Esta es un presentación hecha especialmente para jóvenes en nivel medio superior que desean conocer un poco sobre el uso de las integrales. Este texto es INFORMATIVO y no utiliza el lenguaje matemático formal.

1. Área bajo la curva
José Guillermo Herrera Ramírez
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
16 de noviembre de 2011
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 1 / 35

2. Resumen
La idea central de la visión geométrica infinitesimal se utilizará en el
desarrollo del tema, ya que se tratará con la problemática de calcular el
área bajo una curva ilustrando la estrategia que llamaremos “la toma
del elemento diferencial”, la cual resulta particularmente útil para
encontrar la regla de correspondencia de una función cuando la razón
de cambio instantánea no está dada por el contexto del problema.
Ilustraremos esta estrategia utilizada frecuentemente en la Física con el
propósito de reconstruir una magnitud. Se verá un ejemplo para el área
bajo la curva de una función y uno para calcular el área limitada por las
gráficas de dos funciones.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 2 / 35

3. Introducción
Este tema dará lugar al concepto de diferencial y el modo de operar con
diferenciales, el cual, en primera instancia, constituye un método alterno
que agiliza el proceso de “derivar”. Al ser utilizado el diferencial en la
interpretación del “cambio” que experimenta una función, surgirá el
concepto clave del cálculo: la integral.
Conciliando la visión del “cambio acumulado” de una función con la visión
de la “antiderivada”, surgirá de manera natural el (segundo) teorema
fundamental del cálculo, con el cual se llega a establecer la solución al
problema de precisar la regla de correspondencia de una función de la cual
se conoce la fórmula de su razón de cambio.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 3 / 35

4. Primero introduciremos la idea del “cambio acumulado de una función”
desde dos puntos de vista diferentes. Uno a través de las derivadas y
antiderivadas; el otro, a través de las diferenciales y las integrales.
Conjugando las dos visiones para el “cambio acumulado”, arribaremos al
(segundo) teorema fundamental del cálculo, en el cual interactúan los
cuatro elementos fundamentales: la derivada, el diferencial, la antiderivada
y la integral.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 4 / 35

5. Derivada
La idea central de la visión geométrica infinitesimal es:
“una porción infinitamente pequeña de ua curva . . .
puede considerarse que es recta”
Sea f una función polinomial graficada en un plano cartesiano con puntos
(x, f (x)). A partir de un punto en x, dejamos una longitud infinitamente
pequeña, esto es un diferencial de x (dx), respecto a este diferencial se
tendrá un incremento infinitamente pequeño en y , es decir un diferencial en
y (dy ). Utilizando la idea central se genera un tramo infinitamente
pequeño y recto de la gráfica de la función. El tramo infinitesimal de la
curva, corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos
catetos son dx y dy .
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 5 / 35

6. Este triángulo infinitesimal lo llamaremos triángulo característico.
Figura: Triángulo característico
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 6 / 35

7. Notar que la recta pasa por los puntos (x, f (x)) y (x + dx, f (x + dx))
entonces podemos obtener su pendiente:
f (x + dx) − f (x) f (x + dx) − f (x)
=
(x + dx) − x dx
hay que recordar que la derivada en cualquier punto o razón de cambio
instantánea es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en aquel
punto y se denota por f (x) entonces:
f (x + dx) − f (x)
f (x) =
dx
observando que dy = f (x + dx) − f (x) podremos identificar a la derivada
como el cociente de dos diferenciales:
dy
f (x) =
dx
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 7 / 35

8. Regla para operar con diferenciales
Una situación concreta nos ayudará a establecer la regla para operar con
diferenciales.
Sea f : R → R , f (x) = x 3 . Utilizando los conceptos de límites para
encontrar la derivada sabemos que f (x) = 3x 2 .
Ahora busquemos f (x) sabiendo que
dy
f (x) =
dx
así
dy = f (x + dx) − f (x) = (x + dx)3 − x 3
= x 3 + 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 − x 3
= 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 8 / 35

9. pero para obtener la derivada debemos hacer que
dy
= 3x 2
dx
por eso una solución sería que dy = 3x 2 dx, de ahí que en este caso la regla
sería “eliminar de 3x 2 dx + 3x(dx)2 + (dx)3 los términos cuyos diferenciales
tengan un exponente mayor a uno ”.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 9 / 35

10. Al estar trabajando con diferenciales, estamos trabajando con el infinito, es
por eso que se establece la siguiente regla.
Regla para operar con diferenciales
En una expresión que esté formada por la suma
de términos que contienen diferenciales:
“los términos que contienen diferenciales
elevados a una potencia mayor o igual a dos,
se eliminan al sumarse con términos
que contienen un diferencial de potencia uno”
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 10 / 35

11. Ejemplo
Encontrar f (x) donde f : R → R , f (x) = 4x 2 + 3x.
Sabemos que dy = f (x + dx) − f (x) , entonces
dy = [4(x + dx)2 + 3(x + dx)] − [4x 2 + 3x]
= [4(x 2 + 2xdx + (dx)2 ) + 3x + 3dx] − 4x 2 − 3x
= 4x 2 + 8xdx + 4(dx)2 + 3x + 3dx − 4x 2 − 3x
= 8xdx + 4(dx)2 + 3dx
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 11 / 35

12. Aplicando la regla para operar con diferenciales tenemos que
dy = 8xdx + 3dx
luego
dy 8xdx + 3dx
= = 8x + 3
dx dx
por lo tanto
f (x) = 8x + 3
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 12 / 35

13. Cambio acumulado
Sea f : R → R polinomial de la que conocemos f , el valor de f (a) y
buscamos el valor de f (b) donde a < b. Podemos intuir que
f (b) = f (a) + [“lo que acumule” f desde a hasta b]
pero como nuestro interés es el cambio acumulado entonces el problema
real es encontrar el cambio acumulado de f en [a, b] donde conocemos a, b
y f , así que utilizando el análisis anterior obtenemos que
[Cambio acumulado de f en [a,b]] = f (b) − f (a)
Puesto que conocemos f podemos identificar su familia de antiderivadas
F ; calcular los valores de F (b) y F (a); y obtener su diferencia. Así
encontrar el cambio acumulado de f en [a, b].
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 13 / 35

14. Definición (Antiderivada)
Se llama antiderivada de f a cualquier función F cuya derivada F sea igual
a f.
Cada función f tiene una familia de antiderivadas que se representa por
F (x) + K
donde F es una antiderivada en particular y K representa un valor
numérico constante.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 14 / 35

15. El hecho de que existen una infinidad de antiderivadas para f no ocasiona
ningún problema al encontrar el cambio acumulado, ya que en la diferencia
F (b) − F (a) el término constante K se elimina.
Recordando al triángulo característico tenemos que
dy
f (x) =
dx
de ahí
dy = f (x)dx
que es lo mismo que
f (x + dx) − f (x) = f (x)dx
así dy representa el incremento infinitesial.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 15 / 35

16. Para obtener f (b) − f (a) deberemos sumar los incrementos infinitesimales
dy en triángulos característicos consecutivos desde a hasta b.
Figura: Varios triángulos característicos
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 16 / 35

17. La suma de los diferenciales se representa por:
dy → la integral del diferencial dy
b
f (x)dx → la integral desde a hasta b de f (x)dx
a
Por lo tanto, conjugando las dos visiones para el cambio acumulado
tendremos un importante resultado conocido como el teorema fundamental
del cálculo.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 17 / 35

18. Teorema
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
b
r (x)dx = R(a) − R(b) = [R(x)]b
a
a
dondde R(x) es la antiderivada de r (x), esto es, R (x) = r (x)
Este teorema nos muestra que la integral se calcula conociendo una
antiderivada F de la función f y evaluando F (b) − F (a).
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 18 / 35

19. Área bajo la curva
La estrategia que utilizaremos se conoce como “la toma del elemeto
diferencial”, ésta consiste en:
“tomar” un diferencial (una parte infinitamente pequeña) de la función
que se desea calcular.
Reconocer su expresión algebraica a través de consideraciones,
infinitesimales asociadas a los diferenciales.
Aplicar la regla para operar con diferenciales.
“Reconstruir” la función, sumando esas partes infinitamente pequeñas,
que es lo mismo que “integrar” (conseguir la función entera).
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 19 / 35

20. Sea f : R → R polinomial graficada en un plano cartesiano (x, f (x))
Nuestro propósito es (utilizando la estrategia mencionada) encontrar la
fórmula para calcular el área bajo la gráfica de la función y = f (x) de la
región comprendida entre el eje x y las rectas: x = a y x = b.
Figura: Área bajo la curva
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 20 / 35

21. En principio, debemos visualizar la función área A(x) la cual, para cada
valor de x entre a y b, denotará el valor numérico del área bajo la gráfica
de y = f (x), comprendida sobre el eje x y entre la recta x = a y la vertical
levantada en x.
Figura: Representación gráfica de A(x)
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 21 / 35

22. Correspondiente a la porción infinitesimal dx en el eje x, existe una porción
infinitesimal de la región. El área de esa porción, es el diferencial de área
(dA). La parte superior de esa franja corresponde con una porción
infinitesimal de la curva; y por tanto, es recta. De hecho el área de la
porción infinitesimal es el área de un rectángulo más el área del triángulo
característico, esto es
1
dA = f (x)dx + dxdy
2
donde f (x) es la altura del rectángulo; dy es la altura del triángulo
característico; y dx es la base de ambas figuras.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 22 / 35

23. Pero como también sabemos que dy = f (x)dx entonces el diferencial de
área queda expresado como
1 1
dA = f (x)dx + dx(f (x)dx) ⇒ dA = f (x)dx + f (x)dx 2
2 2
y aplicando la “regla para operar con diferenciales” la expresión se convierte
en:
dA = f (x)dx
pues eliminamos el término que contiene el dx con potencia 2, y es así
como hemos identificado el diferencial de área.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 23 / 35

24. Figura: Área de la porcion infinitesimal A(x)
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 24 / 35

25. Retomando el conocimiento sobre el cambio acumulado tenemos:
Área bajo la curva en [a,b] = [Cambio acumulado del área A en [a,b]]
= A(b) − A(a)
= dA
b
= f (x)dx
a
es decir:
b
Área bajo la curva desde a hasta b = f (x)dx
a
Hay que recordar que la antiderivada de f(x) depende de la situación
problema que se esté trabajando.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 25 / 35

26. Ejemplo
Sea: f : R → R, f (x) = x 2 + 3 y A(x) la función del área bajo esta
parábola.
Menciona cuál es la razón de cambio de A(x) con respecto a x.
Calcula el área bajo la curva de f (x) desde x = 1 hasta x = 3.
Grafica.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 26 / 35

27. Sabemos que dA = f (x)dx por el análisis anteriormente hecho, luego
dA
= fx
dx
así A (x) = f (x), es decir, la razón de cambio de A(x) con respecto a x es
precisamente f (x). En particular A (x) = x 2 + 3.
Para calcular el área bajo la gráfica de f (x) utilizamos que
b
Área bajo la curva desde a hasta b = f (x)dx
a
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 27 / 35

28. En nuestro caso:
3 3
2 x3
Área = (x + 3)dx = + 3x
1 3 1
33 13
= + 3(3) − + 3(1)
3 3
44
= unidades cuadradas
3
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 28 / 35

29. Figura: Área bajo f (x) = x 2 + 3
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 29 / 35

30. Área entre dos curvas
Teorema
Dadas dos funciones f : [a, b] → R y g : [a, b] → R tales que ∀ x ∈ [a, b]:
f (x) ≥ g (x), el área limitada por las gráficas de estas funciones está dada
por:
b
A= [f (x) − g (x)] dx
a
Esto es claro, ya que es en cierto modo, obtener el área bajo f (x) y restarle
el área bajo g (x).
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 30 / 35

31. Ejemplo
Sean f : R → R, f (x) = 3 − x y g : R → R, g (x) = x 2 − 9
Encuentra el intervalo en x tal que f (x) ≥ g (x).
Calcula el área limitada por las gráficas en esos puntos.
Grafica.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 31 / 35

32. Si f (x) ≥ g (x) entonces
3 − x ≥ x 2 − 9 ⇔ 0 ≥ x 2 + x − 12
⇔ 0 ≥ (x + 4)(x − 3)
⇔ [x + 4 ≥ 0 ∧ x − 3 ≤ 0] ∨ [x + 4 ≤ 0 ∧ x − 3 ≥ 0]
⇔ [x ≥ −4 ∧ x ≤ 3] ∨ [x ≤ −4 ∧ x ≥ 3]
⇔ [x − 4 ∧ x ≤ 3]
⇔ −4 ≤ x ≤ 3
Por lo tanto x ∈ [−4, 3] ⇒ f (x) ≥ g (x)
Sabiendo esto, ahora podemos calcular el área.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 32 / 35

33. 3
Área = (3 − x) − (x 2 − 9) dx
−4
3 3
x3 x2
= −x 2 − x + 12 dx = − − + 12x
−4 3 2 −4
33 32 (−4)3 (−4)2
= − − + 12(3) − − − + 12(−4)
3 2 3 2
9 64 54 9 64 168
= −9 − + 36 − − 8 − 48 = − − −
2 3 2 2 3 3
45 104 135 208 343
= + = + = unidades cuadradas
2 3 6 6 6
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 33 / 35

34. Figura: Área entre f (x) = 3 − x y g (x) = x 2 − 9
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 34 / 35

35. Referencias
Grandville, W. A. (1991).
Cálculo diferencial e integral.
Limusa, México, D.F.
Salinas, P., Alanaís, J. A., Pulido, R., Santos, F., Escobedo, J. C., and
Garza, J. L. (2008).
Elementos del cálculo (Reconstrucción conceptual para el aprendizaje
y la enseñanza).
Trillas, México, D.F.
Leithod Louis. (1998).
The calculus 7.
Oxford University Press, E.U.A.
JGHR (BUAP) Área bajo la curva 16 de noviembre de 2011 35 / 35