1. INFERENCIA ESTADISTICA

3. Estimación Puntual Un estimador puntual permite hacer una inferencia acerca de una población estimando el valor de un parámetro desconocido usando un solo valor o punto obtenido de una muestra. Distribución poblacional Parámetro ? Distribución muestral Estimador puntual

7. Procedimientos para Pruebas de Hipótesis Evaluar los datos Revisar las suposiciones Formular la hipótesis Seleccionar el nivel de significancia y el estadístico de prueba Determinar la distribución del estadístico de prueba Formular la región de decisión Calcular la estadística de prueba Formular la decisión Estadística No rechazar Ho Concluir que Ho puede ser verdadera Rechazar Ho Concluir que Ha es verdadera

8. Formulación de las Hipótesis La hipótesis que será sometida a prueba se suele designar por H o y se llama Hipótesis nula o Hipótesis de no diferencia , porque parte del supuesto que la diferencias entre el valor verdadero del parámetro y su valor hipotético es debida al azar, es decir no hay diferencia. Se establece con el propósito de ser rechazada. La hipótesis contraria se designa por H 1 y se llama Hipótesis alternativa . También se le conoce como hipótesis del investigador o de la investigación . Describe lo que ha de considerarse si la hipótesis nula es rechazada. Los contrastes de hipótesis pueden ser unilaterales o bilaterales (también llamados de una o dos colas) según establezcamos las hipótesis, si las definimos en términos de igual y distinto (= ó ≠) estamos ante una hipótesis unilateral, si suponemos una dirección (en términos de mayor o menor que el valor del parámetro) estamos ante uno unilateral.

9. Formulación de las Hipótesis Reglas para decidir qué proposición se utiliza como hipótesis nula y cuál como alternativa a. La conclusión a la que se desea o esperar llegar como resultado de la prueba se usa como hipótesis alternativa b. La hipótesis debe contener una proposición de igualdad, ya sea =,  ,  . c. La hipótesis nula es la que debe ser comprobada. d. Ambas son complementarias. Es decir, las dos contemplan de manera exhaustiva todos los valores posibles que los parámetros de suposición pueden asumir

10. Estadístico de Prueba Es un número, obtenido a través de los valores de una muestra. Este número, al compararse con el valor critico ( Número que es el punto divisorio entre la región de aceptación y la región de rechazo ), es utilizado para tomar la decisión de no rechazar o rechazar la hipótesis nula. Nivel de significación: α Número pequeño: 1% , 5% Es la probabilidad de rechazar Ho cuando es cierta. Es un valor arbitrario seleccionado a priori por el investigador de acuerdo a su experiencia y deseo. Valores del nivel de significación Nivel de Confianza   /2 Z  /2 0,90 0,10 0,05 1,645 0,95 0,05 0,025 1,96 0,98 0,02 0,01 2,33 0,99 0,01 0,005 2,575

11. Región critica o de Decisión Región critica : Conjunto de valores del estadístico de prueba que causa el rechazo de la hipótesis nula. Es conocida también como región de rechazo. El conjunto de valores que no esta dentro de la región critica, se conoce como región de aceptación. Prueba bilateral o de dos colas Ho:  =  o Ha:    o Prueba unilateral de cola izquierda o inferior Ho:    o Ha:    o Prueba unilateral de cola derecha o superior Ho:    o Ha:    o

12. Regla de Decisión y Conclusión Regla de decisión :o decisión estadística : Si el valor calculado del estadístico de prueba queda localizado dentro de la región critica, se rechazará Ho. De lo contrario no se podrá rechazar Ho. Conclusión : Si se rechaza Ho se concluye: “Existe suficiente evidencia para indicar que ...(el enunciado de la Ha ), a un nivel del  % de nivel de confianza”. Si se acepta Ho se concluye: “Existe suficiente evidencia para indicar que ...(el enunciado de la Ha ), a un nivel del  % de nivel de confianza”.

13. Prueba bilateral o de dos colas: Ho:  =  o Ha:    o Prueba unilateral de cola izquierda o inferior: Ho:    o Ha:    o Prueba unilateral de cola derecha o superior: Ho:    o Ha:    o

15. Minimizar los errores no es una cuestión sencilla, un tipo suele ser más grave que otro y los intentos de disminuir uno suelen producir el aumento del otro. La única forma de disminuir ambos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra. Acción correcta Error Tipo I Muy grave Rechazar Ho Error Tipo II Menos grave Acción correcta Aceptar Ho Falsa Verdadera Condición de la Hipótesis Nula (Ho) Acción Posible

17. Diagrama de flujo para decidir entre utilizar z y t cuando se hagan inferencias respecto a las medias de la población La población tiene una distribución normal ¿La muestra es grande? ¿Se conoce la varianza de la población? Si ¿Se conoce la varianza de la población? Si ¿Se conoce la varianza de la población? ¿Se conoce la varianza de la población? No No Si No Si No Si No Si ¿La muestra es grande? No Si z t z t z z . . z o Si No Se aplica el Teorema del Límite Central

18. Pruebas para la media de una población

19. Ejemplo1: Prueba de Hipótesis cuando n es grande y se conoce la δ Un fabricante ha desarrollado un nueva fibra sintética que se considera tiene una resistencia a la ruptura de 8 Kg, con una desviación típica de 0,5 Kg. Queremos probar, a nivel α = 0,01, la hipótesis de que μ = 8 Kg frente la alternativa de que μ≠ 8 Kg, sabiendo que en una muestra aleatoria simple de 50 trozos de la fibra la resistencia a la ruptura media es 7,8 Kg. Solución: Calculando p: Se observa que este valor menor al del valor del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados n = 50 La regla de decisión dice que Ho se rechaza si -2,58< z <2,58.Como z = -2,83 cae en la región de rechazo por lo que Ho es rechazada. Concluimos que la resistencia a la ruptura media no es igual a 8 Kg. Parece que es, en realidad, menor que 8 Kg. (Utilizando el valor P, observamos que es posible rechazar la hipótesis nula al nivel 0,0047, un nivel mucho menor que 0,01.)

20. Ejemplo 2: Prueba de Hipótesis cuando n es pequeño y se desconoce la δ La tasa actual para producir fusibles de 5 amp en Neary Electric Co. es 250 por hora. Se compró e instaló una máquina nueva que, según el proveedor, aumentará la tasa de producción. Una muestra de 10 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora en la nueva máquina es 256, con desviación estándar muestral de 6 por hora. Con 0.05 de nivel de significancia, ¿puede Neary concluir que la nueva máquina es más rápida? Solución: Calculando p: Se observa que este valor NO excede al del valor del nivel de significancia (0.05) concordando con los resultados n = 10 Ho se rechaza si t > 1,833. Como t = 3,16 cae en la región de rechazo entonces Ho es rechazada. Por lo que se puede concluir que la nueva maquina es mas rápida y que es posible rechazar la hipótesis nula al nivel 0,006, un nivel mucho menor que 0,05.

22. Pruebas para la diferencia de medias de dos poblaciones

23. Ejemplo 3: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes del número de puestos de trabajo creados en los últimos seis mes por dos empresas constructoras. Con el fin de conocer el impacto de las nuevas modalidades de contratación en ambos empresas y suponiendo que el número de empleos creados siguiera en ambos empresas distribuciones normales con varianzas iguales : ¿Podríamos afirmar con un 99% de confianza, que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados en los últimos seis mes? Ho se rechaza si t > 3,16. Como t = -2,71 cae en la región de aceptación entonces Ho es aceptada. Por lo que se puede concluir que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados. Admitiéndose la similaridad en la creación de empleos de ambas empresas.

24. Ejemplo 4: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias Se seleccionan dos muestras aleatorias e independientes del número de puestos de trabajo creados en los últimos seis mes por dos empresas constructoras. Con el fin de conocer el impacto de las nuevas modalidades de contratación en ambos empresas y suponiendo que el número de empleos creados siguiera en ambos empresas distribuciones normales con varianzas diferentes : ¿Podríamos afirmar con un 99% de confianza, que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados en los últimos seis mes? Ho se rechaza si t > 3,36. Como t = -2,71 cae en la región de aceptación entonces Ho es aceptada. Por lo que se puede concluir que ambas empresas son similares en cuanto al número medio de empleos creados. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.01) concordando con los resultados. Admitiéndose la similaridad en la creación de empleos de ambas empresas.

25. Ejemplo 5: Prueba de Hipótesis para Diferencias de Medias con Muestras Dependientes Un fabricante desea comparar la resistencia al desgaste de dos tipos distintos de llantas A y B. Para hacer la comparación, asigno al azar una llanta A y una B a las ruedas posteriores de cinco automóviles. Los automóviles recorrieron un número especifico de kilómetros y se observó el desgaste de cada llanta. Brindan estos datos suficiente evidencia para encontrar que existen diferencias significativas entre el desgaste medio de los dos tipos de llantas con un α = 0,05? Ho se rechaza si t > 2,78 Como t = 12,83 cae en la región de rechazo entonces Ho es rechazada. Por lo que se puede concluir que hay diferencias significativas en el desgaste medio de los dos tipos de llantas Calculando p: Se observa que este valor es menor que del nivel de significancia (0.05) concordando con los resultados, acerca de que existen diferencias entre el desgaste medio de los dos tipos de llantas.

26. Pruebas para la proporción

27. Ejemplo 6. Prueba de hipótesis para la proporción de una población En un estudio diseñado para investigar si ciertos detonadores empleados con explosivos en una mina de carbón cumplen con los requerimientos de que al menos 90% encenderá el explosivo al ser detonado, se encontró que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Compruebe esta hipótesis con un nivel de significancia de 0.05. H 0 se rechaza si z < -1,645 Dado que z = -1,41, no es menor que -1,645, H 0 no puede ser rechazada. En otras palabras, no hay suficiente evidencia para afirmar que la clase determinada de detonador no cumple con las normas. Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.05) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

28. Ejemplo 7. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos proporciones Un estudio señala que 16 de 200 tractores producidos en una línea de ensamblado requieren ajustes minuciosos antes de ser embarcados, y lo mismo sucede con 14 de 400 tractores producidos en otra línea de ensamblado. Con un nivel de significancia de 0,01, ¿apoya esto la afirmación de que la segunda línea de producción efectúa un trabajo mejor? Ho se rechaza si z > 2,33, y como z = 2,38 cae en la región de rechazo. Se concluye que la proporción real de tractores que requieren ajustes minuciosos es mayor en la primera línea de ensamblado que en la segunda. Calculando p: Se observa que este valor es menor que del nivel de significancia (0.01) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

29. Pruebas para la varianza

30. Ejemplo 8. Prueba de hipótesis para la varianza de una población Un fabricante de baterías para automóviles afirma que la vida de sus baterías está aproximadamente distribuidas en forma normal con una desviación estándar de 0,9 años. Si una muestra aleatoria de 10 de estas baterías tiene una desviación estándar de 1,2 años, ¿con un nivel de confianza de 0,05, se puede pensar que δ > 0,9 años? Ho se rechaza si λ ² > 16,919, y como λ ² = 16,0 cae en la región de aceptación. Se concluye que no hay razones suficientes para dudar que la desviación estándar es 0,9 años Calculando p: Se observa que este valor es mayor que del nivel de significancia (0.05) por lo que no es posible rechazar la hipótesis nula.

31. Ejemplo 9. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos varianzas Se realizó una prueba de la diferencia que puede darse entre la resistencia abrasiva de dos materiales laminados, para ello se supuso que las varianzas de las dos poblaciones eran desconocidas pero iguales. Con un nivel de significancia de 0,05, ¿había razón para hacer esta suposición?. Los datos del problema son: La hipótesis nula es rechazada cuando f < 0,34 ó f > 3,10 Dado que f = 0,64 se encuentra en la región de aceptación, se acepta la hipótesis de suponer que las varianzas de las poblaciones eran iguales. Cálculo de P El valor p es mucho mayor que el nivel de confianza 0,05 lo que nos indica que la probabilidad de que las diferencias encontradas se deban al azar son demasiado grandes para aceptar la hipótesis alternativa