MII. ING. EDGAR JAVIER SILVA
Forma de calificar:


   Examen. 70%
   Practicas, tareas, avance proyecto final 30%

                            Para p...
Bibliografía


Probabilidad y Estadística Douglas C. Montgomery Mc Graw Hill

Probabilidad y Estadística para Ingeniería y...
Haber aprobado, necesariamente las materias de :
 Calculo Integral
 Calculo diferencial
 Probabilidad.
 Distribuciones  de probabilidad de una variable
  aleatoria continua.
 Media y varianza de una variable aleatoria
  con...
   Distinguir entre las variables aleatorias
    continuas y discretas y sus respectivas
    distribuciones de probabilid...
   ¿Qué es una distribución probabilística?

             0.7
             0.6                      blanco
             0...
   Son aquellas en las que la variable puede
    pude tomar un número determinado de
    valores:
   Ejemplo: si se lanz...
   Son aquellas que presentan un número
    infinito de posibles soluciones:
   Ejemplo: El peso medio de los alumnos de...
   La distribución de probabilidad de este tipo
    de distribución sigue el siguiente modelo:
   ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras
    al lanzar una moneda 10 veces?


   quot; k quot; es el número de aci...
   quot; k quot; es el número de aciertos. En este
    ejemplo quot; k quot; igual a 6 (en cada acierto
    decíamos que ...
   Solución:
   ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro
    veces el número 3 al lanzar un dado ocho
    veces?
   Solución
   n=...
   quot; k quot; (número de aciertos) toma el valor 4
   quot; nquot; toma el valor 8
   quot; p quot; (probabilidad de...
   Las distribución de Poisson parte de la
    distribución binomial:
   Cuando en una distribución binomial se
    real...
   La distribución de Poisson sigue el siguiente
    modelo.
   Percentil: por ejemplo, si su calificación en un curso de
    ingeniería industrial estuvo en el 84° percentil, entonc...
   La función de densidad normal (o gausiana) fue propuesta
    por C. F. Gauss (1777-1855) como modelo             para ...
   Esta distribución es frecuentemente utilizada en las
    aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica
    su ext...
La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con
              media  = 0 y desviación típica  = 1


 Una regla emp...
   Caracteres          morfológicos      de        individuos
    (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm...
Distribución de edades

             19   20   23       24        25        26        27        28     29        30
      ...
   En un salón de clases la media del grupo es de 29
    años y su desviación estándar es de 4 años ¿Cuál
    es la proba...
   Primero entender que la distribución normal se
    asemeja a la distribución de las edades.
   Para esto hay que conv...
X = valor dado a convertir
Z=(X-µ) /σ        µ = media
                  σ = desviación estándar

             14
        ...
   En un salón de clases la media del grupo es de 29
    años y su desviación estándar es de 4 años ¿Cuál
    es la proba...
29
   Después de cometido un delito la media en horas
    de encontrar al responsable del delito es de 45 hrs.
    Con un de...
45
   El tiempo promedio que emplea un empleado para
    atender una demanda es de 42 minutos, suponga
    que la desviación...
   Suponga que “y” es una variable aleatoria de
    distribución normal con media de 10 y
    desviación estándar de 2.1
...
   Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida
    normalmente con una media de 7,000 horas y una desvia...
   Calcule el intervalo intercuartilico IQR y la desviación
    estándar, s, para la muestra, y luego calcule el cociente...
   Variable aleatoria discreta
   Variable aleatoria continuo
   Muchas variables aleatorias que se observan en la
    vida real no son variables aleatorias discretas
    porque la ca...
   La función de densidad para una variable aleatoria
    continua “y” , que modela alguna población de
    datos de la v...
f(y) ≥ 0



    f ( y ) dy  F (  )  1



                     b

P (a  y  b)          f ( y ) dy   Donde a y b ...
   Ejemplo 1:
   Sea c una constante y consideremos la función de densidad.

                cy _ si _ 0  y  1       ...
                                                 1
                                              2
                      ...
   Ejemplo2: Obtenga la función de distribución
    acumulativa para la variable aleatoria y. Después,
    calcule F(0.2)...
y                   y

F ( y)           f ( t ) dt     2 tdt    y
                                                  2...
  Ejercicios 1:
1.- Sea c una constante y consideremos la función de densidad


              cy 2 _ si _ 0  y  2     ...
   Ejercicio2
   Sea c una constante y consideremos la función de densidad

          c ( 2  y ) _ si _ 0  y  1     ...
   Ejercicio3
   Sea c una constante y consideremos la función de densidad

          ce  y _ si _ y  0              ...
   En estudios anteriores se inicio el estudio de las pruebas de
    hipótesis. Se utilizo la distribución normal estánda...
   Esta distribución tiene la característica de que puede ser
    usada en aquellos casos en los que el tamaño de muestra...
   Para estos proyectos de investigación , la distribución z no es
    el estadístico de prueba adecuado. La t de Student...
La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones
t. La apariencia general de la distribución t es similar ...
Probabilidad de una sola cola.
                        Valores t de Student y probabilidad P asociada
                    ...
1.   Como la distribución z, es una distribución continua.
2.   Como la distribución z, es de forma de campana y
     simé...
   La experiencia en la investigación de demandas por accidente en una
    institución aseguradora revela que en promedio...
   Paso 1: plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. .
    hipótesis nula, Ho, es que la media poblacional e...
   Paso 2: Seleccionar el nivel de significación: se usará un nivel 0.01
   Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueb...
Zona de
                                   aceptación

   Zona de rechazo




                     -2.485


Paso 5: Calcul...
   Un fabricante de motocicletas, anuncia que su vehículo
    rendirá en promedio 87 millas por galón en viajes largos. L...
Ho: μ=87
H1: μ<87

Calcular t y tomar una decisión
Media muestral=
Media poblacional hipotética=87
Desviación estándar de ...
   Se han propuesto dos procedimientos para armar un
    componente pequeño. La pregunta es : ¿qué método es más
    efic...
   La hipótesis nula plantea que no hay diferencia en el tiempo
    medio de armado entre los procedimientos n°1 y n°2
 ...
Procedimiento 1               Procedimiento2
                    Tiempos                      Tiempos
                    ...
t= -0.662 minutos




-1.833                1.833
   Muchas variables aleatorias, como la duración de la vida útil
    de una computadora, sólo pueden asumir valores no
  ...
La función de densidad de probabilidad para
   una variable aleatoria tipo gamma está dada
   por:


           y  1 e ...
Ejercicio para laboratorio

Dibujar la función de distribución Gamma, para para
valores enteros de α
Considera los valores...
Aplicación 1 (distribución Gamma)


Investigadores han descubierto que el nivel creciente máximo (en
millones de pies cúbi...
La media y la varianza de una variable aleatoria tipo
gamma son, respectivamente:

μ=αβ =3(0.07)= 0.21

σ2 =αβ2 =3(0.07)2 ...
   Por experiencia anterior, un fabricante sabe que la
    distribución de frecuencia relativa del tiempo (en meses) que
...
   μ =αβ = (2)(4)

   σ2 =αβ2 =(2)(4)2 =32
   σ=5.7
   Puesto que y =15 meses queda un poco más de una
    desviación ...
   Una variable aleatoria tipo gamma que desempeña un papel
    importante en estadística es la variable aleatoria ji cua...
Aplicaciones:

   Ji cuadrada como prueba de independencia.
   Ji cuadrada como prueba de la bondad de ajuste:
    prueb...
   Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad, para
    establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un ...

                                                                 “y” es el tiempo
                 y
                ...
Tarea.

Dibujar en Excel

1.- La función de densidad Gamma
2.- La función de densidad Weibull
3.- La función de densidad B...
   La duración (en horas) de una broca de taladro que se emplea en
    una operación de fabricación tiene una distribució...

               y0                   y0                      y
                                                 1    ...
Aplicación 2 (Weibull)


Un fabricante de lavadoras garantiza sus productos contra cualquier defecto durante el
primer año...
Por hipótesis, la función de densidad de probabilidad de X es:
La probabilidad de que la primera avería ocurra durante el
...
Para el problema anterior, calcule la vida media de las
brocas para el taladro y la varianza de la distribución del
tiempo...
Capsula cultural
   Anteriormente dijimos que la función de densidad gamma
    proporciona un modelo para la distribución de frecuencia
  ...
1
                                  1                1               
      B ( ,  )    
                 ...
Aplicación 1 (Distribución de probabilidad Beta)

Los sensores de infrarrojo de un sistema robótico computarizado envían
i...
Aplica esta formula e intégrala de 0.30 a 1



                y  1 (1  y )  1 
      f ( y)                     ...
Aplicación 2 (Distribución de probabilidad beta)


Se determino que datos recabados a lo largo del tiempo sobre el
aprovec...
p        1               1
               y          (1  y )
F ( p)             B ( ,  )
                        ...
Cuadro comparativo de distribuciones de probabilidad, te
  ayudará, a conocer los usos. (realiza esto como tarea)

Nombre ...
   Introducción
   Teorema de combinación lineal de variables aleatorias y teorema del
    limite central.
   Muestreo:...
   Distribución muestral de la diferencia de proporciones.
   Distribución muestral de la varianza.
   Distribución mue...
   En estudios pasados de Estadísticas centramos nuestra atención en
    técnicas que describen los datos, tales como org...
Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son:


1.   La naturaleza destructiva de algunas pruebas
2.   La ...
Muestreo Aleatorio

Si se seleccionan n elementos de una población de modo tal que
cada conjunto de n elementos de la pobl...
Distribuciones de muestreo

La distribución de muestreo de una estadística es su
distribución de probabilidad

El error es...
Aplicación 1
Suponga que la variable aleatoria y tiene una función
de densidad              y
                          ...
w0

 F ( y 0 )  F ( w0 )             f ( y ) dy 
                           

 Termínala de integrar, finalmente te ...
Teorema del límite central

Si se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, y1,
y2,…,yn, de una población que tiene...
Sea y1, y2, … , yn una muestra aleatoria de n observaciones de
una población con media finita μ y una desviación estándar
...
Sean a1 , a 2 , ..., a n cons tan tes y sean y 1 , y 2 , ..., y n n var iables aleatorias n orm alm ente
distribuidas con ...
Aplicación:
Los ingenieros encargados del diseño y mantenimiento de
pavimentos para aviones tradicionalmente utilizan conc...
Antes del recubrimiento, se sabía que el LCN medio del concreto
original con calidad de pavimento del extremo occidental ...
Antes de ver la solución, inténtale
primero.
 y    60
                10
                       2
         n        25




      65  60
Z                2 ...
Reafirmando: Teoría elemental del muestreo

La teoría del muestreo estudia la relación entre una población
y las muestras ...
Distribuciones de muestreo

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño N en una
población dada (con o sin reposici...
Distribución de Muestreo de Medias

 Supongamos que se toman todas las posibles muestras de tamaño N,
 sin reposición, de ...
Distribución de muestreo de medias (comprobación)

Una población consta de los números 2,3, 6, 8 y 11.
Consideremos todas ...
Antes de ver la respuesta inténtalo.
1. Para el primer inciso , sumas los valores y los divides entre
   el numero de datos que tienes.
2. Para la desviación t...
Aplicación.
Estamos interesados en una población de 20 compañías
textiles del mismo tamaño, todas estas fábricas experimen...
   Np  N
    x 
           N    N p 1


Np tamaño población 20
N tamaño de la muestra 5
σ desviación estándar de la p...
Aplicación 2

Las alturas de 3000 estudiantes varones de una Universidad
están normalmente distribuidas con media de 68 in...
No veas la respuesta hasta que le intentes
                                 primero.
El número de muestras de tamaño 25 que podrían elegirse de
un grupo de 3000 estudiantes con y sin reposición son 300025
Y ...
Aplicación 3

500 bolas de cojinete tienen un peso medio de 5.02 gramos cada
una y una desviación típica de 0.30 g. Hallar...
   Np  N        0.3   500  100
       x                                       =0.027
              N   N p 1       ...
Distribución de muestreo de proporciones

Supongamos que una población es infinita y que la probabilidad
de ocurrencia de ...
Aplicación 1

En unas elecciones uno de los candidatos obtuvo el 46% de los
votos. Hallar la probabilidad de que en un mue...
μp =p = 0.46

σp =√ 0.46x0.54/200 = 0.0352

La mayoría se obtiene cuando la proporción es 101/200 =0.505

z= (0.505-0.46 )...
Distribución de muestreo de diferencias y sumas

Sean dadas dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño N1
de la primera,...
 s1 s 2   s1   s 2



               s 1 s 2                    
                                     2       ...
Si S1 y S2 son las medias muéstrales de ambas poblaciones,
cuyas medias denotamos por :

        X1 y X 2

Respectivamente...
Aplicación

Las lámparas de un fabricante A tienen vida media de 1400 h con
desviación típica de 200 h, mientras que las d...
 x 1 x 2   x 1   x 2   1   2  1400  1200


                                                      
          ...
Aplicación:

Las bolas de rodamientos de cierto fabricante pesan 0.50 g de
media, con desviación típica de 0.02 g. ¿Cuál e...
 x 1 x 2   x 1   x 2   1   2  0.50  0.50


                                                      
          ...
 Introducción
 Características de un buen estimador.

 Estimación puntual
  Métodos
  Máxima verosimilitud
  Momento...
 Intervalo de confianza para la proporción.
 Intervalo de confianza para la diferencia de
  proporciones.
 Intervalo de...
   Anteriormente vimos cómo se puede emplear la teoría del muestreo
    para recabar información acerca de muestras aleat...
   Si la media de las distribuciones de muestreo de un estadístico es
    igual que la del correspondiente parámetro de p...
   Si las distribuciones de muestreo de dos estadísticos tienen la
    misma media (o esperanza), el de menor varianza se...
   Si el estadístico S es la media x     de la muestra, entonces los
    limites de confianza.
     Si el muestreo es de ...
Aplicación:
Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200
bolas de rodamientos producidas por una maquina e...
los limites de confianza 95% son:

0.824 +/- 1.96* 0.042/√200


el valor de 1.96 lo encuentras con la tabla de distribució...
Aplicación

Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la
desviación típica es 0.05 segundos. ¿De qué tamaño ...
(1.96)(0.05)/√N < 0.01

Mismo caso para el 99% donde z=2.58
Aplicación:
Una muestra al azar de 50 calificaciones de matemáticas de entre
un total de 200, revela una media de 75 y una...
Como la población no es muy grande comparada con el tamaño de
muestra, debemos tenerlo en cuenta.

75 +/- (1.64*(10)/√50)(...
   Si el estadístico S es la proporción de éxitos en una muestra de
    tamaño N sacada de una población binomial en la q...
Aplicación:
Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica
que el 55% de ellos estaban a favor de un cie...
0.55 +/- 1.96√(0.55)(0.45)/100
Aplicación:

En 40 lanzamientos de una moneda, han salido 24 caras. Hallar
los límites de confianza.
a.- 95%
b.- 99.73% pa...
Si el muestreo es de una población infinita o finita con reposición
p +/- Zc √(pq/N)

P=24/40
N=40
Zc buscar en la tabla.
   Si S1 y S2 son dos estadísticos muéstrales con distribuciones de
    muestreo aproximadamente normales, los límites de...
Los limites de confianza para la diferencia de dos proporciones
poblacionales, con poblaciones infinitas, están dados por:...
Aplicación


                                     Tienda en el centro        Tienda en el centro
                         ...
Aplicación:

Una muestra de 150 lámparas del tipo A ha dado una vida media de
1400 hrs. Y una desviación típica de 120 hrs...
1400-1200 +/- 1.96√(120)2/150 + (80)2/100
Aplicación:

En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron un
cierto programa de televisión, 100 adulto...
P1=300/600 =0.50
P2=100/400=0.25

0.50-0.25 +/- 1.96√(0.50)(0.50)/600 +(0.25)(0.75)/400
Intervalos de confianza para desviaciones típicas

Los límites de confianza para la desviación típica σ de una población
n...
Aplicación

La desviación típica de las vidas medias de una muestra de
200 bombillas es de 100 horas. Hallar los límites d...
100 +/- 1.96(100)/√400
Inferencias acerca de la diferencia entre medias poblacionales:σ1 y
σ2 desconocidas (desviaciones estándar poblacionales d...
Ejemplo: Encontrar el valor de la t student, con un 95% de
confianza y 7 grados de libertad. (2 colas)

t=2.36
Ejemplo:

Bancomer, realiza un estudio para identificar diferencias entre las
cuentas de cheques de sus clientes en dos de...
2
                          s 2  s2
                                   2   
                           1         
   ...
Estimación por intervalo de la media poblacional:



                                ¿ Se puede
                          ...
Aplicación:
Las primeras semanas del 2004 fueron buenas para el mercado
de acciones. En una muestra de 25 fondos abiertos ...
Probabilidad de una sola cola.
                      Valores t de Student y probabilidad P asociada
                      ...
Si deseas, buscar el valor de la t student en Excel, puedes usar
la función DISTR.T.INV, te pedirá la probabilidad esto es...
Repaso:

La media y desviación típica de las cargas máximas soportadas
por 60 cables, son 11.09 y 0.73 toneladas, respecti...
Repaso:

Se espera que una elección entre dos candidatos sea muy reñida.
¿Cual es el mínimo número de votantes a sondear s...
 Introducción
 Errores tipo I y tipo II
 Potencia de la prueba.
 Formulación de hipótesis estadísticas.
 Prueba de hi...
La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada
hipótesis, que hacemos con respecto a un parámetro de
població...
Elaboración de las hipótesis nula y alternativa

En algunas aplicaciones no parece obvio cómo formular la
hipótesis nula y...
Prueba de una hipótesis de investigación

Considere un determinado modelo de automóvil en el que el
rendimiento de la gaso...
Prueba de la validez de una afirmación:

A manera de ejemplo de la prueba de validez de una afirmación,
considere una situ...
Prueba en situaciones de toma de decisión:

Cuando se prueba una hipótesis de investigación o la validez de
una afirmación...
Ejemplo:

Una línea de operación está diseñada para llenar empaques de 32 onzas de
detergente para lavar. Con periodicidad...
Errores tipo I y II

Las hipótesis nula y alternativa son afirmaciones opuestas acerca de
la población. Una de las dos, ya...
Síntesis de las pruebas de hipótesis para la media poblacional
   caso σ conocida.


                     Prueba de la col...
Aplicación 1
Un fabricante suministra los ejes traseros para los camiones correo del
Servicio Postal. Estos ejes deben sop...
Ho: μ=80,000 hipótesis nula: la media real es 80,000 lb por pulg2

H1: μ≠ 80,000 hipótesis alternativa: la media real no e...
Aplicación 2
Una empresa de investigación sobre bienes raíces, vigila los montos
de las rentas de departamentos en Estados...
Ho: μ≤895
Ha: μ>895 (la hipótesis que tu quieres probar la pones como
alternativa)




                       x  o
     ...
La diferencia en tamaño entre muestras grandes y pequeñas es importante cuando no
se conoce la desviación estándar de la p...
Aplicación 3

Una empresa sostiene que el salario medio por hora de sus
trabajadores es de 500 pesos. El sindicato sospech...
Ho: media=
Ha: media < 500




                        490  500
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                           60
     ...
Aplicación 4 (Tarea)

El departamento de control de calidad de “Tigre Toñi” especifica que el
peso promedio por paquete de...
Aplicación 5 (Tarea)

En una encuesta, un investigador obtuvo la estimación de que la
media del número de horas de ver TV ...
Pruebas de hipótesis para proporciones:

                               p  p0                 p 0  proporción        hip...
Aplicación 2

En un estudio acerca de la rotación de puestos, un investigador
entrevista a una muestra aleatoria de 200 em...
n  200
                                     30
                              p            0 . 15

El p-value, es el val...
Pruebas de hipótesis acerca µ1 - µ2
Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis acerca de µ1 y µ2
σ1 y σ2 desconocidas...
Tecnología existente   Software nuevo
                                       300                 274
                     ...
El investigador encargado de la evaluación del nuevo software
espera poder demostrar que con el nuevo software se necesita...
Probabilidad de una sola cola.
                Valores t de Student y probabilidad P asociada
                en función d...
Inferencias acerca de la diferencia entre dos medias
poblacionales: muestras pareadas.
Trabajador     Tiempo para         ...
d 
       d   i

       n                       d  0 . 30
media de las diferencia s
                                   ...
Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis con
muestras pareadas.


                d  d
t calculada   
          ...
Para el problema anterior:

      Ho: µd=0
      Ha: µd≠0
      α=0.05
      Para dos colas α/2 = 0.025
      n-1= grados ...
Regla de decisión, usando el método de p-
value.

p-value ≤ α nivel significación, se rechaza
la hipótesis nula, caso cont...
Prueba de hipótesis acerca de p1-p2

Error estándar:

                     p 1 (1  p 1 )       p 2 (1  p 2 )
     p 1 ...
Aplicación:
Una empresa se dedica a elaborar declaraciones de impuestos,
suponga que la empresa desea realizar una prueba ...
Aplicación:
Durante el partido Chivas, Atlas, un comercial de la cervecería,
conocido como las Chicas Sol, fue uno de los ...
Ho: p1-p2=0
Ha: p1-p2≠0
α=
p1=
n1=
p2=
n2=
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  • Hola, me puede ayudar con este problemita: Suponga que un investigador, interesado en obtener una estimación del nivel promedio de alguna enzima en cierta población de seres humano, toma una muestra de 10 individuos, determina el nivel de la enzima en cada uno de ellos, y calcula la media de la muestra x ̅=22. Además, que la variable de interés sigue una distribución aproximadamente normal, con una variancia de 45. Se dese estimar el valor de μ.
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  • Buen día, me puede ayudar con este problema:
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  • a) ¿Cuáles son los límites de confianza de 95% para la estimación de la media de las 200 calificaciones?. Considerar el valor de Z para un 95% de confianza en 1.96
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  • Me podrías ayudar a resolver este problema?:
    La información que se representa en la tabla, representa una muestra sobre el numero de refrescos que consumen mensualmente alumnos de cierta escuela. Realiza la estimación puntual para determinar el verdadero promedio en el consumo de refrescos:
    intervalo de clase
    2-6
    7-11
    12-16
    17-21
    22-26
    27-31
    32-36

    frecuencia
    5
    9
    19
    28
    17
    10
    4
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  • buenas tardes ya revise el material y resolvi los eejercicios de rapaso, pero no se si estan bien........ donde puedo revisar sus resultados???, para saber si comprendi bien los temas...
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Apuntes Clase Estadistica I(Itsz)

  1. 1. MII. ING. EDGAR JAVIER SILVA
  2. 2. Forma de calificar:  Examen. 70%  Practicas, tareas, avance proyecto final 30% Para poder aprobar, necesariamente debes pasar los tres parciales con calificación mínima de 70, en caso de reprobar alguno se registra cero de calificación en el parcial correspondiente. Unidades aprobadas necesarias para presentar examen de NIVELACION / REGULARIZACION 2 Unidades aprobadas necesarias para presentar examen de EXTRAORDINARIO 4
  3. 3. Bibliografía Probabilidad y Estadística Douglas C. Montgomery Mc Graw Hill Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias Mendenhall Prentice Hall Estadística para Administradores Levin Rubin Limusa http://mathworld.wolfram.com/classroom/classes/Probabilityand Statistics.html
  4. 4. Haber aprobado, necesariamente las materias de :  Calculo Integral  Calculo diferencial  Probabilidad.
  5. 5.  Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria continua.  Media y varianza de una variable aleatoria continua.  Distribución de probabilidad t-student.  Distribución de probabilidad tipo Gamma.  Distribución de probabilidad tipo Beta.  Distribución de probabilidad X2 y F  Distribución de probabilidad Weibull
  6. 6.  Distinguir entre las variables aleatorias continuas y discretas y sus respectivas distribuciones de probabilidad; presentar algunas distribuciones de probabilidad continuas útiles y mostrar cómo se pueden utilizar para resolver problemas prácticos.
  7. 7.  ¿Qué es una distribución probabilística? 0.7 0.6 blanco 0.5 0.4 Serie1 0.3 Serie2 0.2 azul amarillo 0.1 0 0 1 2 3 4
  8. 8.  Son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores:  Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.
  9. 9.  Son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones:  Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 Kg., 42,3764 Kg., 42, 376541kg, etc.); la esperanza media de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años).
  10. 10.  La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:
  11. 11.  ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?  quot; k quot; es el número de aciertos  quot; nquot; es el número de ensayos  quot; p quot; es la probabilidad de éxito
  12. 12.  quot; k quot; es el número de aciertos. En este ejemplo quot; k quot; igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)  quot; nquot; es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10  quot; p quot; es la probabilidad de éxito, es decir, que salga quot;caraquot; al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5  La fórmula quedaría:
  13. 13.  Solución:
  14. 14.  ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?  Solución  n=  K=  p=
  15. 15.  quot; k quot; (número de aciertos) toma el valor 4  quot; nquot; toma el valor 8  quot; p quot; (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666)  P (x = 4) = 0,026
  16. 16.  Las distribución de Poisson parte de la distribución binomial:  Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número quot;nquot; muy elevado de veces y la probabilidad de éxito quot;pquot; en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:  Se tiene que cumplir que:  quot; p quot; < 0,10  quot; p * n quot; < 10
  17. 17.  La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo.
  18. 18.  Percentil: por ejemplo, si su calificación en un curso de ingeniería industrial estuvo en el 84° percentil, entonces el 84% de las calificaciones fueron inferiores a la suya y el 16% fueron mayores.  Cuartil inferior: Ql, de un conjunto de datos es el 25° percentil.  Cuartil superior: Qu, de un conjunto de datos es el 75° percentil  Rango intercuartilico: es la distancia entre los cuartiles superior e inferior. (IQR)
  19. 19.  La función de densidad normal (o gausiana) fue propuesta por C. F. Gauss (1777-1855) como modelo para la distribución de frecuencia relativa de errores, como los errores de medición. Resulta sorprendente que esta curva con forma de campana sea un modelo adecuado para las distribuciones de frecuencia relativa de datos recabados de muchas áreas científicas diferentes.
  20. 20.  Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
  21. 21. La nueva variable z se distribuye como una NORMAL con media  = 0 y desviación típica  = 1 Una regla empírica indica que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre :  1  68 %  2  95 %  3  99 % 68% 95% 99% z -3 -2 -1 0 1 2 3
  22. 22.  Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...  Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono.  Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.  Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
  23. 23. Distribución de edades 19 20 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 41 45 47 14 29 12 10 Frecuencia 28 30 8 31 6 27 25 4 24 26 32 2 19 20 41 47 23 3336 45 0 Edades
  24. 24.  En un salón de clases la media del grupo es de 29 años y su desviación estándar es de 4 años ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de mas de 34 años?
  25. 25.  Primero entender que la distribución normal se asemeja a la distribución de las edades.  Para esto hay que convertir los valores que te dan a valores estándar.  ¿Cómo hacemos esto? Z=(X-µ) /σ
  26. 26. X = valor dado a convertir Z=(X-µ) /σ µ = media σ = desviación estándar 14 29 12 10 28 30 8 31 6 27 25 4 24 26 32 2 19 20 41 47 23 33 36 45 0 Edades
  27. 27.  En un salón de clases la media del grupo es de 29 años y su desviación estándar es de 4 años ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de mas de 34 años?  X = valor dado a convertir =  µ = media =  σ = desviación estándar =
  28. 28. 29
  29. 29.  Después de cometido un delito la media en horas de encontrar al responsable del delito es de 45 hrs. Con un desviación estándar de 10 hrs.¿Encontrar la probabilidad de encontrar al responsable del delito a mas tardar 24 hrs. después de realizado este?  X = valor dado a convertir  µ = media  σ = desviación estándar
  30. 30. 45
  31. 31.  El tiempo promedio que emplea un empleado para atender una demanda es de 42 minutos, suponga que la desviación estándar es de 16 minutos, y que los tiempos de atención tienen una distribución normal.  ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tarde cuando menos 1 hora en poner su demanda?  ¿Cuál es la probabilidad de que una persona no tarde mas de 30 minutos en poner su demanda?
  32. 32.  Suponga que “y” es una variable aleatoria de distribución normal con media de 10 y desviación estándar de 2.1 ◦ Calcule P (y≥11) ◦ Calcule P(7.6 ≤ y≤ 12.2)
  33. 33.  Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes.  El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida normalmente con una media de 7500 horas y una desviación estándar de 1200 horas. ◦ ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9000 horas? ◦ ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5000 horas?
  34. 34.  Calcule el intervalo intercuartilico IQR y la desviación estándar, s, para la muestra, y luego calcule el cociente IQR/s.  Si los datos son aproximadamente normales, IQR/s ≈1.3
  35. 35.  Variable aleatoria discreta  Variable aleatoria continuo
  36. 36.  Muchas variables aleatorias que se observan en la vida real no son variables aleatorias discretas porque la cantidad de valores que pueden asumir no se puede contar.  Por ejemplo, el tiempo de espera y (en minutos) para completar un trabajo de procesamiento de datos 0 < y < infinito.
  37. 37.  La función de densidad para una variable aleatoria continua “y” , que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua como lo que se muestra la siguiente figura: y F ( y)   f ( t ) dt  El área acumulativa bajo la curva entre menos infinito y un punto y0 es igual a F(y0)
  38. 38. f(y) ≥ 0   f ( y ) dy  F (  )  1  b P (a  y  b)   f ( y ) dy Donde a y b son constantes. a
  39. 39.  Ejemplo 1:  Sea c una constante y consideremos la función de densidad.  cy _ si _ 0  y  1  f ( y)     0 ___ en _ cualquier _ otro _ caso  a.- Calcule el valor de c b.- Calcule P (0.2 < y < 0.5
  40. 40.  1 2 1 y  f ( y ) dy   0 cydy  c 2 1  0 C=2 0 .5 P ( 0 .2  y  0 .5 )  0 .2 f ( y ) dy = 0.21
  41. 41.  Ejemplo2: Obtenga la función de distribución acumulativa para la variable aleatoria y. Después, calcule F(0.2) y F(0.7)
  42. 42. y y F ( y)   f ( t ) dt   2 tdt  y 2  0 Entonces la integral es de cero a y F(0.2) = P( , porque el problema así lo plantea y>0
  43. 43.  Ejercicios 1: 1.- Sea c una constante y consideremos la función de densidad  cy 2 _ si _ 0  y  2  f ( y)     0 ___ en _ cualquier _ otro _ caso  a.- Calcule el valor de c. b.- Obtenga la función de distribución acumulativa F(y) c.- Calcule F(1) d.- Calcule F(0.5) e.- Calcule P (1 ≤y≤ 1.5)
  44. 44.  Ejercicio2  Sea c una constante y consideremos la función de densidad  c ( 2  y ) _ si _ 0  y  1  f ( y)     0 ___ en _ cualquier _ otro _ caso  a.-Calcule el valor de c b.-Obtenga la función de distribución acumulativa F(y) c.-Calcule F(0.4) d.-Calcule P (0.1 ≤y≤ 0.6)
  45. 45.  Ejercicio3  Sea c una constante y consideremos la función de densidad  ce  y _ si _ y  0  f ( y)     0 ___ en _ cualquier _ otro _ caso  a.-Calcule el valor de c b.-Obtenga la función de distribución acumulativa F(y) c.-Calcule F(2.6) = d.-Calcule P (1 ≤y≤ 5)
  46. 46.  En estudios anteriores se inicio el estudio de las pruebas de hipótesis. Se utilizo la distribución normal estándar, la distribución z, como estadístico de prueba. Para emplear dicha distribución la población debe ser normal y conocerse la desviación estándar poblacional. En muchas situaciones del mundo real, la población es aproximadamente normal, pero se desconoce la desviación estándar de la población. En este caso “s” se utiliza la desviación estándar muestral en vez de σ .  Si el tamaño de la muestra es de al menos de 30, los resultados se consideran satisfactorios. (Tamaño de muestra de menor o igual a 30, n≤30)
  47. 47.  Esta distribución tiene la característica de que puede ser usada en aquellos casos en los que el tamaño de muestra esta limitado, debido a las características del experimento a realizar.  Por ejemplo. En la industria es común encontrarse con productos que debido a los materiales y/o proceso son sumamente caros y para realizar la prueba es necesario destruirlos.  En estos casos el tamaño de la muestra debe ser pequeño cinco a ocho partes.  Una limitación en la aplicación de este estadístico es que la población de la que se toma la muestra tiene una distribución normal.
  48. 48.  Para estos proyectos de investigación , la distribución z no es el estadístico de prueba adecuado. La t de Student, o la distribución t, como se denomina comúnmente se utiliza como estadístico de prueba.
  49. 49. La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribución t tiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.
  50. 50. Probabilidad de una sola cola. Valores t de Student y probabilidad P asociada en función de los grados de libertad gl. Si deseas, la probabilidad de dos colas, multiplica por dos esta fila
  51. 51. 1. Como la distribución z, es una distribución continua. 2. Como la distribución z, es de forma de campana y simétrica. 3. No hay una distribución t, sino mas bien una “familia” de distribuciones t, todas tienen la misma media igual a cero, pero sus desviaciones estándares difieren de acuerdo con el tamaño de muestra (n). Hay una distribución t para un tamaño de muestra 20, otra para un tamaño de muestra 22, y así sucesivamente. 4. La distribución t es más extendida y menos aguda en el centro que la distribución normal. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la curva de la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.
  52. 52.  La experiencia en la investigación de demandas por accidente en una institución aseguradora revela que en promedio cuesta $60 dólares la realización de todos los trámites. Este costo se considero exorbitante comparado con el de otras compañías aseguradoras y se instauraron medidas para abatir los costos. A fin de evaluar el impacto de estas nuevas medidas se selecciono aleatoriamente una muestra de 26 demandas recientes y se realizó un estudio de costos. Se encontró que la media muestral de $57 y una desviación estándar de la muestra de 10. En el nivel de significación 0.01, ¿hay una reducción en el costo promedio, o la diferencia de $3 ($60 -$57) puede atribuirse al azar?
  53. 53.  Paso 1: plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. . hipótesis nula, Ho, es que la media poblacional es 60. La hipótesis alternativa, H1 es que la media poblacional vale menos de 60. Esto se expresa como sigue:  Ho: μ=60  H1: μ<60  La prueba es de una cola, ya que sólo interesa si hay o no una reducción en el costo. Esta desigualdad en la hipótesis alternativa señala hacia la región de rechazo en la cola o extremidad izquierda de la distribución.
  54. 54.  Paso 2: Seleccionar el nivel de significación: se usará un nivel 0.01  Paso 3: Proporcionar el estadístico de prueba, tal estadístico es la distribución t de student, ya que 1) no se conoce la desviación estándar de la población, y 2) el tamaño de la muestra es pequeño (menos de 30)  Paso 4: Formular la regla de decisión, los valores críticos, de t se encuentran en la tabla. La columna del lado izquierdo de la tabla se titula grados de libertad. Para esta prueba hay n-1 grados de libertad (26-1=25), una prueba de una cola y el nivel de 0.01 es de 2.485. La regla de decisión para esta prueba de una cola es rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de t queda en cualquier parte de la extremidad, a la izquierda de -2.485. De otra manera se acepta la hipótesis nula de que la media poblacional es $60.
  55. 55. Zona de aceptación Zona de rechazo -2.485 Paso 5: Calcular t y tomar una decisión Media muestral=57 Media poblacional hipotética=60 Desviación estándar de la muestra=10 Numero de elementos de la muestra=26 t=(57-60)/10/√26 t=-1.53
  56. 56.  Un fabricante de motocicletas, anuncia que su vehículo rendirá en promedio 87 millas por galón en viajes largos. La distancia recorrida (en millas) en ocho viajes largos fue 88, 82, 81, 87, 80, 78, 79 y 89. Pruebe al nivel 0.05 que el recorrido medio es menor que el anunciado.
  57. 57. Ho: μ=87 H1: μ<87 Calcular t y tomar una decisión Media muestral= Media poblacional hipotética=87 Desviación estándar de la muestra= Numero de elementos de la muestra=
  58. 58.  Se han propuesto dos procedimientos para armar un componente pequeño. La pregunta es : ¿qué método es más eficaz, el desarrollado Ford (que se designa como el n°1) o el desarrollado por Nissan (que se designa como n°2) Para evaluar objetivamente los dos métodos propuestos, se decidió realizar estudios de movimientos y tiempos para algunos componentes. El objetivo de estos estudios es comparar los tiempos medios de ensamblado por unidad para los dos procedimientos. Usar un nivel de significancia de 0.10
  59. 59.  La hipótesis nula plantea que no hay diferencia en el tiempo medio de armado entre los procedimientos n°1 y n°2  Ho: µ1=µ2  H1: µ1≠µ2 1   2 t ( n1  1) s1  ( n 2  1) s 2 1 2 2 1 .(  ) n1  n 2  2 n1 n 2 µ1= es el valor medio aritmético del tiempo, con el procedimiento 1 µ2= … procedimiento 2 n1= es el número en la muestra 1 n2= es el número en la muestra 2 s12 = es la variancia de la primera muestra. s22 = es la variancia de la segunda muestra
  60. 60. Procedimiento 1 Procedimiento2 Tiempos Tiempos 2 3 4 7 9 5 3 8 2 4 3  El objetivo es determinar si existe diferencia entre los dos métodos de armado. Por tanto se emplea una prueba de dos colas. Los grados de libertad se obtienen  n1+n2-2 = 5 + 6 -2= 9
  61. 61. t= -0.662 minutos -1.833 1.833
  62. 62.  Muchas variables aleatorias, como la duración de la vida útil de una computadora, sólo pueden asumir valores no negativos. Las distribuciones de frecuencia relativa de datos de este tipo a menudo se pueden modelar mediante funciones de densidad tipo gamma.
  63. 63. La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria tipo gamma está dada por:  y  1 e  y /  Si 0≤y≤∞; α>0; β>0    f ( y )      ( )     0 ___ en _ cualquier _ otro _ punto   Donde α  1 y  ( )   y e dy 0 La media y la varianza de una variable aleatoria tipo gamma son, respectivamente: μ=αβ σ2 =αβ2 Algunas propiedades  ( )  (  1)  (  1)  ( )  (  1)! Cuando α es un entero positivo
  64. 64. Ejercicio para laboratorio Dibujar la función de distribución Gamma, para para valores enteros de α Considera los valores de y, a partir de 1 en adelante. Realizarla con formula, para que cuando cambie el valor de alfa o beta, cambie automáticamente la grafica. y f(y) α= β= г=
  65. 65. Aplicación 1 (distribución Gamma) Investigadores han descubierto que el nivel creciente máximo (en millones de pies cúbicos por segundo) durante un periodo de cuatro años para el Rio Susquehanna, Pennsylvania, sigue aproximadamente una distribución gamma con α=3 y β=0.07 Calcule la media y la varianza del nivel creciente máximo durante un periodo de cuatro años para el Rio Susquehanna. Los investigadores llegaron a sus conclusiones acerca de la distribución de nivel creciente máximo observando los niveles de creciente máximos durante 20 periodos de cuatro años, desde 1890 hasta 1969. Suponga que durante el periodo de cuatro años 1982- 1985 se observo que el nivel de creciente máximo fue de y=0.60 millones de pies cúbicos por segundo. Esperaría usted observar un nivel tan alto en una distribución gamma con α=3 y β=0.07 ¿Qué puede usted inferir acerca de la distribución del nivel de creciente máximo para el periodo de cuatro años 1982-1985?
  66. 66. La media y la varianza de una variable aleatoria tipo gamma son, respectivamente: μ=αβ =3(0.07)= 0.21 σ2 =αβ2 =3(0.07)2 =0.0147 σ=0.1212 μ+ 3σ =0.21 +3(0.1212)=0.57 Se puede inferir que 0.60 es un valor que se sale del modelo matemático.
  67. 67.  Por experiencia anterior, un fabricante sabe que la distribución de frecuencia relativa del tiempo (en meses) que transcurre entre dos quejas de clientes importantes insatisfechos con sus productos se puede modelar mediante una función de densidad gamma con α=2 y β=4. Quince meses después de que el fabricante hizo más estrictos sus requisitos de control de calidad, llego la primera queja. ¿sugiere esto que el tiempo medio entre quejas de clientes importantes podría haber aumentado?
  68. 68.  μ =αβ = (2)(4)  σ2 =αβ2 =(2)(4)2 =32  σ=5.7  Puesto que y =15 meses queda un poco más de una desviación estándar de la media (8 + 5.7=13.7), no podemos considerar a 15 meses como un valor desusadamente grande de y. Conclusión, no hay suficientes pruebas que indiquen que el programa de control de calidad de la compañía ha logrado incrementar el tiempo medio entre quejas.
  69. 69.  Una variable aleatoria tipo gamma que desempeña un papel importante en estadística es la variable aleatoria ji cuadrada.  Una variable aleatoria ji cuadrada (X2) es una variable aleatoria tipo gamma con α=v/2 y β=2  2 v 1 f ( )  c( ) 0   2 2 2 2 2 e La media y la varianza de una variable 1 aleatoria ji cuadrada son, c v respectivamente. v μ=v σ2=2v 2 ( ) 2 2 El parámetro v es el número de grados de libertad de la distribución ji cuadrada.
  70. 70. Aplicaciones:  Ji cuadrada como prueba de independencia.  Ji cuadrada como prueba de la bondad de ajuste: prueba de lo apropiado de una distribución.
  71. 71.  Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad, para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla. La ecuación para la función de distribución acumulada de Weibull es:  La función de densidad de probabilidad es:  Cuando α= 1 la distribución de Weibull devuelve la distribución exponencial con:  La función de densidad Weibull contiene dos parámetros α y β.. es parámetro de escala, β, refleja el tamaño de las unidades en que se mide la variable aleatoria y el parámetro α, es el parámetro de forma. Si se cambia el valor del parámetro α, es posible generar un conjunto con una amplia variedad de curvas que modelan distribuciones de tiempo hasta falla de la vida real.  A demás de proporcionar un buen modelo para las distribuciones del tiempo hasta falla de muchos componentes fabricados, la distribución Weibull es fácil de usar.
  72. 72.  “y” es el tiempo  y  entre fallas,  Si 0≤y<∞ ; α>0 ; β>0  1   y e cuanto tiempo   transcurre de una   falla a otra. f ( y)    0  En cualquier otro punto        1 1    2  2    1  2               2             La función de densidad Weibull contiene dos parámetros,α y β, el parámetro de escala β, refleja el tamaño de las unidades en que se mide la variable aleatoria “y”. El parámetro α es el parámetro de forma. Si se cambia el valor del parámetro de forma α, es posible generar un conjunto con una amplia variedad de curvas que modelan distribuciones de tiempo hasta falla de vida real.
  73. 73. Tarea. Dibujar en Excel 1.- La función de densidad Gamma 2.- La función de densidad Weibull 3.- La función de densidad Beta Para entregar vía mail la próxima clase.
  74. 74.  La duración (en horas) de una broca de taladro que se emplea en una operación de fabricación tiene una distribución de Weibull con α=2 y β=100. Calcule la probabilidad de que una broca de taladro fallará antes de 8 horas de uso.
  75. 75.  y0 y0 y   1  F ( y0 )   f ( y ) dy   y e dy 0 0 Integrar esta función haciendo el siguiente cambio de variable z = yα Ya que la integras te debe quedar lo siguiente:  z  y0   F ( y0 )  1  e  1 e Resp: 0.473
  76. 76. Aplicación 2 (Weibull) Un fabricante de lavadoras garantiza sus productos contra cualquier defecto durante el primer año de uso normal. El fabricante ha estimado un costo por reparación de 75$ durante el periodo de garantía. Con base en la experiencia, se sabe que el tiempo en que ocurre la primera falla es una variable aleatoria de Weibull con parámetros de forma y escala iguales a 2 y 40, respectivamente. Si el fabricante espera vender 100 mil unidades y si para una misma unidad, se descuenta el valor de las reparaciones, se determina el costo esperado de la garantía para el fabricante. Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo que transcurre hasta que se presenta la primera avería.
  77. 77. Por hipótesis, la función de densidad de probabilidad de X es: La probabilidad de que la primera avería ocurra durante el periodo de garantía es igual a la probabilidad de que X sea menor o igual a 12. Mediante el empleo de la fórmula cerrada de distribución: Por lo tanto, si se supone que la operación de las lavadoras es independiente entre sí, se pueden esperar (100.000)(Probabilidad) = n fallas durante el período de garantía con un costo total de n por el costo de reparación
  78. 78. Para el problema anterior, calcule la vida media de las brocas para el taladro y la varianza de la distribución del tiempo hasta falla.
  79. 79. Capsula cultural
  80. 80.  Anteriormente dijimos que la función de densidad gamma proporciona un modelo para la distribución de frecuencia relativa de una variable aleatoria que tiene un limite inferior fijo pero que puede hacerse infinitamente grande.  La función de densidad beta, también caracterizada por dos parámetros, tiene limites inferior y superior finitos (0 y 1)  y  1 (1  y )  1  Si 0≤y≤1; α>0; β>0   f ( y)   B ( ,  )   0 __ en _ cualquier _ otro _ punto   
  81. 81. 1  1  1       B ( ,  )   0 y (1  y ) dy       La media y la varianza de una variable aleatoria beta son, respectivamente:       2           1  2
  82. 82. Aplicación 1 (Distribución de probabilidad Beta) Los sensores de infrarrojo de un sistema robótico computarizado envían información a otros sensores en diferentes formatos. El porcentaje y de las señales que se envían y que son directamente compatibles para todos los sensores del sistema sigue una distribución beta con α=β=2 a.- Calcule la probabilidad de que más de 30% de las señales de infrarrojo enviadas en el sistema sean directamente compatibles para todos los sensores. b.- Calcule la media y la varianza de y
  83. 83. Aplica esta formula e intégrala de 0.30 a 1  y  1 (1  y )  1  f ( y)     B ( ,  )  1 P ( y  0 . 30 )   6 y (1  y ) dy  0 . 514 0 . 30 Media =0.5 Varianza= 0.05
  84. 84. Aplicación 2 (Distribución de probabilidad beta) Se determino que datos recabados a lo largo del tiempo sobre el aprovechamiento de un núcleo de computadora (como una proporción de la capacidad total) tenían una distribución de frecuencia relativa que se podía aproximar mediante una función de densidad beta con α=2 y β=4. Calcule la probabilidad de que la proporción del núcleo que se utiliza en un momento dado sea menor que 0.20.
  85. 85. p  1  1 y (1  y ) F ( p)   B ( ,  ) dy 0 p=0.20
  86. 86. Cuadro comparativo de distribuciones de probabilidad, te ayudará, a conocer los usos. (realiza esto como tarea) Nombre Función de Media Varianza Característica, o densidad cuando se aplica. En que situaciones se aplica. Binomial Normal Poisson Gamma t student Beta Ji cuadrada Weibull
  87. 87.  Introducción  Teorema de combinación lineal de variables aleatorias y teorema del limite central.  Muestreo: introducción al muestreo y tipos de muestreo.  Teorema del limite central  Distribución Muestral de la media.  Distribución Muestral de la diferencia de medias.  Distribución Muestral de la proporción
  88. 88.  Distribución muestral de la diferencia de proporciones.  Distribución muestral de la varianza.  Distribución muestral de la relación de varianzas.
  89. 89.  En estudios pasados de Estadísticas centramos nuestra atención en técnicas que describen los datos, tales como organizar datos en distribuciones de frecuencias y calcular diferentes promedios y medidas de variabilidad. Estábamos concentrados en describir algo que ya ocurrió. También comenzamos a establecer los fundamentos de la estadística inferencial, con el estudio de los conceptos básicos de la probabilidad, las distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Distribuciones que son principalmente generadas para evaluar algo que podría ocurrir. Ahora veremos otro tipo de distribución de probabilidad, que se llaman distribuciones muestrales.  ¿Por qué muestrear? Muestrear es una forma de evaluar la calidad de un producto, la opinión de los consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de la población. Población es el total de resultados de un experimento. Hacer una conclusión sobre el grupo entero (población) basados en información estadística obtenida de un pequeño grupo (muestra) es hacer una inferencia estadística. A menudo no es factible estudiar la población entera.
  90. 90. Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son: 1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas 2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la población. 3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto. 4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la población. 5. El tiempo para contactar a toda la población es inviable.  Distribución Muestral de las Medias El ejemplo de los ratings de eficiencia muestra como las medias de muestras de un tamaño específico varían de muestra a muestra. La media de la primera muestra fue 101 y la media de la segunda fue 99.5. En una tercera muestra probablemente resultaría una media diferente. Si organizamos las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2 en una distribución de probabilidad, obtendremos la distribución muestral de las medias.  Distribución muestral de las medias. Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una población.
  91. 91. Muestreo Aleatorio Si se seleccionan n elementos de una población de modo tal que cada conjunto de n elementos de la población tenga la misma probabilidad de ser seleccionado, se dice que los n elementos constituyen una muestra aleatoria.
  92. 92. Distribuciones de muestreo La distribución de muestreo de una estadística es su distribución de probabilidad El error estándar de una estadística es la desviación estándar de sus distribución de muestreo.
  93. 93. Aplicación 1 Suponga que la variable aleatoria y tiene una función de densidad y    e  Si 0≤y<∞        f ( y)    0  En cualquier otro punto         Y sea w(y)=y2 . Obtenga la función de densidad para la variable aleatoria w.
  94. 94. w0 F ( y 0 )  F ( w0 )   f ( y ) dy   Termínala de integrar, finalmente te va ha quedar la función de distribución acumulativa para w: w ( )  G (w)  1  e Derívala con respecto de w, y obtendrás la función de densidad para w
  95. 95. Teorema del límite central Si se extrae una muestra aleatoria de n observaciones, y1, y2,…,yn, de una población que tiene una media finita μ y una varianza σ2, entonces si n es lo bastante grande, la distribución de muestreo de la media de la muestra Ý se puede aproximar con una función de densidad normal. La distribución de muestreo de la media de la muestra Ý se puede aproximar con una función de densidad normal.
  96. 96. Sea y1, y2, … , yn una muestra aleatoria de n observaciones de una población con media finita μ y una desviación estándar finita σ. Entonces, la media y la desviación estándar de la distribución de muestreo de Ý, denotada por:  y  m edia m uestral  y  desviación es tan dar m uestral y    y  / n La importancia del teorema del limite central y lo que acabamos de escribir, es que podemos aproximar la distribución de muestreo de la media de la muestra , en tanto la población tenga una media y varianza finitas.
  97. 97. Sean a1 , a 2 , ..., a n cons tan tes y sean y 1 , y 2 , ..., y n n var iables aleatorias n orm alm ente distribuidas con E  y i    i , V ( y i )   i 2 i  1, 2, 3, 4, ..., n E ntonces la distribución de m uestreo de com bin ación lineal de las var iables aleatorias norm a les . l  a1 y1  a 2 y 2  ...  a n y n T iene una función de densidad norm al con m edia E ( l )    a1  1  a 2  2  ...  a n  n
  98. 98. Aplicación: Los ingenieros encargados del diseño y mantenimiento de pavimentos para aviones tradicionalmente utilizan concreto con calidad de pavimento. Se realizó un estudio en el aeropuerto con el fin de evaluar la idoneidad de bloques de concreto como superficie para pavimento de aviones. El concreto original con calidad de pavimento del extremo occidental de la pista se cubrió con bloques de concreto con un espesor de 80mm. Se realizo una serie de pruebas de soporte de plancha para determinar el número de clasificación de carga (LCN)-una medida de resistencia a la ruptura-de la superficie. Sea y el LCN medio de una muestra de 25 secciones de bloques de concreto del extremo occidental de la pista.
  99. 99. Antes del recubrimiento, se sabía que el LCN medio del concreto original con calidad de pavimento del extremo occidental de la pista era μ=60 y la desviación estándar era σ=10. Si la resistencia media de al nueva superficie de bloques de concreto no es diferente de aquella de la superficie original, describa la distribución de muestreo de Y (Encuentra la media y la desviación estándar de la muestra) Si la resistencia media de la nueva superficie de bloques de concreto no es diferente de aquella de la superficie original, calcule la probabilidad de que Y , el LCN medio de la muestra de 25 secciones de bloques de concreto, sea mayor que 65. Las pruebas de soporte de plancha realizadas con al nueva superficie de bloques de concreto dieron como resultado Y =73. Con base en este resultado, ¿Qué puede usted inferir acerca del verdadero LCN medio de la nueva superficie?
  100. 100. Antes de ver la solución, inténtale primero.
  101. 101.  y    60  10    2 n 25 65  60 Z   2 .5 2 Es poco probable que suceda una media de 73
  102. 102. Reafirmando: Teoría elemental del muestreo La teoría del muestreo estudia la relación entre una población y las muestras tomadas de ella es de gran utilidad en muchos campos. Por ejemplo, para estimar magnitudes desconocidas de una población, tales como media y varianza, llamadas a menudo parámetros de la población o simplemente parámetros, a partir del conocimiento de esas magnitudes sobre muestras, que se llaman estadísticos de la muestra simplemente estadísticos.
  103. 103. Distribuciones de muestreo Consideremos todas las posibles muestras de tamaño N en una población dada (con o sin reposición). Para cada muestra, podemos calcular un estadístico (tal como la media o la desviación típica) que variará de muestra a muestra. De esta manera obtenemos una distribución del estadístico que se llama su “distribución de muestreo”. Si por ejemplo, el estadístico utilizado es la media muestral, entonces la distribución se llama “la distribución de muestreo de medias”. Análogamente podríamos tener una distribución de muestreo de la desviación típica, de la varianza, de la mediana, de las proporciones, etc.
  104. 104. Distribución de Muestreo de Medias Supongamos que se toman todas las posibles muestras de tamaño N, sin reposición, de una población finita de tamaño Np >N, si denotamos la media y la desviación típica de la distribución de muestreo de medias por μx , σx y las de la poblaciones por μ y σ  Np  N x   x  N N p 1 Si la población es infinita o si el muestreo es con reposición, los resultados anteriores se reducen a: μx =μ σx =σ/√N Para valores grandes de N ( N ≥ 30) la distribución de muestreo de medias es aproximadamente normal con media μx y la desviación típica σx , independientemente de la población (en tanto en cuanto la media poblacional y la varianza sean finitas y el tamaño de la población sea al menos el doble que el de la muestra)
  105. 105. Distribución de muestreo de medias (comprobación) Una población consta de los números 2,3, 6, 8 y 11. Consideremos todas las posibles muestras de tamaño 2 que pueden tomarse con reposición de esa población. Hallar La media de la población. La desviación típica de la población La media de la distribución de muestreo de medias La desviación típica de la distribución de muestreo de media.
  106. 106. Antes de ver la respuesta inténtalo.
  107. 107. 1. Para el primer inciso , sumas los valores y los divides entre el numero de datos que tienes. 2. Para la desviación típica Para datos aislados S = √ ( Σ(xj – x-)2 / N ) j = 1,2,…N Xj = cada dato x- = media N = total de datos Para N ≤ 30 se sustituye N por N-1 3. Para las muestras de tamaño dos , toma todas la combinaciones que puedas (2,2 ) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11) luego le siguen con el 3 y así sucesivamente, son 25 muestras en total, de estas 25 muestras obtén la media 4. σx =σ/√N
  108. 108. Aplicación. Estamos interesados en una población de 20 compañías textiles del mismo tamaño, todas estas fábricas experimentan una producción excesiva de trabajo. Nuestro estudio indica que la desviación estándar de la distribución de la producción anual es igual a 75 empleados. Si muestreamos cinco de estas compañías textiles, sin reemplazo, y deseamos calcular el error estándar de la media:
  109. 109.  Np  N x  N N p 1 Np tamaño población 20 N tamaño de la muestra 5 σ desviación estándar de la población 75
  110. 110. Aplicación 2 Las alturas de 3000 estudiantes varones de una Universidad están normalmente distribuidas con media de 68 in y desviación típica 3 in. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una, ¿cuáles serán la media y la desviación típica esperada de la resultante distribución de muestreo de medias, si el muestreo se hizo: a.-) Con reposición b.-) Sin reposición
  111. 111. No veas la respuesta hasta que le intentes primero.
  112. 112. El número de muestras de tamaño 25 que podrían elegirse de un grupo de 3000 estudiantes con y sin reposición son 300025 Y la combinación de 3000 tomados de 25 3000C25  x    68  3 x    0.6 N 25  Np  N 3 3000  25 x   N N p 1 25 3000  1
  113. 113. Aplicación 3 500 bolas de cojinete tienen un peso medio de 5.02 gramos cada una y una desviación típica de 0.30 g. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 bolas de este conjunto tengan un peso total: a.-) Menor a 5 gramos. b.-) Menor a 4.96 gramos. c.-) Más de 5.10 gramos. d.-)Entre 4.96 y 5 gramos. e.-) Más de 5.10 g.
  114. 114.  Np  N 0.3 500  100 x   =0.027 N N p 1 100 500  1 4.96 en unidades estándar z= (X – μ)/σ z=(4.96-5.02)/0.027 =-2.22 5.00 en unidades estándar z=
  115. 115. Distribución de muestreo de proporciones Supongamos que una población es infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso, su éxito es p, mientras que la probabilidad de que no ocurra es q=1-p. Por ejemplo, la población puede ser la de todas las posibles tiradas de una moneda, en la que la probabilidad del suceso cara es p=1/2. Consideremos todas las posibles muestras de tamaño N de tal población, y para cada una de ellas determinemos la proporción de éxitos P Estas ecuaciones son validas, también p  p para una población finita en la que se hace un muestreo con reposición. pq  p  N
  116. 116. Aplicación 1 En unas elecciones uno de los candidatos obtuvo el 46% de los votos. Hallar la probabilidad de que en un muestreo de: a. 200 votantes elegidos al azar, saliera la mayoría a su favor. b. 1000 votantes elegidos al azar, saliera mayoría a su favor. Utiliza, 4 decimales, para este problema. Nota: de una muestra de 200, la mayoría sería, la mitad mas 1 esto es la proporción sería 101/200
  117. 117. μp =p = 0.46 σp =√ 0.46x0.54/200 = 0.0352 La mayoría se obtiene cuando la proporción es 101/200 =0.505 z= (0.505-0.46 )/0.0352 = 1.27 Probabilidad de que sea mayoría, el área que esta a la derecha. 9.68% 1.27
  118. 118. Distribución de muestreo de diferencias y sumas Sean dadas dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño N1 de la primera, calculamos un estadístico S1; eso da una distribución de muestreo para S1, cuya media y desviación típica denotaremos por μs1 y σs1. Del mismo modo para cada muestra de tamaño N2 de la segunda población, calculamos un estadístico S2; eso nos da una distribución de muestreo para S2, cuya media y desviación típica denotaremos por μs2 y σs2. De todas las posibles combinaciones de estas muestras de estas dos poblaciones podemos obtener una distribución de las diferencias, S1-S2, que se llama distribución de muestreo de las diferencias de los estadísticos. La media y la desviación típica de esta distribución de muestreo, denotadas respectivamente por:
  119. 119.  s1 s 2   s1   s 2  s 1 s 2    2 2 s1 s2 Damos por supuesto que las muestras escogidas no dependan en absoluto una de otra(o sea que sean independientes)
  120. 120. Si S1 y S2 son las medias muéstrales de ambas poblaciones, cuyas medias denotamos por : X1 y X 2 Respectivamente, entonces la distribución de muestreo de las diferencias de medias viene dada para poblaciones infinitas con medias y desviaciones típicas (μ1,σ1) y (μ2,σ2)  x 1 x 2   x 1   x 2   1   2   2 2  x 1 x 2   x1   x 2   2 2 1 2 N1 N2 El resultado es valido también para poblaciones finitas si el muestreo es con reposición. Análogos resultados pueden alcanzarse para poblaciones finitas en que el muestreo sea sin reposición.
  121. 121. Aplicación Las lámparas de un fabricante A tienen vida media de 1400 h con desviación típica de 200 h, mientras que las de otro fabricante B tienen vida media de 1200 h con desviación típica de 100 h. Si se toma una muestra de 125 lámparas de cada clase, ¿cuál es la probabilidad de que las de A tengan una vida media que sea al menos a.- de 160 horas, más que las de B? b.- de 250 horas, más que las de B?
  122. 122.  x 1 x 2   x 1   x 2   1   2  1400  1200   2 2 2 2 100 200  x 1 x 2   x1   x 2      20 2 2 1 2 N1 N2 125 125 ( x A  xB )  200 z  20 a.- 160-200/20 b.- 250-200/20
  123. 123. Aplicación: Las bolas de rodamientos de cierto fabricante pesan 0.50 g de media, con desviación típica de 0.02 g. ¿Cuál es la probabilidad de que dos lotes de 1000 bolas cada uno difieran en peso en más de 0.002 g?
  124. 124.  x 1 x 2   x 1   x 2   1   2  0.50  0.50   2 2 2 2 0.02 0.02  x 1 x 2   x1   x 2      0.000895 2 2 1 2 N1 N2 1000 1000 (X1  X 2)  0 z 0.000895 0 .0 0 2  0  0 .0 0 2  0 z  2 .2 3 z   2 .2 3 0 .0 0 0 8 9 5 0 .0 0 0 8 9 5
  125. 125.  Introducción  Características de un buen estimador.  Estimación puntual Métodos Máxima verosimilitud Momentos.  Intervalo de confianza para la media.  Intervalo de confianza para la diferencia de medias.
  126. 126.  Intervalo de confianza para la proporción.  Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.  Intervalo de confianza para la varianza.  Intervalo de confianza para la relación de varianzas.  Determinación del tamaño de muestra. Basado en la media de la población. Basado en la proporción de la población. Basado en la diferencia entre las medias de la población.
  127. 127.  Anteriormente vimos cómo se puede emplear la teoría del muestreo para recabar información acerca de muestras aleatorias tomadas de una población conocida. Desde un punto de vista practico, no obstante , suele resultar más importante ser capaz de inferir información sobre la población a partir de muestras suyas. Con tal situación trata la inferencia estadística, que usa los principios de la teoría del muestreo.  Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros de la población, o brevemente parámetros (tales como la media o la varianza de la población) de los correspondientes estadísticos muéstrales, o simplemente estadísticos (tales como la media y la varianza de la muestra)
  128. 128.  Si la media de las distribuciones de muestreo de un estadístico es igual que la del correspondiente parámetro de población, el estadístico se llama un estimador sin sesgo del parámetro, si no se llama un estimador sesgado. Los correspondientes valores de tales estadísticos se llaman estimaciones sin sesgo y sesgadas, respectivamente. Ejemplo: La media de las distribuciones de muestreo de medias  x   , la media de la población. Por tanto la media muestral x es una estimación sin sesgo de la media de la población μ
  129. 129.  Si las distribuciones de muestreo de dos estadísticos tienen la misma media (o esperanza), el de menor varianza se llama un estimador eficiente de la media, mientras que el otro se llama un estimador ineficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos se llaman estimación eficiente o estimación ineficiente, respectivamente.  Si consideramos todos los posibles estadísticos cuyas distribuciones de muestreo tienen la misma media, aquel de varianza mínima se llama a veces “estimador de máxima eficiencia” o sea el mejor estimador.
  130. 130.  Si el estadístico S es la media x de la muestra, entonces los limites de confianza. Si el muestreo es de una población infinita o de una finita con reposición. x +/- Zc * σ/√N Si el muestreo es sin reposición de una población finita de tamaño Np x +/- Zc* (σ/√N)*(√(Np-N)/(Np-1) A la segunda parte de la formula, después del +/- , se le llama error de la estimación
  131. 131. Aplicación: Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos producidas por una maquina en una semana, dieron una media de 0.824 cm y una desviación típica de 0.042 cm. Hallar los limites de confianza. a.- 95% b.- 99% para el diámetro medio de todas las bolas.
  132. 132. los limites de confianza 95% son: 0.824 +/- 1.96* 0.042/√200 el valor de 1.96 lo encuentras con la tabla de distribución normal, como es 95% y es de dos colas, entonces se busca un área de 0.95 + 0.05/2=0.975, este valor lo buscas en la tabla y su correspondiente valor de z es igual a 1.96 ¿Por qué es dos colas? Ya que es un intervalo de confianza, buscas el valor hacia arriba y abajo. LS = 0.8298 limite superior LI =0.8181 limite inferior
  133. 133. Aplicación Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica es 0.05 segundos. ¿De qué tamaño ha de tomarse una muestra de medidas para tener una confianza del : a.- 95% y b.- 99% de que el error de la estimación no supera 0.01 segundos (o sea que sea menor a 0.01 segundos). +/- Zc * σ/√N Esto se considera como error de estimación
  134. 134. (1.96)(0.05)/√N < 0.01 Mismo caso para el 99% donde z=2.58
  135. 135. Aplicación: Una muestra al azar de 50 calificaciones de matemáticas de entre un total de 200, revela una media de 75 y una desviación típica de 10. a.- ¿Cuáles son los limites de confianza 95% para estimaciones de la media de las 200 calificaciones? b.- ¿Con qué grado de confianza podríamos decir que la media de las 200 es 75+/-1?
  136. 136. Como la población no es muy grande comparada con el tamaño de muestra, debemos tenerlo en cuenta. 75 +/- (1.64*(10)/√50)(√(200-50)/(200-1) 75 +/- 1.23Zc 1.23Zc =1 Encuentra el Zc y luego encuentras el área con la tabla de distribución normal
  137. 137.  Si el estadístico S es la proporción de éxitos en una muestra de tamaño N sacada de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos (o sea, la probabilidad de éxitos), entonces los limites de confianza para p vienen dados por:  p +/- Zc σp , donde p es la proporción de éxitos en la muestra de tamaño N.  Si el muestreo es de una población infinita o finita con reposición  p +/- Zc √(pq/N)  Si el muestreo es de una población finita de tamaño Np y sin reposición.  p +/- Zc √(pq/N) * √(Np-N)/(Np-1)
  138. 138. Aplicación: Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55% de ellos estaban a favor de un cierto candidato. Hallar los limites de confianza. a.- 95% b.- 99% c.- 99.73% para la proporción de todos los votantes favorables a ese candidato.
  139. 139. 0.55 +/- 1.96√(0.55)(0.45)/100
  140. 140. Aplicación: En 40 lanzamientos de una moneda, han salido 24 caras. Hallar los límites de confianza. a.- 95% b.- 99.73% para la proporción de caras que se obtendrían en un numero ilimitado de lanzamientos de esa moneda.
  141. 141. Si el muestreo es de una población infinita o finita con reposición p +/- Zc √(pq/N) P=24/40 N=40 Zc buscar en la tabla.
  142. 142.  Si S1 y S2 son dos estadísticos muéstrales con distribuciones de muestreo aproximadamente normales, los límites de confianza para la diferencia de los parámetros de población correspondientes a S1 y S2 vienen dados por: S 1  S 2  Z c s 1 s 2  S 1  S 2  Z c  s 1   s 2 2 2 Mientras que los limites de confianza para la suma de los parámetros de población vienen dados por S 1  S 2  Z c s 1 s 2  S 1  S 2  Z c  s 1   s 2 2 2 Los limites de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales, en el caso de poblaciones infinitas, se calculan como: 1 2 2 2 X 1  X 2  Z c x 1 x 2  X 1  X 2  Z c  N1 N2
  143. 143. Los limites de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales, con poblaciones infinitas, están dados por: p1(1  p1) p 2(1  p 2) P1  P2  Z c p 1 p 2  P1  P2  Z c  N1 N2
  144. 144. Aplicación Tienda en el centro Tienda en el centro de la ciudad comercial Tamaño de muestra N1=36 N2=49 Media muestral 40 años 35 años Desviación estándar 9 años 10 años poblacional 1 2 2 2 X 1  X 2  Z c x 1 x 2  X 1  X 2  Z c  N1 N2 En promedio los clientes del centro de la ciudad 2 2 son 5 años mayores que 9 10 los del centro comercial, 40  35  1 . 96  pero con un 95% de 36 49 confianza esta la diferencia entre 0.94 y 5  4 . 06 9.06 años. El margen de error es de 4.06 años y la estimación por intervalo de 95% de confianza de la diferencia entre las medias poblacionales va de 5-4.06=0.94 años a 5+4.06=9.06 años.
  145. 145. Aplicación: Una muestra de 150 lámparas del tipo A ha dado una vida media de 1400 hrs. Y una desviación típica de 120 hrs. Una muestra de 200 lámparas del tipo B dan vida media de 1200 h y desviación típica de 80 horas. Hallar los límites de confianza: a.- 95% y b.- 99% para la diferencia de las vidas medias de las poblaciones de ambos tipos.
  146. 146. 1400-1200 +/- 1.96√(120)2/150 + (80)2/100
  147. 147. Aplicación: En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron un cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 jóvenes reconocieron que les había gustado. Determinar los limites de confianza a.- 95% b.- 99% para la diferencia en proporciones de todos los adultos y jóvenes que vieron con agrado el programa.
  148. 148. P1=300/600 =0.50 P2=100/400=0.25 0.50-0.25 +/- 1.96√(0.50)(0.50)/600 +(0.25)(0.75)/400
  149. 149. Intervalos de confianza para desviaciones típicas Los límites de confianza para la desviación típica σ de una población normalmente distribuida, estimados con una muestra con desviación típica s, vienen dados por:  s  z c s  s  z c 2N
  150. 150. Aplicación La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 horas. Hallar los límites de confianza. a.- 95% b.- 99% para la desviación típica de ese tipo de bombillas.
  151. 151. 100 +/- 1.96(100)/√400
  152. 152. Inferencias acerca de la diferencia entre medias poblacionales:σ1 y σ2 desconocidas (desviaciones estándar poblacionales desconocidas) La inferencia sobre la diferencia entre dos medias poblacionales se extiende al caso en el que las dos desviaciones estándar poblacionales, σ1 y σ2 no se conocen . En este caso para estimar las desviaciones estándar poblacionales desconocidas se emplean las desviaciones estándar muéstrales, s1 y s2. Cuando se usan las desviaciones estándar muéstrales en las estimaciones por intervalo y en las pruebas de hipótesis, se emplea la distribución t en lugar de la distribución normal estándar. x1  media muestra 1 2 2 s1 s2 x 2  media muestra 2 x1  x 2  t  / 2  n1 n2 t  / 2  valor de la t student s1  desviación es tan dar de la muestra 1 s 2  desviación es tan dar de la muestra 2
  153. 153. Ejemplo: Encontrar el valor de la t student, con un 95% de confianza y 7 grados de libertad. (2 colas) t=2.36
  154. 154. Ejemplo: Bancomer, realiza un estudio para identificar diferencias entre las cuentas de cheques de sus clientes en dos de sus sucursales; toma una muestra aleatoria simple de 28 cuentas de la sucursal Sauz y otra muestra aleatoria simple e independiente de 22 cuentas de cheques de la sucursal Patria. A continuación se presenta un resumen de los saldos en esas cuentas. Sauz Patria Tamaño de la n1=28 n2=22 muestra Media muestral x1=$1025 x2=$910 Desviación s1=$150 s2=$125 estándar muestral El banco desea estimar la diferencia entre el saldo medio en las cuentas de cheques de clientes del Sauz y el saldo medio en las cuentas de cheques de la sucursal Patria.
  155. 155. 2 s 2 s2 2   1    n n2   1  gl  2 2  1  s 12   1  s 2 2         n  1  n   n  1  n   1  1   2  2  Grados de libertad: distribución t , con dos muestras aleatorias independientes. 47.8 se redondea a 47 115 +/- 78
  156. 156. Estimación por intervalo de la media poblacional: ¿ Se puede considerar que se SI conoce la desviación NO estándar poblacional σ? Use la desviación estándar muestral s para estimar σ s  xt x  Zc n n
  157. 157. Aplicación: Las primeras semanas del 2004 fueron buenas para el mercado de acciones. En una muestra de 25 fondos abiertos se encontraron las siguientes ganancias obtenidas desde el principio del año al 24 de enero del 2004. 7.0 3.2 1.4 5.4 8.5 2.5 2.5 1.9 5.4 1.6 1.0 2.1 8.5 4.3 6.2 1.5 1.2 2.7 3.8 2.0 1.2 2.6 4.0 2.6 0.6 a.-¿Cuál es la estimación puntual de la media poblacional de las ganancias en fondos abiertos desde principio del año hasta esa fecha? b.-Puesto que la población tiene una distribución normal, calcule un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional de las ganancias en fondos abiertos desde el principio del año hasta esa fecha.
  158. 158. Probabilidad de una sola cola. Valores t de Student y probabilidad P asociada en función de los grados de libertad gl. Si la prueba es de dos colas, el valor de α lo divides entre dos y lo buscas en esta fila
  159. 159. Si deseas, buscar el valor de la t student en Excel, puedes usar la función DISTR.T.INV, te pedirá la probabilidad esto es el nivel de significancia, tu se lo pones dependiendo si es una cola o dos colas, acuérdate que si es dos colas, divides el valor de α entre dos.
  160. 160. Repaso: La media y desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables, son 11.09 y 0.73 toneladas, respectivamente. Hallar los limites de confianza. a.-95% b.-99% para la media de las cargas máximas soportadas por los cables de este tipo.
  161. 161. Repaso: Se espera que una elección entre dos candidatos sea muy reñida. ¿Cual es el mínimo número de votantes a sondear si se quiere tener un 95% de confianza sobre la decisión a favor uno de otro?
  162. 162.  Introducción  Errores tipo I y tipo II  Potencia de la prueba.  Formulación de hipótesis estadísticas.  Prueba de hipótesis para la media.  Prueba de hipótesis para la diferencia de medias.  Prueba de hipótesis para la proporción.  Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones.  Prueba de hipótesis para la varianza.  Prueba de hipótesis para la relación de varianzas.
  163. 163. La prueba de hipótesis comienza con una suposición, llamada hipótesis, que hacemos con respecto a un parámetro de población. Después recolectamos datos de muestra, producimos estadísticas de muestra y usamos esta información para decidir qué tan probable es que sea correcto nuestro parámetro de población acerca del cual hicimos la hipótesis. Digamos que suponemos cierto valor para una media de la población. Para probar la validez de nuestra suposición recolectamos datos de muestra y determinamos la diferencia entre el valor real de la media de dicha muestra. Después juzgamos si la diferencia obtenida es significativa o no. Mientras mas pequeña sea la dicha diferencia, mayor será la probabilidad de que nuestro valor hipotetizado para la media sea correcto. Mientras mayor sea la diferencia, más pequeña será la probabilidad.
  164. 164. Elaboración de las hipótesis nula y alternativa En algunas aplicaciones no parece obvio cómo formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Se debe tener cuidado en estructurar las hipótesis apropiadamente de manera que la conclusión de la prueba de hipótesis proporcione la información que el investigador o la persona encargada de tomar decisiones desea.
  165. 165. Prueba de una hipótesis de investigación Considere un determinado modelo de automóvil en el que el rendimiento de la gasolina es 24 millas por galón. Un grupo de investigación elabora un nuevo sistema de inyección de combustible diseñado para dar un mejor rendimiento en millas por galón de gasolina. Para evaluar el nuevo sistema se fabrican varios de éstos, se instalan en los automóviles y se someten a pruebas controladas de manejo. En este caso, el grupo de investigación busca evidencias para concluir que el nuevo sistema aumenta la media del rendimiento. La hipótesis de investigación es, entonces que el nuevo sistema de inyección de combustible proporciona un rendimiento medio mayor a 24 millas por galón de combustible; es decir, μ>24. Como lineamiento general, una hipótesis de investigación se debe plantear como hipótesis alternativa. Ho: μ≤24 Ha: μ>24 (la hipótesis que tu quieres probar la pones como alternativa)
  166. 166. Prueba de la validez de una afirmación: A manera de ejemplo de la prueba de validez de una afirmación, considere una situación en la que un fabricante de refrescos asegura que los envases de dos litros de refresco contienen en promedio, por lo menos 67.6 onzas de liquido. Se selecciona una muestra de envases de dos litros y se mide su contenido para confirmar lo que asegura el fabricante. En este tipo de situaciones de prueba de hipótesis, se suele suponer que el dicho del fabricante es verdad a menos que las evidencias muéstrales indiquen lo contrario. Ho: μ≥67.6 Ha: μ<67.6 En toda situación en la que se desee probar la validez de una afirmación, la hipótesis nula se suele basar en la suposición de que la afirmación sea verdadera
  167. 167. Prueba en situaciones de toma de decisión: Cuando se prueba una hipótesis de investigación o la validez de una afirmación, se toman medidas si se rechaza Ho; sin embargo, en algunas situaciones se toman tanto si no se puede rechazar Ho como si se puede rechazar Ho. En general, este tipo de situaciones se presentan cuando la persona debe tomar una decisión tiene que elegir entre dos líneas de acción, una relacionada con la hipótesis nula y otra con la hipótesis alternativa. Por ejemplo, con base en una muestra de las piezas de un pedido recibido, el inspector de control de calidad tiene que decidir si acepta el pedido o si lo regresa al proveedor debido a que no satisface las especificaciones. Suponga que una especificación para unas piezas determinadas sea que su longitud deba ser de 2 pulgadas. Si la longitud media es menor o mayor a dos pulgadas, las piezas ocasionarán problemas de calidad en la operación de ensamblado. Ho: μ=2 Ha: μ≠2
  168. 168. Ejemplo: Una línea de operación está diseñada para llenar empaques de 32 onzas de detergente para lavar. Con periodicidad se selecciona una muestra de los empaques y se pesan para determinar si no se están llenando con un peso mayor o menor al indicado. Si los datos muéstrales llevan a la conclusión de que hay exceso o falta de llenado, se suspende la producción y se ajusta al llenado correcto. a.-Formule las hipótesis nula y alternativa que ayudarán a determinar si se debe detener la producción y ajustar el peso. Comente.
  169. 169. Errores tipo I y II Las hipótesis nula y alternativa son afirmaciones opuestas acerca de la población. Una de las dos, ya sea la hipótesis nula o la hipótesis alternativa es verdadera, pero no ambas. Lo ideal es que la prueba de hipótesis lleve a la aceptación de Ho cuando Ho sea verdadera y al rechazo de Ho cuando Ha sea verdadera. Por desgracia, las conclusiones correctas no siempre son posibles. Como la prueba de hipótesis se basa en una información muestral debe tenerse en cuenta que existe la posibilidad de error. Situación en la población Ho es verdadera Ha es verdadera Conclusión Se acepta Ho Conclusión Error tipo II correcta Se rechaza Ho Error tipo I Conclusión correcta
  170. 170. Síntesis de las pruebas de hipótesis para la media poblacional caso σ conocida. Prueba de la cola Prueba de la cola Prueba de dos colas inferior superior Hipótesis Ho:μ≥μo Ho:μ≤μo Ho:μ=μo Ha: μ<μo Ha: μ>μo Ha: μ≠μo Estadístico de x  o x  o x  o prueba z  z  z     n n n Regla de rechazo: Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si método del valor-p valor-p≤α valor-p≤α valor-p≤α Regla de rechazo: Rechazar Ho Rechazar Ho Rechazar Ho método del valor si z≤-zα si z≥-zα si z≤-zα/2 crítico o si z ≥zα/2
  171. 171. Aplicación 1 Un fabricante suministra los ejes traseros para los camiones correo del Servicio Postal. Estos ejes deben soportar 80,000 lb por pulg2 en pruebas de carga, pero un eje excesivamente fuerte eleva los costos de producción de manera significativa. La larga experiencia indica que la desviación estándar de la fuerza de sus ejes es 4,000 lb por pulg2. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes de la producción, los prueba y encuentra que la capacidad de carga media de la muestra es 79,600 lb por pulg2 Media población= 80,000 σ= desviación estándar población= 4,000 n= 100 tamaño de muestra Media de muestra= 79,600
  172. 172. Ho: μ=80,000 hipótesis nula: la media real es 80,000 lb por pulg2 H1: μ≠ 80,000 hipótesis alternativa: la media real no es 80,000 α= 0.05 nivel de significancia para probar esta hipótesis. σx = σ/raiz n x  o z   n
  173. 173. Aplicación 2 Una empresa de investigación sobre bienes raíces, vigila los montos de las rentas de departamentos en Estados Unidos. A mediados de 2002, la renta promedio de un departamento era $895, por mes. Suponga que según los estudios trimestrales anteriores, es razonable suponer que la desviación estándar poblacional es σ=$225. En un estudio reciente, en una muestra de 180 departamentos en todo el país se obtuvo una media de 1025. ¿Estos datos muéstrales permiten que se concluya que la media de la renta actual de departamentos es superior a la media encontrada en 2002? 1. Dé la hipótesis nula y alternativa 2. ¿Cuál es el valor-p? 3. Con α=0.01, ¿cuál es su conclusión?
  174. 174. Ho: μ≤895 Ha: μ>895 (la hipótesis que tu quieres probar la pones como alternativa) x  o z   n
  175. 175. La diferencia en tamaño entre muestras grandes y pequeñas es importante cuando no se conoce la desviación estándar de la población σ y se hace necesario estimarla a partir de la desviación estándar de la muestra. Si el tamaño de la muestra n es de 30 o menor y σ se desconoce, debemos utilizar la distribución t. La distribución t apropiada tiene n-1 grados de libertad. Estas reglas también se aplican a la prueba de hipótesis.  x  n
  176. 176. Aplicación 3 Una empresa sostiene que el salario medio por hora de sus trabajadores es de 500 pesos. El sindicato sospecha que la empresa exagera el valor del salario medio por hora. En una muestra de 400 trabajadores, el sindicato encuentra que el salario medio por hora es de 490 pesos con una desviación estándar de 60 pesos. a. Plantear la hipótesis nula y alterna b. Llegar a una conclusión respecto a la afirmación de la empresa, con un 5% de nivel de significación. x  o z   n
  177. 177. Ho: media= Ha: media < 500 490  500 z  60 400
  178. 178. Aplicación 4 (Tarea) El departamento de control de calidad de “Tigre Toñi” especifica que el peso promedio por paquete de cereal debe ser de 20 onzas. Periódicamente se selecciona una muestra de cajas llenas, que se pesan para determinar si están faltas o sobradas de llenado. Si los datos de la muestra llevan a la conclusión de que les falta o sobra cereal, se debe parar la línea de producción y hacer los ajustes necesarios para que el llenado sea correcto. a) Formule las hipótesis nula y alternativa que ayuden a decidir si es conveniente parar y ajustar la línea de producción o no. b) ¿Cuál es el error de tipo I en este caso? ¿Cuáles son las consecuencias de cometerlo?
  179. 179. Aplicación 5 (Tarea) En una encuesta, un investigador obtuvo la estimación de que la media del número de horas de ver TV por familia es de 7.25 horas diarias. Suponga que en esta encuesta participaron 200 familias y que la desviación estándar de la muestra fue de 2.5 horas diarias. Hace 10 años, la media de la población de horas de TV era de 6.70 por familia. Si =la media de la población del número de horas de ver TV por familia hace 10 años, pruebe la hipótesis H 0 :   6 .70 y H a :   6 .70 Use =0.01. ¿Cuál es el valor crítico del estadístico de prueba y cuál es la regla de rechazo? Calcule el valor del estadístico de prueba. ¿cuál es su conclusión?
  180. 180. Pruebas de hipótesis para proporciones: p  p0 p 0  proporción hipotetica z p  proporción muestral p 0 (1  p 0 ) n  tamaño de muestra n Ejemplo: En años anteriores 20% de los jugadores del campo eran mujeres. Para aumentar la proporción de mujeres se realizó una promoción especial. Un mes después de realizada la promoción, el administrador del campo solicita un estudio estadístico para determinar si la proporción de jugadoras ha aumentado. p 0  0 . 20 0 . 25  0 . 20 z  2 .5 p  0 . 25 0 . 20 (1  0 . 20 ) n  400 400 H 0  p  0 . 20 para un 95 % confianza Ha  p  0 . 20 prueba una cola z  1 . 64 por lo tan to se rechaza la Ho
  181. 181. Aplicación 2 En un estudio acerca de la rotación de puestos, un investigador entrevista a una muestra aleatoria de 200 empleados de alto nivel que cambiaron de trabajo el año anterior. Treinta afirman haberlo hecho a causa de la ausencia de perspectivas de ascenso en sus anteriores trabajos. a) Empleando un nivel de significancia de 0.05, ¿ofrecen estos datos suficiente evidencia que indique que menos del 20% de esos empleados cambian de trabajo por ese motivo? b) Cuál es el valor p-value? p  p0 z p 0 (1  p 0 ) n
  182. 182. n  200 30 p   0 . 15 El p-value, es el valor del 200 17 p0   0 . 85 área de la colita 20 0 . 15  0 . 20 z   0 . 15 ( 0 . 85 ) 200
  183. 183. Pruebas de hipótesis acerca µ1 - µ2 Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis acerca de µ1 y µ2 σ1 y σ2 desconocidas. Nota: considerar a Do=0, esto quiere decir que no hay ( x1  x 2 )  D 0 diferencia entre las medias t  poblacionales. 2 2 s s 1  2 n1 n2 2 s s 2 2   1  2   n n2   1  gl  2 2  1  s 12   1  s 2 2         n  1  n   n  1  n   1  1   2  2 
  184. 184. Tecnología existente Software nuevo 300 274 280 220 344 308 385 336 372 198 360 300 288 315 321 258 376 318 290 310 301 332 283 263 Tamaño de muestra n1=12 n2=12 Media Muestral X1=325 X2=286 Desviación estándar muestral s1=40 s2=44
  185. 185. El investigador encargado de la evaluación del nuevo software espera poder demostrar que con el nuevo software se necesita menos tiempo para el proyecto del sistema de información. De manera que el investigador tratará de hallar evidencias que le permitan concluir que µ2 es menor que µ1 Ho: µ1-µ2≤0 Ha: µ1-µ2>0 Nivel de significancia α=0.05
  186. 186. Probabilidad de una sola cola. Valores t de Student y probabilidad P asociada en función de los grados de libertad gl. α Nivel de significancia
  187. 187. Inferencias acerca de la diferencia entre dos medias poblacionales: muestras pareadas. Trabajador Tiempo para Tiempo para Diferencia entre (di – Media de las realizar la tarea realizar la tarea los tiempos (di) diferencias)^2 con el método 1 con el método 2 (minutos) (minutos) 1 6.0 5.4 0.6 (0.6-0.30)^2= 2 5.0 5.2 -0.2 3 7.0 6.5 0.5 4 6.2 5.9 0.3 5 6.0 6.0 0 6 6.4 5.8 0.6 Media de las ∑ diferencias=0.30
  188. 188. d  d i n d  0 . 30 media de las diferencia s 0 . 56 sd   0 . 335  (d d) 2 sd  i 5 n 1 desviación es tan dar
  189. 189. Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis con muestras pareadas. d  d t calculada  sd n d  0 . 30 d  0 sd  0 . 335 n6 t calculada=2.20
  190. 190. Para el problema anterior: Ho: µd=0 Ha: µd≠0 α=0.05 Para dos colas α/2 = 0.025 n-1= grados de libertad=6-1 t= ¿? Conclusión, se acepta Ho que no hay diferencia entre las medias. t critica=2.571
  191. 191. Regla de decisión, usando el método de p- value. p-value ≤ α nivel significación, se rechaza la hipótesis nula, caso contrario se acepta la hipótesis nula.
  192. 192. Prueba de hipótesis acerca de p1-p2 Error estándar: p 1 (1  p 1 ) p 2 (1  p 2 )  p 1 p 2   n1 n2 Estadístico de prueba para pruebas de hipótesis acerca de p1- p2 ( p1  p 2 ) z  1 1 p (1  p )(  ) n1 n2 n1 p 1  n 2 p 2 p  n1  n 2
  193. 193. Aplicación: Una empresa se dedica a elaborar declaraciones de impuestos, suponga que la empresa desea realizar una prueba de hipótesis para determinar si las proporciones de errores de las dos oficinas son diferentes. Ho: p1-p2=0 Ha: p1-p2≠0 α=0.10 p1=0.14 n1=250 p2=0.09 n2=300
  194. 194. Aplicación: Durante el partido Chivas, Atlas, un comercial de la cervecería, conocido como las Chicas Sol, fue uno de los tres más efectivos televisados durante el evento. Una encuesta para ver la efectividad de los comerciales, empleó muestras por grupos de edades para ver el efecto de la publicidad en el partido Chivas, Atlas sobre los distintos grupos de edades. A continuación se presentan los resultados muéstrales respecto del comercial de la marca cerveza. Edad Tamaño de muestra Le gustó mucho el comercial Menos de 30 años 100 49 De 30 a 49 años 150 54 a.- Formule una prueba de hipótesis para determinar si las proporciones poblacionales de los dos grupos de edades difieren. b.-Dé la estimación puntual de la diferencia entre las dos proporciones poblacionales. c.-Realice la prueba de hipótesis y dé el valor-p. Con α=0.05, ¿cuál es su conclusión? d.-Analice la forma en que el comercial llama la atención del grupo de menor y de mayor edad. ¿Le parecerá a la empresa cervecera que los resultados de esta encuesta le son favorables?
  195. 195. Ho: p1-p2=0 Ha: p1-p2≠0 α= p1= n1= p2= n2=
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