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Sean los puntos A (3,2) y B (4,5) encontrar la ecuación de la recta que los une. 
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función constante

  1. 1. FUNCIÓN CONSTANTE Y FUNCIÓN LINEAL. Función constante. La función constante es aquella en la que para cualquier valor de la variable independiente ( x ), la variable dependiente ( f(x) ) no cambia, es decir, permanece constante. Sea f (x) = c . El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, y el contradominio es únicamente el real c. Ejemplo 1. La función f(x) = 4 es una función constante porque independientemente del valor de x el valor de la función siempre es 4. Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma ( x, f(x)) frecuentemente en una tabla. Ejemplo 2. La función f(x)=3 se puede representar en forma tabular para algunos valores de x: x f(x) -1 3 0 3 1 3 2 3 1.5 3 5 3 2 La gráfica de esta función para los valores de x entre -3 y 3 es:
  2. 2. 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 Ejemplo 3. Sea la función f(x)=-2 , encontrar su representación tabular y gráfica. x f(x) -3 -2 -1.75 -2 -1 -2 0 -2 1 -2 2.99 -2 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 Una función constante f(x) = c : · tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x, · tiene como gráfica una línea horizontal, · nunca cruza el eje x, excepto cuando f(x) = 0, · cruza una sola vez el eje y en el punto (0, c), · es aquella en que el exponente máximo de la x es cero, Nota. Dado que x0 = 1 , entonces ( ) f x = 4x0 = 4(1) = 4 .
  3. 3. Función lineal. La función lineal es aquella que siempre crece ( o decrece ) “lo mismo”. Esto es, para dos intervalos de la misma magnitud de la variable independiente ( x ), los cambios correspondientes en la variable dependiente ( f(x) ) son iguales. La ecuación que representa una función lineal es de la forma f (x) = mx + b , que también se puede escribir Ax + By + C = 0 . El dominio de las funciones lineales es el conjunto de todos los reales ¡ , y el contradominio es también el conjunto de todos los reales ¡ . Ejemplo 4. Sea la ecuación f (x) = 2x -1. Su representación tabular es: x f(x) -1 -3 0 -1 1 1 2 3 4 7 Consideremos dos intervalos de la misma magnitud en la variable independiente, de x1 = -1 a x2 = 1, y de x3 = 2 a x4 = 4. Los cambios correspondientes en la variable dependiente son iguales: f f f f - - = - - = - = - = (1) ( 1) 1 ( 3) 4 (4) (2) 7 3 4 como se muestra en la siguiente tabla Dx x f(x) Df ( x) 2 1 x - x = 2 -1 -3 2 1 f (x ) - f (x ) = 4 1 1 4 3 x - x = 2 2 3 4 3 f (x ) - f (x ) = 4 4 7 La representación gráfica de la función es la siguiente:
  4. 4. 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 Observe que la tangente de a , esto es la tangente del ángulo de inclinación de la recta, se puede calcular como cat opuesto f x cat adyacente x tan a = . = D ( ) = 4 = 2 D . 2 a este valor se le denomina pendiente de la recta y frecuentemente se representa por la letra m, que es una medida de la inclinación de la recta. Nótese que esta constante aparece como coeficiente de la variable x en la ecuación f (x) = 2x -1. Cuando x = 0 , f (x = 0) = -1, como se ve en la representación tabular; este par ordenado ( 0, -1 ) es el punto de intersección de la recta con el eje y . Al valor de y cuando x = 0 se le denomina ordenada al origen y frecuentemente se representa por la letra b, que es la distancia de la intersección de la recta al origen. Nótese que esta constante aparece como término independiente en la ecuación f (x) = 2x -1. Sea f (x) = mx + b una función lineal, al coeficiente de la x se le llama pendiente (m), y al término independiente se le llama ordena al origen (b) y es la intersección con el eje y. Ejemplo 5. -3 a
  5. 5. 6 5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 En la siguiente gráfica la ordenada al origen b = 2 está indicada con un punto azul. Analizando la figura, si partiendo del punto azul me muevo 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba, vuelvo a quedar en un punto sobre la recta. La pendiente - D D = = = = 2 1 2 1 ( ) 3 2 y y m y f x x - x D x D x es la razón, o cociente, entre el cambio en y y el cambio en x. Dado que la ecuación general de la recta es f (x) = mx + b Entonces la ecuación de la recta graficada es ( ) 3 2 f x = x + 2 Se dice que una función es creciente en un intervalo si para toda 2 1 x > x dentro del intervalo, 2 1 f (x ) > f (x ) Es decreciente si para toda 2 1 x > x dentro del intervalo, 2 1 f (x ) < f (x ) En el caso de las funciones lineales, éstas son crecientes cuando la pendiente es positiva y decrecientes cuando la pendiente es negativa.
  6. 6. Ejemplo 6. Sean los puntos A (3,2) y B (4,5) encontrar la ecuación de la recta que los une. La pendiente de la recta es: m = - = = 5 2 3 3 4 - 3 1 Dado que la pendiente es positiva, la función es creciente. Recordando que f (x) = mx + b , entonces, f (x) - mx = b . Así, sustituyendo las coordenadas (x, f (x)) de cualquiera de los dos puntos y el valor de m se obtiene la ordenada al origen. ( ) 5 ( 3) ( 4) 5 12 7 b f x mx b = - = - = - = - La ecuación que describe dicha recta es f (x) = 3x - 7 . Ejemplo 7. La recta que pasa por el punto A(2,1), y que tiene una pendiente de m = -5, tiene la siguiente ecuación: ( ) ( ) f x = mx + b b f x mx b f x x = - = - - = + = ( ) ( ) 1 5 2 1 10 11 ( ) = - + 5 11 y su gráfica se muestra en la figura.
  7. 7. 4 0 3 0 2 0 10 0 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 - 10 - 2 0 Como la pendiente es negativa la función es decreciente. Se puede ver que las gráficas de todas las funciones lineales cruzan una sola vez el eje x en el punto de coordenadas ( x, 0 ) denominado intersección con el eje x o raíz. Para encontrar este punto, se sustituye f (x) = 0 y despejamos x. 0 5 11 11 5 x x = - + = Entonces esta recta cruza al eje x en el punto 11, 0 5 æ ö çè ÷ø y al eje y en (0, 11) . Una función lineal f (x) = mx + b · es aquella en que el exponente máximo de la x es uno, · tiene como gráfica una línea recta, · cruza una vez el eje x, cuando f(x) = 0, · cruza una vez el eje y en el punto (0, b), · la función es creciente cuando la pendiente es positiva y decreciente cuando es negativa.

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