1. Unidad 2

2. Elementos de notación matemática
 Una relación es de gran utilidad en las matemáticas,
es la relación funcional entre X y Y.
 Una función puede ser representada como una
colección de parejas ordenadas de elementos (X,Y).

3. Elementos de notación matemática
 La notación que utilizaremos con mayor frecuencia en
Estadística para representar una cantidad (o
resultado) es X pero, ocasionalmente usaremos Y.
 X y Y se emplean para identificar variables, si
estuviésemos estudiando las variables peso y altura,
utilizaríamos X para peso y Y para altura.
 El símbolo N representa el número de observaciones
que estamos tratando. Si tenemos 10 observaciones,
N = 10

4. Elementos de notación matemática
 Los subíndices se utilizan para identificar un símbolo
con mayor precisión, por tanto cuando tenemos una
serie de observaciones o resultados, podemos
representarlos como X1, X2, X3, X4, etc.,
 También hallaremos la expresión Xi, en el que el sub
índice puede tomar el valor que deseemos.

5. Elementos de notación matemática
 Las notaciones tienen las mismas características que
los verbos en el lenguaje común, el símbolo Σ indica
que debemos sumar todas las cantidades u
observaciones que siguen al símbolo.
 Σ(X1,X2,X3,X4,X5)
 Dice que se deben sumar todas las cantidades desde X1
hasta X5

6. Elementos de notación matemática
Σ

7. Notaciones adverbiales:
 X1+X2+X3+X4+…..XN
 Simbólicamente representamos esta operación de la manera
siguiente:
 N
 Σ(Xi,
 i =1
 Las notaciones anotadas abajo y arriba del símbolo de suma
indican que i tomara sucesivamente los valores de
1,2,3,4,5,..hasta N. Verbalmente, la notación se lee: debemos
sumar todas las cantidades de X empezando en i=1 (que es, X1)
y prosiguiendo hasta i = N, (que es XN) .
 Algunas veces esta forma de notación puede decirnos que
debemos sumar únicamente cantidades seleccionadas así:
 5
 Σ xi = X + X + X +X
, 2 , 3 , 4 5
 i =2

8. Reglas de sumatoria
 El signo de sumatoria es de los más utilizados en estadística:
 Supongamos una muestra en la cual:
 N=3 y x1 =3, X2 =4 y X3=6
 La suma de los tres valores de la variable se indican:
 N
 Σ xi =X1+X2+X3
 i =1
 =3+4+6

9. Reglas de sumatoria
 Sea a una constante. Para demostrar la suma de los valores
de una variable cuando se suma una constante a cada uno:
 N
 Σ (xi +a)= (3+a) + (4+a) + (6+a)
 i =1
=3+4+6+(a+a+a)
=13+3a
 N N
 Σ (xi +a)= Σ X1+,Na
 i =1 i =1
 Generalización: La suma de los valores de una variable más
una constante es igual a la suma de los valores de la variable más
N veces esa constante.

10. Reglas de sumatoria
 Para demostrar la suma de los valores de una variable cuando se resta una
constante de cada uno:
 N
 Σ (xi -a)= (3-a) + (4-a) + (6-a)
 i =1
=3+4+6-(a+a+a)
=13-3a

11. Sucesiones numéricas

12. Sucesiones numéricas:
 Un conjunto de objetos a1, a2, a3,……ordenados de tal forma que se pueda
identificar al primero de ellos a1, al segundo a2, y así sucesivamente es
denominado una sucesión.
 Los elementos de una sucesión pueden ser elementos cualquiera, los más
comunes son números:
 1 3 4 6 9 10
 Forman una sucesión ordenada de izq. a der. Aunque no necesariamente en
magnitud.
 Por ejemplo una baraja se ordenaría así:
 10 j Q K A

13. Notación funcional:
 Los datos obtenidos de una muestra de una población
se consideran una sucesión de observaciones.
 Mediante el uso de la notación funcional es posible
escribir las sucesiones en forma abreviada con
formulas para un elemento típico de la sucesión como
función de su posición.
 Por ejemplo en la sucesión: 3 4 5 6 7 cada elemento de
la sucesión es una unidad mayor que la de su
predecesor.

14.  Se puede escribir la formula para el elemento Y de esta
forma:
 F (y) = y + 2
 Así el primer elemento de la sucesión es el elemento
en la posición y=1
 f(1) = 1+2=3
 El segundo elemento de la sucesión es y=2
 f (2) = 2+2=4 y así sucesivamente…

15.  En la sucesión 1 4 9 16 25
 f (y)= y2

16. Tipos de números

17. Tipos de números
 La mayoría de los números que utilizamos no poseen las
propiedades aritméticas que ordinariamente les
atribuimos.
 Diferenciar los términos “número” y “numeral”. Los
numerales son símbolos como Y, 10, IX.
 Los números son tipos de numerales específicos que
guardan una relación fija con otros numerales. 4 y 5 son
números si y solo si pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse, con resultados significativos.
 Ejemplo de numerales: número de serie de un aparato
casero, c.p., número de teléfono, placa de automóvil,
número de casa.

18. Modos de utilizar los numerales:
 Para nombrar (numerales nominales)
 Para representar la posición de una serie (numerales
ordinales)
 Para representar una cantidad (numerales cardinales)

19. Escalas nominales
Escalas ordinales
Escalas de intervalos y de cocientes
Escalas continuas y discontinuas

20. Tipos de escalas:
 Las cosas que observamos solemos describirlas
frecuentemente como variables o variantes. por ejemplo si
estamos estudiando el precio de cotización de los valores en el mercado de una
ciudad, nuestra variable es el precio.
 Cualquier observación específica se denomina
resultado o valor de la variable.

21. Escalas nominales
 Si estuviéramos estudiando el sexo de la
descendencia de mujeres expuestas al virus del sida,
el sexo seria la variable que observaríamos, caso en
que hay solo dos valores posibles de esta variable:
Masculino o Femenino.
 Nuestros datos se fundamentan en la cantidad de
individuos pertenecientes a cada una de estas dos
clases. Nótese no podemos pensar que esta variable representa
una serie ordenada de valores como peso, estatura, velocidad, etc.
 Un organismo femenino difiere de un organismo
masculino únicamente por la variable sexo.

22. Escalas nominales
 Podemos asignar valores numéricos para representar
las diferentes clases en una escala nominal, pero estos
números no poseen propiedades cuantitativas y
sirven únicamente para identificar las clases.
 Los datos empleados en las escalas nominales constan
generalmente de la frecuencia de los valores o de la
tabulación del número de casos en cada clase según la
variable de que se trate. Las únicas relaciones
matemáticas pertinentes con las escalas nominales
son los signos de igualdad = y desigualdad =.

23. Escalas ordinales
 Variables cuyas clases si representan series
ordenadas de acuerdo con sus relaciones. De
manera que las clases en las escalas ordinales no solo
se diferencian unas de otras (característica que define a
las escalas nominales) sino que mantienen una especie
de relación entre si.

24. Escalas ordinales
 Se expresan en términos algebraicos de desigualdades;
a es menor que B (a<b), o a es mayor que b (a<b). Así
las relaciones encontradas son del tipo siguiente:
 Mayor
 Más rápida
 Más inteligente
 Mas tonto
 Mas popular

25. Escalas de intervalos y de cocientes
o razón
 Escalas que emplean números cardinales
 Los valores numéricos asociados con estas escalas son
efectivamente cuantitativos y permiten el uso de las
operaciones aritméticas fundamentales.
 Hay dos tipos de escalas basadas en los números
cardinales; de intervalo y de razón.
 Se diferencian en que la de intervalo utiliza un 0
arbitrario (la temperatura en grados centígrados) y la
de cocientes un cero real.

26. Escalas continuas y discontinuas
 Cuando la variable puede tomar un número finito de
valores, se denomina escala discontinua o discreta y
su característica básica es la igualdad entre sus
unidades contables. (número de niños por familia) no
utilizamos fracciones, pasamos de uno en uno.
 Las observaciones obtenidas serán siempre exactas.
 Ejemplos: numero de zapatos vendidos en una tienda
en el mes de enero.
 Numero de glóbulos blancos/cm.

27. Escala discontinua o discreta
 Son cardinales porque se pueden realizar operaciones
aritméticas con ellas.
(Podemos decir que una familia de 4 niños tiene el doble
de una familia de 2.)

28. Escalas continuas
 La escala en que la variable puede tomar un número
ilimitado de valores intermedios se llama continua.
 La medida de variables continuas es siempre
aproximada.
 La característica básica de las escalas continuas es la
igualdad de las unidades de medida (cm. Metro),
ejemplos:
 Longitud, velocidad, tiempo, peso, etc.

29. Variables continuas, errores de medición y
“límites verdaderos” de los números.
 Las variables distribuidas en forma continua, pueden
tomar un número infinito de valores intermedios, por
lo que es necesario el redondeo:
 1. Decidir cuántas posiciones decimales habrá de
contener la respuesta.
 2. Decidir cuál será el último número de la serie.

30. Límites verdaderos
 Los límites verdaderos de un valor particular de una
variable continua son iguales a ese número, más o
menos la mitad de la unidad de medida
correspondiente.
 Peso entre 60 y 61 kg,
 si esta a ¾ decimos 61
 Los límites verdaderos serán 60.5 y 61 kg.
 (si la escala está dividida en unidades de 500 gr.)

31. Criterios para el redondeo.
 Al efectuar cada operación, llevaremos la aproximación
hasta tres y redondearemos a dos posiciones más de las
que había en los datos originales.
 Esto es..
 Llevaremos nuestra respuesta hasta el tercer lugar
decimal y aproximaremos posteriormente el segundo
lugar decimal.

32. Redondeo…
El ultimo digito si es mayor que 5 se aumenta el digito al
número superior, si es menor el digito permanece sin
modificación.
6.546 se convierte en 6.55
6.543 se convierte en 6.54
1.967 se convierte en 1.97
1.534 se convierte en 1.53

33. Que pasa si el tercer digito fuera 5..
 Si es 5 + un residuo mínimo se agrega uno al segundo
decimal.
 Si fuese casi, pero no 5 el segundo decimal no cambia
 Si es exactamente 5 sin ningún residuo se aproxima el
digito del segundo lugar al número par mas cercano, si es
par no cambia. Si es impar se agrega uno para volverse par.
6.545001 – 6.55
6.545000 – 6.54
1.9652 – 1.97
0.00500 -0.00
0.01500 – 0.02
16.89501 – 16.90

34. Cocientes, frecuencias, proporciones y
porcentajes
 De todas las estadísticas de uso cotidiano,
probablemente las peores entendidas y empleadas son
aquellas que contienen la representación de razones,
proporciones y porcentajes.
 Puede un congresista decir que
un laboratorio obtiene ganancias
de 300% y el mismo laboratorio
decir que puede comprobar su
ganancia de solo 75% con los mismos datos.

35. Laboratorio vs congresista
 Argumentos del congresista:
 Costo de producción 2.00
 Precio de venta: 8.00
 Cociente de utilidad 8-2=6 entre el costo de producción
será 6:2=3 expresado en porcentaje 300%.
 Argumentos del laboratorio:
 $ de venta: 8.00
 Ganancia: 6.00
 El cociente de ganancia y el $ de venta es 6/8=0.75, es decir
nuestra utilidad es tan solo del 75% del precio de venta.

36. La confusión reside en que se emplearon
diferentes valores:
X = costo de producción
Y = precio de venta
y-x X 100 % de utilidad (base costo de producción)
x
y-x X 100 % de utilidad (base precio de venta)
y

37. Tipos de cocientes estadísticos
 Existen diferentes tipos de cocientes estadísticos:
 Distribución de cocientes
x .
x+y
 Ejemplo: si hay 300 mujeres (x) en una clase con 900
hombres (y), la frecuencia de mujeres es de 300.
300 .
300+900
Expresada decimalmente p=0.25 X 100 es 25% del total.
La proporción de hombres (y) es 0.75 , o sea 75%, la suma de
las proporciones es 1.00 y de los porcentajes 100%

38. Cociente de interclase y de índice.
 El cociente de interclase: se define como el cociente de
una parte en un total a otra parte en el mismo total.
 En consecuencia en la clase de 1,200 estudiantes el cociente de alumnas
en relación con los alumnos es de 1:3 y de hombres es de 3:1
 El cociente de tiempo (índice) relativo es una medida
que expresa el cambio en una serie de valores
ordenados en secuencia temporal, y que se muestra
típicamente como porcentaje.
 Hay dos principales cocientes de tiempo los que utilizan un periodo de
base fija y un periodo de base móvil.

39. Año Total de doctorados Cocientes de tiempo
conferidos Base fija Base móvil
(1954) Año anterior
1954 8996 100.00 100.00
1955 8840 98.26 98.26
1956 8815 97.98 99.72
1957 8756 97.33 99.33
1958 8942 99.40 102.12
1959 9360 104.05 104.67
1960 9829 109.26 105.01
1961 10,575 117.55 107.59
1962 11,622 129.19 109.90
1963 12,822 142.53 110.33
1964 14,490 161.07 113.01
1965 16,467 183.05 113.64

40. Resolver actividad de la unidad y
subirla a la plataforma
 Suerte…..