Ecuaciones y desigualdades

- Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez

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1-


Competencia.

Utiliza modelos matemáticos, relaciones y ecuaciones en la representación y
comunicación de resultados.

Indicadores de logro.

1. Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primero y de segundo grado en la solución
de situaciones reales.

CONTENIDOS

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Ecuaciones: definición, tipos de Escritura, identificación y Valoración y reconocimiento
ecuaciones, ecuaciones de resoluciones de ecuaciones de del valor de la igualdad para
primer grado con una y dos primer con una y dos aplicarlo a su contexto.
incógnitas. incógnitas.

Ecuaciones de segundo. Resolución de ecuaciones de Utilización del valor de la
segundo grado por formula creatividad para el uso de
general, factorización y variables.
completación de cuadrados.

Desigualdades Formulación y resolución de Practica equitativa de la
desigualdades. formulación y resolución como
ejemplo de aplicación a su vida
social.

2-


ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que
aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante
operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y
también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las
incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

Por ejemplo, en la ecuación:

La variable “ X” representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son
constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los
valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una
igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga.
Para el caso dado, la solución es: x=5

Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones pueden clasificarse desde diferentes puntos de vista como señalamos a
continuación.

Por la parte literal.

Se clasifican en:

a. Numérica. Es una ecuación en la que solo aparecen las letras de las incógnitas

Ejemplo 1. La ecuación 2t + 8 = 9t - 6 es numérica pues la única letra que aparece es la t que es la
variable.

b. Literal. Es una ecuación en la que además de las variables aparecen otras letras que representan
cantidades conocidas.

Ejemplo 2. La ecuación 9y – 2c = 2a + 5y es literal porque aparte de la variable y tenemos otras
letras que representan cantidades conocidas.

Por la forma de presentación de las variables.
Se clasifican en:

a. Entera. Es aquella en la que ninguno de sus términos tiene denominador

Ejemplo 3. La ecuación 2z – 3 = 20 es una ecuación entera.

3-


b. Fraccionaria. Es aquella en la cual algunos de sus términos tienen denominador.

c. Racional. Es aquella en la que las incógnitas no tienen raíces cuadradas ni cubicas.

d. Irracional. Si las incógnitas aparecen en dentro de algunas de estas raíces

Por el término de mayor grado.
Se clasifican en:

a. Lineales. Cuando el mayor exponente de la variable o variables es 1. Además se les llama así
porque al graficar la ecuación se obtiene una línea recta

Ejemplo 4. La ecuación 2t – 7 = 5t + 3 es lineal con una sola variable: t

Ejemplo 5. La ecuación 8x – 5y = 8 es lineal en dos incógnitas: x, y

b. Cuadráticas. Cuando el mayor exponente de la variable es 2. Al graficarla se obtiene una figura
que se llama parábola.

Ejemplo 6.

La ecuación z2 – 5z – 3 = 0 es cuadrática porque el mayor exponente de la variable z es 2.

c. Cúbicas. Cuando el mayor exponente de la variable es 3.

Ejemplo 7. La ecuación 5r3 – 4r + 8 = 5 es de grado 3 o cúbica.

Para ecuaciones de grado 4, 5 y 6, etc, se nombra solo diciendo el grado.

Por el número de incógnitas.
a. Ecuaciones de una sola variable: cuando solo interviene una cantidad desconocida.

Ejemplo 8. La ecuación 3x2 +2 = 0 es de una variable: x

Ejemplo 9. La ecuación 0.2t – 8 = 0.25 es de una variable.

Cabe resaltar que aunque son ecuaciones de una sola incógnita, el grado es diferente, pues en el
ejemplo 8 el grado es 2 y en el ejemplo 9 es 1.

b. Ecuaciones de dos o más variables: cuando intervienen dos cantidades desconocidas. Si hay
igual número de ecuaciones que de variables, entonces se llama n ecuaciones con n variables.

4-


b. 1 Ecuación lineal de dos variables.

Ejemplo 10. La expresión 2x – 3y + 4 = 0 es una ecuación de dos variables x e y

Ejemplo 11. La expresión -7 5 x – 13y = 8

2 17x + 0.23y = 14

b.2 Sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables

Ejemplo 12. La expresión 2x – 4y – 5z = 12

9x + 2y – 3z = 23

5x + 8y – 7z = 18

b.3Sistema de dos ecuaciones cuadráticas en dos variables

Podemos combinar estas diferentes notaciones para ecuaciones y ver lo que resulta como se
evidencia en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 13. La ecuación ax2 + dx + e = 0 es cuadrática literal.

Ejemplo 14. La expresión x2 – 2y2 = 20

9x2 + 5y2 = 12

Ejemplo 15. La expresión 2x2 – 3 x + 10 = 2 se llama ecuación fraccionaria cuadrática.

Ecuaciones de Primer Grado o Linea les

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o
variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas
cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben
seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que
contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

5-


4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la
incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador
inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para
llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es
+3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo
pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo
de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ejercicio 8: Resuelve los siguientes ejercicios:

a.

b.

c.

d.

e.

6-


f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

n.

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 3
a. 2x - (3x - ) = x + 1 ; SOLUCIÓN.- x = 1
3 2

3x  3 3x  2 1 x  3
  
b. 4 2 6 12 ; SOLUCIÓN.- x = 16
9

c. 4·(x – 3) – 7·(x – 4) = 6 – x ; SOLUCIÓN.- x = 5

d. 3·(x + 7) – 6 = 2·(x + 8) ; SOLUCIÓN.- x = 1

7-


x6 4x  1
2 3
e. 3 5 ; SOLUCIÓN.- x =
7
5 1
f. 4(2x-1)+15=6-2(x-5) ; SOLUCIÓN.- x = =
10 2

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Métodos de resolución

 Método de sustitución

Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes 1 ó -1.

1. Despejamos la “ y “ de la primera ecuación:

2. Sustituimos en la otra ecuación:

3. Resolvemos la ecuación resultante:

Para averiguar el valor de sustituimos el valor de en la expresión obtenida el el
paso 1

 Método de igualación

1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones

2. Igualamos las dos expresiones anteriores

8-


=

3. Resolvemos la ecuación resultante

4. Para calcular el valor de x sustituimos en cualquiera de las expresiones
obtenidas en el paso 1

 Método de reducción
Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por
otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a
las ecuaciones originales del sistema.

El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema.

Vamos a eliminar la “X” . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por
2:

Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda

Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la
primera nos queda

9-


Ejercicio 9: Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
con los métodos de reducción, igualación y sustitución.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

10-


RECUERDA
LA IGUALDAD
Cualidad de dos cosas o personas iguales, que tienen las mismas características
en cuanto a su naturaleza, cantidad, forma o cualidad. Uniformidad o constancia
que hay en una cosa que se mantiene invariable.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

U na ecu a c i ó n d e s egu n d o gr a do es t o da ex p r es i ó n d e la f or ma :

a x 2 + b x + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Solución por formula general
P ar a r es o l v er ecu a ci o n es d e s egu n d o gr a d o u t il iza mos la s igu i ent e f ór mu la :

11-


S i es a < 0 , mu lt ip li ca mos l os d os mi emb r os p or ( − 1 ) .

Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es
cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo
en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

12-


Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que
sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3

Si
x+4=0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x2 + 5x − 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de

13-


La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego
resolver en términos de x:

Ahora, si
x=0
o si
x− 4 = 0
x=4

Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado
geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas
que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b)2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x2 + 8x = 48,
que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la
suma de un binomio del tipo
(ax + b)2
Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
ax2 + 2axb + b2
En nuestro ejemplo
x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número
debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma
de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 =
16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x2 + 8x + 16 = 48 + 16

14-


x2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda
x+4=8
Entonces
x=8–4

x=4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró
obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Ejemplo 2:
Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

Hacemos
x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una
expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del
segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

15-


Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25

Factorizamos, y queda
(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así
la ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada

, y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = −5

(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5
Entonces
x=5−3
x=2

“y”

x=−5−3
x=−8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

16-


EJERCICIOS 10: Realizar las siguientes ecuaciones por factorización, formula general
y completación de cuadrado.

Ecuación Solución
x  6 x  9  16
2
x1  7 ; x2  1
2
x + 12x + 35 = 0 x1  7 ; x2  5
x  6x  5  0
2
x1  5 ; x2  1
2x  7 x  6  0
2
x1  2 ; x2 
3
2
x 2  3x  5  2 x  9 x1  7 ; x2  2
6 x2  5  x  1  x  x  1  4 1
x1  1 ; x2 
5
x 4x 1 4 1
2 x2   x2   x1  ; x2  
4 5 5 5 4
2 x  2 x 2  x 3x  7 x1  1 ; x2 
1
 
3 5 10 6

SEGUNDA PARTE DE EJERCICIO-

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a. 4x2 – 2(x2 + 2x – 1) = 0 ; SOLUCIÓN.- x = 1 raíz doble

b. (x + 1)2 – (x – 1)2 = –12 ; SOLUCIÓN.- x = – 3 (en realidad ecuación grado 1)

c. 2x+5 – x·(x+8)=5(x+1) ; SOLUCIONES.- x = 0 ; x = – 5

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado indicando en cada caso el
número de soluciones de las mismas:
5 5
a. 23 = 9x2 – 2 ; SOLUCIONES.- x = ;x=– (2 Soluciones)
3 3
b. x2 – 7x – 18 = 0 ; SOLUCIONES.- x = 9 ; x = – 2 (2 Soluciones)
8 1
c. 3x2 – 8x – 3 = 0 ; SOLUCIONES.- x = ;x=– (2 Soluciones)
3 3
d. x2 + 11x = 0 ; SOLUCIONES.- x = 0 ; x = – 11 (2 Soluciones)

e. x 2 + 2x = – 1 ; SOLUCIONES.- x = – 1 (1 solución)

3.- Se quiere vallar una finca rectangular de 3000 metros cuadrados para guardar el
ganado. Si se han utilizado 220 metros de cerca, ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

17-


 x·y  3000
SOLUCIÓN.- Planteamiento  -- x· (110 – x ) = 3000 - ancho 50
2 x  2 y  220
metros
Alto 60 metros

4.- Halla cinco números enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los
dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres.

SOLUCIÓN.- Planteamiento (x +4) 2 + (x + 3) 2 = (x + 2) 2 + (x + 1) 2 + x 2

2 posibles soluciones. 10 , 11 , 12, 13 y 14

–2,–1,0,1y2

RECUERDA
Creatividad
La creatividad, pensamiento original, imaginación constructiva, pensamiento
divergente o pensamiento creativo, es la generación de nuevas ideas o conceptos,
o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que habitualmente
producen soluciones originales.

18-


DESIGUALDADES

Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de
desigualdad son:
no es igual
< menor que
> mayor que
menor o igual que
mayor o igual que

Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:

x+3<7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ej. 3 < 4, 4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las
desigualdades. Por ejemplo:
1<6
1+5<6+5

¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.

Otro ejemplo:

2<6

2 + -9 < 6 + -9

Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.

Otro ejemplo con resta:
7>4

7-3>4–3

La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.

Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la
desigualdad:

2<8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto
2+3<8+3

19-


5 < 11

La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.

Multiplicación con números positivos:
3<7
3*6<7*6

La desigualdad es cierta al multiplicar unos números positivos en ambos lados.

Multiplicación con números negativos:

4>1
4 · -2 > 1 · -2
-8 > -2 Falso

Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se
multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:

-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.

División con positivos:

3<9
3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
1<3
La desigualdad es cierta.

División con negativos:

4 < 12

4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2

-2 < -6 falso
Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2

La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.

-2 > -6

Ahora la desigualdad es cierta.

20-


En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número
negativo.

Ejemplos:

Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.

Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5

x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3 < 6 [ Simplificar]
8<6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.

Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11

11 - 3 8

8 8

¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluir
que x = 11 es una solución.

Ejemplo 3:
x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x<3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números
menores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta
inecuación es un conjunto infinito.

Ejemplo 4:
x-9 8
x 9+8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la solución.

Ejemplo 5:
3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
x<4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.

Ejemplo 6:
-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2.
x 3

21-


Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.

Ejemplo 7:
3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x 1 + 4 Resolver.
x 5

Ejemplo 8:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x/-2 -18/-2
x 9

Resolviendo Desigualdades

Ejemplo: Resolver x - 3 > 2
x-3+3>2+3
x+0>5
x>5

Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x+0>5
x>5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y las
propiedades de la desigualdades.

Ejemplo:
2x - 4 3x + 1
2x - 4 + 4 3x + 1+ 4
2x - 3x + 0 3x - 3x + 5
-x 0 + 5
x -5

Ejemplo:
Resolver -2x -34.
-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2 de se invierte a .
x 17

22-


EJERCICIO 11: Resuelve las siguientes inecuaciones.

3x  1 x  1
1.   2x  1
2 3
x 1
2. 4 x  9  2 3x  5 1
3
x  9 5 x  13 4 x
3.   10
5 15 3
2x  5 4x  1 5x
4.  
9 6 18

3  5 x 1  8 x 23  10 x
5.   0
3 4 12

6. 3x  12  5x2  2x  2 x  12

7. 2  x 5  6

8.  3  2x  6  5

9.  2 x  4  5x  8

10. x  3 x  2  0

11. x  6 x2  1 0

12. 2 x  1 3x  5  0

13. x2  4  0

14. x 2  3x  10  0

23-


15.  6 x  x  1  0
2

3x  1
16. 0
2x  5

2x
17. 0
x 1
2

4
18. 0
x  9 x  18
2

2x
19. 1
x 1
2

5  2x
20. 1
3x  9

x2  1 1
21. 
5x 2

x5
22. 5  x
x

23. x 3x  1 x  2  0

24. x3  6 x 2  11x  6  0

25. x 4  5x 2  4  0

24-


RECUERDA
EMPATIA
Es la capacidad que tiene el ser humano para conectarse a otra persona y
responder adecuadamente a las necesidades del otro, a compartir sus
sentimientos, e ideas de tal manera que logra que el otro se sienta muy bien con
él.

Evaluación

Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
instrumentos.
 Declarativos: prueba objetiva y rúbrica.
 Procedimentales: lista de cotejo.
 Actitudinales: escala de rango.

25-


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26-


Competencia.

Identifica estrategias variadas al resolver problemas matematizados cuyos
resultados verifica.

Indicadores de logro.
1. Opera en el Sistema de Numeración Maya.

CONTENIDOS

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Numeración maya: definición, Escritura y lectura de números Valoración y respeto por la
sistema numérico de puntos y mayas. cultura maya.
rayas.

El cero, numeración Utilización del cero y escritura Uso del valor de la identidad al
astronómica y comercial. de numeración astronómica y identificar la riqueza de la
comercial maya. cultura Maya.

Calendario lunar, escritura de Ejercicios de escritura de Hacer uso del valor de la
números mayores al 19 números mayores al 19 creatividad ante la escritura de
la numeración Maya.

Operaciones de suma y resta de Procedimiento y resolución de Practica del valor de la
números mayas. sumas y restas de números constancia ante la resolución de
mayas. problemas con números Mayas.

Numeración maya
Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para
hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años,
y con la manera en que organizaban el calendario.

Los mayas tenían tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como
del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes de
cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.3

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El sistema numérico de puntos y rayas

En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada
nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el
siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se
tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto
nivel se tienen los grupos de 20×20×20.

Numeración maya.

Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol
(algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0.

El sistema de numeración maya, aún siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se
representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal,
a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas,
y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor
que se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeración es
aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite
más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece
más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual
o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.

El Cero

Símbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América.

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La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su
numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en
el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es
representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral
o una cara cubierta por una mano.7

Por ejemplo, para saber qué número es éste hay que obtener el valor de los símbolos. El cero indica
que no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea,
40. El número del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lo
tanto, el número es 2880+40+0= 2920. Es más fácil leer un número cuando se representa con
puntos, rayas y conchas, porque es una representación sencilla que no deja lugar a dudas del valor
de cada símbolo, de acuerdo con la posición en la que se escribe. En las representaciones
antropomorfas, es más complejo entender el número escrito.

Numeración astronómica

El año lo consideraban dividido en 18 unidades; cada una constaba de 20 días. Se añadían algunos
festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer
orden del sistema numérico. Además de este calendario solar usaron otro de carácter religioso en el
que cada año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema, éste se hace poco
práctico para el cálculo. Y, aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables,
los mayas no desarrollaron una matemática astronómica más allá del calendario. Fue así como ellos
empezaron a crear su simbolización a esto se le llama sistema de numeración maya.

Numeración comercial

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero
con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden se hace imprescindible. Los mayas lo
usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los babilonios, lo
usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a la
vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica, y para expresar los números
correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así,
la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360, para completar una
cifra muy próxima a la duración de un año. Su numeración limita en el número 50. Este es una
variante del sistema convencional maya.

Calendario lunar o Tzolkin

Debido al sistema vigesimal de numeración, el calendario estaba compuesto por múltiplos de 20. El
Tzolkin o calendario sagrado, tenía 260 días, mientras que el Haab o calendario solar, 360 más 5
días nefastos que no se incluían en él.

El tzolkin resultaba de la combinación de 20 nombres de los días con el número 13.
Esquemáticamente se puede representar por medio de dos ruedas dentadas; en una se encuentran los
números 1 a 13 y en la otra los nombres de los días. La primera gira hacia la derecha; la segunda lo
hace hacia la izquierda.

Los nombres de los días eran por orden: imix (lagarto), ik' (viento), ak'bal (noche, oscuridad), kan
(maíz, lagartija), chicchán (serpiente celestial), kimí (muerte), manik (venado), lamat (conejo,
venus), muluc (jade, lluvia), ok (perro, pie), chuwen (artesano, mono), eb (rocío, diente), ben (caña

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de maíz), ix (jaguar), men (águila), kib (cera, vela, tecolote), kabán (tierra, temblor), ets'nab
(pedernal), kawak (tormenta) y ahaw (señor).

Para que se repita el 1 Imix, fecha inicial del calendario, debían transcurrir 260 días.

LA ESCRITURA DENÚMEROS MAYORES A 19

En los sistemas numéricos maya y decimal existe el "principio de posición" en el cual cada símbolo
numérico adquiere un valor determinado dependiendo de su posición en el numeral. Por ejemplo, en
el sistema decimal el símbolo 5 implica cinco unidades pero si se le agrega un cero a la derecha, 50,
entonces significa cincuenta unidades.

A continuación se explica el mismo principio en el sistema maya. En la cuadrícula de la Fig. 1 se
indica: el número de cada renglón; las potencias de veinte correspondientes a cada renglón (que son
el número de veces que 20 se multiplica por sí mismo); el valor de esas potencias en sistema
decimal y el número maya indicativo de una unidad en cada posición.

El renglón indicado con el número 0, corresponde a 20º y tiene un valor decimal de 1; si se
multiplica este valor por el número de veces indicado por el número maya entonces el valor
decimal es 1 x 1 = 1. El renglón número 1 indica 201 = 20, que multiplicado por da un valor
decimal de 20 x 1 = 20, y así sucesivamente. De este modo el valor de cada unidad maya depende
de la posición en la que se encuentre ubicada dentro de la cuadrícula.

Figura 1. Valor de la unidad maya dependiendo de su posición en la cuadrícula.

Número de renglón Potencias de veinte Número maya Valor decimal
6 206 = 64 000 000 1 x 64 000 000

5 205 = 3 200 000 1 x 3 200 000

4 204 = 160 000 1 x 160 000

3 203 = 8 000 1 x 8 000

2 202 = 400 1 x 400

1 201 = 20 1 x 20

0 20 0 = 1 1x1

Como en la numeración actual, los números mayas se pueden escribir vertical u horizontalmente.
Para transcribir cualquier número decimal al sistema numérico maya se presentan dos métodos,
utilizando como ejemplo a 117 206:

a) En el primer método se procede de arriba hacia abajo:

Se ubica el número a transcribir entre los valores decimales de las potencias de veinte adecuadas.

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Fig. 1. En este caso 117 206 es mayor que 8 000 (tercer renglón, 203) y menor que 160 000 (cuarto
renglón, 204), por lo que el número a transcribir se puede expresar como “las veces” que 8 000 =
203 cabe entero en el número del ejemplo, 117 206.

Se divide 117 206 entre 8 000: 117 206 / 8 000 = 14.65075,
Se coloca el número maya 14 , , en la casilla correspondiente a

203 = 8 000, lo cual equivale a escribir 14 veces 8 000 = 112 000.

La diferencia entre el valor exacto de la potencia de 20 obtenida y el número que se está
transcribiendo al sistema maya es: 117 206 - 112 000 = 5 206.

Se divide 5 206 entre el siguiente valor inferior de potencia,
202 = 400, quedando 5 206/400 = 13.015, el entero se coloca en la casilla de 202 = 400, lo
que equivale a 13 veces 400 = 5 200
Se resta 5 206 - 5 200 = 6. Al dividir este número entre 20 no se obtienen valores enteros por lo que
se coloca en la casilla correspondiente a 201 y el 6, , en la casilla de 200 = 1, con lo que se
termina de escribir el número 117 206.

b) En el segundo método se procede de abajo hacia arriba.

Se divide 117 206 entre 20:

el 6 del residuo se coloca en la posición 200 , .

El cociente 5 860 se divide entre 20:

El residuo, cero , se coloca en la casilla 201= 20.

El cociente de la división b), 293, se divide entre 20

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En la casilla 202 = 400 se coloca el residuo 13,

el cociente de 14, se divide entre 20,

Por último, en la casilla 203 = 8 000 se coloca el residuo 14, los resultados de ambos métodos se
presentan en la cuadrícula maya:

Potencia Valor decimal Numeral maya
203 = 8 000 14 x 8 000 = 112 000

202 = 400 13 x 400 = 5 200

201 = 20 0 x 20 = 0

200 = 1 6x1=6

TOTAL 117 206

OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE LOS MAYAS

El tercer aspecto del sistema numérico maya es la utilización de una cuadrícula matemática para
efectuar cualquier operación, tanto en el sistema vigesimal como en cualquier sistema con otras
bases. Lamentablemente existen pocos vestigios de estas cuadrículas debido principalmente a su
realización con materiales degradables y, tal vez, al no tener la necesidad de guardar la huella de
estas operaciones.

1. LA SUMA.

Para sumar, por ejemplo, 11 + 3, se coloca el primer sumando en la primera columna y el segundo
en la siguiente. En la tercera columna se indican las sumas de los puntos y las rayas

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11 +3 = 14

La suma de números mayores sigue la misma lógica con ciertas reglas:
Se comienza a sumar del escalón de abajo hacia arriba.

Cada 5 puntos se transforman en una línea.

Cada cuatro líneas, o sea una veintena, se convierten en un punto del escalón de arriba.
Durante todo este artículo se muestra un paso intermedio, producto de la operación matemática que
se esté efectuando, que llamaremos columna de trabajo, CT.

En la siguiente columna están los números escritos siguiendo las reglas de escritura maya. Se desea
sumar 526 + 3 470 + 9 837 = 13 833, se representan en la cuadrícula maya:

526 + 3 470 + 9 837 CT
3
20 = 8 000
8 000 x 1 = 8 000

202 = 400
400 x 14 = 5 600

201 = 20
= + = 20 x 11 = 220

200 = 1
1 x 13 = 13
+

Suma 13 833

La lógica de este sistema numérico permite realizar operaciones en sistemas basados en otros
números, la diferencia estriba en que en vez de que cada renglón de la cuadrícula corresponda a un
valor diferente de potencia de 20, corresponderá a una potencia del número seleccionado como
base.

2. LA RESTA

Para efectuar esta operación, en la primera columna de una cuadrícula se coloca el minuendo y en la
segunda el sustraendo; se realizan los pasos contrarios a la suma, es decir, se restan puntos de los
puntos y rayas de las rayas. Si, en el sistema vigesimal, se tiene menor cantidad de puntos en el
minuendo que en el sustraendo, una raya se transforma en 5 puntos y si aún no es suficiente un
punto de la casilla superior se transforma en 4 cuatro rayas al descender a la casilla de interés.
Se desea restar 5 520 de 8 642, indicados en la cuadrícula maya. Se efectuarán las operaciones
únicamente en sistema vigesimal ya que se sigue la misma metodología para los otros sistemas, con
las particularidades mencionadas en cada uno.

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8 642 - 5 520 = 8 642 - 5 520 Resta
203 = 8 000

202 = 400 400 x 7 = 2 800

201 = 20 = - = 20 x 16 = 320

200 = 1 1x2=2

Resta 3 122

Ejercicio 12: Resuelva los siguientes problemas

I. Cambie de la base decimal a base de sistema maya cada uno de los siguientes
números.
a. 45
b. 385
c. 57813
d. 4254
e. 563889
f. 12235
g. 2
II. Cada número dado en el sistema de base 20, expréselo en el sistema decimal.

a. 23
b. 45
c. 456
d. 123
e. 1427
f. 1000000
g. 45878
h. 45664
i. 12

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III. Realice las operaciones indicadas con los siguientes números utilizando los
reticulados o cuadrículas que mostramos en los ejemplos (las cantidades están dadas
en el sistema de numeración maya).

a. 42 más 63
b. 12 más 23
c. 458 menos 365
d. 16; 4; 4 menos 4; 12; 4;
e. Multiplicar 70 por 2; por 3; por 5; por 10. (Siga el proceso que aplicamos en
ejemplo)
f. Multiplicar 35 por 20 (Aplique el algoritmo propuesto)
g. Dividir 12 entre 2
h. Dividir 456 entre 10

IV. Efectúe las operaciones que se indican y escriba el resultado en el sistema decimal

a) b)

Más

c) d)

Más

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e) f)

Más
Menos

RECUERDA
IDENTIDAD
Es el conjunto de valores, orgullos, tradiciones, símbolos, creencias y
modos de comportamiento que funcionan como elementos dentro de
un grupo social y que actúan para que los individuos que lo forman
puedan fundamentar su sentimiento de pertenencia que hacen parte a
la diversidad al interior de las mismas en respuesta a los intereses,
códigos, normas y rituales que comparten dichos grupos dentro de la
cultura dominante.

36-


Evaluación

Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
instrumentos.
 Declarativos: Prueba objetiva.
 Procedimentales: lista de cotejo.
 Actitudinales: escala de rango.

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Ecuaciones y desigualdades

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