1. UNIVERSIDAD NACIONAL
SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO
TEMA
MAGNITUDES FISICAS
VECTORES
DOCENTE : GARCÍA PERALTA JOSÉ ALFREDO

2. CAMPOS
VECTORIALES
Y
ESCALARES

3. v
r
Un campo escalar representa la
distribución espacial de una magnitud
escalar, asociando un valor a cada
punto del espacio

4. Muchas leyes Físicas, implican no solo relaciones algebraicas
entre cantidades, sino relaciones geométricas. Por ejemplo
imaginemos el movimiento de una peonza que gira alrededor de
su eje. Esta representación geométrica es complicada para
representarla por medio de ecuaciones algebraicas. Si usamos
vectores para representar las variables físicas, una sola ecuación
es suficiente para explicar el comportamiento. Los vectores nos
permiten simplificar muchas leyes físicas.
A veces la forma vectorial de una determinada ley física nos
permite ver relaciones o simetrías.

5. 1. I NTRODUCCIÓN
Para describir cualquier fenómeno físico lo primero que
debemos hacerse es definir magnitudes físicas. Estas
magnitudes físicas tienen propiedades tanto numéricas como
direccionales y están asociadas a elementos matemáticos.
 La selección de estas magnitudes físicas debe hacerse de
forma cuidadosa a fin de conseguir la descripción mas sencilla
posible del fenómeno físico.
 Las magnitudes físicas que usamos a diario en física como en
ingeniería se clasifican en ESCALARES y VECTORIALES.
Estos entes matemáticos que estudiaremos son de orden cero
(escalares) y de orden uno (vectores)
 Las magnitudes físicas son los pilares de las leyes físicas
siendo las magnitudes vectoriales las mas usadas
 Una MAGNITUD FÍSICA es una propiedad o cualidad
medible de un sistema físico, es decir, a la que se la puede
asignar distintos valores como resultado de una medición.

6. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga
bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la
cantidad de esa propiedad que posee el objeto patrón. Por
ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es
el metro en el Sistema Internacional de unidades .
Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con
la medición de longitudes, áreas, volúmenes, masas patrón y
la duración de periodos de tiempo.
Hay otras propiedades que no se pueden medir como el
sabor, el olor, la belleza, etc., no tienen el carácter de
magnitudes físicas
¿QUÉ ES MEDIR?
La operación de medir una cierta magnitud física consiste en
compararla con un patrón o cantidad de la misma magnitud
previamente definida como unidad, determinando el número de
veces que lo contiene.

7. 1.2 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
MAGNITUDES ESCALARES
 Quedan completamente definidas por su valor numérico
(número mas unidad), donde el número pertenece a los
números reales. A tales cantidades se les denomina escalares
 Ejemplos de cantidades escalares : la longitud. El tiempo, la
masa , el área, el volumen, la energía, etc
 Las operaciones que se realizan con cantidades escalares
obedecen al algebra elemental. Solo se operan aquellas que
son de la misma naturaleza o dimensión
L = 12 m
Número

Unidad

8. MAGNITUDES VECTORIALES
 Hay otras magnitudes físicas que no quedan definidas por un
numero real y su unidad es, necesario asignarles una dirección.
A tales magnitudes se les denomina vectoriales
 Ejemplos de magnitudes vectoriales : el desplazamiento, la
velocidad, la aceleración, la fuerza entre otras.
 Las operaciones que se realizan con magnitudes vectoriales
obedecen al algebra vectorial. Solo se operan aquellas que son
de la misma naturaleza o dimensión.
Número

Unidad
v
r
= 39 km/h al Sur
Dirección

9. 1.3 VECTOR Y NOTACIÓN VECTORIAL
VECTOR
 Un vector se define dentro de nuestro espacio euclidiano como
una cierta magnitud que en cualquier sistema coordenado se le
representa como un segmento de recta orientado y dibujado a
escala.
coordenadas
cartesianas
Sistema de coordenadas
cilindricas
Sistema de coordenadas
esféricas
Sistema de

10.  Los vectores se usan para representar de manera geométrica a
las magnitudes vectoriales
NOTACIÓN VECTORIAL
La notación vectorial en física tiene dos grandes ventajas :
 La formulación de una ley física expresada vectorialmente es
independiente del sistema coordenado que se elija.
 La notación vectorial es concisa (muchas leyes físicas tienen
formulación sencilla).
Los vectores se simbolizan con letras que pueden ser mayúsculas
o minúsculas con una flecha encima de la letra o en negrita.
A o a
El módulo se representa
A o a
o aA
ur r
o aA
ur r

11. 1.4 ELEMENTOS DEUN VECTOR
 MÓDULO
El módulo de un vector es proporcional a la longitud del
segmento de recta orientado y siempre es positivo.
DIRECCIÓN
Esta dada por el ángulo ϕ que forma el vector con un eje de
referencia dado.
SENTIDO
Esta dado por la cabeza de flecha del vector
f
módulo
linea de
acción
eje de
referencia
P
Q
Figura 1,1

12. Al punto P se le llama origen del vector y el punto Q
viene a ser el extremo del vector
1.5 CLASES DE VECTORES
Por su origen
VECTORES LIBRES.
Son aquellos vectores que conservando su dirección y sentido
producen el mismo efecto en cualquier punto del espacio.
12

13.  VECTOR DESLIZANTE
Estos vectores mantienen su módulo, dirección, sentido y línea de
acción. Su punto de aplicación puede estar en cualquier punto de
su línea de acción.
VECTOR LIGADO
Es aquel vector que no puede cambiar su punto de aplicación sin

14. cambiar su efecto, es decir, es un vector fijo.
Según como actúan
 POLARES
Son aquellos vectores que no necesitan de ningún criterio para
asignarles su sentido, por ejemplo, la velocidad de una partícula,
la fuerza de interacción sobre un cuerpo. estos vectores no
modifican su sentido en una imagen especular.
L in e a d e a c c ió n
d e l v e c to r
F
r
punto de aplicación del
vector

15.  AXIALES
Son aquellas magnitudes físicas que se pueden considerar como
vectoriales pero es necesario asignarles un sentido a través de un
convenio previamente establecido, por ejemplo, la velocidad
angular de giro (su sentido depende de la rotación),El criterio
adoptado es el de la regla de la mano derecha
1.6 SISTEMA DE REFERENCIA
Un sistema de referencia se define por un par (O, E) donde
El primer elemento O es un punto de referencia arbitrario,
normalmente pertenece a un objeto físico a partir del cual
consideramos las distancias y las coordenadas de posición.
El segundo elemento E es un conjunto de ejes coordenados que
tienen como punto de referencia a O y sirven para determinar la
dirección y sentido del cuerpo en movimiento.

16. Los sistemas de referencia (S.R) pueden ser
S.R cartesiano.
S.R cilíndrico.
S.R esférico.
Siendo el más usado el sistema de referencia cartesiano
1.7 OPRACIONES CON VECTORES
SUMA DE DOS VECTORES
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
A
B
A
B
B= A+R

17.  MÉTODO DEL TRIÁNGULO
 MÉTODO DEL POLIGONO
A
B
A
B
R= A B+
a
r
b
r
c
r
d
r
d
r
b
r
a
r
c
r
R
r

18. Cuando el polígono vectorial es cerrado la resultante vectorial es
cero
0
R a b c d e
R
= + + + +
=
ur r rr r r
ur r
a
r
b
r
c
r
d
r
d
r
b
r
a
r
c
r
e
r
e
rR
r

19. Demostración
DIFERENCIA DE VECTORES
vect ores e y R son vect ores opuest os
R
0
R a b c d e
a b c d R
los
e
R
= + + + +
+ + + =
= -
=
ur r rr r r
r r urr r
urr
ur r
ur r
( )
opuest o
D A B
D A B
B vector
= -
= + -
- =
urur ur
urur ur
ur

20. De manera gráfica
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
Es otro vector cuyo módulo resulta ser K veces el módulo del
vector original. Donde el escalar k € a los números reales
El sentido que adquiere el nuevo vector depende del signo del
escalar k, es decir, el nuevo vector resulta se paralelo al vector
original si k es positivo y antiparaleló al vector original si k es
negativo.
A
r
B
r
B-
r
A
r
D
r

21. En general el nuevo vector puede aumentar o disminuir su
magnitud dependiendo del valor del escalar k.
1.8 LEY DE LOS COSENOS PARA CALCULAR LA
RESULTANTE DE LA SUMA DE DOS VECTORES
a
r
ab k=
r r
ac k= -
r r
k (positivo)
k (negativo)
2 2
2 cosR A B A B q= + +

22. Demostración
Con los vectores libres 𝐴 y 𝐵 formamos un triángulo vectorial
MNT que luego lo completamos para obtener un triángulo
rectángulo MNU
Aplicando el teorema de Pitágoras
f fa
A
r
B
r
cosB f
sB en fR
r
N
UTM
A
r
B
r
2 2 2
( ) ( ) ( )MN MU NU= +

23. Donde
2 2 2
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos
Re
( cos ) ( )
2 cos
MN MU NU
MU MT T U
MN R
MT A
T U B
NU Bsen
emplazando
R A B Bsen
R A B A B
f
f
f f
f
= +
= +
=
=
=
=
= + +
= + +

24. RESULTANTE MAXIMA Y RESULTANTE MINIMA
Si el cos𝜃 = 1 → 𝑅 𝑛𝑎𝑥= 𝐴2 + 𝐵2 + 1𝐴𝐵
𝐴2 + 𝐵2 + 𝑄𝐴𝐵 = (𝐴 + 𝐵)2
𝑅 𝑛𝑎𝑥=A+B
Si el cos𝜃 = −1 → 𝑅 𝑚𝑖𝑛 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵
𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 = 𝐴 − 𝐵 2
𝑅 𝑚𝑖𝑛 = 𝐴 − 𝐵
A
r
B
r
minR A B= -

25. 1.9 COMPONENTES DE UN VECTOR
Un vector tiene infinitas componentes. Estas componentes vienen
a ser las proyecciones sobre los ejes de un determinado sistema
coordenado. Donde
P
o
M
N
1l
2lV
r
1lV
r
2lV
r
1 2l lV V V= +
ur ur ur

26. Componentes cartesianas de un vector en el plano
A partir de la gráfica se observa que
Luego introducimos los vectores unitarios 𝑖 y 𝑗 (de magnitud
unidad cada uno) a lo largo de los ejes x e y
x yF F F= +
ur ur ur
x x
y y
F F i
F F j
=
=
ur r
ur r
y
x
F
r
xF
r
yF
r
fi
r
j
r

27. Entonces el vector se escribe como
Si representamos la magnitud del vector 𝐹 por F y con ϕ el
ángulo entre 𝐹 y el eje x. Se pueden expresar las componentes
escalares de la proyección del vector 𝐹 con los ejes x e y
F
ur
x yF F i F j= +
ur r r
cosx
y
F F
F Fsen
f
f
=
=
cosF F i Fsen jf f= +
ur r r

28. Todo vector en el plano se pede nombrara con dos números
1.8 componentes de un vector en el esPacio
( , )F F F f=
ur ur
F
r
xF
r yF
r
zF
r
xyF
r
q
f
x
y
z
los ángulos
0 360
0 180
Donde
f
q
° £ £ °
° £ £ °
xy x yF F F= +
ur ur ur
la figura, se observa que
xy z
De
F F F= +
ur ur ur
Pr
de en el plano xy
xyF oyección vectorial
F

29. Entonces
x
función de sus component es
F cos
cos
Re
cos ´ cos
x y z
x x
y
z z
xy
y xy
z
xy
F F F F
F F i
Fy F j
F F k
En
F
F F sen
F F
emplazando
F Fsen
F Fsen i Fsen sen j F k
f
f
q
q
q f q f q
= + +
=
=
=
=
=
=
=
= + +
ur ur ur ur
ur r
ur r
ur r
ur rr r

30. Todo vector en el espacio se puede nombrar con tres números
Componentes de un vector en función de sus cosenos
directores
( , , )F F F q f=
ur ur

31. Donde
El vector 𝐹 en función de sus componentes escalares
De la figura, observamos que
, , son los ángulos directores que
forma el vector F con los ejes coodenados
positivos
x y zq q q
ur
F x y zF i F j F k= + +
ur rr r
y zcos cos cos
yx z
x
FF F
F F F

32. El vector fuerza queda expresado
y zF cos cos cosx i j kq q q= + +
ur rr r
2 2 2
y zcos cos cos 1x
Identidad
q q q+ + =
¯

33. Se puede conocer la magnitud del vector 𝐹 y dos ángulos, el
tercero se calcula mediante la identidad.
1.10 VECTOR de posición
El vector de posición 𝑟 se define como un vector fijo, que en el
caso más general puede estar dirigido desde el punto A hacia el
punto B en el espacio.

34. De la figura
Así las componentes del vector de posición 𝑟 pueden obtenerse
tomando las coordenadas del vector 𝑟𝐴 y restarlas de las
coordenadas correspondientes al extremo del vector 𝑟𝐵
1.11 VECTOR DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA LINEA
La fuerza actúa a lo largo de la cuerda AB, esto es, debido a
que la dirección de la fuerza esta especificada por dos puntos. La
fuerza tiene la misma dirección que el vector 𝐴𝐵, esta dirección
común se especifica mediante el vector unitario 𝑒.
F
ur
= -
= + + - + +
r r r
r r r r r r r
( ) ( )
B A
B B B A A A
r r r
r x i y j z k x i y j z k
=
ur r
F Fe =
uuur
r A B
e
A B

35. 1.12 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.
q
A
r
B
r

36. El producto escalar de dos vectores se escribe como 𝐴 ∙ 𝐵 y se define
de la siguiente manera
𝐴 ∙ 𝐵=A B cos𝜃
El producto escalar da como resultado un número
El producto escalar es conmutativo 𝐴 ∙ 𝐵 =𝐵 ∙ 𝐴.
El producto escalar da la condición de perpendicularidad 𝐴 ⊥ 𝐵
Si se conocen las componentes de los vectores 𝐴 y 𝐵
Consideremos el producto escalar de los vectores unitarios para ello
usando la definición de producto escalar.
0 q p£ £
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
= + +
= + +
ur rr r
ur r r

37. Producto escalar de los vectores unitarios
El producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵.
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴 𝑧 𝐵𝑧
1 i 0
j j = 1 j 0
1 k 0
i i j
k
k k i
· = · =
· · =
· = · =
rr r r
rr ur r
r r r r
A
r
B
r

38. PROYECCIÓN ESCALAR-
La protección escalar del vector 𝐵 sobre el vector 𝐴 se escribe como
De la definición del producto escalar
Pr escaB
A
oy
ur
ur

A
r
B
r
B cos 
Ae
r
B cos =Proy escB
A
Pr esc Pr escB B
A
A A
A B
oy oy e B
A



39. 1.13 PRODUCTO vectorial
El producto vectorial de dos vectores se escribe como 𝐴x𝐵 y se define
de la siguiente manera
 El producto vectorial da como resultado un vector.
 El nuevo vector es perpendicular a los vectores 𝐴 y 𝐵.
( )AxB A Bsenq=
ur ur
180q °  
A
r
Ax B
r r

B
r

40. El producto vectorial no es comutativo 𝐴𝑥𝐵 ≠ 𝐵x 𝐴
 El producto vectorial da la condición de paralelismo 𝐴 ∕∕ 𝐵
 El producto vectorial es independiente de la elección de los ejes
coordenados
Si se conoce las componentes de los vectores
Entonces el producto vectorial en función de los vectores unitarios
cartesianos es
Producto vectorial de vectores unitarios
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
= + +
= + +
ur r r
ur r r r
( ) ( )x y z x y zAxB A i A j A k x B i B j B k= + + + +
ur ur r r r r r r
0
0
0
ixi ix j k
jx j jxk i
kxk kxi j
= =
= =
= =
r r r r r r
r r r r r
r r r r r r

41. El producto vectorial también se puede escribir en forma de
determinante
REGLA DE LA MANO DERECHA
AA A
A A
B B B
B B
x yx z x z
x y z
y z x z x y
x y z
i j k
AA A
AxB A i j k
B B B
B
= = - +
r r r
ur ur r r r