๐ฅ
2
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
1
2
๐๐ ๐ฅ +๐ฅ
๐ฅ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ
โ1
2 ๐
โ๐ฅ
2
๐ฅ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = ๐ฅ
โ3
2 ๐
๐ฅ
2 ๐๐ฅ
๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐ ๐ฅ
โ3
2 ๐
๐ฅ
2 ๐๐ฅ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ข๐ก๐๐๐๐ง๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐
๐
๐ฅ
2 =
๐ฅ
2
๐
๐!
+โ
๐=0
๐
๐ฅ
2
๐ฅ
3
2
=
1
2
๐
๐ฅ ๐โ
3
2
๐!
+โ
๐=0
๐
๐ฅ
2
๐ฅ
3
2
๐๐ฅ =
1
2
๐
๐ฅ
2๐โ3
2
๐!
+โ
๐=0
๐๐ฅ
๐
๐ฅ
2
๐ฅ
3
2
๐๐ฅ =
1
๐ฅ
3
2
+
1
2๐ฅ
1
2
+
1
2
๐
๐ฅ
2๐โ3
2
๐!
+โ
๐=2
๐๐ฅ
๐
๐ฅ
2
๐ฅ
3
2
๐๐ฅ = โ
2
๐ฅ
3
2
+
๐ฅ
1
2
2
+
1
2
๐
๐ฅ
2๐โ1
2
2๐ โ 1
2
๐!
+โ
๐=2
๐ฃ ๐ฅ = โ
2
๐ฅ
3
2
+
๐ฅ
1
2
2
+
1
2
๐
๐ฅ
2๐โ1
2
2๐ โ 1
2
๐!
+โ
๐=2
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฅ ๐
โ๐ฅ
2 โ
2
๐ฅ
3
2
+
๐ฅ
1
2
2
+
1
2
๐
๐ฅ
2๐โ1
2
2๐ โ 1
2
๐!
+โ
๐=2
๐ ๐ ๐ = ๐ ๐
โ๐
๐
๐ ๐ ๐ = ๐ ๐
โ๐
๐ โ
๐
๐
๐
๐
+
๐
๐
๐
๐
+
๐
๐
๐
๐
๐๐โ๐
๐
๐๐ โ ๐
๐
๐!
+โ
๐=๐
8. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 8
3) ๐๐โฒโฒ
+ ๐ โ ๐ ๐โฒ
โ ๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
(3 โ ๐ฅ)
๐ฅ
= 3
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
โ1
๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2 + 3 โ ๐ฅ ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 โ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
Multiplicado por โxโ
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 3๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ ๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ โ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1 โ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1 = 0
๐ = ๐ + 1
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ (๐ โ 1 + ๐)๐ ๐
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ ๐โ1
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
= 0
Generando tรฉrminos hasta n=1
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ 3๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 3 ๐ + ๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ โ ๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=1
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
๐ ๐ โ 1 + 3๐ = 0 โน ๐ ๐ โ 1 + 3 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = โ2 โน ๐ ๐ โ ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 3 ๐ + ๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ โ ๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ1(๐ โ 1 + ๐ + 1)
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 + 3
; โ๐ โฅ 1
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ๐
(๐ + ๐ + ๐)
; โ๐ โฅ ๐
9. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 9
๐๐๐๐ ๐ = 0
๐ ๐ =
๐ ๐โ1
๐ + 2
; โ๐ โฅ 1
๐ = 1 โน ๐1 =
๐0
3
๐ = 2 โน ๐2 =
๐1
4
โน ๐2 =
๐0
3โ4
๐ = 3 โน ๐3 =
๐2
5
โน ๐3 =
๐0
3โ4โ5
๐ = 4 โน ๐7 =
๐3
6
โน ๐7 =
๐0
3โ4โ5โ6
.
.
.
Entonces:
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ2
+ ๐3 ๐ฅ3
+ ๐4 ๐ฅ4
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 +
๐0
3
๐ฅ +
๐0
3 โ 4
๐ฅ2
+
๐0
3 โ 4 โ 5
๐ฅ3
+
๐0
3 โ 4 โ 5 โ 6
๐ฅ4
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 1 +
๐ฅ
3
+
๐ฅ2
3 โ 4
+
๐ฅ3
3 โ 4 โ 5
+
๐ฅ4
3 โ 4 โ 5 โ 6
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = 2๐0
1
2
+
๐ฅ
2 โ 3
+
๐ฅ2
2 โ 3 โ 4
+
๐ฅ3
2 โ 3 โ 4 โ 5
+
๐ฅ4
2 โ 3 โ 4 โ 5 โ 6
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = 2๐0
๐ฅ ๐
๐ + 2 !
+โ
๐=0
๐ถ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ข๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐2 = โ2, ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ ๐๐ข๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ1
(๐ + ๐ + 2)
๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐, โ๐ โฅ 1
๐๐๐๐ ๐ = โ2
๐ ๐ =
๐ ๐โ1
๐
; โ๐ โฅ 1
๐ = 1 โน ๐1 = ๐0
๐ = 2 โน ๐2 =
๐1
4
โน ๐2 =
๐0
2
๐ = 3 โน ๐3 =
๐2
5
โน ๐3 =
๐0
2โ3
๐ = 4 โน ๐7 =
๐3
6
โน ๐7 =
๐0
2โ3โ4
10. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 10
.
.
.
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐โ2
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅโ2
+ ๐1 ๐ฅโ1
+ ๐2 + ๐3 ๐ฅ + ๐4 ๐ฅ2
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅโ2 + ๐0 ๐ฅโ1 +
๐0
2
+
๐0
2 โ 3
๐ฅ +
๐0
2 โ 3 โ 4
๐ฅ2 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅโ2
+ ๐ฅโ1
+
1
2
+
๐ฅ
2 โ 3
+
๐ฅ2
2 โ 3 โ 4
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ ๐โ2
๐!
+โ
๐=0
โ ๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ ๐
โ ๐ฅโ2
๐!
+โ
๐=0
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0
1
๐ฅ2
๐ฅ ๐
๐!
+โ
๐=0
โ ๐ฆ2 ๐ฅ = ๐0
๐ ๐ฅ
๐ฅ2
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ2(๐ฅ)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ2
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
3โ๐ฅ
๐ฅ
๐๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ฅ2
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
3โ๐ฅ
๐ฅ
๐๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ฅ2
2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ โ3 ๐๐ ๐ฅ +๐ฅ
๐2๐ฅ
๐ฅ4
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ4
๐ฅโ3
๐ ๐ฅ
๐2๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ
๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
Integrando por partes:
๐ข = ๐ฅ ๐๐ข = ๐๐ฅ
๐๐ฃ =
๐๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ฃ = โ
1
๐ ๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = โ
๐ฅ
๐ ๐ฅ
โ โ
๐๐ฅ
๐ ๐ฅ
โ ๐ฃ ๐ฅ = โ
๐ฅ
๐ ๐ฅ
โ
1
๐ ๐ฅ
๐ฆ1 ๐ฅ = โ
๐ฅ
๐ ๐ฅ
+
1
๐ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
๐ฅ2
๐ ๐ ๐ = โ
๐
๐
+
๐
๐ ๐
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐
๐ ๐
11. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 11
4) ๐ ๐ โ ๐ ๐โฒโฒ โ ๐๐โฒ
+ ๐๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
โ3
๐ฅ(1 โ ๐ฅ)
= โ3
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
2
๐ฅ(1 โ ๐ฅ)
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ 1 โ ๐ฅ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2 โ 3 ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 + 2 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
โ ๐ฅ2
(๐ + ๐) ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
โ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ (๐ + ๐) ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
Multiplicando por โxโ
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ ๐ฅ (๐ + ๐) ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ 3๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ (๐ + ๐) ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
โ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 2 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
= 0
๐ = ๐ + 1
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ (๐ โ 1 + ๐) ๐ + ๐ โ 2 ๐ ๐โ1
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
โ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 2 ๐ ๐โ1
+โ
๐=1
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
โ 3๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ โ ๐ โ 1 + ๐ ๐ + ๐ โ 2 ๐ ๐โ1 โ 3๐ ๐ ๐ + ๐ + 2๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=1
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
๐ ๐ โ 1 โ 3๐ = 0 โน ๐ ๐ โ 1 โ 3 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = 4 โน ๐ ๐ โ ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ โ ๐ โ 1 + ๐ ๐ + ๐ โ 2 ๐ ๐โ1 โ 3๐ ๐ ๐ + ๐ + 2๐ ๐โ1 ๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ1 ๐ โ 1 + ๐ ๐ + ๐ โ 2 โ 2
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 โ 3
; โ๐ โฅ 1
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ1 ๐ + ๐ 2
โ 3(๐ + ๐)
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 4)
; โ๐ โฅ 1 โ ๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ๐(๐ + ๐ โ ๐)
(๐ + ๐ โ ๐)
; โ๐ โฅ ๐
12. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 12
๐๐๐๐ ๐ = 4
๐ ๐ =
๐ ๐โ1(๐ + 1)
๐
; โ๐ โฅ 1
๐ = 1 โน ๐1 = 2๐0
๐ = 2 โน ๐2 =
3๐1
2
โน ๐2 = 3๐0
๐ = 3 โน ๐3 =
4๐2
3
โน ๐3 = 4๐0
.
.
.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+4
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ4
+ ๐1 ๐ฅ5
+ ๐2 ๐ฅ6
+ ๐3 ๐ฅ7
+ ๐4 ๐ฅ8
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ4
+ ๐1 ๐ฅ5
+ ๐2 ๐ฅ6
+ ๐3 ๐ฅ7
+ ๐4 ๐ฅ8
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 ๐ฅ4
+ 2๐0 ๐ฅ5
+ 3๐0 ๐ฅ6
+ 4๐0 ๐ฅ7
+ 5๐0 ๐ฅ8
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0(๐ฅ4
+ 2๐ฅ5
+ 3๐ฅ6
+ 4๐ฅ7
+ 5๐ฅ8
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐:
1
1 โ ๐ฅ
= 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2
+ ๐ฅ3
+ ๐ฅ4
+ ๐ฅ5
+ โฆ โฆ โฆ โฆ.
Derivando tenemos:
๐
๐๐ฅ
1
1 โ ๐ฅ
=
๐
๐๐ฅ
1 + ๐ฅ + ๐ฅ2
+ ๐ฅ3
+ ๐ฅ4
+ ๐ฅ5
+ โฆ โฆ โฆ โฆ .
โ
1
(1 โ ๐ฅ)2
= 1 + 2๐ฅ + 3๐ฅ2
+ 4๐ฅ3
+ 5๐ฅ4
+ โฆ โฆ โฆ โฆ.
โ
๐ฅ4
(1 โ ๐ฅ)2
= ๐ฅ4
+ 2๐ฅ5
+ 3๐ฅ6
+ 4๐ฅ7
+ 5๐ฅ8
+ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = โ๐0
๐ฅ4
(1 โ ๐ฅ)2
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
13. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 13
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐
โ โ
3
๐ฅ(๐ฅโ1)
๐๐ฅ
๐ฅ4
(1 โ ๐ฅ)2
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐
3
๐ฅ
+
3
1โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ฅ8
(1 โ ๐ฅ)4
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐(3 ๐๐ ๐ฅ โ3 ๐๐ 1โ๐ฅ )
๐ฅ8
(1 โ ๐ฅ)4
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
(1 โ ๐ฅ)4
๐ฅ3
(1 โ ๐ฅ)โ3
๐ฅ8
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
(1 โ ๐ฅ)
๐ฅ5
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = โ
1
4๐ฅ4
+
1
3๐ฅ3
๐ฆ2 ๐ฅ =
1
3๐ฅ3
โ
1
4๐ฅ4
๐ฅ4
(1 โ ๐ฅ)2
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐
(๐ โ ๐) ๐
๐ ๐ ๐ =
๐
๐(๐ โ ๐) ๐ โ
๐
๐(๐ โ ๐) ๐
14. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 14
5) ๐๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
โ ๐๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
2
๐ฅ
= 2
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
โ๐ฅ
๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2 + 2 ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 โ ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
= 0
Multiplicando por โxโ:
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
โ ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ โ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+2 = 0
๐ = ๐ + 2
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
โ ๐ ๐โ2
+โ
๐=2
๐ฅ ๐+2
= 0
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ ๐1 ๐ + 1 (๐)๐ฅ ๐+1
+ 2๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ 2๐1 ๐ + 1 ๐ฅ ๐+1
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 2๐ ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐โ2 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=2
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
๐ ๐ โ 1 + ๐ = 0
๐ ๐ โ 1 + 1 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = 0 โน ๐ ๐ โ ๐
๐1 ๐ฅ ๐+1
๐ ๐ + 1 + 2 ๐ + 1 = 0
๐1 ๐ฅ ๐+1
0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 โน ๐1 ๐ฅ ๐+1
2 = 0 โน ๐ ๐ = ๐
15. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 15
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 2๐ ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐โ2 ๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 2๐ ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐โ2 = 0
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ2
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 + 2
; โ๐ โฅ 2
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ2
๐ + ๐ (๐ + ๐ + 1)
; โ๐ โฅ 2
๐ ๐ ๐ =
๐ ๐โ๐
๐ + ๐ (๐ + ๐ + ๐)
; โ๐ โฅ ๐
๐๐๐๐ ๐ = 0
๐ ๐ =
๐ ๐โ2
๐(๐ + 1)
; โ๐ โฅ 2
๐ = 2 โน ๐2 =
๐0
2โ3
๐ = 3 โน ๐3 =
๐1
2โ3
โน ๐3 = 0
๐ = 4 โน ๐4 =
๐2
4โ5
โน ๐4 =
๐0
2โ3โ4โ5
๐ = 5 โน ๐5 =
๐3
5โ6
โน ๐5 = 0
๐ = 6 โน ๐6 =
๐4
6โ7
โน ๐6 =
๐0
2โ3โ4โ5โ6โ7
.
.
.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ2
+ ๐3 ๐ฅ3
+ ๐4 ๐ฅ4
+ ๐5 ๐ฅ5
+ ๐66 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 +
๐0
2 โ 3
๐ฅ2
+
๐0
2 โ 3 โ 4 โ 5
๐ฅ4
+
๐0
2 โ 3 โ 4 โ 5 โ 6 โ 7
๐ฅ6
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 1 +
๐ฅ2
3!
+
๐ฅ4
5!
+
๐ฅ6
7!
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ2๐
(2๐ + 1)!
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
1
๐ฅ
๐ฅ2๐+1
(2๐ + 1)!
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
16. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 16
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
2
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ2 ๐๐ ๐ฅ
๐ฅ2
๐๐๐๐ ๐ฅ 2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ2
๐ฅโ2
๐๐๐๐ ๐ฅ 2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = ๐๐๐๐ ๐ฅ โ2 ๐๐ฅ
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฅ =
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
, ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ :
๐ฃ ๐ฅ =
2
๐ ๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
2๐ ๐ฅ
๐2๐ฅ โ 1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
4๐2๐ฅ
๐2๐ฅ โ 1 2
๐๐ฅ
Integrando por cambio de variable:
๐ข = ๐ ๐ฅ ๐๐ข = ๐ ๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
4๐ข2
๐ข2 โ 1 2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
4๐ข2
๐ข โ 1 ๐ข + 1 2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
4๐ข2
๐ข โ 1 2 ๐ข + 1 2 ๐๐ฅ
Integrando aplicando fracciones parciales:
๐ข2
๐ข โ 1 2 ๐ข + 1 2
=
2๐ด ๐ข โ 1 + ๐ต
๐ข โ 1 2
+
2๐ถ ๐ข + 1 + ๐ท
๐ข + 1 2
๐ข2
= 2๐ด ๐ข โ 1 + ๐ต ๐ข + 1 2
+ 2๐ถ ๐ข + 1 + ๐ท ๐ข โ 1 2
๐ข2 = 2๐ด ๐ข3 + ๐ข2 โ ๐ข โ 1 + ๐ต(๐ข2 + 2๐ข + 1) + 2๐ถ ๐ข3 โ ๐ข2 โ ๐ข + 1 + ๐ท(๐ข2 โ 2๐ข + 1)
๐ข2
= 2๐ด + 2๐ถ ๐ข3
+ 2๐ด + ๐ต โ 2๐ถ + ๐ท ๐ข2
+ โ2๐ด + 2๐ต โ 2๐ถ โ 2๐ท ๐ข + โ2๐ด + ๐ต + 2๐ถ + ๐ท
1 2๐ด + 2๐ถ = 0
2 2๐ด + ๐ต โ 2๐ถ + ๐ท = 1
3 โ 2๐ด + 2๐ต โ 2๐ถ โ 2๐ท = 0
4 โ 2๐ด + ๐ต + 2๐ถ + ๐ท = 0
2๐ด = โ2๐ถ 1 + 3 2๐ต = 2๐ท 2 + 3 = 2๐ต + 2๐ท = 1
๐ต =
1
4
2๐ท + 2๐ท = 1
๐ท =
1
4
2๐ถ +
1
4
+ 2๐ถ +
1
4
= 0
๐ถ =
1
8
๐ด =
1
8
17. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 17
Entonces:
๐ฃ ๐ฅ =
2๐ด(๐ข โ 1)
๐ข โ 1 2
+
๐ต
๐ข โ 1 2
+
2๐ถ(๐ข + 1)
๐ข + 1 2
+
๐ท
๐ข + 1 2
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = 2๐ด ๐๐ ๐ข โ 1 2
โ
๐ต
(๐ข โ 1)
+ 2๐ถ ๐๐ ๐ข + 1 2
โ
๐ท
(๐ข + 1)
๐ฃ ๐ฅ = 2
1
8
๐๐ ๐ ๐ฅ
โ 1 2
โ
1
4(๐ ๐ฅ โ 1)
+ 2
1
8
๐๐ ๐ ๐ฅ
+ 1 2
โ
1
4(๐ ๐ฅ + 1)
๐ฆ2 ๐ฅ =
1
4
๐๐ ๐ ๐ฅ
โ 1 2
โ
1
4(๐ ๐ฅ โ 1)
+
1
4
๐๐ ๐ ๐ฅ
+ 1 2
โ
1
4(๐ ๐ฅ + 1)
๐๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
๐ ๐ ๐ =
๐บ๐๐๐ ๐
๐
๐ ๐ ๐ =
๐
๐
๐๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐ โ
๐
(๐ ๐ โ ๐)
+ ๐๐ ๐ ๐ + ๐ ๐ โ
๐
(๐ ๐ + ๐)
๐บ๐๐๐ ๐
๐
18. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 18
6) ๐๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
+ ๐๐ ๐
๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
3
๐ฅ
= 3
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
4๐ฅ3
๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
+ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 4๐ฅ3
๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 3 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 4 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+3
= 0
Multiplicando por โxโ
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 3๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 4๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+3
= 0
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 3 ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 4 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+4
= 0
๐ = ๐ + 4
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 3 ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 4 ๐ ๐โ4
+โ
๐=4
๐ฅ ๐+๐
= 0
Generando tรฉrminos hasta n=4
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ ๐1 ๐ + 1 ๐ ๐ฅ ๐+1
+ ๐2 ๐ + 2 ๐
+ 1 ๐ฅ ๐+2
+ ๐3 ๐ + 3 ๐ + 2 ๐ฅ ๐+3
+
3๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ 3๐1 ๐ + 1 ๐ฅ ๐+1
+ 3๐2 ๐ + 2 ๐ฅ ๐+2
+ 3๐3 ๐ + 3 ๐ฅ ๐+3
+ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 3 ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=4
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
๐ ๐ โ 1 + 3๐ = 0
๐ ๐ โ 1 + 3 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = โ2 โน ๐ ๐ โ ๐
19. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 19
๐1 ๐ฅ ๐+1
๐ ๐ + 1 + 3 ๐ + 1 = 0
๐1 ๐ฅ ๐+1 0 0 + 1 + 3(0 + 1) = 0 โน ๐1 ๐ฅ ๐+1(3) = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐2 ๐ฅ ๐+2 ๐ + 1 ๐ + 2 + 3 ๐ + 2 = 0
๐2 ๐ฅ ๐+2
0 + 1 0 + 2 + 3(0 + 2) = 0 โน ๐2 ๐ฅ ๐+2
(6) = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐3 ๐ฅ ๐+3
๐ + 3 ๐ + 2 + 3 ๐ + 3 = 0
๐3 ๐ฅ ๐+3 0 + 3 0 + 2 + 3 0 + 3 = 0 โน ๐2 ๐ฅ ๐+2 9 = 0 โน ๐ ๐ = ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 3 ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 ๐ฅ ๐+๐
= 0
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 3 ๐ + ๐ ๐ ๐ + 4๐ ๐โ4 = 0
๐ ๐ ๐ = โ
4๐ ๐โ4
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1 + 3)
; โ๐ โฅ 4
๐ ๐ ๐ = โ
๐๐ ๐โ๐
๐ + ๐ (๐ + ๐ + ๐)
; โ๐ โฅ ๐
๐๐๐๐ ๐ = 0
๐ ๐ = โ
4๐ ๐โ4
๐ + 2 (๐)
; โ๐ โฅ 4
๐ = 4 โน ๐4 = โ
4๐0
4โ6
๐ = 5 โน ๐5 = โ
4๐1
5โ7
โน ๐5 = 0
๐ = 6 โน ๐6 = โ
4๐2
6โ8
โน ๐6 = 0
๐ = 7 โน ๐7 = โ
4๐3
7โ9
โน ๐7 = 0
๐ = 8 โน ๐8 = โ
4๐4
8โ10
โน ๐8 =
4โ4๐0
4โ6โ8โ10
.
.
.
๐ = 12 โน ๐12 = โ
4๐8
12โ14
โน ๐12 =
4โ4โ4๐0
4โ6โ8โ10โ12โ14
.
.
.
20. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 20
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ2
+ ๐3 ๐ฅ3
+ ๐4 ๐ฅ4
+ ๐5 ๐ฅ5
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 โ
4๐0
4 โ 6
๐ฅ4
+
4 โ 4๐0
4 โ 6 โ 8 โ 10
๐ฅ8
โ
4 โ 4 โ 4๐0
4 โ 6 โ 8 โ 10 โ 12 โ 14
๐ฅ12
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 1 โ
4
3! โ 22
๐ฅ4 +
42
5! โ 24
๐ฅ8 โ
43
7! โ 26
๐ฅ12 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ4๐
โ 4 ๐
โ (โ1) ๐
2๐ + 1 ! โ 22๐
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
1
๐ฅ2
(โ1) ๐
๐ฅ4๐+2
2๐ + 1 !
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
1
๐ฅ2
(โ1) ๐ ๐ฅ2 2๐+1
2๐ + 1 !
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐๐๐(๐ฅ2
)
๐ฅ2
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
3
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)
๐ฅ2
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ3 ๐๐ ๐ฅ
๐๐๐(๐ฅ2)
๐ฅ2
2 ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅโ3 ๐ฅ4
๐๐๐(๐ฅ2)2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ = ๐ฅ ๐ถ๐ ๐2
๐ฅ2
Integrando por cambio de variable:
๐ข = ๐ฅ2
๐๐ข = 2๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
1
2
๐ถ๐ ๐2
๐ข ๐๐ข โ ๐ฃ ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก ๐ข โ ๐ฃ ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก(๐ฅ2
)
๐ฆ2 ๐ฅ = โ
1
2
๐ถ๐๐ก ๐ฅ2
๐๐๐(๐ฅ2
)
๐ฅ2
= โ
๐ถ๐๐ (๐ฅ2
)
2๐ฅ2
๐ ๐ ๐ =
๐บ๐๐(๐ ๐)
๐ ๐
๐ ๐ ๐ =
๐ช๐๐(๐ ๐
)
๐๐ ๐
21. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 21
7) ๐๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
+ ๐๐ = ๐
lim
๐ฅโ0
๐ฅ
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ
2
๐ฅ
= 2
lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
โ lim
๐ฅโ0
๐ฅ2
๐ฅ
๐ฅ
= 0
๐ฆ ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆโฒ ๐ฅ = (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
๐ฆโฒโฒ ๐ฅ = ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2
๐ฅ ๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ2 + 2 ๐ + ๐ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1 + ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
= 0
Multiplicando por โxโ
๐ฅ ๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ 2๐ฅ (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐โ1
+ ๐ฅ ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+1
= 0
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐ + ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐+2 = 0
๐ = ๐ + 2
๐ + ๐ (๐ + ๐ โ 1)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ 2 (๐ + ๐)๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
+ ๐ ๐โ2
+โ
๐=2
๐ฅ ๐+2
= 0
Generando tรฉrminos hasta n=2
๐0 ๐ ๐ โ 1 ๐ฅ ๐
+ ๐1 ๐ + 1 (๐)๐ฅ ๐+1
+ 2๐0 ๐ ๐ฅ ๐
+ 2๐1 ๐ + 1 ๐ฅ ๐+1
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 2๐ ๐ (๐ + ๐) + ๐ ๐โ2 ๐ฅ ๐+๐
+โ
๐=2
= 0
๐0 ๐ฅ ๐
๐ ๐ โ 1 + ๐ = 0
๐ ๐ โ 1 + 1 = 0 โน ๐1 = 0 , ๐2 = 0 โน ๐ ๐ โ ๐
๐1 ๐ฅ ๐+1 ๐ ๐ + 1 + 2 ๐ + 1 = 0
๐1 ๐ฅ ๐+1
0 0 + 1 + 2 0 + 1 = 0 โน ๐1 ๐ฅ ๐+1
2 = 0 โน ๐ ๐ = ๐
22. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 22
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 ๐ ๐ + 2๐ ๐(๐ + ๐) + ๐ ๐โ2 ๐ฅ ๐+๐ = 0
๐ ๐ ๐ = โ
๐ ๐โ2
๐ + ๐ ๐ + ๐ โ 1 + 2
; โ๐ โฅ 2
๐ ๐ ๐ = โ
๐ ๐โ2
๐ + ๐ (๐ + ๐ + 1)
; โ๐ โฅ 2
๐ ๐ ๐ = โ
๐ ๐โ๐
๐ + ๐ (๐ + ๐ + ๐)
; โ๐ โฅ ๐
๐๐๐๐ ๐ = 0
๐ ๐ = โ
๐ ๐โ2
๐(๐ + 1)
; โ๐ โฅ 2
๐ = 2 โน ๐2 = โ
๐0
2โ3
๐ = 3 โน ๐3 = โ
๐1
2โ3
โน ๐3 = 0
๐ = 4 โน ๐4 = โ
๐2
4โ5
โน ๐4 =
๐0
2โ3โ4โ5
๐ = 5 โน ๐5 = โ
๐3
5โ6
โน ๐5 = 0
๐ = 6 โน ๐6 = โ
๐4
6โ7
โน ๐6 =
๐0
2โ3โ4โ5โ6โ7
.
.
.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐+๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐ ๐
+โ
๐=0
๐ฅ ๐
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ2
+ ๐3 ๐ฅ3
+ ๐4 ๐ฅ4
+ ๐5 ๐ฅ5
+ ๐66 + โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 โ
๐0
2 โ 3
๐ฅ2
+
๐0
2 โ 3 โ 4 โ 5
๐ฅ4
โ
๐0
2 โ 3 โ 4 โ 5 โ 6 โ 7
๐ฅ6
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0 1 โ
๐ฅ2
3!
+
๐ฅ4
5!
โ
๐ฅ6
7!
+ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ .
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐ฅ2๐
(โ1) ๐
(2๐ + 1)!
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
1
๐ฅ
(โ1) ๐ ๐ฅ2๐+1
(2๐ + 1)!
+โ
๐=0
๐ฆ1 ๐ฅ = ๐0
๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
23. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 23
๐ฆ2 ๐ฅ = ๐ฃ ๐ฅ ๐ฆ1(๐ฅ)
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฆ1
2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐โ
2
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
2 ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ =
๐โ2 ๐๐ ๐ฅ
๐ฅ2
๐๐๐ ๐ฅ 2
๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ =
๐ฅ2
๐ฅโ2
๐๐๐ ๐ฅ 2
๐๐ฅ
๐ฃ ๐ฅ = ๐ถ๐ ๐2
(๐ฅ) ๐๐ฅ โ ๐ฃ ๐ฅ = โ๐ถ๐๐ก(๐ฅ)
๐ฆ2 ๐ฅ = โ
๐๐๐ ๐ฅ
๐ฅ
๐ถ๐๐ก ๐ฅ = โ
๐ถ๐๐ (๐ฅ)
๐ฅ
๐ ๐ ๐ =
๐บ๐๐ ๐
๐
๐ ๐ ๐ = โ
๐ช๐๐ (๐)
๐
24. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 24
TRANSFORMADA DE LAPLACE
๐) ๐ ๐บ๐๐ ๐
๐
๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐:
โ ๐ ๐๐
= ๐ถ๐๐ ๐ + ๐ ๐๐๐๐
โก ๐โ๐๐
= ๐ถ๐๐ ๐ โ ๐ ๐๐๐๐
๐ธ๐๐ก๐๐๐๐๐ โ โ โก
๐๐๐๐ =
๐ ๐๐
โ ๐โ๐๐
2๐
โ ๐๐๐5
๐ก = โ
๐ ๐๐
โ ๐โ๐๐
2๐
5
โ ๐๐๐5
๐ก =
1
16
โ
๐ ๐๐ก 5
โ 5 ๐ ๐๐ก ๐โ๐๐ก 4
+ 10 ๐ ๐๐ก 3
๐โ๐๐ก 2
โ 10 ๐ ๐๐ก 2
๐โ๐๐ก 3
+ 5 ๐ ๐๐ก ๐โ๐๐ก 4
โ ๐โ๐๐ก 5
2๐
โ ๐๐๐5 ๐ก =
1
16
โ
๐5๐๐ก
โ 5๐3๐๐ก
+ 10๐ ๐๐ก
โ 10๐โ๐๐ก
+ 5๐โ3๐๐ก
โ ๐โ5๐๐ก
2๐
โ ๐๐๐5 ๐ก =
1
16
โ
๐5๐๐ก
โ ๐โ5๐๐ก
2๐
โ 5
๐3๐๐ก
โ ๐โ3๐๐ก
2๐
+ 10
๐ ๐๐ก
โ ๐โ๐๐ก
2๐
โ ๐๐๐5
๐ก =
1
16
โ ๐๐๐ 5๐ก โ 5 ๐๐๐ 3๐ก + 10 ๐๐๐(๐ก)
๐ ๐บ๐๐ ๐
๐ =
๐
๐๐
๐
๐ ๐ + ๐๐
โ
๐๐
๐ ๐ + ๐
+
๐๐
๐ ๐ + ๐
๐) ๐ ๐พ ๐ โ ๐๐
๐บ๐๐(๐ โ ๐๐
)
Vamos a realizarlo paso a paso:
Como la funciรณn seno ya estรก desfasada, no hay problema, entonces, primero determinamos la trasformada de Laplace
de la funciรณn seno: โ ๐๐๐ ๐ก =
1
๐ 2+1
, luego:
๐ ๐พ ๐ โ ๐๐
๐บ๐๐(๐ โ ๐๐
) = ๐โ๐๐
๐
๐
๐ ๐ + ๐
25. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 25
๐)๐ ๐พ ๐ โ
๐
๐
๐
โ๐ ๐โ
๐
๐ ๐ช๐๐๐ ๐ ๐ โ
๐
๐
Determinamos la transformada de Laplace del coseno hiperbรณlico
โ ๐ถ๐๐ ๐ 4๐ก =
๐
๐ 2 โ 16
Luego:
โ ๐โ2๐ก ๐ถ๐๐ ๐ 4๐ก =
๐ + 2
๐ + 2 2 โ 16
Y finalmente:
๐ ๐พ ๐ โ
๐
๐
๐
โ๐ ๐โ
๐
๐ ๐ช๐๐๐ ๐ ๐ โ
๐
๐
= ๐โ
๐
๐
๐ ๐ + ๐
๐ + ๐ ๐ โ ๐๐
๐)๐ ๐พ ๐ โ ๐ ๐
Hay que desfasar la funciรณn
โ ๐ ๐ก โ 2 ๐ก = โ ๐ ๐ก โ 2 (๐ก โ 2 + 2)
โ ๐ ๐ก โ 2 ๐ก = โ ๐ ๐ก โ 2 (๐ก โ 2) + 2)
โ ๐ ๐ก โ 2 ๐ก = โ ๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2 + 2โ ๐ ๐ก โ 2 (1)
๐ ๐พ ๐ โ ๐ ๐ = ๐โ๐๐
๐
๐ ๐
+ ๐๐โ๐๐
๐
๐
๐)๐ ๐พ ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐
โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐ ๐ก = โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐ ๐ก โ
๐
2
+
๐
2
โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐ ๐ก = โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐ ๐ก โ
๐
2
๐ถ๐๐
๐
2
+ ๐ถ๐๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐
๐
2
โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐๐๐ ๐ก = โ ๐ ๐ก โ
๐
2
๐ถ๐๐ ๐ก โ
๐
2
๐ ๐พ ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ = ๐โ
๐
๐
๐ ๐
๐ ๐ + ๐
26. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 26
๐)๐ ๐(๐)
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ก + 2 + 5 ๐ ๐ก โ 3 โ ๐ ๐ก โ 5 + ๐ ๐ก โ 5 โ ๐ ๐ก โ 15
1
2
๐ก โ
15
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก ๐ก + 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ก + 2 + 5๐ ๐ก โ 3 โ 5๐ ๐ก โ 3 + ๐ ๐ก โ 5
1
2
๐ก โ
15
2
โ ๐ ๐ก โ 15
1
2
๐ก โ
15
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก ๐ก + 2 โ 2 + 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ก + 2 โ 5 + 5 + 5๐ ๐ก โ 3 โ 5๐ ๐ก โ 5
+
1
2
๐ ๐ก โ 5 ๐ก โ 15 + 10 โ 10 โ
1
2
๐ ๐ก โ 15 ๐ก โ 15
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก ๐ก + 2๐ ๐ก โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ก โ 3 โ 5๐ ๐ก โ 3 + 5๐ ๐ก โ 3 โ 5๐ ๐ก โ 5 +
1
2
๐ ๐ก โ 5 ๐ก โ 5
โ 10๐ ๐ก โ 5 โ
1
2
๐ ๐ก โ 15 ๐ก โ 15
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก ๐ก + 2๐ ๐ก โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ก โ 3 โ 15๐ ๐ก โ 5 +
1
2
๐ ๐ก โ 5 ๐ก โ 5 โ
1
2
๐ ๐ก โ 15 ๐ก โ 15
๐ ๐(๐) =
๐
๐ ๐ +
๐
๐
โ ๐โ๐๐
๐
๐ ๐ โ ๐๐๐โ๐๐
๐
๐
+
๐โ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ
๐โ๐๐๐
๐
๐
๐ ๐
๐)๐ ๐๐โ๐๐
๐บ๐๐(๐๐)
โ ๐๐๐(4๐ก) =
4
๐ 2 + 16
โ ๐โ3๐ก ๐๐๐(4๐ก) =
4
๐ + 3 2 + 16
โ ๐ก๐โ3๐ก
๐๐๐(4๐ก) = โ
๐
๐๐
4
๐ + 3 2 + 16
โ ๐ก๐โ3๐ก
๐๐๐(4๐ก) = โ
4
๐ + 3 2 + 16 2
2 ๐ + 3
๐ ๐๐โ๐๐
๐บ๐๐(๐๐) = โ
๐ ๐ + ๐
๐ + ๐ ๐ + ๐๐ ๐
27. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 27
๐)๐ ๐ ๐บ๐๐ ๐ ๐
๐
๐
๐
โ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ก โ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
= ๐น ๐ ๐บ(๐ )
โ (1)
๐(๐กโ๐ฅ)
๐๐๐ ๐
๐(๐ฅ)
๐๐
๐ก
0
=
1
๐
1
๐ 2 + 1
โ ๐ก ๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ก
0
= โ
๐
๐๐
1
๐
1
๐ 2 + 1
=
1
๐ 2
1
๐ 2 + 1
+
2๐
๐ 2 + 1 2
1
๐
๐ ๐ ๐บ๐๐ ๐ ๐
๐
๐
๐
=
๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ + ๐
+
๐๐
๐ ๐ + ๐ ๐
๐
๐
๐)๐ ๐โ๐๐
๐๐โ๐๐
๐บ๐๐ ๐ ๐
๐
๐
๐
โ ๐๐๐(๐ก) =
1
๐ 2 + 1
โ ๐โ2๐ก ๐๐๐ ๐ก =
1
๐ + 2 2 + 1
โ ๐ก๐โ2๐ก
๐๐๐ ๐ก = โ
๐
๐๐
1
๐ + 2 2 + 1
=
2 ๐ + 2
๐ + 2 2 + 1 2
โ (1)
๐(๐กโ๐ฅ)
๐๐โ2๐
๐๐๐ ๐
๐(๐ฅ)
๐๐
๐ก
0
=
2 ๐ + 2
๐ + 2 2 + 1 2
๐
โ ๐โ2๐ก
๐๐โ2๐
๐๐๐ ๐ ๐๐
๐ก
0
=
2 ๐ + 2 + 2
๐ + 2 + 2
2
+ 1
2
๐ + 2
๐ ๐โ๐๐
๐๐โ๐๐
๐บ๐๐ ๐ ๐
๐
๐
๐
=
๐ ๐ + ๐ ๐ + ๐
๐ + ๐ + ๐
๐
+ ๐
๐
28. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 28
๐๐)๐ ๐ โ ๐
El grรกfico correspondiente a esta funciรณn es:
๐ = 1
โ ๐ฅ โ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐
๐โ๐ ๐ก
โ๐ก ๐๐ก
1
0
๐ข = โ๐ก โ ๐๐ข = โ๐๐ก
๐๐ฃ = ๐โ๐ ๐ก
๐๐ก โ ๐ฃ = โ
1
๐
๐โ๐ ๐ก
โ ๐ฅ โ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐
๐ก
๐
๐โ๐ ๐ก
+
1
๐
๐โ๐ ๐ก
๐๐ก
โ ๐ฅ โ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐
๐ก
๐
๐โ๐ ๐ก
โ
๐โ๐ ๐ก
๐ 2
1
0
โ ๐ฅ โ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐
1
๐
๐โ๐ โ
๐โ๐
๐ 2
โ โ
1
๐ 2
๐ ๐ โ ๐ =
๐
๐ โ ๐โ๐
๐โ๐
๐
โ
๐โ๐
๐ ๐ +
๐
๐ ๐
๐๐)๐ ๐บ๐๐ ๐
El grรกfico correspondiente a esta funciรณn es:
๐ = ๐
โ ๐๐๐ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐๐
๐โ๐ ๐ก
๐๐๐(๐ก)๐๐ก
๐
0
๐ข = ๐๐๐(๐ก) โ ๐๐ข = โ๐ถ๐๐ ๐ก ๐๐ก
๐๐ฃ = ๐โ๐ ๐ก
๐๐ก โ ๐ฃ = โ
1
๐
๐โ๐ ๐ก
29. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 29
๐โ๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก ๐๐ก = โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
โ
1
๐
๐โ๐ ๐ก
๐ถ๐๐ ๐ก ๐๐ก
๐ข = ๐ถ๐๐ (๐ก) โ ๐๐ข = ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก
๐๐ฃ = ๐โ๐ ๐ก ๐๐ก โ ๐ฃ = โ
1
๐
๐โ๐ ๐ก
๐โ๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก ๐๐ก = โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
โ
1
๐
โ
๐ถ๐๐ (๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
+
1
๐
๐โ๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก ๐๐ก
๐โ๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก ๐๐ก = โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
+
๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ 2 ๐โ๐ ๐ก
โ
1
๐ 2 ๐โ๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก ๐๐ก
๐โ๐ ๐ก ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก =
๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ 2 ๐โ๐ ๐ก โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
1 +
1
๐ 2
๐โ๐ ๐ก ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก =
๐ 2
๐ 2 + 1
๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ 2
๐โ๐ ๐ก โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
โ ๐๐๐ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐๐
๐ 2
๐ 2 + 1
๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ 2
๐โ๐ ๐ก โ
๐๐๐(๐ก)
๐
๐โ๐ ๐ก
๐
0
โ ๐๐๐ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐๐
๐ 2
๐ 2 + 1
๐ถ๐๐ (๐)
๐ 2
๐โ๐ ๐ โ
๐๐๐(๐)
๐
๐โ๐ ๐ โ
๐ถ๐๐ (0)
๐ 2
๐โ๐ (0) โ
๐๐๐(0)
๐
๐โ๐ (0)
โ ๐๐๐ ๐ฅ =
1
1 โ ๐โ๐๐
๐ 2
๐ 2 + 1
โ
1
๐ 2
๐โ๐ ๐ โ
1
๐ 2
๐ ๐บ๐๐ ๐ = โ
๐
๐ โ ๐โ๐
๐
๐ ๐
๐ ๐ + ๐
๐
๐ ๐
๐โ๐๐
+
๐
๐ ๐
๐๐)Encuentre la transformada de Laplace para las funciones cuyos grรกficos se muestran a
continuaciรณn:
a)
b)
30. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 30
Para a)
๐1 1,0 ; ๐2 2, โ4
๐ฆ1 = ๐๐ฅ + ๐
0 = ๐ + ๐ ; โ4 = 2๐ + ๐
๐ฆ1 = 4๐ฅ + 4
๐1 2,0 ; ๐2 3,2
๐ฆ2 = ๐๐ฅ + ๐
0 = 2๐ + ๐ ; 2 = 3๐ + ๐
๐ฆ2 = 2๐ฅ โ 4
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ 1 โ ๐(๐ก โ 2) ๐ฆ1 + ๐ ๐ก โ 2 โ ๐(๐ก โ 3) ๐ฆ2 + ๐(๐ก โ 3)๐ฆ3
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ 1 โ ๐ ๐ก โ 2 (4๐ก + 4) + ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 (2๐ก โ 4) + ๐(๐ก โ 3)2
โ ๐(๐ก) = โ 4 ๐ก + 1 ๐ ๐ก โ 1 โ 4๐ ๐ก โ 2 ๐ก + 1 + 2๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2 โ 2๐ ๐ก โ 3 (๐ก โ 2) + 2๐(๐ก โ 3)
โ ๐(๐ก) = โ 4 (๐ก + 1 โ 2) + 2 ๐ ๐ก โ 1 โ 4๐ ๐ก โ 2 (๐ก + 1 โ 3) + 3 + 2๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2 โ 2๐ ๐ก โ 3 ((๐ก โ 2
โ 1) + 1) + 2๐(๐ก โ 3)
โ ๐(๐ก) = โ 4 ๐ก โ 1 ๐ ๐ก โ 1 + 8๐ ๐ก โ 1 โ 4๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2 โ 12๐ ๐ก โ 2 + 2๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2
โ 2๐ ๐ก โ 3 ๐ก โ 3 โ 2๐ ๐ก โ 3 + 2๐(๐ก โ 3)
โ ๐(๐ก) = โ 4 ๐ก โ 1 ๐ ๐ก โ 1 + 8๐ ๐ก โ 1 โ 2๐ ๐ก โ 2 ๐ก โ 2 โ 12๐ ๐ก โ 2 โ 2๐ ๐ก โ 3 ๐ก โ 3
๐ ๐(๐) =
๐โ๐
๐ ๐
+ ๐๐โ๐
โ ๐
๐โ๐๐
๐ ๐
โ ๐๐๐โ๐๐
โ ๐
๐โ๐๐
๐ ๐
31. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 31
Para b)
Sabemos que el perรญodo de la funciรณn Sen(Bx) es
๐ =
2๐
๐ต
, entonces 4๐ =
2๐
๐ต
โ ๐ต =
1
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ + ๐(๐ก โ 3๐) ๐๐๐
๐ฅ
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐๐
๐ฅ
2
+ ๐(๐ก โ 3๐)๐๐๐
๐ฅ
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐๐
1
2
๐ก โ ๐ + ๐ + ๐(๐ก โ 3๐)๐๐๐
1
2
๐ก โ 3๐ + 3๐
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐๐
1
2
(๐ก โ ๐) +
๐
2
+ ๐(๐ก โ 3๐)๐๐๐
1
2
(๐ก โ 3๐) +
3๐
2
โ ๐(๐ก) = โ
๐ ๐ก โ ๐ ๐๐๐
1
2
๐ก โ ๐ ๐ถ๐๐
๐
2
+ ๐ถ๐๐
1
2
๐ก โ ๐ ๐๐๐
๐
2
+
๐(๐ก โ 3๐) ๐๐๐
1
2
(๐ก โ 3๐) ๐ถ๐๐
3๐
2
+ ๐ถ๐๐
1
2
(๐ก โ 3๐) ๐๐๐
3๐
2
โ ๐(๐ก) = โ ๐ ๐ก โ ๐ ๐ถ๐๐
1
2
(๐ก โ ๐) โ ๐(๐ก โ 3๐)๐ถ๐๐
1
2
(๐ก โ 3๐)
โ ๐(๐ก) = ๐โ๐๐
๐
๐ 2 +
1
4
โ ๐โ3๐๐
๐
๐ 2 +
1
4
๐ ๐(๐) = ๐โ๐
๐
๐๐
๐๐ ๐ + ๐
โ ๐โ๐๐
๐
๐๐
๐๐ ๐ + ๐
32. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 32
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
๐)๐โ๐
๐ + ๐
๐ ๐ + ๐๐ + ๐
โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 8
= โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 4 + 8 โ 4
โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 8
= โโ1
๐ + 1
๐ + 2 2 + 4
โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 8
= โโ1
(๐ + 1 + 1) โ 1
๐ + 2 2 + 4
โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 8
= โโ1
๐ + 2
๐ + 2 2 + 4
โ โโ1
1
๐ + 2 2 + 4
โโ1
๐ + 1
๐ 2 + 4๐ + 8
= โโ1
๐ + 2
๐ + 2 2 + 4
โ
1
2
โโ1
2
๐ + 2 2 + 4
๐โ๐ ๐ + ๐
๐ ๐ + ๐๐ + ๐
= ๐โ๐๐
๐ช๐๐ ๐๐ โ
๐โ๐๐
๐
๐บ๐๐(๐๐)
๐)๐โ๐
๐โ๐๐
๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐
1
๐ 2 + 1 ๐ 2 + 4
=
๐ด 2๐ + ๐ต
๐ 2 + 1
+
๐ถ 2๐ + ๐ท
๐ 2 + 4
1 = 2๐ด๐ + ๐ต ๐ 2
+ 4 + (2๐ถ๐ + ๐ท) ๐ 2
+ 1
1 = 2๐ด๐ 3
+ 8๐ด๐ + ๐ต๐ 2
+ 4๐ต + 2๐ถ๐ 3
+ 2๐ถ๐ + ๐ท๐ 2
+ ๐ท
1 = 2๐ด + 2๐ถ ๐ 3
+ ๐ต + ๐ท ๐ 2
+ 8๐ด + 2๐ถ ๐ + 4๐ต + ๐ท
0 = 2๐ด + 2๐ถ
0 = ๐ต + ๐ท
0 = 8๐ด + 2๐ถ
1 = 4๐ต + ๐ท
Resolviendo el sistema A = 0, B = 1/3, C = 0, D = -1/3
โโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 1 ๐ 2 + 4
= โโ1
๐โ2๐
2๐ด๐ + ๐ต
๐ 2 + 1
+
2๐ถ๐ + ๐ท
๐ 2 + 4
โโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 1 ๐ 2 + 4
= 2๐ดโโ1
๐ ๐โ2๐
๐ 2 + 1
+ ๐ตโโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 1
+ 2๐ถโโ1
๐ ๐โ2๐
๐ 2 + 4
+ ๐ทโโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 4
โโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 1 ๐ 2 + 4
=
1
3
โโ1
๐โ2๐
๐ 2 + 1
โ
1
6
โโ1
2๐โ2๐
๐ 2 + 4
โ ๐โ๐
๐โ๐๐
๐ ๐ + ๐ ๐ ๐ + ๐
= ๐พ(๐ โ ๐)
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ โ ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ ๐ โ ๐
33. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 33
๐)๐โ๐
๐๐
๐ โ ๐
๐ ๐ + ๐๐ + ๐
โ ๐ก ๐(๐ก) = โ
๐
๐๐
๐น(๐ )
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐น ๐
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐
๐ โ 1
๐2 + 2๐ + 5
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐ ๐ โ 1 + โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐ ๐2
+ 2๐ + 1 + 5 โ 1
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐ ๐ โ 1 + โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐ ๐ + 1 2
+ 4
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
1
๐ โ 1
+ โโ1
โ
2 ๐ + 1
๐ + 1 2 + 4
๐ก ๐ ๐ก = โ๐ ๐ก โ 2๐โ๐ก ๐ถ๐๐ (2๐ก)
๐ ๐ =
โ๐๐
โ ๐๐โ๐
๐ช๐๐(๐๐)
๐
๐)๐โ๐
๐๐
๐ ๐
+ ๐
๐ ๐ + ๐
โ ๐ก ๐(๐ก) = โ
๐
๐๐
๐น(๐ )
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
๐
๐๐
๐น ๐
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐
๐ 2
+ 9
๐ 2 + 1
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐๐ ๐ 2
+ 9 + โโ1
๐
๐๐
๐๐ ๐ 2
+ 1
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
2๐
๐ 2 + 9
+ โโ1
2๐
๐ 2 + 1
๐ก ๐ ๐ก = โ2 ๐ถ๐๐ 3๐ก + 2 ๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ ๐ =
๐ ๐ช๐๐(๐) โ ๐ ๐ช๐๐ ๐๐
๐
34. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 34
๐)๐โ๐
๐ ๐
+ ๐๐ ๐
+ ๐
๐ ๐(๐ ๐ + ๐๐ + ๐)
๐ 3
+ 3๐ 2
+ 1
๐ 2(๐ 2 + 2๐ + 2)
=
๐ด
๐
+
๐ต
๐ 2
+
๐ถ 2๐ + 2 + ๐ท
(๐ 2 + 2๐ + 2)
๐ 3
+ 3๐ 2
+ 1 = ๐ด๐ (๐ 2
+ 2๐ + 2) + ๐ต(๐ 2
+ 2๐ + 2) + 2๐ถ๐ ๐ 2
+ 2๐ถ(๐ 2
) + ๐ท(๐ 2
)
๐ 3
+ 3๐ 2
+ 1 = ๐ด๐ 3
+ 2๐ด๐ 2
+ 2๐ด๐ + ๐ต๐ 2
+ 2๐ต๐ + 2๐ต + 2๐ถ๐ 3
+ 2๐ถ๐ 2
+ ๐ท๐ 2
๐ 3 + 3๐ 2 + 1 = ๐ด + 2๐ถ ๐ 3 + 2๐ด + ๐ต + 2๐ถ + ๐ท ๐ 2 + (2๐ด + 2๐ต)๐ + 2๐ต
1 = ๐ด + 2๐ถ
3 = 2๐ด + ๐ต + 2๐ถ + ๐ท
0 = 2๐ด + 2๐ต
1 = 2๐ต
Resolviendo el sistema A = -1/2, B = ยฝ, C = ยพ, D = 2
โโ1
๐ 3 + 3๐ 2 + 1
๐ 2(๐ 2 + 2๐ + 2)
= ๐ดโโ1
1
๐
+ ๐ตโโ1
1
๐ 2
+ 2๐ถโโ1
๐
๐ + 1 2 + 1
+ ๐ทโโ1
1
๐ + 1 2 + 1
โโ1
๐ 3
+ 3๐ 2
+ 1
๐ 2(๐ 2 + 2๐ + 2)
= ๐ด + ๐ต๐ก + 2๐ถ๐โ๐ก
๐ถ๐๐ ๐ก + ๐ท๐โ๐ก
๐๐๐(๐ก)
๐โ๐
๐ ๐
+ ๐๐ ๐
+ ๐
๐ ๐(๐ ๐ + ๐๐ + ๐)
= โ
๐
๐
+
๐
๐
+
๐๐โ๐
๐
๐ช๐๐ ๐ + ๐๐โ๐
๐บ๐๐(๐)
๐)๐โ๐
๐๐
(๐ ๐ + ๐) ๐
โโ1 ๐น ๐ ๐๐
+โ
๐
=
๐(๐ก)
๐ก
โ
๐(๐ก)
๐ก
= ๐น ๐ ๐๐
+โ
๐
โ
๐(๐ก)
๐ก
= lim
๐โ+โ
2๐
(๐ 2 + 1)3
๐๐
๐
๐
๐ข = ๐ 2
+ 1 โ ๐๐ข = 2๐
โ
๐(๐ก)
๐ก
= lim
๐โ+โ
๐๐ข
(๐ข)3
๐
๐
โ
๐(๐ก)
๐ก
= โ lim
๐โ+โ
1
2๐ข2
๐
๐
35. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 35
โ
๐(๐ก)
๐ก
= โ
1
2
lim
๐โ+โ
1
(๐2 + 1)2
โ
1
(๐ 2 + 1)2
โ
๐(๐ก)
๐ก
=
1
2(๐ 2 + 1)2
๐(๐ก)
๐ก
=
1
2
โโ1
1
(๐ 2 + 1)2
๐(๐ก)
๐ก
=
1
2
โโ1
1
๐ 2 + 1
โ
1
๐ 2 + 1
๐(๐ก)
๐ก
=
1
2
๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐๐
๐ก
0
โ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐ = ๐ถ๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ โ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐(๐)
โก๐ถ๐๐ ๐ โ ๐ = ๐ถ๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ ๐๐๐(๐)
Multiplicando por (-1) la primera ecuaciรณn
โ โ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐ = โ๐ถ๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ ๐๐๐(๐)
โก๐ถ๐๐ ๐ โ ๐ = ๐ถ๐๐ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ ๐๐๐(๐)
Entonces โ + โก
๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ =
๐ถ๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐
2
๐(๐ก)
๐ก
=
1
4
๐ถ๐๐ ๐ โ ๐ก + ๐ โ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐ก โ ๐ ๐๐
๐ก
0
๐(๐ก)
๐ก
=
1
4
๐ถ๐๐ 2๐ โ ๐ก โ ๐ถ๐๐ ๐ก ๐๐
๐ก
0
๐(๐ก)
๐ก
=
1
4
๐ถ๐๐ 2๐ โ ๐ก โ ๐ถ๐๐ ๐ก ๐๐
๐ก
0
๐(๐ก)
๐ก
=
1
4
1
2
๐๐๐ 2๐ โ ๐ก โ ๐ ๐ถ๐๐ (๐ก)
๐ก
0
๐(๐ก)
๐ก
=
1
4
1
2
๐๐๐ 2๐ก โ ๐ก โ ๐ก ๐ถ๐๐ ๐ก โ
1
2
๐๐๐ โ๐ก
๐ ๐ก =
๐ก
4
1
2
๐๐๐ ๐ก โ ๐ก ๐ถ๐๐ ๐ก +
1
2
๐๐๐ ๐ก
๐ ๐ =
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ โ ๐ ๐ช๐๐ ๐
36. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 36
๐)๐โ๐
๐
๐
โ ๐จ๐๐๐๐๐
๐
๐
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
๐
๐๐
๐
2
โ ๐ด๐๐๐ก๐๐
๐
2
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
1
1 +
๐
2
2
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
4
4 + ๐ 2
๐ก ๐ ๐ก = โ2โโ1
2
4 + ๐ 2
๐ก ๐ ๐ก = โ2 ๐๐๐(2๐ก)
๐ ๐ =
โ๐ ๐บ๐๐(๐๐)
๐
๐)๐โ๐
๐
๐ ๐ ๐ + ๐๐ + ๐
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 4๐ + 5
= โโ1
1
๐
1
โ
1
๐ + 2 2 + 1
๐โ2๐ก ๐๐๐(๐ก)
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 4๐ + 5
= ๐โ2๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
๐โ2๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ข = ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐๐ข = ๐ถ๐๐ ๐ฅ
๐๐ฃ = ๐โ2๐ฅ
๐๐ฅ โ ๐ฃ = โ
1
2
๐โ2๐ฅ
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ
๐๐๐ ๐ฅ
2
๐โ2๐ฅ
+
1
2
๐โ2๐ฅ
๐ถ๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ข = ๐ถ๐๐ ๐ฅ โ ๐๐ข = โ๐๐๐ ๐ฅ
๐๐ฃ = ๐โ2๐ฅ
๐๐ฅ โ ๐ฃ = โ
1
2
๐โ2๐ฅ
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ
๐๐๐ ๐ฅ
2
๐โ2๐ฅ
+
1
2
โ
๐ถ๐๐ ๐ฅ
2
๐โ2๐ฅ
โ
1
2
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ
๐๐๐ ๐ฅ
2
๐โ2๐ฅ
โ
๐ถ๐๐ ๐ฅ
4
๐โ2๐ฅ
โ
1
4
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
37. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 37
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ
4
5
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ
2
+
๐ถ๐๐ ๐ฅ
4
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 4๐ + 5
= โ
4
5
๐โ2๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ
2
+
๐ถ๐๐ ๐ฅ
4
๐ก
0
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 4๐ + 5
= โ
4
5
๐โ2๐ก
๐๐๐ ๐ก
2
+
๐ถ๐๐ ๐ก
4
+
4
5
1
4
๐โ๐
๐
๐ ๐ ๐ + ๐๐ + ๐
= โ
๐
๐
๐๐โ๐๐
๐บ๐๐ ๐ + ๐โ๐๐
๐ช๐๐ ๐ โ ๐
38. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 38
RESOLUCIรN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE
๐)๐โฒโฒ
โ ๐๐โฒ
+ ๐๐ = ๐ ๐
๐ ๐๐
, ๐ ๐ = ๐ ; ๐โฒ
๐ = ๐
โ ๐ฆโฒโฒ โ 6โ ๐ฆโฒ + 9โ ๐ฆ = โ ๐ก2 ๐3๐ก
๐ 2
๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ
(0) โ 6 ๐ ๐ โ ๐ฆ(0) + 9๐ =
2!
๐ โ 3 3
๐๐ 2
โ 2๐ โ 6 โ 6๐๐ + 12 + 9๐ =
2
๐ โ 3 3
๐ ๐ 2 โ 6๐ + 9 =
2
๐ โ 3 3
+ 2๐ โ 6
โโ1
๐ = โโ1
2
๐ โ 3 5
+
2๐
๐ โ 3 2
โ
6
๐ โ 3 2
โโ1 ๐ =
2
4!
โโ1
4!
๐ โ 3 5
+ 2โโ1
๐
๐ โ 3 2
โ 6โโ1
1
๐ โ 3 2
๐
๐ โ 3 2 =
๐ด
๐ โ 3
+
๐ต
๐ โ 3 2
๐ = ๐ด ๐ โ 3 2 + ๐ต ๐ โ 3 = ๐ด ๐ 2 โ 6๐ + 9 + ๐ต๐ โ 3๐ต = ๐ด๐ 2 โ 6๐ด๐ + 9๐ด + ๐ต๐ โ 3๐ต
๐ = ๐ด๐ 2
+ ๐ต โ 6๐ด ๐ + (9๐ด โ 3๐ต)
0 = ๐ด
1 = ๐ต โ 6๐ด
0 = 9๐ด โ 3๐ต
Podemos notar que el sistema no tiene soluciรณn, entonces este mรฉtodo no funciona, pero sabemos que
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
๐
๐๐
๐น ๐
๐ก ๐ ๐ก = โโ1
โ
๐
๐๐
๐
๐ โ 3 2
๐ก ๐ ๐ก = โโ1 โ
1
๐ โ 3 2
+
2๐
๐ โ 3 3
๐ก ๐ ๐ก = โโโ1
1
๐ โ 3 2
+ 2โโ1
๐
๐ โ 3 3
๐
๐ โ 3 3
=
๐ด
๐ โ 3
+
๐ต
๐ โ 3 2
+
๐ถ
๐ โ 3 3
๐ = ๐ด ๐ โ 3 2
+ ๐ต ๐ โ 3 + ๐ถ = ๐ด ๐ 2
โ 6๐ + 9 + ๐ต๐ โ 3๐ต + ๐ถ = ๐ด๐ 2
โ 6๐ด๐ + 9๐ด + ๐ต๐ โ 3๐ต + ๐ถ
๐ = ๐ด๐ 2
+ ๐ต โ 6๐ด ๐ + (9๐ด โ 3๐ต + ๐ถ)
0 = ๐ด
39. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 39
1 = ๐ต โ 6๐ด
0 = 9๐ด โ 3๐ต + ๐ถ
Resolviendo el sistema A = 0, B = 1, C = 3
๐ก ๐ ๐ก = โโโ1
1
๐ โ 3 2
+ 2โโ1
๐ด
๐ โ 3
+
๐ต
๐ โ 3 2
+
๐ถ
๐ โ 3 3
๐ก ๐ ๐ก = โโโ1
1
๐ โ 3 2
+ 2โโ1
๐ต
๐ โ 3 2
+
๐ถ
๐ โ 3 3
๐ก ๐ ๐ก = โ
โโ1
1!
1!
๐ โ 3 2
+
2๐ตโโ1
1!
1!
๐ โ 3 2
+
2๐ถโโ1
2!
2!
๐ โ 3 3
๐ก ๐ ๐ก = โ๐ก๐3๐ก
+ 2๐ก๐3๐ก
+ 3๐ก2
๐3๐ก
๐ ๐ก = โ๐3๐ก + 2๐3๐ก + 36๐ก๐3๐ก
๐ฆ ๐ก =
๐ก4
๐3๐ก
12
+ 2๐3๐ก + 72๐ก๐3๐ก โ 6๐ก๐3๐ก
๐ ๐ = ๐ ๐๐
๐ ๐
๐๐
+ ๐ + ๐๐๐
๐)๐โฒโฒ
+ ๐๐ = ๐พ ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ (๐) , ๐ ๐ = ๐ ; ๐โฒ
๐ = ๐
๐ฆโฒโฒ
+ 4๐ฆ = ๐ ๐ก โ
๐
4
๐๐๐ ๐ก โ
๐
4
+
๐
4
๐ฆโฒโฒ
+ 4๐ฆ = ๐ ๐ก โ
๐
4
๐๐๐ ๐ก โ
๐
4
๐ถ๐๐
๐
4
+ ๐๐๐
๐
4
๐ถ๐๐ ๐ก โ
๐
4
โ ๐ฆโฒโฒ + 4โ ๐ฆ = โ ๐ ๐ก โ
๐
4
๐๐๐ ๐ก โ
๐
4
๐ถ๐๐
๐
4
+ ๐๐๐
๐
4
๐ถ๐๐ ๐ก โ
๐
4
๐ 2 ๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ(0) + 4๐ = ๐โ
๐
4
๐ 2
2
1
๐ 2 + 1
+
2
2
๐
๐ 2 + 1
๐ 2
๐ โ ๐ + 4๐ = ๐โ
๐
4
๐ 2
2
1
๐ 2 + 1
+
2
2
๐
๐ 2 + 1
๐ =
๐โ
๐
4
๐
๐ 2 + 4
2
2
1
๐ 2 + 1
+
2
2
๐
๐ 2 + 1
+
๐
๐ 2 + 4
โโ1
๐ = โโ1
๐โ
๐
4
๐
๐ 2 + 4
2
2
1
๐ 2 + 1
+
2
2
๐
๐ 2 + 1
+
๐
๐ 2 + 4
๐ฆ ๐ก =
2
2
โโ1
๐โ
๐
4
๐
๐ 2 + 4 ๐ 2 + 1
+
2
2
โโ1
๐ ๐โ
๐
4
๐
๐ 2 + 4 ๐ 2 + 1
+ โโ1
๐
๐ 2 + 4
1
๐ 2 + 4 ๐ 2 + 1
=
๐ด 2๐ + ๐ต
๐ 2 + 4
+
๐ถ 2๐ + ๐ท
๐ 2 + 1
40. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 40
1 = 2๐ด๐ ๐ 2
+ 1 + ๐ต ๐ 2
+ 1 + 2๐ถ๐ ๐ 2
+ 4 + ๐ท ๐ 2
+ 4
1 = 2๐ด๐ 3 + 2๐ด๐ + ๐ต๐ 2 + ๐ต + 2๐ถ๐ 3 + 8๐ถ๐ + ๐ท๐ 2 + 4๐ท
1 = 2๐ด + 2๐ถ ๐ 3
+ ๐ต + ๐ท ๐ 2
+ 2๐ด + 8๐ถ ๐ + (๐ต + 4๐ท)
0 = 2๐ด + 2๐ถ
0 = ๐ต + ๐ท
0 = 2๐ด + 8๐ถ
1 = ๐ต + 4๐ท
Resolviendo el sistema A = 0, B = -1/3, C = 0, D = 1/3
๐
๐ 2 + 4 ๐ 2 + 1
=
๐ดโฒ 2๐ + ๐ตโฒ
๐ 2 + 4
+
๐ถโฒ 2๐ + ๐ทโฒ
๐ 2 + 1
๐ = 2๐ดโฒ + 2๐ถโฒ ๐ 3 + ๐ตโฒ + ๐ทโฒ ๐ 2 + 2๐ดโฒ + 8๐ถโฒ ๐ + (๐ตโฒ + 4๐ทโฒ)
0 = 2๐ดโฒ + 2๐ถโฒ
0 = ๐ตโฒ + ๐ทโฒ
1 = 2๐ดโฒ + 8๐ถโฒ
0 = ๐ตโฒ + 4๐ทโฒ
Resolviendo el sistema Aโ = -1/6, Bโ = 0, Cโ = 1/6, Dโ = 0
๐ฆ ๐ก =
2
2
โโ1 ๐โ
๐
4
๐ 2๐ด๐ + ๐ต
๐ 2 + 4
+
2๐ถ๐ + ๐ท
๐ 2 + 1
+
2
2
โโ1 ๐โ
๐
4
๐ 2๐ดโฒ๐ + ๐ตโฒ
๐ 2 + 4
+
2๐ถโฒ๐ + ๐ทโฒ
๐ 2 + 1
+ โโ1
๐
๐ 2 + 4
๐ฆ ๐ก =
2
2
โโ1
๐โ
๐
4
๐
2๐ด
๐
๐ 2 + 4
+
๐ต
2
1 โ 2
๐ 2 + 4
+ 2๐ถ
๐
๐ 2 + 1
+ ๐ท
1
๐ 2 + 1
+
2
2
โโ1
๐โ
๐
4
๐
2๐ดโฒ
๐
๐ 2 + 4
+ ๐ตโฒ
1
๐ 2 + 4
+ 2๐ถโฒ
๐
๐ 2 + 1
+ ๐ทโฒ
1
๐ 2 + 1
+ โโ1
๐
๐ 2 + 4
๐ ๐ =
๐
๐
๐พ ๐ โ
๐
๐
โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ ๐ โ
๐
๐
+
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ โ
๐
๐
+
๐
๐
๐พ ๐ โ
๐
๐
โ
๐
๐
๐ช๐๐ ๐ ๐ โ
๐
๐
+
๐
๐
๐ช๐๐ ๐ โ
๐
๐
+ ๐ช๐๐(๐๐)
๐) ๐ ๐ + ๐ ๐บ๐๐ ๐ ๐ ๐ โ ๐ ๐
๐
๐
๐
= ๐๐
โ ๐ ๐ก + 4โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐
๐ก
0
= 2โ ๐ก
๐ + 4๐
1
๐ 2 + 1
= 2
1
๐ 2
41. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 41
๐ =
2
1
๐ 2
1 +
4
๐ 2 + 1
๐ =
2 ๐ 2
+ 5
๐ 2 ๐ 2 + 1
โโ1
๐ = 2โโ1
1
๐ 2 + 1
+ 10โโ1
1
๐ 2 ๐ 2 + 1
๐ฆ ๐ก = 2โโ1
1
๐ 2 + 1
+ 10 ๐๐๐ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐
๐ก
0
๐๐๐ ๐ ๐ก โ ๐ ๐๐
๐ข = ๐ก โ ๐ โ ๐๐ข = โ๐๐
๐๐ฃ = ๐๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐ฃ = โ๐ถ๐๐ ๐
= โ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ ๐ โ ๐ถ๐๐ ๐ ๐๐
= โ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ ๐ โ ๐๐๐ ๐
๐ฆ ๐ก = 2 ๐๐๐(๐ก) โ 10 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ ๐ + ๐๐๐ ๐
๐ก
0
๐ฆ ๐ก = 2 ๐๐๐(๐ก) โ 10 ๐๐๐ ๐ก โ ๐ก
๐ ๐ = ๐๐๐ โ ๐ ๐บ๐๐ ๐
๐) ๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
+ ๐๐ = ๐น ๐ โ ๐
, ๐ ๐ = ๐โฒ
๐ = ๐
โ ๐ฆโฒโฒ + 2โ ๐ฆโฒ + 2โ ๐ฆ = โ ๐ฟ ๐ก โ ๐
๐ 2
๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ
(0) + 2 ๐ ๐ โ ๐ฆ(0) + 2๐ = ๐โ๐๐
๐๐ 2
+ 2๐๐ + 2๐ = ๐โ๐๐
๐ =
๐โ๐๐
๐ 2 + ๐ + 2
โโ1
๐ = 2โโ1
๐โ๐๐
๐ + 1 2 + 1
๐ ๐ = ๐ ๐พ ๐ โ ๐
๐ ๐โ๐
๐บ๐๐ ๐ โ ๐
42. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 42
๐) ๐โฒโฒ
+ ๐๐โฒ
+ ๐๐ = ๐ช๐๐ ๐ ๐น ๐ โ ๐๐
, ๐ ๐ = ๐, ๐โฒ
๐ = โ๐
โ ๐ฆโฒโฒ + 2โ ๐ฆโฒ + 2โ ๐ฆ = โ ๐ถ๐๐ (๐ก)๐ฟ ๐ก โ 3๐
๐ 2
๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ
(0) + 2 ๐ ๐ โ ๐ฆ(0) + 2๐ = ๐ถ๐๐ (3๐)๐โ3๐๐
๐๐ 2
โ ๐ + 1 + 2๐๐ โ 2 + 2๐ = โ๐โ3๐๐
๐ ๐ 2 + 2๐ + 2 = โ๐โ3๐๐ + (๐ + 1)
โโ1
๐ = โโโ1
๐โ3๐๐
๐ 2 + 2๐ + 2
+ โโ1
(๐ + 1)
๐ 2 + 2๐ + 2
๐ฆ ๐ก = โโโ1
๐โ3๐๐
๐ + 1 2 + 1
+ โโ1
(๐ + 1)
๐ + 1 2 + 1
๐ ๐ = โ๐พ ๐ โ ๐๐
๐ ๐โ๐๐
๐บ๐๐ ๐ โ ๐๐
+ ๐โ๐ ๐ช๐๐(๐)
๐) ๐๐โฒโฒ
โ ๐๐โฒ
โ ๐ = ๐ , ๐ ๐ = ๐ , ๐โฒ
๐ = ๐
โ ๐ก๐ฆโฒโฒ โ โ ๐ก๐ฆโฒ โ โ ๐ฆ = 0
โ
๐
๐๐
๐ 2
๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ
0 +
๐
๐๐
๐ ๐ โ ๐ฆ 0 โ ๐ = 0
โ2๐ ๐ โ ๐ 2
๐โฒ
+ ๐ + ๐ ๐โฒ
โ ๐ = 0
๐โฒ
1 โ ๐ 2
= 2๐ ๐
๐๐
๐๐
1 โ ๐ 2
= 2๐ ๐
๐๐
๐
=
2๐
1 โ ๐ 2 ๐๐ โ
๐๐
๐
= 2
๐
1 โ ๐ 2 ๐๐
๐ข = ๐ 2
โ ๐ข = 2๐ ๐๐
๐๐
๐
= โ
1
1 โ ๐ข
๐๐
๐๐ ๐ = โ๐๐ 1 โ ๐ข
๐ ๐๐ ๐
= ๐โ๐๐ 1โ๐ข
โ ๐ =
1
1 โ ๐ 2
โโ1 ๐ = โโโ1
1
๐ 2 โ 1
๐ ๐ = โ๐บ๐๐๐(๐)
43. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 43
๐) ๐โฒโฒ
โ ๐๐โฒ
+ ๐ = ๐ ๐
, ๐ ๐ = ๐ , ๐โฒ
๐ =
๐๐
๐
๐
No conocemos el valor de yโ(0), entonces vamos a realizar un artificio, multiplicaremos por โtโ
๐ก๐ฆโฒโฒ
โ 2๐ก๐ฆโฒ
+ ๐ก๐ฆ = ๐ก๐ ๐ก
โ ๐ก๐ฆโฒโฒ
โ 2โ ๐ก๐ฆโฒ
+ โ ๐ก๐ฆ = โ ๐ก ๐ ๐ก
โ
๐
๐๐
๐ 2
๐ โ ๐ ๐ฆ 0 โ ๐ฆโฒ
0 +
๐
๐๐
๐ ๐ โ ๐ฆ 0 โ
๐
๐๐
๐ =
1
๐ โ 1 2
โ2๐ ๐ โ ๐ 2
๐โฒ
+ ๐ + ๐ ๐โฒ
โ ๐โฒ
=
1
๐ โ 1 2
๐โฒ
โ๐ 2
+ ๐ โ 1 + 1 โ 2๐ ๐ =
1
๐ โ 1 2
๐โฒ ๐ 2 โ ๐ + 1 + 2๐ โ 1 ๐ = โ
1
๐ โ 1 2
๐โฒ +
2๐ โ 1
๐ 2 โ ๐ + 1
๐ = โ
1
๐ โ 1 2 ๐ 2 โ ๐ + 1
๐ข ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐๐
โ ๐ข ๐ = ๐
2๐ โ1
๐ 2โ๐ +1
๐๐
Resolviendo la integral:
2๐ โ 1
๐ 2 โ ๐ + 1
๐๐
๐ข = ๐ 2
โ ๐ โ ๐๐ข = 2๐ โ 1 ๐๐
๐๐ข
๐ข + 1
โ ๐๐ ๐ข + 1 โ ๐๐ ๐ 2
โ ๐ + 1
Entonces:
๐ข ๐ = ๐ ๐๐ ๐ 2โ๐ +1
โ ๐ข ๐ = ๐ 2
โ ๐ + 1
๐
๐๐
๐ 2
โ ๐ + 1 ๐ = โ
1
๐ โ 1 2
๐ ๐ 2
โ ๐ + 1 ๐ = โ
1
๐ โ 1 2
๐๐
๐ 2
โ ๐ + 1 ๐ =
1
๐ โ 1
โโ1
๐ = โโ1
1
(๐ โ 1) ๐ 2 โ ๐ + 1
โ โโ1
๐ = โโ1
1
(๐ โ 1) ๐ 2 โ ๐ +
1
4
+ 1 โ
1
4
โโ1
๐ = โโ1
1
(๐ โ 1) ๐ โ
1
2
2
+
3
4
44. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 44
Aplicando convoluciรณn:
โโ1
1
(๐ โ 1)
๐ ๐ก
โ
1
๐ โ
1
2
2
+
3
4
2
3
๐
1
2 ๐ก
๐๐๐
3
2
๐ก
2
3
๐ ๐กโ๐ฅ
๐ก
0
๐
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
2
3
๐ ๐ก ๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
Integrando por partes:
๐ข = ๐โ
1
2
๐ฅ
โ ๐๐ข = โ
1
2
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ฃ = ๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ฃ =
2
3
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ
Entonces:
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ =
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ +
1
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
Integrando nuevamente por partes:
๐ข = ๐โ
1
2
๐ฅ
โ ๐๐ข = โ
1
2
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ฃ = ๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ฃ = โ
2
3
๐๐๐
3
2
๐ฅ
Entonces:
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ =
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ +
1
3
โ
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ โ
1
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ =
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ โ
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ โ
1
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ =
3
4
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ โ
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ
45. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 45
Luego tenemos que:
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
3
4
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐ถ๐๐
3
2
๐ฅ โ
2
3
๐โ
1
2
๐ฅ
๐๐๐
3
2
๐ฅ
0
๐ก
3
4
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐ถ๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
๐โ
1
2
0
๐ถ๐๐
3
2
0 +
2
3
๐โ
1
2
0
๐๐๐
3
2
0
3
4
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐ถ๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
Entonces:
๐ฆ ๐ก =
2
3
3
4
๐ ๐ก
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐ถ๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
๐โ
1
2
๐ก
๐๐๐
3
2
๐ก โ
2
3
๐ ๐ =
๐
๐ ๐
๐๐
๐
๐
๐โ
๐
๐
๐
๐ช๐๐
๐
๐
๐ โ
๐
๐
๐โ
๐
๐
๐
๐บ๐๐
๐
๐
๐ โ
๐
๐
46. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 46
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
๐ ๐
โฒ
= ๐๐ ๐ โ ๐ ๐
๐ ๐
โฒ
= ๐๐ ๐ + ๐๐ ๐
Derivando la primera ecuaciรณn:
๐ฅ1
โฒโฒ
= 3๐ฅโฒ
1 โ ๐ฅโฒ
2 3
(2) en (3)
๐ฅ1
โฒโฒ
= 3๐ฅโฒ
1 โ (4๐ฅ1 + 3๐ฅ2)
๐ฅ1
โฒโฒ
= 3๐ฅโฒ
1 โ 4๐ฅ1 โ 3๐ฅ2 4
(1) en (4)
๐ฅ1
โฒโฒ
= 3๐ฅโฒ
1 โ 4๐ฅ1 โ 3(3๐ฅ1 โ ๐ฅ1
โฒ
)
๐ฅ1
โฒโฒ
= 3๐ฅโฒ
1 โ 4๐ฅ1 โ 9๐ฅ1 + 3๐ฅ1
โฒ
๐ฅ1
โฒโฒ
โ 6๐ฅ1
โฒ
+ 13๐ฅ1 = 0
Entonces:
๐ฅ1 = ๐ ๐๐ก
๐ฅโฒ
1 = ๐๐ ๐๐ก
๐ฅโฒโฒ1 = ๐2 ๐ ๐๐ก
Reemplazando:
๐2 ๐ ๐๐ก โ 6๐๐ ๐๐ก + 13๐ ๐๐ก = 0
๐ ๐๐ก
๐2
โ 6๐ + 13 = 0 โ ๐2
โ 6๐ + 13 = 0
๐1,2 =
6 ยฑ 36 โ 4 1 13
2
= 3 ยฑ 2๐
Entonces:
๐ ๐ = ๐ ๐๐
๐ช ๐ ๐ช๐๐ ๐๐ + ๐ช ๐ ๐บ๐๐ ๐๐
Pero:
๐ฅ2 = 3๐ฅ1 โ ๐ฅ1
โฒ
๐ ๐ = ๐๐ ๐๐
๐ช ๐ ๐ช๐๐ ๐๐ + ๐ช ๐ ๐บ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐
๐ช ๐ ๐ช๐๐ ๐๐ + ๐ช ๐ ๐บ๐๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐
๐๐ช ๐ ๐ช๐๐ ๐๐ โ ๐๐ช ๐ ๐บ๐๐ ๐๐
47. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 47
OPERADORES DIFERENCIALES
๐)
๐ ๐
โฒ
= ๐ ๐ + ๐ ๐
๐ ๐
โฒ
= ๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐
๐ฅ1
โฒ
= ๐ท๐ฅ1 ; ๐ฅ1
โฒโฒ
= ๐ท2
๐ฅ1
Entonces:
๐ท๐ฅ1 = ๐ฅ1 + ๐ฅ2 ; ๐ท๐ฅ2 = 4๐ฅ1 โ 2๐ฅ2
Luego:
๐ท โ 1 ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 = 0 1
โ4๐ฅ1 + ๐ท + 2 ๐ฅ2 = 0 2
Multiplicando por 4 a (1) y por (D+2) a (2), y luego sumamos (1)+(2):
โ4๐ฅ2 + ๐ท โ 1 ๐ท + 2 ๐ฅ2 = 0
โ4๐ฅ2 + ๐ท2
โ 3๐ท + 2 ๐ฅ2 = 0
โ4๐ฅ2 + ๐ฅโฒโฒ
2 โ 3๐ฅโฒ
2 + 2๐ฅ2 = 0
๐ฅโฒโฒ
2 โ 3๐ฅโฒ
2 โ 2๐ฅ2 = 0
Entonces:
๐ฅ2 = ๐ ๐๐ก
๐ฅโฒ
2 = ๐๐ ๐๐ก
๐ฅโฒโฒ2 = ๐2
๐ ๐๐ก
Reemplazando:
๐2
๐ ๐๐ก
โ 3๐๐ ๐๐ก
โ 2๐ ๐๐ก
= 0
๐ ๐๐ก ๐2 โ 3๐ โ 2 = 0 โ ๐2 โ 3๐ โ 2 = 0
๐1,2 =
3 ยฑ 9 โ 4 1 โ2
2
=
3 ยฑ 17
2
Entonces:
๐ ๐ = ๐ช ๐ ๐
๐+ ๐๐
๐
๐
+ ๐ช ๐ ๐
๐โ ๐๐
๐
๐
Pero:
๐ฅ1 =
1
4
๐ฅ2
โฒ
+ 2๐ฅ2
๐ ๐ =
๐
๐
๐ + ๐๐
๐
๐ช ๐ ๐
๐+ ๐๐
๐
๐
+
๐ โ ๐๐
๐
๐ช ๐ ๐
๐โ ๐๐
๐
๐
+ ๐ ๐ช ๐ ๐
๐+ ๐๐
๐
๐
+ ๐ช ๐ ๐
๐โ ๐๐
๐
๐
48. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 48
๐)
๐โฒ
= ๐๐ โ ๐๐ + ๐ ๐บ๐๐(๐๐)
๐โฒ
= ๐ โ ๐๐ โ ๐ช๐๐ ๐๐
๐ท๐ฅ = 2๐ฅ โ 3๐ฆ + 2 ๐๐๐ 2๐ก
๐ท๐ฆ = ๐ฅ โ 2๐ฆ โ ๐ถ๐๐ 2๐ก
Luego:
๐ท โ 2 ๐ฅ + 3๐ฆ = 2 ๐๐๐ 2๐ก (1)
๐ฅ โ ๐ท โ 2 ๐ฆ + 3๐ฆ = ๐ถ๐๐ 2๐ก 2
Multiplicando por โ(D+2) a (2), y luego sumamos (1)+(2):
3๐ฆ + ๐ท โ 2 ๐ท + 2 ๐ฆ = 2 ๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ๐๐ 2๐ก
3๐ฆ + ๐ท2
โ 4 ๐ฆ = 2 ๐๐๐ 2๐ก + 2 ๐๐๐ 2๐ก + 2 ๐ถ๐๐ (2๐ก)
Entonces:
๐ฆโฒโฒ
โ ๐ฆ = 4 ๐๐๐ 2๐ก + 2 ๐ถ๐๐ 2๐ก
Encontrando la soluciรณn complementaria:
๐ฆโฒโฒ
โ ๐ฆ = 0
Luego:
๐ฆ = ๐ ๐๐ก
๐ฆโฒ = ๐๐ ๐๐ก
๐ฆโฒโฒ = ๐2
๐ ๐๐ก
Reemplazando:
๐2
๐ ๐๐ก
โ ๐ ๐๐ก
= 0 โ ๐ ๐๐ก
๐2
โ 1 = 0
๐1,2 = ยฑ1
Entonces:
๐ฆ๐ = ๐ถ1 ๐ ๐ก
+ ๐ถ2 ๐โ๐ก
โด ๐ถ. ๐น. ๐ = ๐ ๐ก
, ๐โ๐ก
Encontrando la soluciรณn particular:
๐ฆ๐ = ๐ด ๐ถ๐๐ 2๐ก + ๐ต ๐๐๐ 2๐ก
๐ฆโฒ
๐
= โ2๐ด ๐๐๐ 2๐ก + 2๐ต ๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ฆโฒโฒ ๐ = โ4๐ด ๐ถ๐๐ 2๐ก โ 4๐ต ๐๐๐ 2๐ก
49. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 49
Reemplazando:
โ4๐ด ๐ถ๐๐ 2๐ก โ 4๐ต ๐๐๐ 2๐ก โ ๐ด ๐ถ๐๐ 2๐ก โ ๐ต ๐๐๐ 2๐ก = 4 ๐๐๐ 2๐ก + 2 ๐ถ๐๐ 2๐ก
โ5๐ด ๐ถ๐๐ 2๐ก โ 5๐ต ๐๐๐ 2๐ก = 4 ๐๐๐ 2๐ก + 2 ๐ถ๐๐ 2๐ก
โ5๐ด = 2 โ ๐ด = โ2/5
โ5๐ต = 4 โ ๐ต = โ4/5
๐ฆ๐ = โ
2
5
๐ถ๐๐ 2๐ก โ
4
5
๐๐๐ 2๐ก
Entonces:
๐ ๐ = ๐ช ๐ ๐๐
+ ๐ช ๐ ๐โ๐
โ
๐
๐
๐ช๐๐ ๐๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐๐
Pero:
๐ฅ ๐ก = ๐ฆโฒ
+ 2๐ฆ + ๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ฅ ๐ก = ๐ถ1 ๐ ๐ก
โ ๐ถ2 ๐โ๐ก
+
4
5
๐๐๐ 2๐ก โ
8
5
๐ถ๐๐ 2๐ก + 2 ๐ถ1 ๐ ๐ก
+ ๐ถ2 ๐โ๐ก
โ
2
5
๐ถ๐๐ 2๐ก โ
4
5
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ฅ ๐ก = ๐ถ1 ๐ ๐ก
โ ๐ถ2 ๐โ๐ก
+
4
5
๐๐๐ 2๐ก โ
8
5
๐ถ๐๐ 2๐ก + 2๐ถ1 ๐ ๐ก
+ 2๐ถ2 ๐โ๐ก
โ
4
5
๐ถ๐๐ 2๐ก โ
8
5
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ ๐ = ๐๐ช ๐ ๐๐
+ ๐ช ๐ ๐โ๐
โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐๐ โ
๐๐
๐
๐ช๐๐ ๐๐
50. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 50
VALORES Y VECTORES PROPIOS
๐) ๐ฟโฒ
=
๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
๐ฟ
๐๐๐ก ๐ด โ ๐๐ผ = 0
0 โ ๐ 1 1
1 0 โ ๐ 1
1 1 0 โ ๐
= 0 โ
โ๐ 1 1
1 โ๐ 1
1 1 โ๐
= 0
โ๐
โ๐ 1
1 โ๐
โ 1
1 1
1 โ๐
+ 1
1 โ๐
1 1
= 0
โ๐ ๐2
โ 1 โ (โ๐ โ 1) + 1 + ๐ = 0
โ๐ ๐ โ 1 (๐ + 1) + (๐ + 1) + ๐ + 1 = 0
๐ + 1 โ๐ ๐ โ 1 + ๐ + 1 = 0
โ ๐ + 1 ๐2
โ ๐ โ 2 = 0
โ ๐ + 1 ๐ + 1 ๐ โ 2 = 0 โ ๐1 = โ1 ; ๐2 = โ1 ; ๐3 = 2
Entonces:
Para ๐1 = โ1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0
0
0
โผ
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0
0
0
โ ๐ = โ๐ โ ๐
๐๐=โ1 =
๐
๐
๐
๐ = โ๐ โ ๐ โ ๐ฝ๐ ๐=โ1
=
โ1
1
0
,
โ1
0
1
Para ๐3 = 2
โ2 1 1
1 โ2 1
1 1 โ2
0
0
0
โผ
โ2 1 1
0 โ3 3
0 3 โ3
0
0
0
~
โ2 1 1
0 โ1 1
0 0 0
0
0
0
โ
โ2๐ + ๐ + ๐ = 0 โ ๐ = ๐
๐ = ๐
๐๐=2 =
๐
๐
๐
๐ = ๐ ; ๐ = ๐ ; ๐ ๐ โ โ ๐ฝ๐ ๐=2
=
1
1
1
Finalmente:
๐ = ๐ช ๐
โ๐
๐
๐
๐โ๐ + ๐ช ๐
โ๐
๐
๐
๐โ๐ + ๐ช ๐
๐
๐
๐
๐โ๐๐
51. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 51
๐) ๐ฟโฒ
=
๐ ๐ ๐
๐ ๐ โ๐
๐ ๐ ๐
๐ฟ ; ๐ ๐ =
๐
โ๐
๐
๐๐๐ก ๐ด โ ๐๐ผ = 0
1 โ ๐ 0 0
2 1 โ ๐ โ2
3 2 1 โ ๐
= 0
(1 โ ๐)
1 โ ๐ โ2
2 1 โ ๐
= 0
1 โ ๐ 1 โ ๐ 2
+ 4 = 0
1 โ ๐ 1 โ 2๐ + ๐2
+ 4 = 0
1 โ ๐ ๐2 โ 2๐ + 5 = 0
๐1 = 1 ; ๐2,3 =
2 ยฑ 4 โ 4 2 (5)
2
=
2 ยฑ 4๐
2
= 1 ยฑ 2๐
Entonces:
Para ๐1 = 1
0 0 0
2 0 โ2
3 2 0
0
0
0
โ
2๐ โ 2๐ = 0 โ ๐ = ๐
3๐ + 2๐ = 0 โ ๐ = โ
3
2
๐
๐๐=โ1 =
๐
๐
๐
๐ = ๐ ; ๐ = โ
3
2
๐ ; ๐ ๐ โ โ ๐ฝ๐ ๐=โ1
=
2
โ3
2
Para ๐2 = 1 + 2๐
โ2๐ 0 0
2 โ2๐ โ2
3 2 โ2๐
0
0
0
โผ
โ2๐ 0 0
2 โ2๐ โ2
0 0 0
0
0
0
โ
โ2๐๐ = 0 โ ๐ = 0
2๐ โ 2๐๐ โ 2๐ = 0 โ ๐ = โ๐๐
๐๐=1+2๐ =
๐
๐
๐
๐ = 0 ; ๐ = โ๐๐ ; ๐ ๐ โ โ ๐ฝ๐ ๐=1+2๐
=
0
1
โ๐
Para ๐3 = 1 โ 2๐
Es la conjugada de la segunda base, entonces:
๐ฝ๐ ๐=1โ2๐
=
0
1
๐
52. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 52
Entonces:
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก + ๐ถ2
0
1
โ๐
๐ 1+2๐ ๐ก + ๐ถ3
0
1
๐
๐ 1โ2๐ ๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
โ๐
๐2๐๐ก
+ ๐ถ3
0
1
๐
๐โ2๐๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
0
+ ๐
0
0
โ1
๐ถ๐๐ 2๐ก + ๐ ๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ3
0
1
0
+ ๐
0
0
1
๐ถ๐๐ 2๐ก โ ๐ ๐๐๐ 2๐ก
Ahora, solo desarrollemos:
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
0
+ ๐
0
0
โ1
๐ถ๐๐ 2๐ก + ๐ ๐๐๐ 2๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
0
๐ถ๐๐ 2๐ก + ๐ถ2 ๐
0
1
0
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ2 ๐
0
0
โ1
๐ถ๐๐ 2๐ก + ๐ถ2 ๐2
0
0
โ1
๐๐๐ 2๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
0
๐ถ๐๐ 2๐ก โ
0
0
โ1
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ2 ๐
0
1
0
๐๐๐ 2๐ก +
0
0
โ1
๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก
+ ๐ ๐ก
๐ถ2
0
1
0
๐ถ๐๐ 2๐ก +
0
0
1
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ3
0
1
0
๐๐๐ 2๐ก โ
0
0
1
๐ถ๐๐ 2๐ก
๐ฅ = ๐ถ1
2
โ3
2
๐ ๐ก + ๐ ๐ก ๐ถ2
0
1
0
๐ถ๐๐ 2๐ก +
0
0
1
๐๐๐ 2๐ก + ๐ถ3
0
1
0
๐๐๐ 2๐ก โ
0
0
1
๐ถ๐๐ 2๐ก
Sabemos que ๐ฅ 0 =
1
โ1
0
1
โ1
0
= ๐ถ1
2
โ3
2
+ ๐ถ2
0
1
0
โ ๐ถ3
0
0
1
1
โ1
0
=
2๐ถ1
โ3๐ถ1 + ๐ถ2
2๐ถ1 โ ๐ถ3
Resolviendo el sistema:
๐ถ1 =
1
2
; ๐ถ2 =
1
2
; ๐ถ3 = 1
Finalmente:
๐ =
๐
๐
๐
โ๐
๐
๐๐
+ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ช๐๐ ๐๐ +
๐
๐
๐
๐บ๐๐ ๐๐ +
๐
๐
๐
๐บ๐๐ ๐๐ โ
๐
๐
๐
๐ช๐๐ ๐๐
53. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 53
๐) ๐ฟโฒ
=
๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐
๐ฟ
๐๐๐ก ๐ด โ ๐๐ผ = 0
2 โ ๐ 1 6
0 2 โ ๐ 5
0 0 2 โ ๐
= 0
(2 โ ๐)
2 โ ๐ 5
0 2 โ ๐
= 0
2 โ ๐ 2 โ ๐ 2 โ ๐ = 0
2 โ ๐ 3
= 0
Cuando una matriz A solo tiene un vector propio asociado con un valor ๐1 de multiplicidad m, se puede determinar las
soluciones de la siguiente forma:
๐ฅ ๐ = ๐พ ๐1
๐ก ๐โ1
๐ โ 1 !
๐ ๐1 ๐ก
+ ๐พ ๐2
๐ก ๐โ2
๐ โ 2 !
๐ ๐1 ๐ก
+ โฆ โฆ โฆ + ๐พ ๐๐ ๐ ๐1 ๐ก
En que ๐พ๐๐ son vectores columnas
Para nuestro caso la tercera soluciรณn se la determina de la siguiente manera:
๐ฅ3 = ๐พ
๐ก2
2
๐ ๐1 ๐ก
+ ๐ ๐ก๐ ๐1 ๐ก
+ ๐ ๐ ๐1 ๐ก
En donde:
๐พ =
๐1
๐2
โฎ
๐ ๐
, ๐ =
๐1
๐2
โฎ
๐ ๐
, ๐ =
๐1
๐2
โฎ
๐ ๐
Al sustituir en el sistema Xโ = AX , los vectores columnas K, P, Q deben cumplir con:
๐ด โ ๐1 ๐ผ ๐พ = 0
๐ด โ ๐1 ๐ผ ๐ = ๐พ
๐ด โ ๐1 ๐ผ ๐ = ๐
La ecuaciรณn caracterรญstica 2 โ ๐ 3
= 0 indica que ๐1 = 2 es un valor de multiplicidad tres y al resolver tenemos:
Para ๐1 = 2
0 1 6
0 0 5
0 0 0
0
0
0
โ
๐ + 6๐ = 0 โ ๐ = 0
5๐ = 0 โ ๐ = 0
๐๐=2 =
๐
๐
๐
๐ = 0 ; ๐ = 0 ; ๐ ๐ โ โ ๐ฝ๐ ๐=2
=
1
0
0
54. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 54
Entonces:
๐พ =
1
0
0
Luego resolvemos los sistemas:
1er sistema
๐ด โ ๐1 ๐ผ ๐ = ๐พ
2 1 6
0 2 5
0 0 2
โ 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
๐1
๐2
๐3
=
1
0
0
0 1 6
0 0 5
0 0 0
๐1
๐2
๐3
=
1
0
0
โ
๐2 + 6๐3
5๐3
0
=
1
0
0
โ
๐2 + 6๐3 = 1
5๐3 = 0
0 = 0
Resolviendo tenemos que:
๐ =
๐1
๐2
๐3
โ ๐ =
0
1
0
2do sistema
๐ด โ ๐1 ๐ผ ๐ = ๐
2 1 6
0 2 5
0 0 2
โ 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
๐1
๐2
๐3
=
0
1
0
0 1 6
0 0 5
0 0 0
๐1
๐2
๐3
=
0
1
0
โ
๐2 + 6๐3
5๐3
0
=
0
1
0
โ
๐2 + 6๐3 = 0
5๐3 = 1
0 = 0
Resolviendo tenemos que:
๐ =
๐1
๐2
๐3
โ ๐ =
0
โ6/5
1/5
Finalmente las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales es:
๐ฅ = ๐ถ1 ๐พ๐2๐ก
+ ๐ถ2 ๐พ ๐ก๐2๐ก
+ ๐ ๐2๐ก
+ ๐ถ3 ๐พ
๐ก2
2
๐2๐ก
+ ๐ ๐ก๐2๐ก
+ ๐ ๐2๐ก
๐ = ๐ช ๐
๐
๐
๐
๐ ๐๐
+ ๐ช ๐
๐
๐
๐
๐๐ ๐๐
+
๐
๐
๐
๐ ๐๐
+ ๐ช ๐
๐
๐
๐
๐ ๐
๐
๐ ๐๐
+
๐
๐
๐
๐๐ ๐๐
+
๐
โ๐/๐
๐/๐
๐ ๐๐
55. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 55
RESOLUCIรN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
๐)
๐โฒ
+ ๐๐ + ๐ ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐
= โ๐
๐โฒ
+ ๐โฒ
+ ๐ = ๐
๐ ๐ = โ๐ ; ๐ ๐ = ๐
Aplicando transformada de Laplace a cada ecuaciรณn:
โ ๐ฅโฒ + 2โ ๐ฅ + 6โ ๐ฆ ๐ข ๐๐ข
๐ก
0
= โ2โ 1
โ ๐ฅโฒ + โ ๐ฆโฒ + โ ๐ฆ = 0
๐ ๐ โ ๐ฅ 0 + 2๐ + 6
๐
๐
= โ
2
๐
โ ๐ ๐ + 5 + 2๐ + 6
๐
๐
= โ
2
๐
๐ ๐ โ ๐ฅ 0 + ๐ ๐ โ ๐ฆ 0 + ๐ = 0 โ ๐ ๐ + 5 + ๐ ๐ โ 6 + ๐ = 0
๐ 2
๐ + 5๐ + 2๐ ๐ + 6๐ = โ2 โ ๐ ๐ + 2 ๐ + 6๐ = โ2 โ 5๐
๐ + 1 ๐ + ๐ ๐ = 1
๐ ๐ + 2 ๐ + 1 ๐ + 6 ๐ + 1 ๐ = โ(5๐ + 2) ๐ + 1
โ6 ๐ + 1 ๐ โ 6๐ ๐ = โ6
Sumando las dos ecuaciones tenemos:
๐ ๐ + 2 ๐ + 1 ๐ โ 6๐ ๐ = โ 5๐ + 2 ๐ + 1 โ 6
๐๐ ๐ 2 + 3๐ + 2 โ 6 = โ 5๐ + 2 ๐ + 1 โ 6
๐ = โ
5๐ 2
+ 7๐ + 2
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
โ
6
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
Descomponiendo en fracciones parciales:
5๐ 2
+ 7๐ + 2
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
=
๐ด
๐
+
๐ต
๐ + 4
+
๐ถ
๐ โ 1
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด ๐ + 4 ๐ โ 1 + ๐ต๐ ๐ โ 1 + ๐ถ๐ (๐ + 4)
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด๐ 2
+ 3๐ด๐ โ 4๐ด + ๐ต๐ 2
โ ๐ต๐ + ๐ถ๐ 2
+ 4๐ถ๐
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด + ๐ต + ๐ถ ๐ 2
+ 3๐ด โ ๐ต + 4๐ถ ๐ โ 4๐ด
56. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 56
5 = ๐ด + ๐ต + ๐ถ
7 = 3๐ด โ ๐ต + 4๐ถ
2 = โ4๐ด
Resolviendo el sistema A = -1/2 , B = 27/10 , C = 14/5
Ahora:
6
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
=
๐ดโฒ
๐
+
๐ตโฒ
๐ + 4
+
๐ถโฒ
๐ โ 1
6 = ๐ดโฒ + ๐ตโฒ + ๐ถโฒ ๐ 2 + 3๐ดโฒ โ ๐ตโฒ + 4๐ถโฒ ๐ โ 4๐ดโฒ
0 = ๐ดโฒ + ๐ตโฒ + ๐ถโฒ
0 = 3๐ดโฒ โ ๐ตโฒ + 4๐ถโฒ
6 = โ4๐ดโฒ
Resolviendo el sistema Aโ = -3/2 , Bโ = 3/10 , Cโ = 6/5
Entonces:
โโ1
๐ = โโโ1
๐ด
๐
+
๐ต
๐ + 4
+
๐ถ
๐ โ 1
โ โโ1
๐ดโฒ
๐
+
๐ตโฒ
๐ + 4
+
๐ถโฒ
๐ โ 1
๐ฅ ๐ก = โ ๐ด + ๐ต๐โ4๐ก
+ ๐ถ๐ ๐ก
โ ๐ดโฒ
+ ๐ตโฒ
๐โ4๐ก
+ ๐ถโฒ๐ ๐ก
๐ฅ ๐ก = โ โ
1
2
+
27
10
๐โ4๐ก
+
14
5
๐ ๐ก
โ โ
3
2
+
3
10
๐โ4๐ก
+
6
5
๐ ๐ก
๐ฅ ๐ก = โ2 โ 3๐โ4๐ก
โ 4๐ ๐ก
Encontrando la segunda soluciรณn:
๐ + 1 ๐ + ๐ ๐ = 1
๐ =
1 โ ๐ ๐
๐ + 1
๐ =
1
๐ + 1
โ
๐
๐ + 1
โ
5๐ 2
+ 7๐ + 2
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
โ
6
๐ ๐ + 4 ๐ โ 1
๐ =
1
๐ + 1
+
5๐ 2
+ 7๐ + 2
๐ + 4 ๐ โ 1 ๐ + 1
+
6
๐ + 4 ๐ โ 1 ๐ + 1
57. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 57
Descomponiendo en fracciones parciales:
5๐ 2
+ 7๐ + 2
๐ + 4 ๐ โ 1 ๐ + 1
=
๐ด
๐ + 4
+
๐ต
๐ โ 1
+
๐ถ
๐ + 1
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด ๐ โ 1 ๐ + 1 + ๐ต ๐ + 4 ๐ + 1 + ๐ถ ๐ + 4 ๐ โ 1
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด๐ 2
โ ๐ด + ๐ต๐ 2
+ 5๐ต๐ + 4๐ต + ๐ถ๐ 2
+ 3๐ถ๐ โ 4๐ถ
5๐ 2
+ 7๐ + 2 = ๐ด + ๐ต + ๐ถ ๐ 2
+ 5๐ต + 3๐ถ ๐ + 4๐ต โ ๐ด โ 4๐ถ
5 = ๐ด + ๐ต + ๐ถ
7 = 5๐ต + 3๐ถ
2 = 4๐ต โ ๐ด โ 4๐ถ
Resolviendo el sistema A = 18/5 , B = 7/5 , C = 0
6
๐ + 4 ๐ โ 1 ๐ + 1
=
๐ดโฒ
๐ + 4
+
๐ตโฒ
๐ โ 1
+
๐ถโฒ
๐ + 1
6 = ๐ดโฒ + ๐ตโฒ + ๐ถโฒ ๐ 2
+ 5๐ตโฒ + 3๐ถโฒ ๐ + 4๐ตโฒ โ ๐ดโฒ โ 4๐ถโฒ
0 = ๐ดโฒ + ๐ตโฒ + ๐ถโฒ
0 = 5๐ตโฒ + 3๐ถโฒ
6 = 4๐ตโฒ โ ๐ดโฒ โ 4๐ถโฒ
Resolviendo el sistema Aโ = 6/15 , Bโ = 3/5 , Cโ = -1
Entonces:
โโ1
๐ = โโ1
1
๐ + 1
+
๐ด
๐ + 4
+
๐ต
๐ โ 1
+
๐ถ
๐ + 1
+
๐ดโฒ
๐ + 4
+
๐ตโฒ
๐ โ 1
+
๐ถโฒ
๐ + 1
๐ฆ ๐ก = ๐โ๐ก + ๐ด๐โ4๐ก + ๐ต๐ ๐ก + ๐ถ๐โ๐ก + ๐ดโฒ ๐โ4๐ก + ๐ตโฒ ๐ ๐ก + ๐ถโฒ ๐โ๐ก
๐ฆ ๐ก = ๐โ๐ก
+
18
5
๐โ4๐ก
+
7
5
๐ ๐ก
+
6
5
๐โ4๐ก
+
3
5
๐ ๐ก
โ ๐โ๐ก
Finalmente:
๐ ๐ = โ๐ โ ๐๐โ๐๐
โ ๐๐๐
๐ ๐ = ๐โ๐
+
๐๐
๐
๐โ๐๐
+ ๐๐๐
+
๐
๐
๐๐
โ ๐โ๐
58. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 58
๐)
๐โฒ
โ ๐ =
๐ , ๐ < ๐ก < 2
๐ , ๐ < ๐ก < 3
๐ , ๐ โฅ ๐
๐โฒ
โ ๐ = ๐
๐ ๐ = ๐ ๐ = ๐
๐ฅโฒ
โ ๐ฆ = ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3
๐ฆโฒ โ ๐ฅ = 1
โ ๐ฅโฒ โ โ ๐ฆ = โ ๐ ๐ก โ 2 โ โ ๐ ๐ก โ 3
โ ๐ฆโฒ โ โ ๐ฅ = โ 1
๐ ๐ โ ๐ฅ(0) โ ๐ = ๐โ2๐ โ ๐โ3๐
๐ ๐ โ ๐ฆ(0) โ ๐ =
1
๐
No conocemos el valor de x(0) y de y(0), pero vamos a llamar x(0) = w y y(0) = z , entonces:
๐ ๐ โ ๐ค โ ๐ = ๐โ2๐
โ ๐โ3๐
๐ 2
๐ โ ๐ง๐ โ ๐๐ = 1
Entonces:
๐ =
๐โ2๐
๐
โ
๐โ3๐
๐
+
๐ค
๐
+
๐
๐
๐ =
1
๐ 2
+
๐ง
๐
+
๐
๐
Reemplazando Y
๐ =
๐โ2๐
๐
โ
๐โ3๐
๐
+
๐ค
๐
+
1
๐
1
๐ 2
+
๐ง
๐
+
๐
๐
๐ =
๐โ2๐
๐
โ
๐โ3๐
๐
+
๐ค
๐
+
1
๐ 3
+
๐ง
๐ 2
+
๐
๐ 2
๐ 1 โ
1
๐ 2
=
๐โ2๐
๐
โ
๐โ3๐
๐
+
๐ค
๐
+
1
๐ 3
+
๐ง
๐ 2
๐ =
๐
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
โ
๐
๐ 2 โ 1
๐โ3๐
+ ๐ค
๐
๐ 2 โ 1
+
1
๐ ๐ 2 โ 1
+
๐ง
๐ 2 โ 1
โโ1
๐ = โโ1
๐
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
โ
๐
๐ 2 โ 1
๐โ3๐
+ ๐ค
๐
๐ 2 โ 1
+
1
๐ ๐ 2 โ 1
+
๐ง
๐ 2 โ 1
59. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 59
Resolviendo cada transformada inversa:
โ โโ1
๐
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
= ๐ ๐ก โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 2
โ โโ1
๐
๐ 2 โ 1
๐โ3๐
= ๐ ๐ก โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 3
โ โโ1
๐
๐ 2 โ 1
= ๐ถ๐๐ ๐(๐ก)
โ โโ1
1
๐ ๐ 2 โ 1
= โโ1
1
๐
โ
1
๐ 2 โ 1
๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
; ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฅ =
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ
๐ก
0
=
1
2
๐ ๐ฅ + ๐โ๐ฅ
0
๐ก
โ
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ
๐ก
0
=
1
2
๐ ๐ก + ๐โ๐ก โ 2
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ
๐ก
0
=
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1
โโ1
1
๐ ๐ 2 โ 1
=
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1
โ โโ1
1
๐ 2 โ 1
= ๐๐๐๐(๐ก)
Entonces:
๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ก โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 3 + ๐ค ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก +
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1 + ๐ง ๐๐๐๐(๐ก)
Ahora:
๐ =
1
๐ 2 +
๐ง
๐
+
1
๐
๐
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
โ
๐
๐ 2 โ 1
๐โ3๐
+ ๐ค
๐
๐ 2 โ 1
+
1
๐ ๐ 2 โ 1
+
๐ง
๐ 2 โ 1
๐ =
1
๐ 2
+
๐ง
๐
+
1
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
โ
1
๐ 2 โ 1
๐โ3๐
+ ๐ค
1
๐ 2 โ 1
+
1
๐ 2 ๐ 2 โ 1
+
๐ง
๐ ๐ 2 โ 1
Resolviendo cada transformada inversa:
โ โโ1
1
๐ 2 = ๐ก
โ โโ1
1
๐
= 1
โ โโ1
1
๐ 2 โ 1
๐โ2๐
= ๐ ๐ก โ 2 ๐๐๐๐(๐ก โ 2)
โ โโ1
1
๐ 2 โ 1
๐โ3๐ = ๐ ๐ก โ 3 ๐๐๐๐(๐ก โ 3)
60. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 60
โ โโ1
1
๐ 2 โ 1
= ๐๐๐๐(๐ก)
โ โโ1
1
๐ ๐ 2 โ 1
=
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1
โ โโ1
1
๐ 2 ๐ 2 โ 1
= โโ1
1
๐ 2
โ
1
๐ 2 โ 1
๐ก โ ๐ฅ ๐๐๐๐(๐ฅ)๐๐ฅ
๐ก
0
= ๐ก โ ๐ฅ
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ
๐ก
0
๐ก
๐ ๐ฅ
โ ๐โ๐ฅ
2
๐๐ฅ
๐ก
0
โ
1
2
๐ฅ
๐ก
0
๐ ๐ฅ
๐๐ฅ โ ๐ฅ ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ก
0
๐ก
2
๐ ๐ฅ
+ ๐โ๐ฅ
โ
1
2
๐ ๐ฅ
๐ฅ โ 1 + ๐โ๐ฅ
๐ฅ + 1
0
๐ก
Evaluando:
๐ก
2
๐ ๐ก + ๐โ๐ก โ
1
2
๐ ๐ก ๐ก โ 1 + ๐โ๐ก ๐ก + 1 โ ๐ก =
๐ก๐ ๐ก
2
+
๐ก๐โ๐ก
2
โ
๐ก๐ ๐ก
2
+
๐ ๐ก
2
โ
๐ก๐โ๐ก
2
โ
๐โ๐ก
2
โ ๐ก
โโ1
1
๐ 2 ๐ 2 โ 1
=
๐ ๐ก
2
โ
๐โ๐ก
2
โ ๐ก
Por lo tanto:
๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ก โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 3 + ๐ค ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก +
๐ ๐ก + ๐โ๐ก
2
โ 1 + ๐ง ๐๐๐๐(๐ก)
๐ฆ ๐ก = ๐ก + ๐ง + ๐ ๐ก โ 2 ๐๐๐๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐๐๐๐ ๐ก โ 3 + ๐ค ๐๐๐๐ ๐ก +
๐ ๐ก
2
โ
๐โ๐ก
2
โ ๐ก + ๐ง
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1
Encontrando los valores de โwโ y โzโ
Sabemos que x(0) = w y y(0) = z
๐ฅ 0 = ๐ 0 โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ 0 โ 2 โ ๐ 0 โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ 0 โ 3 + ๐ค ๐ถ๐๐ ๐ 0 +
๐0
+ ๐โ0
2
โ 1 + ๐ง ๐๐๐๐(0)
๐ค = ๐ โ2 ๐ถ๐๐ ๐ โ2 โ ๐ โ3 ๐ถ๐๐ ๐ โ3 + ๐ค
๐0
+ ๐โ0
2
+
๐0
+ ๐โ0
2
โ 1 + ๐ง
๐0
โ ๐โ0
2
๐ค = 0 โ 0 +
๐ค
2
+
1
2
โ 1 +
๐ง
2
3๐ค
2
=
๐ง
2
โ
1
2
๐ค =
1
3
(๐ง โ 1)
61. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 61
๐ฆ 0 = 0 + ๐ง + ๐ 0 โ 2 ๐๐๐๐ 0 โ 2 โ ๐ 0 โ 3 ๐๐๐๐ 0 โ 3 + ๐ค ๐๐๐๐ 0 +
๐0
2
โ
๐โ0
2
โ 0 + ๐ง
๐0
+ ๐โ0
2
โ 1
๐ง = ๐ง + ๐ โ2 ๐๐๐๐ โ2 โ ๐ โ3 ๐๐๐๐ โ3 + ๐ค
๐0
โ ๐โ0
2
+
๐0
2
โ
๐โ0
2
+ ๐ง
๐0
+ ๐โ0
2
โ 1
๐ง = ๐ง + 0 โ 0 +
๐ค
2
+
๐ง
2
โ ๐ง
๐ง =
๐ค
2
+
๐ง
2
๐ง
2
=
๐ค
2
โ ๐ง = ๐ค
Reemplazando nos queda:
๐ค =
1
3
๐ค โ 1 โ
2๐ค
3
= โ
1
3
โ ๐ค = โ
1
2
๐ง = โ
1
2
Finalmente:
๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ก โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 3 โ
1
2
๐ถ๐๐ ๐ ๐ก +
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1 โ
1
2
๐๐๐๐(๐ก)
๐ฆ ๐ก = ๐ก โ
1
2
+ ๐ ๐ก โ 2 ๐๐๐๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐๐๐๐ ๐ก โ 3 โ
1
2
๐๐๐๐ ๐ก +
๐ ๐ก
2
โ
๐โ๐ก
2
+
1
2
โ
1
2
๐ ๐ก
+ ๐โ๐ก
2
โ 1
๐ฅ ๐ก = ๐ ๐ก โ 2 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 3 โ
1
2
๐ถ๐๐ ๐ ๐ก + ๐ถ๐๐ ๐ ๐ก โ 1 โ
1
2
๐๐๐๐(๐ก)
๐ฆ ๐ก = ๐ก โ
1
2
+ ๐ ๐ก โ 2 ๐๐๐๐ ๐ก โ 2 โ ๐ ๐ก โ 3 ๐๐๐๐ ๐ก โ 3 โ
1
2
๐๐๐๐ ๐ก + ๐๐๐๐(๐ก) +
1
2
โ
1
2
๐ถ๐๐ ๐(๐ก) โ 1
๐ ๐ = ๐พ ๐ โ ๐ ๐ช๐๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐พ ๐ โ ๐ ๐ช๐๐๐ ๐ โ ๐ +
๐
๐
๐ช๐๐๐ ๐ โ ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐๐(๐)
๐ ๐ = ๐ + ๐พ ๐ โ ๐ ๐บ๐๐๐ ๐ โ ๐ โ ๐พ ๐ โ ๐ ๐บ๐๐๐ ๐ โ ๐ +
๐
๐
๐บ๐๐๐ ๐ โ
๐
๐
๐ช๐๐๐(๐) โ ๐
62. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 62
๐)
๐โฒ
โ ๐โฒ
= ๐บ๐๐ ๐ ๐พ(๐ โ ๐
)
๐ + ๐โฒ
= ๐
๐ ๐ = ๐ ๐ = ๐
๐ฅโฒ
โ ๐ฆโฒ
= ๐๐๐ (๐ก โ ๐) + ๐ ๐(๐ก โ ๐)
๐ฅ + ๐ฆโฒ = 0
๐ฅโฒ โ ๐ฆโฒ = ๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐ถ๐๐ ๐ + ๐ถ๐๐ (๐ก โ ๐)๐๐๐๐ ๐(๐ก โ ๐)
๐ฅ + ๐ฆโฒ = 0
๐ฅโฒ
โ ๐ฆโฒ
= โ๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐ ๐ก โ ๐
๐ฅ + ๐ฆโฒ = 0
โ ๐ฅโฒ โ โ ๐ฆโฒ = โโ ๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐ ๐ก โ ๐
โ ๐ฅ + โ ๐ฆโฒ = 0
๐ ๐ โ ๐ฅ 0 โ ๐ ๐ + ๐ฆ 0 = โ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
๐ + ๐ ๐ โ ๐ฆ 0 = 0
๐ ๐ โ ๐ ๐ = โ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
๐ + ๐ ๐ = 1
Usando la regla de Kramer tenemos:
๐ =
โ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
โ๐
1 ๐
๐ โ๐
1 ๐
; ๐ =
๐ โ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
1 1
๐ โ๐
1 ๐
๐ =
โ๐ ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
+ ๐
๐ 2 + ๐
=
1
๐ + 1
โ
1
๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
๐ =
๐ โ ๐โ๐๐ 1
๐ 2 + 1
๐ 2 + ๐
=
1
๐ + 1
โ
1
๐ ๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
Encontrando la 1era soluciรณn
Aplicando transformada inversa:
โโ1
๐ = โโ1
1
๐ + 1
โ
1
๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
โโ1
1
๐ + 1
= ๐ก๐โ๐ก
โโ1
1
๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
; ๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐ข๐๐รณ๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ โโ1
1
๐ 2 + 1
โ
1
๐ + 1
๐๐๐ ๐ก โ๐โ๐ก
๐โ ๐กโ๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
= ๐โ๐ก
๐ ๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
63. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 63
Resolviendo la integral por partes tenemos:
๐ ๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐ฅ
๐ถ๐๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ
๐ถ๐๐ (๐ฅ)๐๐ฅ
๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = โ๐ ๐ฅ ๐ถ๐๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ ๐๐ฅ =
1
2
๐ ๐ฅ ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ ๐ถ๐๐ (๐ฅ)
Evaluando:
1
2
๐ ๐ฅ
๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ
๐ถ๐๐ (๐ฅ)
0
๐ก
=
1
2
๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐ก
๐ถ๐๐ ๐ก + 1
Entonces:
โโ1
1
๐ 2 + 1 ๐ + 1
=
๐โ๐ก
2
๐ ๐ก
๐๐๐ ๐ก โ ๐ ๐ก
๐ถ๐๐ ๐ก + 1 =
1
2
๐๐๐ ๐ก โ ๐ถ๐๐ ๐ก + ๐โ๐ก
โโ1
1
๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
=
1
2
๐๐๐ ๐ก โ ๐ โ ๐ถ๐๐ ๐ก โ ๐ + ๐โ(๐กโ๐)
Luego:
๐ฅ ๐ก = ๐ก๐โ๐ก
โ
1
2
๐๐๐ ๐ก โ ๐ โ ๐ถ๐๐ ๐ก โ ๐ + ๐โ(๐กโ๐)
Encontrando la 2da soluciรณn
Aplicando transformada inversa:
โโ1 ๐ = โโ1
1
๐ + 1
โ
1
๐ ๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
โโ1
1
๐ + 1
= ๐ก๐โ๐ก
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
; ๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐ข๐๐รณ๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐ โโ1
1
๐
โ
1
๐ 2 + 1
โ
1
๐ + 1
โโ1
1
๐
โ
1
๐ 2 + 1
โ
1
๐ + 1
1โ
1
2
๐๐๐ ๐ก โ๐ถ๐๐ ๐ก +๐โ๐ก
1
2
๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ถ๐๐ ๐ฅ + ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ก
0
1
2
๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ถ๐๐ ๐ฅ + ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ก
0
=
1
2
โ๐ถ๐๐ ๐ฅ โ ๐๐๐ ๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
0
๐ก
64. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 64
1
2
๐๐๐ ๐ฅ โ ๐ถ๐๐ ๐ฅ + ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ
๐ก
0
=
1
2
โ๐ถ๐๐ ๐ก โ ๐๐๐ ๐ก โ ๐โ๐ก
+ 2
Entonces:
โโ1
1
๐ ๐ 2 + 1 ๐ + 1
๐โ๐๐
=
1
2
โ๐ถ๐๐ ๐ก โ ๐ โ ๐๐๐ ๐ก โ ๐ โ ๐โ(๐กโ๐)
+ 2
Luego:
๐ฆ ๐ก = ๐ก๐โ๐ก
+
1
2
๐ถ๐๐ ๐ก โ ๐ + ๐๐๐ ๐ก โ ๐ + ๐โ(๐กโ๐)
โ 2
Finalmente la soluciรณn del sistema es:
๐ ๐ = ๐๐โ๐ โ
๐
๐
๐บ๐๐ ๐ โ ๐
โ ๐ช๐๐ ๐ โ ๐
+ ๐โ(๐โ๐
)
๐ ๐ = ๐๐โ๐
+
๐
๐
๐ช๐๐ ๐ โ ๐
+ ๐บ๐๐ ๐ โ ๐
+ ๐โ(๐โ๐
)
โ ๐
65. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 65
APLICACIONES
SISTEMA MASA โ RESORTE - AMORTIGUADOR
1) Una masa de 1 kg estรก unida a un resorte ligero que es estirado 2m por una fuerza de 8 N, la
masa se encuentra inicialmente en reposo en su posiciรณn de equilibrio. Iniciando en el tiempo t =
0 seg se le aplica una fuerza externa f(t)=Cos(2t) a la masa pero en el instante t = 2๐
esta cesa
abruptamente y la masa queda libre continuando con su movimiento, pero en el tiempo t = 4๐
,
la masa es golpeada hacia abajo con un martillo con una fuerza de 10N. Determine la ecuaciรณn
del movimiento, ademรกs la posiciรณn de la masa cuando t = 9๐
/4 seg.
๐
๐2 ๐ฅ
๐๐ก2
+ ๐
๐๐ฅ
๐๐ก
+ ๐๐ฅ = ๐(๐ก)
Nos dice que el resorte es estirado 2mpor una fuerza de 8N, entonces:
๐น = ๐๐ฅ โ ๐ =
๐น
๐ฅ
=
8
2
โ ๐ = 4 ๐/๐
Ademรกs nos dice, que en t=0 se le aplica una fuerza externa, y despuรฉs cesa abruptamente, entonces f(t) nos queda:
๐ ๐ก =
๐ถ๐๐ 2๐ก ; 0 โค ๐ก < 2๐
0 ; ๐ก > 2๐
Pero en t = 4 ๐, es golpeado con un martillo, produciendo un impulso, entonces, nuestra ecuaciรณn nos queda:
๐2 ๐ฅ
๐๐ก2
+ 4๐ฅ = ๐0 โ ๐2๐ ๐ถ๐๐ 2๐ก + 10 ๐ฟ ๐ก โ 4๐
๐ฅโฒโฒ
+ 4๐ฅ = ๐0 ๐ถ๐๐ 2๐ก โ ๐2๐ ๐ถ๐๐ 2๐ก + 10๐ฟ ๐ก โ 4๐
La funciรณn coseno ya estรก desfasada, entonces aplicando transformada de Laplace, nos queda:
๐ 2 ๐ โ ๐ ๐ฅ 0 โ ๐ฅโฒ(0) + 4๐ =
๐
๐ 2 + 4
โ
๐
๐ 2 + 4
๐โ2๐๐ + 10๐โ4๐๐
Sabemos que en t = 0 , x(0) = xโ(0) = 0
๐ 2 ๐ + 4๐ =
๐
๐ 2 + 4
โ
๐
๐ 2 + 4
๐โ2๐๐ + 10๐โ4๐๐
๐ ๐ 2
+ 4 =
๐
๐ 2 + 4
โ
๐
๐ 2 + 4
๐โ2๐๐
+ 10๐โ4๐๐
๐ =
๐
๐ 2 + 4 2
โ
๐
๐ 2 + 4 2
๐โ2๐๐
+ 10
๐โ4๐๐
๐ 2 + 4
Aplicando transformada inversa:
โโ1
๐ = โโ1
๐
๐ 2 + 4 2 โ โโ1
๐
๐ 2 + 4 2 ๐โ2๐๐
+ 10โโ1
๐โ4๐๐
๐ 2 + 4
66. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 66
Aplicando convoluciรณn:
โโ1
๐
๐ 2 + 4
๐ถ๐๐ 2๐ก
โ
1
๐ 2 + 4
1
2
๐๐๐ 2๐ก
1
2
๐ถ๐๐ 2๐ฅ ๐๐๐ 2 ๐ก โ ๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
1
4
๐๐๐ 2๐ฅ + 2๐ก โ 2๐ฅ โ ๐๐๐ 2๐ฅ โ 2๐ก + 2๐ฅ ๐๐ฅ
๐ก
0
1
4
๐๐๐ 2๐ก โ ๐๐๐ 4๐ฅ โ 2๐ก ๐๐ฅ
๐ก
0
1
4
๐ฅ ๐๐๐ 2๐ก +
1
4
๐ถ๐๐ 4๐ฅ โ 2๐ก
0
๐ก
โ
1
4
๐ก ๐๐๐ 2๐ก +
1
4
๐ถ๐๐ 2๐ก โ
1
4
๐ถ๐๐ โ2๐ก
Sabemos que Cos(-x) = Cos(x), entonces:
โโ1
๐
๐ 2 + 4 2
=
1
4
๐ก ๐๐๐ 2๐ก
Finalmente:
๐ ๐ =
๐
๐
๐ ๐บ๐๐ ๐๐ โ
๐
๐
๐พ ๐ โ ๐๐
(๐ โ ๐๐
) ๐บ๐๐ ๐(๐ โ ๐๐
) + ๐ ๐พ ๐ โ ๐๐
๐บ๐๐ ๐(๐ โ ๐๐
)
Encontrando la posiciรณn de la masa en t = 9๐/4 seg
๐ฅ
9๐
4
=
1
4
9๐
4
๐๐๐ 2
9๐
4
โ
1
4
๐
9๐
4
โ 2๐
9๐
4
โ 2๐ ๐๐๐ 2
9๐
4
โ 2๐ + 5 ๐
9๐
4
โ 4๐ ๐๐๐ 2
9๐
4
โ 4๐
๐ฅ
9๐
4
=
9๐
16
๐๐๐
9๐
2
โ
๐
16
๐
๐
4
๐๐๐
๐
2
+ 5 ๐ โ
7๐
4
๐๐๐ โ
7๐
2
๐ฅ
9๐
4
=
9๐
16
1 โ
๐
16
1 1 + 5 0 (1)
๐ฅ
9๐
4
=
9๐
16
โ
๐
16
๐
๐๐
๐
=
๐
๐
๐
67. Ecuaciones Diferenciales
Erick Conde Pรกgina 67
2) En el extremo de un resorte espiral que estรก sujeto al techo se coloca un cuerpo de masa igual
a 1 kg. El resorte se ha alargado 2m hasta quedar en reposo en su posiciรณn de equilibrio. En t = 0
el cuerpo es desplazado 50 cm por debajo de la posiciรณn de equilibrio y lanzado con una
velocidad inicial de 1m/seg dirigida hacia arriba. El sistema consta tambiรฉn de un amortiguador
cuyo coeficiente de amortiguamiento es de 2.5 N.seg/m. Desde t = 0, una fuerza externa es
aplicada al cuerpo, la misma que estรก dada por f(t) = Sen ๐
๐/๐ . En t = 10 seg y en t = 20 seg el
cuerpo es golpeado hacia abajo proporcionando una fuerza de 5N y de 10N, respectivamente.
(use g = 10 m/๐๐๐ ๐
). Determine la ecuaciรณn del movimiento
๐
๐2
๐ฅ
๐๐ก2
+ ๐
๐๐ฅ
๐๐ก
+ ๐๐ฅ = ๐(๐ก)
Nos dice que el resorte se ha alargado 2m hasta quedar en reposo al colocar una masa de 1 kg, entonces:
๐น = ๐๐ฅ โ ๐ =
๐๐
๐ฅ
=
1(10)
2
โ ๐ = 5 ๐/๐
Ademรกs nos dice que en t=10 y en t=20 el cuerpo es golpeado hacia abajo, es decir recibe un impulso, entonces nuestra
ecuaciรณn es la siguiente:
1
๐2
๐ฅ
๐๐ก2 + 2.5
๐๐ฅ
๐๐ก
+ 5 ๐ฅ = ๐๐๐
๐
2
๐ก + 5 ๐ฟ ๐ก โ 10 + 10 ๐ฟ ๐ก โ 20
๐ฅโฒโฒ + 2.5๐ฅโฒ + 5๐ฅ = ๐๐๐
๐
2
๐ก + 5 ๐ฟ ๐ก โ 10 + 10 ๐ฟ ๐ก โ 20
Aplicando transformada de Laplace:
โ ๐ฅโฒโฒ + 2.5 โ ๐ฅโฒ + 5 โ ๐ฅ = โ ๐๐๐
๐
2
๐ก + 5 ๐ฟ ๐ก โ 10 + 10 ๐ฟ ๐ก โ 20
๐ 2 ๐ โ ๐ ๐ฅ 0 โ ๐ฅโฒ(0) + 2.5 ๐ ๐ โ ๐ฅ(0) + 5๐ =
๐
2
๐ 2 +
๐2
4
+ 5๐โ10๐ + 10๐โ20๐
Sabemos que en t = 0 el cuerpo es lanzado con una velocidad inicial hacia arriba y ademรกs es desplazado 50 cm por
debajo de su posiciรณn de equilibrio, entonces:
๐ 2
๐ โ 0.5๐ + 1 + 2.5 ๐ ๐ โ 0.5 + 5๐ =
๐
2
๐ 2 +
๐2
4
+ 5๐โ10๐
+ 10๐โ20๐
๐ 2
๐ โ 0.5 ๐ + 1 + 2.5 ๐ ๐ โ 1.25 + 5๐ =
๐
2
๐ 2 +
๐2
4
+ 5๐โ10๐
+ 10๐โ20๐
๐ ๐ 2
+
5
2
๐ + 5 =
๐
2
๐ 2 +
๐2
4
+ 5๐โ10๐
+ 10๐โ20๐
+
1
4
๐ =
๐
2
๐ 2 +
๐2
4
๐ +
5
4
2
+
15
8
+ 5
๐โ10๐
๐ +
5
4
2
+
15
8
+ 10
๐โ20๐
๐ +
5
4
2
+
15
8
+
1
4
1
๐ +
5
4
2
+
15
8