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"La PROBABILIDAD de un evento es
el GRADO de CERTEZA que tengo de
      que el evento ocurra".


        Fundación Universitaria Juan de
                            Castellanos
DEFINICIONES BASICAS

• Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra
  como un dato.

• Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles
  resultados de un experimento.

   – Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos
     los resultados siguientes:

              S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 }
   – Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;

              S = { HH, HT, TH, TT } S = { 4 }
Espacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyos
  elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son
  subconjuntos de los números enteros.

Espacios muestrales continuos: Son espacios muestrales
  cuyos elementos resultan de hacer mediciones, y por lo
  general son intervalos en la recta Real.
•   Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es
    seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar.

•   Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un
    experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento
    del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un
    evento simple.

•   Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, son eventos compuestos si se
    componen de dos o más eventos simples.

     – Evento simple: Lanzamiento de un dado
            – A = { evento que salga un # impar } = { 1, 3, 5 }
            – B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

     – Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas
            – A = el evento de observar una cara
            – A = {CC, CS, SC, SS}
Fenómenos Aleatorios y
  Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.
Es un fenómeno del que no se sabe que es lo
    que va a ocurrir, están relacionados con el
    azar o probabilidad.
Fenómeno Determinista.
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe
    cual será el resultado.
Definiciones de Probabilidad
La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en
   donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se
   pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está
   presente en casi en todas las actividades que se pretenda
   realizar, ejemplos:
        -Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas
        -Competencias deportivas
        -Juegos de azar.

La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la
   Estadística, ya que las mediaciones que hagamos sobre la
   población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos
   márgenes de error controlado, el cual será medido en términos
   de probabilidad.
Tipos de Probabilidad
Métodos de asignar Probabilidades
Método Axiomático: La Probabilidad es considerada
  como una función de valor real definida sobre una
  colección de eventos de un espacio muestral S que
  satisface los siguientes axiomas:
 1. PS   1
 2. Si A es un evento de S entonces               .
 3. Si, es una colección de eventos disjuntos (por
  pares) entonces             . Esta es llamada el axioma de
  aditividad contable. Asumiendo que                        se
  sigue del axioma 3 que                   , ésta es llamada la
  propiedad de aditividad finita.
METODO CLÁSICO DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES
PROPIEDAD 1            0 ≤P(A) ≤ 1


Como 0 ≤ #A ≤ # S                     #A #S
                                             0  P ( A)  1
                                  0
                                 #S   #S   #S

PROPIEDAD 2                 P( )= 0

 Como # = 0                     #
                                         P ( )  0
                                       0
                                 #S   #S

PROPIEDAD 3            P(S) =1

                                     #S
               Ya que P(S ) =           1
                                     #S
PROPIEDAD 4                     P (AB) = P(A) + P(B), si AB =
                                                                           A
 Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B.                                                   B


                # ( A  B ) # A # B # A # B
  P( A  B)                               P ( A)  P ( B )
                    #S        #S      #S #S

PROPIEDAD 5             P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

                    # ( AUB ) # A# B# ( A  B ) # A # B # ( A  B)
    P ( A  B)                                                            A
                        #S           #S            #S #S      #S

    P ( A  B)  P ( A)  P ( B )  P( A  B)                                      B

PROPIEDAD 6                       P(A ) = 1 - P(A)

                # ( A ) # S # A # S # A                               A
    P( A )                            1  P ( A)
                 #S        #S     #S #S                                        A’
                                                                                            12
Método Frecuencial Si un experimento se repite
 n veces y n(A) de esas veces ocurre el evento
 A, entonces la frecuencia relativa de A se
 define por  A f 
                   n ( A)
                      n   .
  Se puede notar que:
  a) f  1
       S


  b) f  0
       A



  c) Si A y B son eventos disjuntos entonces
  Es decir satisface los axiomas de f  f  f
                                    AB   A   B


 probabilidad.
Método Subjetivo Algunas personas de acuerdo
 a su propio criterio generalmente basado en
 su experiencia, asignan probabilidades a
 eventos, éstas son llamadas probabilidades
 subjetivas. Por ejemplo:

  – La Probabilidad de que llueva mañana es 40%.
  – La Probabilidad de que haya un terremoto en
    Puerto Rico antes del 2000 es casi cero.
  – La Probabilidad de que el caballo Camionero gane
    el clásico del domingo es 75%.
Probabilidad Condicional Sean A y B dos
  eventos de un mismo espacio muestral S. La
  probabilidad condicional de A dado que B ha
  ocurrido esta dado por:
                       P( A  B)
           P( A / B) 
                         P( B)

        –Regla del Producto
                P( A  B)  P( A) P( B / A)

        –Probabilidad Total y Regla de Bayes
                 P(Ai| B) 
                            P(B Ai)
                             P(B)
Ejercicios
Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga Doble 1? Respuesta
                 : Denotemos por "13" el caso en que el primer dado cae con "1" y el segundo con "3",
                 mientras que "31" es el caso en que el primer dado cae con "3" y el segundo con "1". El
                 primer dado puede tomar seis valores ("1" a "6"). Para cada uno de estos, el segundo dado
                 puede tomar otros seis (también "1" a "6"). Por lo que hay 6 veces 6 = 36 casos totales.
                 Podemos enumerarlos si requerimos mayor claridad:
EJEMPLO 1




            •   Casos Totales =
                                       "11","12"13,"14","15","16", = 36 casos
                                        "21","22"23,"24","25","26",
                                       "31","32"33,"34","35","36",
                                       "41","42"43,"44","45","46",
                                       "51","52"53,"54","55","56",
                                       "61","62"63,"64","65","66"

            •   Casos Favorables = Evento "11" = 1 caso
                La probabilidad buscada es pues 1/36 = 0.28

            Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga un doble?
                 Respuesta : Casos Totales = "11","12"13,...,"65","66",= 36 casos Casos Favorables = Eventos
                 "11","22","33","44","55",66" = 6 casos
                 La probabilidad buscada es pues 6/36 = 1/6 = 0.17
A            Ac
       sexo   edad   Sucesos
B.R     H     18     A = ser hombre (H)
                     B = edad 20                4             2
C.C     M     19
C.G     H     19                      B
G.P     M     20
                                                 2                 6
                                      Bc
M.P     M     21
J.L     H     20
L.A.    M     21       Probabilidades
N.D     M     21       P(A) = 6/14 = 0.43




                                                                        EJEMPLO 2
V.C     H     22       P(B) = 6/14 = 0.43
V.F.    H     19       P(A  B) = 4/14 = 0.29
L.L.    H     18       P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
J.N.    M     21        6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57
J.P.    M     21        P(AB) = 4/6 = 0.67
U.P     M     18
                                                                        18
Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el
                 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

            ¿Qué   porcentaje de fumadores hay en total?
EJEMPLO 3




                       P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)                  T. Prob. Total.
                                                               Hombres y mujeres forman
                       = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)             Un Sist. Exh. Excl.
                                                               De sucesos
                       =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

                          = 0,13 =13%
            ¿Seelije a un individuo al azar y resulta
            fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
                                                                Mujeres         Varones
            T. Bayes
                          – P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)
                                     = P(F|H) P(H) / P(F)
                                     = 0x2 x 0,3 / 0,13                      fumadores
                                                          19
                                     = 0,46 = 46%
Expresión del problema en forma de árbol


                                            Fuma           P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2
                                    0,1


            0,7            Mujer
                                     0,9
                                                            P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)
                                           No fuma
Estudiante
                                                        •Los caminos a través de nodos
                                    0,2                 representan intersecciones.
            0,3                             Fuma
                          Hombre                        •Las bifurcaciones representan
                                                        uniones disjuntas.
                                   0,8
                                           No fuma


   Tema 4: Probabilidad                            20                 Dpto. de Estadística - UNCo
Teorema de Bayes                       Si conocemos la probabilidad de B en cada uno
                                       de los componentes de un sistema exhaustivo y
     A1                          A2    excluyente de sucesos, entonces…

                                       …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad
                                       (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

                         B

                                                 P(Ai| B) 
                                                            P(B Ai)
                                                             P(B)
     A3                          A4
                  P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

                  P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

                  =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …
Tema 4: Probabilidad                        21                     Dpto. de Estadística - UNCo
Ejemplo: Pruebas diagnósticas
Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre
dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista
se estima:

   – Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos.
   – Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos.

A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular
las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test)
   de
los llamados índices predictivos:




                                                                  EJEMPLO 4
   – P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo
   – P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo

                                                                    22
La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta.
La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su
sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la
especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los
índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y
P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo).
                                                    0,3             T+


                 0,2             Enfermo
                                                                    T-
                                                  1 - 0,3 = 0,7
     Individuo
                                                  1 - 0,99 = 0,01
                                                                    T+
           1 - 0,2 = 0,8          Sano


                                                      0,99          T-
                                                                         23
Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que
el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de
que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano.

                  P ( Enf  T  )
 P ( Enf | T )                          0,88
                                     0,06
                       P (T  )     0,068
 P ( Enf T  )  0,2  0,3  0,06
 P (T )  0,2  0,3  0,8  0,01  0,068
                                       0,3               T+

              0,2        Enfermo
                                      0,7                T-
  Individuo
                                       0,01              T+
              0,8        Sano

                                         0,99            T-      24
P( Sano  T )
 P ( Sano | T )                 
                       P(T )

           0,8  0,99
                           0,85
    0,8  0,99  0,2  0,7



                                    0,3      T+

            0,2     Enfermo
                                    0,7      T-
Individuo
                                    0,01     T+
            0,8      Sano

                                      0,99   T-   25
Ejemplo.-
            En una pequeña empresa de tejidos se obtiene
              su producción con tres máquinas hiladoras M1,
EJEMPLO 5




              M2 y M3 que producen respectivamente 50%,
              30% y el 20% del número total de artículos
              producidos.
            Los porcentajes de productos defectuosos
              producidos por estas máquinas son 3%, 4% y
              5%. Supóngase que se selecciona un artículo
              al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería
              la probabilidad de que el artículo haya sido
              producido por la máquina M1?
PROBABILIDAD

Sea
D: Que el artículo sea defectuoso
ND: Que el artículo no sea defectuoso
M1: Que haya sido producido por la máquina 1
M2: Que haya sido producido por la máquina 2
M3: Que haya sido producido por la máquina 3

P(M1) = .50       P(D/M1) = .03
P(M2) = .30       P(D/M2) = .04
P(M3) = .20       P(D/M3) = .05
P(D/M1)=.03
                                   D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015
 P(M1)=.50    M1
                                   ND
                    P(ND/M1)=.97


                    P(D/M2)=.04         P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012
                                   D
P(M2)=.30    M2
                   P(ND/M2)=.96    ND

                   P(D/M3)=.05
                                    D    P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01
P(M3)=.20    M3
                                    ND
                   P(ND/M3)=.95
                                         P(D) = .015+.012+.01=.037
PROBABILIDAD
Por teorema de Bayes se tiene:


                                 P(M1 )P(D / M1 )
P(M1 / D) 
              P(M1 )P(D / M1 )  P(M 2 )P(D / M 2 )  P(M3 )P(D / M3 )
              P(M1 )P(D / M1 )
                                                 .4054
                                     (.50)(.03)
                   P(D)                .037



La probabilidad de que el artículo defectuoso se
  haya producido en la M1 es del 40.54%
¿Cuál es la probabilidad de que una carta
            escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

                                      Color
EJEMPLO 6




                       Palo      Rojo    Negro Total
                     As           2           2    4
                     No-As        24       24      48
                     Total        26       26      52

                                        Espacio restringido
                     P ( As  Rojo) 2 / 52
    P ( As | Rojo)                        
                                              2
                         P ( Rojo)   26 / 52 26
                                                              30
Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades
p(A)=0,25 , p(B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es
0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6.

      Calcule     la    probabilidad    de     que    la     policía  alcance    al     ladrón
      Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?
Infografía
• http://math.uprm.edu/~edgar
• http://www.d16acbl.org/U173/Brmx_prob2.ht
  ml
• http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/I
  NICIO.HTML
• http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ppro
  bjunio0006.htm
• http://www.google.com.co/search?hl=es&q=fil
  etype:ppt+probabilidad&start=10&sa=N

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  • 1. "La PROBABILIDAD de un evento es el GRADO de CERTEZA que tengo de que el evento ocurra". Fundación Universitaria Juan de Castellanos
  • 2. DEFINICIONES BASICAS • Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato. • Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. – Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S = { 6 } – Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos; S = { HH, HT, TH, TT } S = { 4 }
  • 3. Espacios muestrales discretos: Son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer conteos, y por lo general son subconjuntos de los números enteros. Espacios muestrales continuos: Son espacios muestrales cuyos elementos resultan de hacer mediciones, y por lo general son intervalos en la recta Real.
  • 4. Evento. Es el resultado de un experimento. Cuando cada evento es seleccionado al azar, el experimento se denomina aleatorio o al azar. • Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento y que no se puede descomponer. En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple. • Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples. – Evento simple: Lanzamiento de un dado – A = { evento que salga un # impar } = { 1, 3, 5 } – B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 } – Evento Compuesto: Lanzamiento de dos monedas – A = el evento de observar una cara – A = {CC, CS, SC, SS}
  • 5.
  • 6. Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos. Fenómeno Aleatorio. Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad. Fenómeno Determinista. Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.
  • 7. Definiciones de Probabilidad La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar, ejemplos: -Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas -Competencias deportivas -Juegos de azar. La Teoría de la Probabilidad constituye la base o fundamento de la Estadística, ya que las mediaciones que hagamos sobre la población o poblaciones en estudio se moverán dentro de unos márgenes de error controlado, el cual será medido en términos de probabilidad.
  • 9. Métodos de asignar Probabilidades Método Axiomático: La Probabilidad es considerada como una función de valor real definida sobre una colección de eventos de un espacio muestral S que satisface los siguientes axiomas: 1. PS   1 2. Si A es un evento de S entonces . 3. Si, es una colección de eventos disjuntos (por pares) entonces . Esta es llamada el axioma de aditividad contable. Asumiendo que se sigue del axioma 3 que , ésta es llamada la propiedad de aditividad finita.
  • 10. METODO CLÁSICO DE PROBABILIDAD
  • 11. PROPIEDADES PROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1 Como 0 ≤ #A ≤ # S #A #S    0  P ( A)  1 0 #S #S #S PROPIEDAD 2 P( )= 0 Como # = 0 #   P ( )  0 0 #S #S PROPIEDAD 3 P(S) =1 #S Ya que P(S ) = 1 #S
  • 12. PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB = A Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B. B # ( A  B ) # A # B # A # B P( A  B)      P ( A)  P ( B ) #S #S #S #S PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠ # ( AUB ) # A# B# ( A  B ) # A # B # ( A  B)  P ( A  B)      A #S #S #S #S #S  P ( A  B)  P ( A)  P ( B )  P( A  B) B PROPIEDAD 6 P(A ) = 1 - P(A) # ( A ) # S # A # S # A A P( A )      1  P ( A) #S #S #S #S A’ 12
  • 13. Método Frecuencial Si un experimento se repite n veces y n(A) de esas veces ocurre el evento A, entonces la frecuencia relativa de A se define por A f  n ( A) n . Se puede notar que: a) f  1 S b) f  0 A c) Si A y B son eventos disjuntos entonces Es decir satisface los axiomas de f  f  f AB A B probabilidad.
  • 14. Método Subjetivo Algunas personas de acuerdo a su propio criterio generalmente basado en su experiencia, asignan probabilidades a eventos, éstas son llamadas probabilidades subjetivas. Por ejemplo: – La Probabilidad de que llueva mañana es 40%. – La Probabilidad de que haya un terremoto en Puerto Rico antes del 2000 es casi cero. – La Probabilidad de que el caballo Camionero gane el clásico del domingo es 75%.
  • 15. Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. La probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido esta dado por: P( A  B) P( A / B)  P( B) –Regla del Producto P( A  B)  P( A) P( B / A) –Probabilidad Total y Regla de Bayes P(Ai| B)  P(B Ai) P(B)
  • 17. Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga Doble 1? Respuesta : Denotemos por "13" el caso en que el primer dado cae con "1" y el segundo con "3", mientras que "31" es el caso en que el primer dado cae con "3" y el segundo con "1". El primer dado puede tomar seis valores ("1" a "6"). Para cada uno de estos, el segundo dado puede tomar otros seis (también "1" a "6"). Por lo que hay 6 veces 6 = 36 casos totales. Podemos enumerarlos si requerimos mayor claridad: EJEMPLO 1 • Casos Totales = "11","12"13,"14","15","16", = 36 casos "21","22"23,"24","25","26", "31","32"33,"34","35","36", "41","42"43,"44","45","46", "51","52"53,"54","55","56", "61","62"63,"64","65","66" • Casos Favorables = Evento "11" = 1 caso La probabilidad buscada es pues 1/36 = 0.28 Al lanzar dos dados simultáneamente, ¿cual es la probabilidad de que salga un doble? Respuesta : Casos Totales = "11","12"13,...,"65","66",= 36 casos Casos Favorables = Eventos "11","22","33","44","55",66" = 6 casos La probabilidad buscada es pues 6/36 = 1/6 = 0.17
  • 18. A Ac sexo edad Sucesos B.R H 18 A = ser hombre (H) B = edad 20 4 2 C.C M 19 C.G H 19 B G.P M 20 2 6 Bc M.P M 21 J.L H 20 L.A. M 21 Probabilidades N.D M 21 P(A) = 6/14 = 0.43 EJEMPLO 2 V.C H 22 P(B) = 6/14 = 0.43 V.F. H 19 P(A  B) = 4/14 = 0.29 L.L. H 18 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A  B) J.N. M 21 6/14 + 6/14 - 4/14 = 0.43+ 0.43 - 0.29 = 0.57 J.P. M 21 P(AB) = 4/6 = 0.67 U.P M 18 18
  • 19. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? EJEMPLO 3 P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) Un Sist. Exh. Excl. De sucesos =0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 = 0,13 =13% ¿Seelije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? Mujeres Varones T. Bayes – P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 fumadores 19 = 0,46 = 46%
  • 20. Expresión del problema en forma de árbol Fuma P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 0,1 0,7 Mujer 0,9 P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) No fuma Estudiante •Los caminos a través de nodos 0,2 representan intersecciones. 0,3 Fuma Hombre •Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. 0,8 No fuma Tema 4: Probabilidad 20 Dpto. de Estadística - UNCo
  • 21. Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y A1 A2 excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. B P(Ai| B)  P(B Ai) P(B) A3 A4 P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + … Tema 4: Probabilidad 21 Dpto. de Estadística - UNCo
  • 22. Ejemplo: Pruebas diagnósticas Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista se estima: – Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos. – Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos. A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test) de los llamados índices predictivos: EJEMPLO 4 – P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo – P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo 22
  • 23. La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo). 0,3 T+ 0,2 Enfermo T- 1 - 0,3 = 0,7 Individuo 1 - 0,99 = 0,01 T+ 1 - 0,2 = 0,8 Sano 0,99 T- 23
  • 24. Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. P ( Enf  T  ) P ( Enf | T )    0,88 0,06 P (T  ) 0,068 P ( Enf T  )  0,2  0,3  0,06 P (T )  0,2  0,3  0,8  0,01  0,068 0,3 T+ 0,2 Enfermo 0,7 T- Individuo 0,01 T+ 0,8 Sano 0,99 T- 24
  • 25. P( Sano  T ) P ( Sano | T )   P(T ) 0,8  0,99   0,85 0,8  0,99  0,2  0,7 0,3 T+ 0,2 Enfermo 0,7 T- Individuo 0,01 T+ 0,8 Sano 0,99 T- 25
  • 26. Ejemplo.- En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, EJEMPLO 5 M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?
  • 27. PROBABILIDAD Sea D: Que el artículo sea defectuoso ND: Que el artículo no sea defectuoso M1: Que haya sido producido por la máquina 1 M2: Que haya sido producido por la máquina 2 M3: Que haya sido producido por la máquina 3 P(M1) = .50 P(D/M1) = .03 P(M2) = .30 P(D/M2) = .04 P(M3) = .20 P(D/M3) = .05
  • 28. P(D/M1)=.03 D P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015 P(M1)=.50 M1 ND P(ND/M1)=.97 P(D/M2)=.04 P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012 D P(M2)=.30 M2 P(ND/M2)=.96 ND P(D/M3)=.05 D P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01 P(M3)=.20 M3 ND P(ND/M3)=.95 P(D) = .015+.012+.01=.037
  • 29. PROBABILIDAD Por teorema de Bayes se tiene: P(M1 )P(D / M1 ) P(M1 / D)  P(M1 )P(D / M1 )  P(M 2 )P(D / M 2 )  P(M3 )P(D / M3 ) P(M1 )P(D / M1 )    .4054 (.50)(.03) P(D) .037 La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%
  • 30. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja? Color EJEMPLO 6 Palo Rojo Negro Total As 2 2 4 No-As 24 24 48 Total 26 26 52 Espacio restringido P ( As  Rojo) 2 / 52 P ( As | Rojo)    2 P ( Rojo) 26 / 52 26 30
  • 31. Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades p(A)=0,25 , p(B)=0,6 y p(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6. Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrón Si el ladrón ha sido alcanzado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?
  • 32.
  • 33. Infografía • http://math.uprm.edu/~edgar • http://www.d16acbl.org/U173/Brmx_prob2.ht ml • http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/I NICIO.HTML • http://www.terra.es/personal2/jpb00000/ppro bjunio0006.htm • http://www.google.com.co/search?hl=es&q=fil etype:ppt+probabilidad&start=10&sa=N