1
“La combinatoria trata, ante
todo, de contar el número de
maneras en que unos objetos
dados pueden organizarse de
una de...
«Acuda a nosotros y le
prepararemos. En la última
convocatoria 76 opositores
aprobaron con nuestros textos.
Quince de ello...
10
En 1858 el egiptólogo escocés
A. Henry Rhind compró en
Luxor (Egipto) el papiro que
actualmente se conoce como
papiro R...
11
Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución.
Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas,
...
12
Según iba a St. Ives
me crucé con un hombre con 7
esposas.
Cada esposa tenía 7 sacos,
cada saco tenía 7 gatos,
cada gat...
13
You are eating at Emile’s restaurant and the waiter informs you that you have (a)
two choices for appetizers: soup or j...
Principio multiplicativo (ilustración gráfica)
14
El primer elemento puede escogerse de dos
formas distintas: a1 y a2.
El ...
15
Alfabeto Braille
¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?
      6364222222
654321
→=×××××
16
Musikalisches Würfelspiel y otras creaciones combinatorias
Wolfgang Amadeus Mozart
“juego de dados musical”.
Ahora, el ...
Si para tocar cada uno de ellos tardáramos 30 s, necesitaríamos unos 1.500
millones de años para escucharlos todos.
Para g...
18
¿De cuántas formas se
pueden escoger dos fichas
de dominó de las 28 que
hay, teniendo en cuenta el
orden, y de forma qu...
Escojamos la primera ficha.
Esto se puede hacer de 28 maneras:
En 7 casos la ficha elegida será un “doble”, es
decir, tend...
En el segundo caso, la segunda ficha se puede
escoger de 12 maneras. Por ejemplo para la ficha 35
servirán las 03, 13, 23,...
22
¿Cuántas fotografías distintas
podemos hacer cambiando a
los personajes de posición?
¿Cuántas permutaciones son
posible...
Permutaciones (sin repetición)
23
Dados n objetos distintos, llamamos permutación a una
ordenación particular de los n obj...
24
Con las letras de la palabra
DISCO, ¿cuántas palabras
distintas (con o sin sentido) se
pueden formar?
120!55 ==P
Eviden...
27
¿Cuál es el número de posibles
ordenaciones de una baraja de póker de 52
cartas?
El resultado es 52!, aproximadamente 8...
29
Supongamos que los siete personajes de Star Treck se hacen
fotografías en fila en todas las permutaciones posibles. ¿En...
30
¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras
de la palabra BONDAD?
Respuesta: 6!/2!
¿De dónde sale ese 2!?
Sup...
31
(1) La relación de vecindad se conserva en las permutaciones
cíclicas y en caso de una simetría.
Varias personas se sie...
32
Espejo
Permutaciones cíclicas
Permutaciones simétricas
Como el número total de permutaciones de 4 personas es igual a 4...
33
(2) Si hay 7 personas alrededor de la mesa, tendremos
7! / (7 x 2) = 360 modos.
(3) Y, en general,
en el caso de n
pers...
34
En una reunión deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E.
¿De cuántas maneras se pueden distribuir en la lista de
ora...
35
El mismo problema, pero con la condición de que A deba
intervenir inmediatamente antes que B.
Si A interviene inmediata...
36
En una estantería se quieren colocar 4 libros diferentes de
matemáticas, 6 de física y 2 de química. ¿De cuántas
manera...
38
Ars Magna
Ramon Llull
(c. 1232-1315)
De Ars Combinatoria
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
I II III IV
Queridos compañeros la realización de las premisas del
programa
nos obliga a un exhaustivo análisis de las con...
Cap. 16. Rumores, leyendas y bromas pesadas entre gentes de ciencia
«En la primavera de 1996 la prestigiosa revista Social...
PACO: Poeta automático callejero on-line
«Creadores: Artista-escultor Carlos Corpa / Ana María García-
Serrano y su equipo...
Generador automático de novelas de Dan Brown
"Autores ávidos de éxito, dejad atrás los desvelos por
encontrar la fórmula m...
43
Emparejamientos
Dados 2n objetos distintos, ¿cuántas maneras hay de formar n
parejas?
Intentemos agrupar los 2n objetos...
44
Generalicemos el problema: dados m·n objetos, ¿cuántas
maneras hay de formar n conjuntos de m objetos?
Agrupemos los m·...
45
Un comentarista deportivo español
(o sea, de fútbol) pedía en antena que,
para conseguir el equipo ideal de
entre sus 2...
Variaciones (sin repetición)
1121...181920
!10
!20
!)1020(
!20
10,20 ⋅⋅⋅⋅⋅==
−
=V
46
123...)1()(
123...)2()1(
⋅⋅⋅⋅−−⋅−
⋅⋅⋅...
47
¿Cuantos números de tres cifras distintas y significativas
se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal
1,...
48
¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 10 personas en
un banco si solamente hay 4 puestos disponibles?
El primer...
El ejemplo más famosos de hipernovela es Rayuela
(1963) del escritor argentino Julio Cortázar (1914-1984).
Hiperficción ex...
Fue Theodor Nelson en 1965 quien acuñó la expresión hipertexto,
que definió como:
La primera novela conocida elaborada en ...
Variaciones con repetición
r
nn...··n·n·n =
52
Según la regla del producto, las maneras de escoger r
elementos de entre un...
53
¿Cuantos números de tres cifras significativas se pueden
formar con las nueve cifras del sistema decimal
1, 2, 3, 4, 5,...
54
V
V
Combinaciones (sin repetición)
59
¿Cuántas posibles combinados de dos bebidas podemos
hacer con ginebra, vodka y tequila?
...
Combinaciones (sin repetición)
60
¿Cuántas posibles configuraciones de r elementos
podemos construir desde un conjunto de ...
61
Este número se conoce como las combinaciones de n
elementos tomadas de r en r y se denota por:
r
rnr
n
P
V
rnr
n
r
n
rn...
62
¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas
a partir de un grupo de 9?
( ) 126
)!59(!5
!99
55,9 =
−
==C...
63
64
¿Cuántas manos distintas pueden darse a 4
jugadores con 5 cartas cada uno y una baraja de
52 cartas? (Intenta primero una ...
66
A partir de un grupo de 5 matemáticos y 7 físicos se quiere formar
un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas ...
67
¿Cuántas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales distintas
se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 voca...
Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores: 3 bases, 4
aleros y 5 pívots. ¿Cuántos equipos diferentes puede presentar...
71
Ejemplo: para generar el 5º elemento en la fila #7,
sumamos el 4º y 5º elemento en la fila #6.
El triángulo de Pascal (...
72
Números combinatorios
10
2
5
=





Fila 5, posición 2:
120
7
10
=





Fila 10, posición 7:
73
)!79(!7
!9
)!29(!2
!9
36
7
9
2
9
−
=
−
=





=











−
=





rn
n
r
n
74
¿De cuántas maneras distintas podemos pintar una tira de
cinco casillas, pintando 2 de rojo y 3 de azul?
Respuesta:
Com...
75
Hogar,
dulce hogar
Cine
¿Cuántos caminos
distintos podemos
recorrer desde hogar
a cine, donde cada
movimiento debe
acer...
76
21615
5
7
5
6
4
6
=+






=





+











=




 −
+





−
−
r
n
...
77
),(
1
1
1
),1()1,1( rnC
r
n
r
n
r
n
rnCrnC =





=




 −
+





−
−
=−+−−
Demostrar la identi...
La suma de fila enésima es el
número total de subconjuntos
posibles de un conjunto de n
elementos = 2n
78
32215101051 5
==...
79
¿Cuántas ensaladas diferentes puedo hacer con lechuga, tomate,
cebolla, aceitunas y atún?
1ª Forma: Se pueden seleccion...
Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto.
Por ejemplo, el conjunto potencia de S = {a,...
81
1 2 3 4 5 6 7 8 ....
....
....
1
2
3
4
5
6
7
8
....
....
....
....
82
1 2 3 4 5 6 7 8 ....
....
....
1
2
3
4
5
6
7
8
....
....
....
....
84
Imaginemos una bola cayendo por el triángulo de Pascal.
Cada fila que baja puede caer hacia la derecha o hacia
la izqui...
La conjetura de Singmaster
“En un triángulo de Pascal infinito, a
excepción del 1 (que aparece infinitas
veces) cualquier ...
Existe un número M tal que
ningún número entero positivo
aparece más de M veces en el
triángulo de Pascal.
“Algunos creen ...
Martin Gardner
(October 21, 1914 – May 22, 2010)
Recopilaciones de artículos en Scientific American
Nuevos pasatiempos matemáticos (1961)
El ahorcamiento inesperado y otro...
Pasatiempos matemáticos y divulgación científica
¡Ajá! Paradojas que hacen pensar (Labor)
¡Ajá! Inspiración (Labor)
Máquin...
90
(1) La buena de la señora Evita Gastos
pretendía pasar de largo junto a la
máquina de chicles de bola sin que
sus gemel...
91
La máquina, tiene chicles de bola de color rojo y
verde. Cada chicle cuesta 1 euro. No hay forma de
saber el color de l...
92
(2) Supongamos ahora que la máquina contiene
6 bolas rojas, 4 verdes y 5 azules. ¿Cuántas
monedas necesita la señora Ev...
93
(3) Ahora pasa por delante de la máquina la
señora Bolsaprieta con sus trillizos. La máquina
contiene ahora 6 bolas roj...
94
Podríamos haber atacado el problema en forma
bruta. Asignando a cada bola una letra y
examinando cada una de las:
800.9...
95
El principio del palomar establece que si n
palomas se distribuyen en m nidos, y
si n > m, entonces al menos habrá un n...
o A y B se conocen: o A y B no se conocen:• A
• B
Con un botellón de 3 personas no podemos asegurarlo porque las
posibilid...
Es posible colorear los enlaces de un grafo-
botellón de 5 personas de modo que no haya
3 personas que se conozcan mutuame...
Sin embargo, en un botellón de 6 personas, seguro que 3 de
ellas se conocen mutuamente o 3 de ellas son
desconocidas entre...
Caso 2: Supongamos que desconoce a B, C y D.
Por el principio del palomar, si
cualquiera pareja de B, C y D no se
conocen ...
El número de Ramsey R(m, n) proporciona el
número mínimo de personas en un botellón para
garantizar la existencia de m con...
Frank Plumpton Ramsey (1903-1930). En
1924, a la edad de 21 años, Ramsey pasó
a ser miembro del claustro del King’s
Colleg...
m n R(m,n) Reference
3 3 6 Greenwood and Gleason 1955
3 4 9 Greenwood and Gleason 1955
3 9 36 Grinstead and Roberts 1982
3...
El gran matemático Paul Erdös
estaba fascinado por la dificultad
para encontrar números de
Ramsey. Dijo al respecto:
“Imag...
Cap. 15: Cómo organizar
una velada perfecta
...con final feliz.
106
¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido)
podemos construir utilizando todas las letras de
MISSISSIPPI ?
S = { 1...
107
S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P }
M








1
11
# de posibilidades para M:
II I I








4
10
# de posibili...
Permutaciones con repetición
.21 nnnn r =+++ 
108
Si n objetos pueden dividirse en r clases con ni objetos
idénticos en c...
( ) ( ) ( )
=
−−⋅⋅⋅−−−
−⋅⋅⋅−−−
⋅
⋅⋅⋅
−−−
−−
⋅
−−
−
⋅
−
=
−
−
!)!(
)!(
!!
)!(
!!
)!(
!!
!
1!0
121
121
3321
21
221
1
11
rrr
...
110
¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse
en línea nueve bolas de las que 4 son blancas,
3 amarillas y 2 azules?
...
111
Ahora éste, te resultará fácil, porque es una generalización del
anterior. ¿Cuántas palabras distintas de 7 letras pod...
112
¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 objetos en dos grupos
que contengan 4 y 6 objetos respectivamente?
Esto es lo...
Calcular el número de sucesiones que se pueden formar con 3
aes, 5 bes y 8 ces. ¿Y si no puede haber dos bes consecutivas?...
c) No se permiten letras iguales consecutivas. Fijémonos en la colocación de
las ces. El número de ces es la suma del nº d...
115
El binomio de Newton
(a + b)2 = (a + b) (a + b).
Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb.
(a + b)2 = a2 + 2ab...
116
Teorema del binomio
( ) ( ) jjn
n
j
n
yxjnCyx −
=
∑=+
0
,
nnnnn
y
n
n
yx
n
n
yx
n
yx
n
x
n






+




...
117
Generalización del binomio de Newton
Vamos a encontrar una fórmula similar a la del binomio de
Newton para (a + b + c)...
118
ADN (Ácido Desoxirribonucleico)
Cadena de cuatro posibles bases:
Timina (T), Citosina (C), Adenina (A) y Guanina (G)
E...
119
Alga (P. salina):
6,6x105 bases de longitud.
Moho (D. discoideum):
5,4x107 bases de longitud.
Mosca de la fruta (D. me...
120
Humanos (H. sapiens):
3,3x109 bases.
(Alrededor de 20.500 genes
según las últimas
estimaciones).
¿Cuántas cadenas dist...
121
ARN es una molécula mensajera. Lee las bases del ADN y
las copia exactamente iguales, excepto para el caso de la
timin...
122
Algunas enzimas rompen las cadenas de ARN en los
lugares donde detectan una G. Otras enzimas lo hacen
para C o U.
Cons...
123
Cada permutación de todos los fragmentos nos proporciona
una posible cadena. Como por ejemplo, ésta (que no es la
orig...
124
Los dos primeros fragmentos, el cuarto y quinto son el
mismo (C), de modo que no podemos distinguirlos...
El número de...
125
Observemos que el fragmento GAAAG no acaba en U o C.
De modo que necesariamente es el final. Así que tenemos
realmente...
126
CCCGGUCGAAAG
CCGGUCCGAAAG
CGGUCCCGAAAG
GGUCCCCGAAAG
CCCCGGUGAAAG → no, ya que CCCCG es un G-fragmento y
no aparece ent...
127
La “Estratagema de fragmentación”
que hemos descrito brevemente fue
usada por primera vez por R.W. Holley
en Cornell e...
128
129
Queremos pintar r pelotas con n colores. Es como
agrupar r pelotas en n montones, alguno de los cuales
puede estar vac...
En el caso general, si llamemos a la solución f(n, r), será igual al
número de maneras de disponer r unos y n-1 ceros en u...
Combinaciones con repetición
131
El número de r-combinaciones de un conjunto
con n objetos distintos, cada uno repetido
in...
132
En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles.
¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles?
No impo...
Ejemplo. (El número de soluciones enteras)
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación diofántica:
donde x1, x2 y x3 son enteros...
Ejemplo: (Iteraciones en un bucle)
¿Cuál es el valor de k después de
ejecutar el siguiente código?
134
k := 0
for i1 := 1 ...
135
En una línea están acomodadas cinco canicas rojas, dos blancas y
tres azules. Si las canicas del mismo color no pueden...
¿De cuántas formas posibles podemos ordenar una baraja
de n cartas?
f(n) = n!
Cuando encontramos soluciones como estas se ...
137
Supongamos que tenemos r pelotas de golf, indistinguibles
entre sí, cada una de las cuales debe ser pintada con
cualqu...
138
(1) Enfoque por recurrencias:
Consideremos f(n, r) y centrémosnos en el n-ésimo color.
Una vez pintadas las r pelotas,...






−
−
+




 −
=





1
1'1''
r
n
r
n
r
n
Recordemos la identidad de Pascal:
Supongamos
esta s...
140
(2) Enfoque por funciones generatrices:
...)3,()2,()1,()0,(
...)1(......)1(...)1(
32
323232
+⋅+⋅+⋅+=
++++⋅⋅++++=++++
x...
144
145
146
147
Se distribuyen 100 sillas auxiliares entre 5 aulas de modo que
las dos mayores, reciben, entre las dos, 50 sillas ¿De cuán...
Consiste en rellenar un tablero de
9 x 9 casillas con números del 1 al
9 sin que se repita ningún número
en cada fila y en...
Dividimos el sudoku en los
nueve bloques marcados
con líneas gruesas a los
que denominamos
B1, B2,…,B9.
Podemos ver que el...
Ahora analizamos las formas de rellenar B2. Si los números 4,5 y 6
están en la misma fila de B1, para B2 deberán estar en ...
Las posibles configuraciones de B3:
La ordenación por filas queda totalmentedeterminada por B1 y B2. Las
posibles permutac...
¿De cuántas maneras podemos partir
un conjunto de n objetos en k
subconjuntos disjuntos? Por ejemplo:
Sea S = {1, 2, 3, 4}...
El triángulo de los números de Stirling:
S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + k S(n - 1, k)
con
S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para tod...
163
Eugène Charles Catalan
(1814-1894), matemático belga,
propuso el problema en 1838.
Números de Catalan
Tenemos una cade...
164
n = 2 números: (12)
n = 3 números: (1 (2 3)) ((1 2) 3)
n = 4 números: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4))
((1 2) (3 4)) ((1 (2...
165
El matemático británico
Arthur Cayley demostró
que los números de
Catalan dan el total de
árboles (grafos conexos
sin ...
166
n = 2
¿Cuántos caminos distintos
puede seguir una torre de
ajedrez desde el vértice
superior izquierdo al inferior
der...
Explosión combinatoria
Contar los posibles caminos para
llegar desde vértice superior
izquierdo hasta el inferior derecho
...
168
La Combinatoria es una rama de la matemática
que estudia colecciones de objetos (normalmente
finitos) que satisfacen c...
Chuletas A, B y C.
A1 + B1 = 10 min
A2 + C1 = 10 min
B2 + C2 = 10 min
-----------------------
Total = 30 min
Esto es un pr...
Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se pueden formar
362.880 números de 9 cifras –son las permutaciones de 9
elemen...
172
(2) Un pastor tiene que pasar un lobo, un conejo y una col
de una orilla de un río a la otra orilla. Dispone de una
ba...
174
1 combinatoria
1 combinatoria
1 combinatoria
1 combinatoria
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1 combinatoria

  1. 1. 1 “La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.” Introducción a la combinatoria Ian Anderson “La tercera prioridad de la campaña es dar la primera prioridad a la enseñanza.” Web oficial de George W. Bush 1.Combinatoria El arte de contar
  2. 2. «Acuda a nosotros y le prepararemos. En la última convocatoria 76 opositores aprobaron con nuestros textos. Quince de ellos quedaron entre los diez primeros». «El baile de anoche en Fuenterrabía estuvo amenizado por un numeroso cuarteto». Antología de gazapos radiofónicos «El número premiado hoy es el cuatrocientos veinticinco. Repetimos: cinco-nueve-tres». Contar no es tan sencillo...
  3. 3. 10 En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era. Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.” El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida. El papiro Rhind (problema 79)
  4. 4. 11 Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”... El papiro Rhind (problema 79)
  5. 5. 12 Según iba a St. Ives me crucé con un hombre con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Gatitos, gatos, sacos y esposas. ¿Cuántos iban a St. Ives? St. Ives Mother Goose (La mamá oca de San Ives) La regla del producto
  6. 6. 13 You are eating at Emile’s restaurant and the waiter informs you that you have (a) two choices for appetizers: soup or juice; (b) three for the main course: a meat, fish, or vegetable dish; and (c) two for dessert: ice cream or cake. How many possible choices do you have for your complete meal? El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12 Diagramas en árbol o árboles (un tipo sencillo de grafos) La solución es el número de ramas finales del árbol.
  7. 7. Principio multiplicativo (ilustración gráfica) 14 El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a1 y a2. El segundo de tres maneras distintas: b1, b2 y b3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c1 y c2. El total de posibilidades será: 2 . 3 . 2 = 12 c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 c1 c2 b1 b2 b3 b1 b3b2 a1 a2
  8. 8. 15 Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?       6364222222 654321 →=×××××
  9. 9. 16 Musikalisches Würfelspiel y otras creaciones combinatorias Wolfgang Amadeus Mozart “juego de dados musical”. Ahora, el primer compás de los 16 que formarán el minueto se escoge al azar lanzando dos dados: el lanzamiento de los dos dados nos da 11 posibilidades, desde que sumen conjuntamente 2 a que sumen 12. Ese número nos dice qué compás de los 11 posibles del primer grupo podemos escoger. He escogido al azar este primer compás: Un minueto tiene 16 compases. Mozart dejó escritos 16 grupos de 11 compases, o sea, un total de 176 compases distintos. Por ejemplo, este es uno de esos compases pre-escritos:
  10. 10. Si para tocar cada uno de ellos tardáramos 30 s, necesitaríamos unos 1.500 millones de años para escucharlos todos. Para generar el segundo tengo también 11 posibilidades. Lanzo los dados y me sale 5 + 2 = 7; o sea, cojo el número 7 de los posibles 11 del segundo grupo. Este compás suena así: Vemos que tenemos 11 x 11 = 121 posibilidades para la combinación de los dos primeros compases. Y en total tendremos: Escuchemos un posible resultado: (Ejecutar «Mozart Dice») 16 16 16 104,661.863.572.145.949.729 11111111 ×≈ ==×××     (74) Musikalisches Würfelspiel y otras creaciones combinatorias Emitido en RNE 1 «No es un día cualquiera, Los Sonidos de la Ciencia», el 4 de Marzo de 2007 Locución: B. Luque Guión: B. Luque y F. Ballesteros
  11. 11. 18 ¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de dominó de las 28 que hay, teniendo en cuenta el orden, y de forma que se puedan aplicar una a la otra (es decir, de modo que se encuentre el mismo número de tantos en ambas fichas)? La regla del producto o principio multiplicativo Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene m x n.
  12. 12. Escojamos la primera ficha. Esto se puede hacer de 28 maneras: En 7 casos la ficha elegida será un “doble”, es decir, tendrá la forma 00, 11, 22, 33, 44, 55, 66. Y en 21 casos será una ficha con distinto número de tantos. Por ejemplo 05, 13, 46, etc. En el primer caso (ficha doble), la segunda ficha se puede elegir de 6 maneras. Por ejemplo, si en el primer paso fue elegida la ficha 11. En el segundo se puede tomar una de las fichas 10, 12, 13, 14, 15 o 16.
  13. 13. En el segundo caso, la segunda ficha se puede escoger de 12 maneras. Por ejemplo para la ficha 35 servirán las 03, 13, 23, 33, 43, 63, 50, 51, 52, 54, 55, 56. Según la regla del producto, en el primer caso obtenemos 7 x 6 = 42 elecciones, y en el segundo, 21 x 12 = 252. Así que en total tendremos: 42 + 252 = 294 formas.
  14. 14. 22 ¿Cuántas fotografías distintas podemos hacer cambiando a los personajes de posición? ¿Cuántas permutaciones son posibles? 1 7 64 5 32        040.51234567 7654321 =×××××× 040.5!7 = “El espacio, la última frontera. Estos son los viajes de la nave estelar Enterprise, que continúa su misión de exploración de mundos desconocidos, descubrimiento de nuevas vidas y de nuevas civilizaciones; hasta alcanzar lugares donde nadie ha podido llegar.”
  15. 15. Permutaciones (sin repetición) 23 Dados n objetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila. Ejemplo: Hay 6 posibles permutaciones con las tres letras a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba. El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez es n! (se lee “n factorial” o “factorial de n”). Usando la regla del producto: hay n posibles objetos para la primera plaza de la fila, n-1 objetos posibles para ocupar la segunda, etc... !123)2()1( nnnnPn =⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= 
  16. 16. 24 Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas (con o sin sentido) se pueden formar? 120!55 ==P Evidentemente, al tratarse de palabras, el orden importa. Tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos. El cálculo del número de permutaciones “n!” se cree que apareció por primera vez en la India. Se tiene constancia de ejemplos del año 300 antes de nuestra era. En el siglo XI la "fórmula general" era bien conocida en la India y los países árabes.
  17. 17. 27 ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, aproximadamente 8 × 1067. Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un enorme número, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × 1023. Explosión combinatoria Fórmula de Stirling n n enn − + ⋅⋅ 2 1 2~! π A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica, formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender, que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición.
  18. 18. 29 Supongamos que los siete personajes de Star Treck se hacen fotografías en fila en todas las permutaciones posibles. ¿En cuántos casos Data y Picard aparecen juntos? Pensemos que Data y Picard son siameses o que van dentro de un saco. El número de posibles fotografías sería entonces de: 6! = 720. Pero además, para cada una de esas fotografías, Data puede estar a la derecha o a la izquierda de Picard. Luego el resultado es: 2· 6! = 1440.
  19. 19. 30 ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD? Respuesta: 6!/2! ¿De dónde sale ese 2!? Supón que para distinguir la D repetida utilizamos una tilde: BONDAD’. Ahora todas las letras son distintas, distinguibles, luego hay 6! permutaciones posibles. Pero cada par de permutaciones donde la D y D’ están intercambiadas, como por ejemplo: - - - D - D’ y - - - D’- D en realidad son la misma. Por lo tanto debemos dividir por 2 el número total de configuraciones. ¿Y por qué por 2!? Bueno, 2! = 2, pero piensa que ocurriría si hubieran tres D's...
  20. 20. 31 (1) La relación de vecindad se conserva en las permutaciones cíclicas y en caso de una simetría. Varias personas se sientan a una mesa redonda. Consideraremos que dos formas de sentarse coinciden si cada persona tiene los mismos vecinos a ambos lados. ¿De cuántos modos diferentes se pueden sentar 4 personas? ¿Y 7? ¿Y n? En el caso de 4 personas, tendremos 4 permutaciones cíclicas y una simetría especular para cada una: 2 x 4 = 8 transformaciones que conserven la relación de vecindad. Así que se fue a la sala de hologramas y organizó una partida con réplicas computerizadas de Newton, Einstein y Hawking, papel este último interpretado por ... Stephen W. Hawking. Título original: The Next Generation #252: Descent I. USA, Junio 1993.» Extracto de la página web Epsilones. «Un buen día, a Data se le ocurre la idea de montar una timba de póker un poco especial. Como había visto que el jueguecito en cuestión era muy útil para explorar los comportamientos de sus compañeros humanos, pensó en hacer lo mismo con gente de, digamos, más nivel.
  21. 21. 32 Espejo Permutaciones cíclicas Permutaciones simétricas Como el número total de permutaciones de 4 personas es igual a 4! = 24, tendremos 24 / 8 = 3 formas distintas de sentarse.
  22. 22. 33 (2) Si hay 7 personas alrededor de la mesa, tendremos 7! / (7 x 2) = 360 modos. (3) Y, en general, en el caso de n personas: n! / (n x 2) formas.
  23. 23. 34 En una reunión deben intervenir 5 personas: A, B, C, D y E. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en la lista de oradores, con la condición de que B no debe intervenir antes que A? El número total de posibles listas de oradores distintas es 5!. Podemos asociar a cada permutación del tipo: (...A...B...) la misma permutando (...B...A...). Esta última no nos vale. De modo que por cada par hay sólo una manera que satisface la condición planteada. Tendremos 5! / 2 = 60 maneras.
  24. 24. 35 El mismo problema, pero con la condición de que A deba intervenir inmediatamente antes que B. Si A interviene inmediatamente antes que B, podemos considerarlos como si fuesen un solo orador. Es decir, ahora sólo contamos las permutaciones tipo: (...AB...) Tendremos entonces: 4! = 24 formas.
  25. 25. 36 En una estantería se quieren colocar 4 libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar si: a) los libros de cada materia deben quedar juntos, b) sólo los libros de matemáticas deben quedar juntos? a) Por un lado, los libros de matemáticas se pueden colocar de 4! maneras, los de física de 6! y los de química de 2!. Los tres grupos de libros se podrán colocar de 3! maneras. Por consiguiente se obtienen: 4!·6!·2!·3! = 207.360 distintas configuraciones. b) Si consideramos los 4 libros de matemáticas como si fuesen uno solo, entonces tenemos 9 "libros", que pueden colocarse de 9! maneras. En todas estas configuraciones los libros de matemáticas estarían juntos. Pero a su vez, éstos se pueden colocar de 4! maneras, por lo que en total se obtienen: 9!·4! = 8.709.120 maneras.
  26. 26. 38 Ars Magna Ramon Llull (c. 1232-1315) De Ars Combinatoria Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
  27. 27. I II III IV Queridos compañeros la realización de las premisas del programa nos obliga a un exhaustivo análisis de las condiciones financieras y administrativas existentes. Por otra parte,y dados los condicionamientos actuales la complejidad de los estudios de los dirigentes cumple un rol escencial en la formación de las directivas de desarrollo para el futuro. Asimismo, el aumento constante, en cantidad y en extensión, de nuestra actividad exige la precisión y la determinación del sistema de participación general. Sin embargo no hemos de olvidar que la estructura actual de la organización ayuda a la preparación y a la realización de las actitudes de los miembros hacia sus deberes ineludibles. De igual manera, el nuevo modelo de actividad de la organización, garantiza la participación de un grupo importante en la formación de las nuevas proposiciones. La práctica de la vida cotidiana prueba que, el desarrollo continuo de distintas formas de actividad cumple deberes importantes en la determinación de las direcciones educativas en el sentido del progreso. No es indispensable argumentar el peso y la significación de estos problemas ya que, nuestra actividad de información y propaganda facilita la creación del sistema de formación de cuadros que corresponda a las necesidades. Las experiencias ricas y diversas muestran que, el reforzamiento y desarrollo de las estructuras obstaculiza la apreciación de la importancia de las condiciones de las actividades apropiadas. El afán de organización, pero sobre todo la consulta con los numerosos militantes ofrece un ensayo interesante de verificación del modelo de desarrollo. Los superiores principios ideológicos, condicionan que el inicio de la acción general de formación de las actitudes implica el proceso de reestructuración y modernización de las formas de acción. Incluso, bien pudiéramos atrevernos a sugerir que un relanzamiento específico de todos los sectores implicados habrá de significar un auténtico y eficaz punto de partida de las básicas premisas adoptadas. Es obvio señalar que, la superación de experiencias periclitadas permite en todo caso explicitar las razones fundamentales de toda una casuística de amplio espectro. Pero pecaríamos de insinceros si soslayásemos que, una aplicación indiscriminada de los factores confluyentes asegura, en todo caso, un proceso muy sensible de inversión de los elementos generadores. Por último, y como definitivo elemento esclarecedor, cabe añadir que, el proceso consensuado de unas y otras aplicaciones concurrentes deriva de una indirecta incidencia superadora de toda una serie de criterios ideológicamente sistematizados en un frente común de actuación regeneradora. Discursos políticos, programas electorales... ¿Cuántos discursos posibles podemos elaborar? 14
  28. 28. Cap. 16. Rumores, leyendas y bromas pesadas entre gentes de ciencia «En la primavera de 1996 la prestigiosa revista Social Text de estudios culturales de tendencias postmodernas publicó el artículo: "Transgrediendo las fronteras: hacia una hermenéutica transformadora de la gravedad cuántica". El autor fue el físico de la Universidad de New York, Alan Sokal. Cuando un investigador desea publicar un trabajo en una revista de prestigio en el área de su interés, debe seguir una serie de pasos. Inicialmente envía su trabajo a alguno de los editores de la revista. Estos le contestan agradeciendo su intención. En ciertos casos, los propios editores, después de evaluar la calidad del trabajo, deciden aceptarlo tal cual, aceptarlo con retoques o rechazarlo. Pero la mayor parte de las veces, piden consejo evaluador a otros investigadores de reconocido prestigio en el área. El artículo de Sokal fue aceptado para su publicación sin mayores problemas. ¿Cuál fue la inocentada? Que cualquier estudiante de física se hubiera dado cuenta de que aquellas 23 páginas eran una cháchara sin sentido. Para inri de los editores, al mismo tiempo que se publicaba el artículo, Sokal descubría la inocentada en otra prestigiosa revista francesa: Lingua Franca. ¿Por qué Sokal decidió ridiculizar a los editores de Social Text? Los motivos se cuentan con lujo de detalles en el libro “Imposturas Intelectuales”, que Sokal escribió con Bricmont poco después de la tormenta. Resumido en palabras del filósofo Thomas Nagel, extraídas de una reseña del libro: "Los escritores denunciados por Sokal y Bricmont -se refiere a Lacan, Baudrillard, Irigaray, Kristeva y Deleuze, entre otros- utilizan términos técnicos sin saber lo que significan, aluden a teorías y fórmulas que no comprenden ni lo más mínimo, e invocan a la física y las matemáticas modernas en apoyo de posturas sicológicas, sociológicas, políticas y filosóficas con las que no tienen nada que ver. No siempre es fácil determinar cuánto es debido a la estupidez incurable y cuánto al deseo de apabullar al público con fraudulentos despliegues de sofisticación teórica.»
  29. 29. PACO: Poeta automático callejero on-line «Creadores: Artista-escultor Carlos Corpa / Ana María García- Serrano y su equipo en inteligencia artificial. Usando una variante del lenguaje de programación Prolog, que han bautizado como Ciao, han creado un programa que genera poesías. El programa distingue categorías como nombre, verbo, adjetivo, determinantes y adverbios. Escoge aleatoriamente un sujeto, 210.30785 el zoomorfo es el lúpulo siamés , y el ánade es el ejército bonachón el gránulo es el espárrago ceilanés , y el hipotálamo es el ósculo santurrón el estratocúmulo es el hórreo cabezón , y el autoengaño es el espontaneísmo dulzón el linóleo es el alfeñique refunfuñón , y el fricandó es el hidrógeno fardón un verbo y un predicado de modo que concuerden tiempo verbal, género, número, etc. y que la frase sea sintácticamente correcta. Aunque en realidad Paco solo usa el verbo ser, la cosa es más compleja de lo que parece. Elige también al azar si la rima será consonante o asonante, y en función de eso el número de versos.» Text Generators: The Postmodernism Generator Adolescent Poetry Band Names Postmodernism Subgenius Brag Time Cube (19) El robot Paco (Emitido el 22 de Mayo del 2005) Locución: B. Luque Guión: B. Luque y F. Ballesteros
  30. 30. Generador automático de novelas de Dan Brown "Autores ávidos de éxito, dejad atrás los desvelos por encontrar la fórmula mágica. ¿Qué nos hace falta para crear un best seller? Simplemente un generador automático de novelas que, siguiendo los pasos del autor más vendido en los últimos años, Crea tu propia novela de Dan Brown. Lo que vamos a obtener son las sinopsis de lo que podría ser cualquier novela de moda. Pulsando donde nos indica, o pulsando la tecla F5 todas las veces que queramos, el programa nos ofrecerá una impresionante idea para crear una novela al estilo de Dan Brown. Además, podemos personalizar estas creaciones de títulos pegadizos añadiendo un nombre, un apellido y un lugar. Incluso obtendremos las distintas portadas que nos resultarán bastante familiares. ‘Arcas y tijeras’, ‘Templos y ascensores’, ‘El crisol de la crisis’, ‘La panacea del mechero’, ‘El templo escarlata’... son algunos de los títulos de probables novelas de Dan Brown". Eva Paris 10 de diciembre de 2009 Del Blog Papel en Blanco
  31. 31. 43 Emparejamientos Dados 2n objetos distintos, ¿cuántas maneras hay de formar n parejas? Intentemos agrupar los 2n objetos usando n pares de paréntesis: ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) Hay 2n espacios vacíos y 2n objetos, luego los podemos colocar de (2n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos 2! = 2 ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar al mismo par), debemos dividir entre 2 · 2 · ... · 2 = 2n. El orden en que hemos colocado los paréntesis tampoco nos importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. !2 )!2( n n n Entonces el número de parejas distintas es:
  32. 32. 44 Generalicemos el problema: dados m·n objetos, ¿cuántas maneras hay de formar n conjuntos de m objetos? Agrupemos los m·n objetos usando n paréntesis: ( , , ... , ) ( , , ... , ) ( , , ... , ) ... (, , ... , ) Hay m·n espacios vacíos y m·n objetos, luego los podemos colocar de (m·n)! maneras distintas. Pero para cada paréntesis tenemos m! ordenaciones posibles que han de contarse como una sola (dan lugar a la misma m-terna ). Luego hemos de dividir entre m! · m! · ... · m! = (m!)n. El orden en que hemos colocado los paréntesis tampoco nos importa, y como hay n! maneras distintas de hacerlo, cada emparejamiento posible ha sido obtenido de hecho n! veces. Entonces el número de maneras es: !)!( )!( nm nm n ⋅
  33. 33. 45 Un comentarista deportivo español (o sea, de fútbol) pedía en antena que, para conseguir el equipo ideal de entre sus 20 jugadores, un entrenador probara todas las posibilidades para dar con el 10 ideal (el portero lo daba por indiscutible). ¿Le daría tiempo en una liga? 2.800670.442.571121...181920 factores10 =⋅⋅⋅⋅⋅    Variaciones (sin repetición)
  34. 34. Variaciones (sin repetición) 1121...181920 !10 !20 !)1020( !20 10,20 ⋅⋅⋅⋅⋅== − =V 46 123...)1()( 123...)2()1( ⋅⋅⋅⋅−−⋅− ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅ = − = rnrn nnn r)!(n n! Vn,r En el problema anterior: )1(...)2()1(, +−⋅⋅−⋅−⋅= rnnnnV rn Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos distintos de entre un total de n (r < n) según un determinado orden, será igual al producto de: Esta expresión se conoce como variaciones de n elementos tomados de r en r, y se representa por Vn,r. Habitualmente se expresa como:
  35. 35. 47 ¿Cuantos números de tres cifras distintas y significativas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Y si admitimos el 0? 5047893,9 =⋅⋅=V Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números, pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 9 posibles candidatos...: 641899 =⋅⋅ Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
  36. 36. 48 ¿De cuántas maneras posibles se pueden sentar 10 personas en un banco si solamente hay 4 puestos disponibles? El primer puesto libre puede ocuparse de 10 maneras, luego el segundo de 9 maneras, el tercero de 8 y el cuarto de 7. El número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 a la vez será: 50407·8·9·104,10 ==V Tenemos 6 alumnos de primer curso, 5 de segundo, 4 de tercero, 3 de cuarto, 2 de quinto, 1 de sexto, como candidatos a recibir 5 premios de la Facultad: uno al alumno menos charlatán, otro al más atento, otro al que tiene mejor letra, otro al que asiste más a tutorías y, por último, al que mejor aparca el coche. Suponiendo que ningún alumno puede recibir más de un premio, se pide: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir los premios? Tenemos 21 candidatos a 5 premios. Como ningún alumno puede recibir más de un premio (no es posible la repetición), tenemos 21 posibles candidatos para el primer premio, 20 para el segundo,... En total: 21 x 20 x 19 x 18 x 17 = 2.441.880 (distribuciones posibles).
  37. 37. El ejemplo más famosos de hipernovela es Rayuela (1963) del escritor argentino Julio Cortázar (1914-1984). Hiperficción explorativa o Hipernovela "El jardín de senderos que se bifurcan", Jorge Luis Borges (1899–1986)
  38. 38. Fue Theodor Nelson en 1965 quien acuñó la expresión hipertexto, que definió como: La primera novela conocida elaborada en hipertexto fue «Afternoon: a story», publicada en 1989 por el norte- americano Michael Joyce. El argumento no está dado de antemano, sino que cada lector construye su propio camino. La novela empieza con la frase: "Quiero decir que tal vez haya visto a mi hijo morir esta mañana." Pulsar "quiero" nos lleva por un hilo argumental. Pulsar "morir", por otro... Libros juego: La colección Elige tu propia aventura (Edward Packard y R. A. Montgomery), editados en la década de los 80 y enfocados a un público juvenil. “Escritura no secuencial, texto que bifurca, que permite que el lector elija y que se lee mejor en una pantalla interactiva. Se refiere a una serie de bloques de texto conectados entre sí por nexos que forman diferentes itinerarios para el usuario”.
  39. 39. Variaciones con repetición r nn...··n·n·n = 52 Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos de entre un total de n según un determinado orden, y con la posibilidad de repetir los elementos en cada elección, son: Esta expresión se conoce como variaciones con repetición y se representa como: r rn nVR =, Se lee: “variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r”.
  40. 40. 53 ¿Cuantos números de tres cifras significativas se pueden formar con las nueve cifras del sistema decimal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? ¿Y si admitimos el 0? 72993 3,9 ==VR Si admitimos el 0, como primera opción seguimos teniendo 9 números. Pero ahora como segundo número podemos usar también el 0, luego tenemos 10 posibles candidatos e ídem para el tercero: 90010109 =⋅⋅ Al tratarse de números el orden importa y además nos dice que las "cifras se pueden repetir”:
  41. 41. 54 V V
  42. 42. Combinaciones (sin repetición) 59 ¿Cuántas posibles combinados de dos bebidas podemos hacer con ginebra, vodka y tequila? Si el orden importara tendríamos 3 · 2 = 6. Pero en realidad: (g, v) = (v, g), (g, t) = (t, g) y (t, v) = (v, t), porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 2: 6 / 2 = 3. ¿Cuántas posibles combinados de tres bebidas podemos hacer con ginebra, vodka, tequila y ron? De nuevo, si el orden importara tendríamos 4 · 3 · 2 = 24. Pero en realidad: (g, v, t) = (g, t, v) = (v, g, t) = etc..., porque el orden no importa. De modo que debemos dividir entre 3!: 24 / 3! = 4.
  43. 43. Combinaciones (sin repetición) 60 ¿Cuántas posibles configuraciones de r elementos podemos construir desde un conjunto de n elementos diferentes, sin que importe el orden y no sea posible la repetición? Si el orden importara tendríamos n · (n-1) ·.....· (n - r + 1) posibilidades. Las podemos partir en clases, de forma que en cada clase estén aquellas configuraciones que sean la misma salvo el orden. Como hemos escogido r elementos, cada clase estará formada por las r! formas distintas de ordenar esos elementos. r rn P V rnr n r! rnnn , )!(! !)1(....)1(· = − = +−⋅⋅−
  44. 44. 61 Este número se conoce como las combinaciones de n elementos tomadas de r en r y se denota por: r rnr n P V rnr n r n rnCC , )!(! ! ),( = − =      == 506.142 )!530(!5 !30 5 30 )5,30( = − =      =C ¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los 30 alumnos de una clase? (Un grupo es distinto si se diferencia por lo menos en un alumno). No importa el orden. No puede haber dos alumnos iguales (no hay clones) en un grupo, luego no hay repetición.
  45. 45. 62 ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 9? ( ) 126 )!59(!5 !99 55,9 = − ==C Si quiero alquilar tres películas, ¿cuántas posibilidades tengo si en el videoclub sólo hay 200 películas? ( ) 1.313.400 )!3200(!3 !200200 33,200 = − ==C
  46. 46. 63
  47. 47. 64
  48. 48. ¿Cuántas manos distintas pueden darse a 4 jugadores con 5 cartas cada uno y una baraja de 52 cartas? (Intenta primero una respuesta «a ojo»). 65 El primer jugador puede recibir C(52, 5) manos distintas. Una vez el primer jugador tiene su mano el segundo puede recibir C(47, 5) manos distintas (5 cartas de las 47 restantes). El tercero: C(42, 5) y el cuarto: C(37, 5). Por la regla del producto tendremos un total de: !32!5 !37 !37!5 !42 !42!5 !47 !47!5 !52 )5,37()5,42()5,47()5,52( ×××=CCCC 24 101.52404.020.034.843.475.641.478.262. !32!5!5!5!5 !52 ⋅≈==
  49. 49. 66 A partir de un grupo de 5 matemáticos y 7 físicos se quiere formar un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras se puede hacer si: a) se puede incluir cualquier matemático y cualquier físico, b) un físico en particular debe estar en el comité y c) dos matemáticos en particular no pueden pertenecer al comité? a) Se pueden seleccionar 2 matemáticos de 5 de C(5,2) maneras y a los 3 físicos de C(7,3) maneras. El número total es el producto = 10·35 = 350. b) Análogamente: los posibles matemáticos coinciden con los de antes: C(5,2); y de los físicos esta vez se escogen 2 de los 6 que quedan: C(6,2). Por lo tanto, el total será: C(5,2) · C(6,2) = 10·15 = 150. c) Ahora sólo tendremos dos matemáticos a escoger entre 3: C(3,2). Los físicos serán como en a). En total tendremos: C(3,2) · C(7,3) = 3·35 = 105.
  50. 50. 67 ¿Cuántas palabras de 4 consonantes diferentes y 3 vocales distintas se pueden formar a partir de 7 consonantes y 5 vocales diferentes? (No hace falta que tengan sentido) Se pueden seleccionar 4 consonantes diferentes de C(7,4) maneras y las 3 vocales de C(5,3) maneras. Además, las 7 letras resultantes (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7! maneras. Por lo tanto: # de palabras = C(7,4) ·C(5,3) · 7! = 35 · 10 · 5040 = 1.764.000
  51. 51. Un equipo de baloncesto dispone de 12 jugadores: 3 bases, 4 aleros y 5 pívots. ¿Cuántos equipos diferentes puede presentar el entrenador como quinteto titular? Se recuerda que de forma simplificada un equipo de baloncesto consta de un base, dos aleros y dos pívots. 70 SOLUCIÓN: Hay que elegir 1 base, 2 aleros y 2 pívots de un total de 3 bases, 4 aleros y 5 pivots, donde el orden no influye en cada uno de los puestos correspondientes sino las personas en juego. El entrenador puede presentar: 3 · 6 · 10 = 180 equipos ó quintetos titulares. pívotsC alerosC basesC 10 2 5 6 2 4 3 1 3 2,5 2,4 1,3 =      = =      = =      =
  52. 52. 71 Ejemplo: para generar el 5º elemento en la fila #7, sumamos el 4º y 5º elemento en la fila #6. El triángulo de Pascal (o de Tartaglia)
  53. 53. 72 Números combinatorios 10 2 5 =      Fila 5, posición 2: 120 7 10 =      Fila 10, posición 7:
  54. 54. 73 )!79(!7 !9 )!29(!2 !9 36 7 9 2 9 − = − =      =            − =      rn n r n
  55. 55. 74 ¿De cuántas maneras distintas podemos pintar una tira de cinco casillas, pintando 2 de rojo y 3 de azul? Respuesta: Combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2 (tomamos 2 casillas de 5 para pintar de rojo y no nos importa el orden). O de 5 elementos tomados de 3 en 3 (tomamos 3 casillas de 5 para pintar de azul y no nos importa el orden): C(5,2) = C(5,3) = 10.
  56. 56. 75 Hogar, dulce hogar Cine ¿Cuántos caminos distintos podemos recorrer desde hogar a cine, donde cada movimiento debe acercarnos al cine? Cualquier posible recorrido consiste en 8 movimientos a la derecha (1) y 4 movimientos hacia arriba (0). La solución es, por tanto: 495 !4!8 !12 4 12 8 12 ==      =      011010111110 Codificar…
  57. 57. 76 21615 5 7 5 6 4 6 =+       =      +            =      − +      − − r n r n r n 1 1 1 Identidad de Pascal
  58. 58. 77 ),( 1 1 1 ),1()1,1( rnC r n r n r n rnCrnC =      =      − +      − − =−+−− Demostrar la identidad de Pascal: Demostración: ( ) ( ) ( ) = −− − + −− − =−+−− !!1 )!1( !1! )!1( ),1()1,1( rrn n rrn n rnCrnC ( ) ( ) =      − + −− − r rn rrn n 1 !1! !)1( ( ) ( ) ( ) ),( !! ! !1! !)1( rnC rrn n r n rrn n = − = −− −
  59. 59. La suma de fila enésima es el número total de subconjuntos posibles de un conjunto de n elementos = 2n 78 32215101051 5 ==+++++ ( ) n n r n nnnn rnC 2 210 , 0 =      ++      +      +      =∑=  Fila 5:
  60. 60. 79 ¿Cuántas ensaladas diferentes puedo hacer con lechuga, tomate, cebolla, aceitunas y atún? 1ª Forma: Se pueden seleccionar 1 de los 5 ingredientes, 2 de los 5, ... hasta coger 5 de los 5. El número de ensaladas distintas es: C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31. 2ª Forma: Cada ingrediente se puede escoger o rechazar. Eso, con 5 Ingredientes, nos proporciona 25 posibilidades. Evitando el caso de no coger ningún ingrediente, tenemos: Número de ensaladas = 25-1 = 31.
  61. 61. Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto potencia de S = {a,b,c} es: P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } ¿Cuál es el cardinal del conjunto potencia de un conjunto con n elementos? O dicho de otra manera, ¿Cuántos subconjuntos podemos formar a partir de un conjunto de n elementos? abc Subconjunto 0 000 { } 1 001 {c} 2 010 {b} 3 011 {b,c} 4 100 {a} 5 101 {a,c} 6 110 {a,b} 7 111 {a,b,c} ( ) n n r n nnnn rnC 2 210 , 0 =      ++      +      +      =∑=  O, codificando en binario, simplemente: n n 22...22 =×××  ¿Y si hacemos n infinito?
  62. 62. 81 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... ....
  63. 63. 82 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... 1 2 3 4 5 6 7 8 .... .... .... ....
  64. 64. 84 Imaginemos una bola cayendo por el triángulo de Pascal. Cada fila que baja puede caer hacia la derecha o hacia la izquierda. ¿Cuántos posibles caminos nos llevan a la posición 2 de la fila 7? 21 )!27(!2 !7 2 7 = − =     Respuesta: ¿Por qué? Imaginemos que la bola va siempre a la izquierda, 7 veces a la izquierda. Acabaremos en la posición 0 de la fila 7. Si va 5 veces a la izquierda y 2 a la derecha, independientemente del orden en que lo haga, acabará en la posición 2 de la fila 7.
  65. 65. La conjetura de Singmaster “En un triángulo de Pascal infinito, a excepción del 1 (que aparece infinitas veces) cualquier número entero positivo aparece un número finito de veces. ¿Por qué? Muy sencillo: porque un número entero positivo K solamente puede aparecer en las K primeras filas del triángulo de Pascal (tal y como lo hemos construido), ya que a partir de la fila K+1 todos los números que aparecen en cualquiera de ellas (excepto los unos) son mayores que K. Por ejemplo, el número 6 solamente puede aparecer en las primeras 6 filas, y concretamente aparece 3 veces (una vez en la cuarta fila y dos veces en la sexta)”. From: Gaussianos
  66. 66. Existe un número M tal que ningún número entero positivo aparece más de M veces en el triángulo de Pascal. “Algunos creen que dicha cota será precisamente 8 (el número de veces que sale el 3003), aunque el propio Singmaster piensa que la cota será 10 ó 12. Hasta que no llegue alguien que le ponga el cascabel al gato seguiremos con la incertidumbre (y no parece que esto sea fácil, al menos el gran Paul Erdös así lo pensaba, aunque también creía que la conjetura es cierta). ¿Qué pensáis vosotros?” From Gaussianos La conjetura de Singmaster: David Singmaster
  67. 67. Martin Gardner (October 21, 1914 – May 22, 2010)
  68. 68. Recopilaciones de artículos en Scientific American Nuevos pasatiempos matemáticos (1961) El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos (1969) Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos (1971) Carnaval matemático (1975) Festival mágico-matemático (1978) Circo matemático (1979) Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas (1983) Los mágicos números del Dr. Matrix (1985) Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas (1986) Miscelánea matemática (1986) Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (1987) Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas (1989) Las últimas recreaciones I y II (1997) Fraudes en las seudociencias La ciencia: lo bueno, lo malo y lo falso (Alianza) La nueva era (Alianza) Urantia: ¿revelación divina o negocio editorial? (Tikal) ¿Tenían ombligo Adán y Eva? (Debolsillo) Orden y sorpresa (Alianza) James Randi y Martin Gardner
  69. 69. Pasatiempos matemáticos y divulgación científica ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar (Labor) ¡Ajá! Inspiración (Labor) Máquinas y diagramas lógicos (Alianza) El ordenador como científico (Paidós Studio) Izquierda y derecha en el cosmos (Salvat) La explosión de la relatividad (Salvat) Otros Alicia anotada (Ediciones Akal, 1984) The Annotated Snark. (Penguin Books, 1974) Los porqués de un escriba filosófico (Tusquets)
  70. 70. 90 (1) La buena de la señora Evita Gastos pretendía pasar de largo junto a la máquina de chicles de bola sin que sus gemelitos se dieran cuenta. Primer gemelo: ¡Mamá yo quiero un chicle! Segundo gemelo: ¡Mamá, yo también. Y lo quiero del mismo color que el de Toñito!
  71. 71. 91 La máquina, tiene chicles de bola de color rojo y verde. Cada chicle cuesta 1 euro. No hay forma de saber el color de la próxima bola. Si la Sra. Gastos quiere estar segura de sacar dos bolas iguales, ¿cuántos euros tiene que estar dispuesta a gastar? "El peor de los casos posibles." 1 2 3
  72. 72. 92 (2) Supongamos ahora que la máquina contiene 6 bolas rojas, 4 verdes y 5 azules. ¿Cuántas monedas necesita la señora Evita Gastos para estar segura de conseguir dos bolas iguales? Generaliza a n conjuntos de bolas, donde cada conjunto es de un color. El peor de los casos posibles. 1 2 3 4 ....... + 1 1 2 n n+1
  73. 73. 93 (3) Ahora pasa por delante de la máquina la señora Bolsaprieta con sus trillizos. La máquina contiene ahora 6 bolas rojas, 4 verdes y 1 azul. ¿Cuántas monedas necesita la señora para estar segura de conseguir tres bolas iguales? 1 2 3 4 5 6
  74. 74. 94 Podríamos haber atacado el problema en forma bruta. Asignando a cada bola una letra y examinando cada una de las: 800.916.39!11 = posibles extracciones para determinar cuál presenta una secuencia inicial máxima antes de que aparezcan 3 bolas idénticas. La idea “¡ajá!” consiste en establecer el caso más “desfavorable”. ¡Ajá!, Martin Gardner
  75. 75. 95 El principio del palomar establece que si n palomas se distribuyen en m nidos, y si n > m, entonces al menos habrá un nido con más de una paloma. Por ejemplo: si se toman trece personas, al menos dos habrán nacido el mismo mes. Más general: si tenemos kn+1 palomas y n nidos, entonces al menos k+1 de ellas duermen en el mismo nido. El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip ("principio de los cajones"). Principio del palomar o de los cajones de Dirichlet En máximo número de cabellos que puede tener una persona es 200.000. ¿Existen dos personas en Madrid con la misma cantidad de pelos en el coco? Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859)
  76. 76. o A y B se conocen: o A y B no se conocen:• A • B Con un botellón de 3 personas no podemos asegurarlo porque las posibilidades son: • A • B Teoría de grafos y números de Ramsey Si dos personas (A y B) están en un botellón: ¿Cuál es el número mínimo de personas necesarias para asegurar que: o bien tres de ellas se conocen, o bien, tres de ellas no se conocen?
  77. 77. Es posible colorear los enlaces de un grafo- botellón de 5 personas de modo que no haya 3 personas que se conozcan mutuamente, ni que haya 3 personas que no se conozcan mutuamente. Luego 5, tampoco es el número. Hay 64 posibles grafos-botellón de 4 personas (¿Por qué?). Es fácil encontrar un grafo de los 64 donde no existan ni 3 personas que se conozcan mutuamente, ni tres personas que se desconozcan mutuamente. Por ejemplo: Nota: Los seis primeros grafos completos .... Cliques.
  78. 78. Sin embargo, en un botellón de 6 personas, seguro que 3 de ellas se conocen mutuamente o 3 de ellas son desconocidas entre sí. Puesto que de cada nodo salen 5 enlaces o bien 3 son rojos o bien 3 son azules: Caso 1: Supongamos que A conoce a B, C, D. Por el principio del palomar, si cualquier pareja entre B, C o D se conoce, tendremos 3 conocidos mutuos. Si no ocurre esto, tenemos 3 personas que seguro que no se conocen entre sí. A • D • • C • B A • D • • C • B
  79. 79. Caso 2: Supongamos que desconoce a B, C y D. Por el principio del palomar, si cualquiera pareja de B, C y D no se conocen entre sí, tendremos seguro 3 desconocidos mutuos. Si ninguna pareja es de desconocidos, seguro que tenemos 3 conocidos mutuos. A • D • • C • B A • D • • C • B
  80. 80. El número de Ramsey R(m, n) proporciona el número mínimo de personas en un botellón para garantizar la existencia de m conocidos mutuos o n desconocidos mutuos. Hemos demostrado que R(3, 3) = 6. El teorema de Ramsey garantiza que R(m, n) existe para cualquier m y n. • In the language of graph theory, the Ramsey number is the minimum number of vertices v = R(m,n), such that all undirected simple graphs of order v contain a clique of order m or an independent set of order n . • Ramsey theorem states that such a number exists for all m and n.
  81. 81. Frank Plumpton Ramsey (1903-1930). En 1924, a la edad de 21 años, Ramsey pasó a ser miembro del claustro del King’s College de Cambridge. Hizo contribuciones destacadas en matemáticas, filosofía y economía. Lamentablemente una ictericia acabó con su vida a la edad de 27 años. Ramsey theory ask: “How many elements of some structure must there be to guarantee that a particular property will hold?" Ramsey Theory says that any structure of a certain type, no matter how “disordered”, contains a highly ordered substructure of the same type. Complete disorder is impossible.
  82. 82. m n R(m,n) Reference 3 3 6 Greenwood and Gleason 1955 3 4 9 Greenwood and Gleason 1955 3 9 36 Grinstead and Roberts 1982 3 23 [136, 275] Wang et al. 1994 5 5 [43, 49] Exoo 1989b, McKay and Radziszowski 1995 6 6 [102, 165] Kalbfleisch 1965, Mackey 1994 19 19 [17885, 9075135299] Luo et al. 2002 It has actually been known since 1955 that R(4, 4) = 18. We do not know R(5, 5), but we do know that it lies somewhere between 43 and 49. (¿Cuál es el problema? Supongamos N = 50). All we really know about R(6, 6) is that it lies somewhere between 102 and 165. There is a cash prize for finding either one.
  83. 83. El gran matemático Paul Erdös estaba fascinado por la dificultad para encontrar números de Ramsey. Dijo al respecto: “Imagine an alien force vastly more powerful than us landing on Earth and demanding the value of R(5, 5) or they will destroy our planet. In that case, we should marshal all our computers and all our mathematicians and attempt to find the value. But suppose, instead, that they ask for R(6, 6). Then we should attempt to destroy the aliens.”
  84. 84. Cap. 15: Cómo organizar una velada perfecta ...con final feliz.
  85. 85. 106 ¿Cuántas palabras distintas (con o sin sentido) podemos construir utilizando todas las letras de MISSISSIPPI ? S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P } Llenemos las 11 casillas:
  86. 86. 107 S = { 1×M, 4×I, 4×S, 2×P } M         1 11 # de posibilidades para M: II I I         4 10 # de posibilidades para I: S S S         4 6 S # de posibilidades para S: P P         2 2 # de posibilidades para P: 34.650
  87. 87. Permutaciones con repetición .21 nnnn r =+++  108 Si n objetos pueden dividirse en r clases con ni objetos idénticos en cada clase (i = 1, 2, ..., r), es decir, tal que Entonces el número de permutaciones posibles es: nnnn nnn n PR r r nnn n r =+++ =   21 21 ,...,, con !!! !21 ¿Por qué?
  88. 88. ( ) ( ) ( ) = −−⋅⋅⋅−−− −⋅⋅⋅−−− ⋅ ⋅⋅⋅ −−− −− ⋅ −− − ⋅ − = − − !)!( )!( !! )!( !! )!( !! ! 1!0 121 121 3321 21 221 1 11 rrr r nnnnnn nnnn nnnnn nnn nnnn nn nnn n    109 =      −−−−       −− ⋅      − ⋅      − r r n nnnn n nnn n nn n n 121 3 21 2 1 1   Recuerda el problema de MISSISSIPPI...
  89. 89. 110 ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? 1260 !2!3!4 !92,3,4 9 ==PR El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas y son indistinguibles) y colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar.
  90. 90. 111 Ahora éste, te resultará fácil, porque es una generalización del anterior. ¿Cuántas palabras distintas de 7 letras podemos formar con la palabra CACATUA? La palabra CACATUA consta de 7 letras de las cuales sólo hay 4 tipos distinguibles: 2C, 3A, 1T y 1U. Tendremos entonces que repetir elementos dentro de cada tipo. Así que nos piden las permutaciones con repetición: !1!1!3!2 !77 1,1,3,2 =PR
  91. 91. 112 ¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 objetos en dos grupos que contengan 4 y 6 objetos respectivamente? Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos, de los cuales 4 son indistinguibles entre sí y los otros 6 también (Observa que no nos importa el orden ni en el grupo de 4 ni en el de 6). Se trata entonces de una permutación con repetición: 10!/(4!6!) = 210. El problema también equivale a encontrar el número de selecciones de 4 de 10 objetos (ó 6 de 10), siendo irrelevante el orden de selección. Se trata por lo tanto de combinaciones sin repetición: ( ) 210 !6!4 !10 )!410(!4 !1010 44,10 == − ==C
  92. 92. Calcular el número de sucesiones que se pueden formar con 3 aes, 5 bes y 8 ces. ¿Y si no puede haber dos bes consecutivas? ¿Y si no hay dos letras iguales consecutivas? SOLUCIÓN: A) Cada una de las sucesiones sin condiciones adicionales es una permutación de aaabbbbbcccccccc, por lo que su número es: Para que las letras b no aparezcan consecutivas, deben colocarse, entre dos términos de una de las sucesiones de aes y ces. Como hay 11 símbolos en esas sucesiones el número de huecos donde se pueden colocar las bes es 12. Debemos elegir 5 de estos 12 huecos. Se puede hacer de 113 720.720 !8!5!3 !16,8,5,3 16 ==P formas.680.130 !8!3 !11 5 12 :por tantoes,sucesionesdenúmeroEl distintas.formas792 5 12 =      =     
  93. 93. c) No se permiten letras iguales consecutivas. Fijémonos en la colocación de las ces. El número de ces es la suma del nº de aes y bes. 2 opciones: - Si c sólo aparece en uno de los extremos: c-c-c-c-c-c-c-c- eligiendo 3 huecos de los 8 posibles para colocar las 3 aes, tendremos la sucesión descrita: El nº de sucesiones de este tipo es - Si c aparece en los 2 extremos, una colocación será: c- -c-c-c-c-c-c-c donde en las posiciones – podemos colocar a o b. El doble hueco - - puede aparecer en 7 posiciones y se puede llenar con ab o con ba, es decir, se presenta 2·7 posibilidades. Luego hay que elegir dos huecos entre seis para colocar las restantes aes. En total, el nº de sucesiones en este caso es El nº de sucesiones sin letras iguales consecutivas será entonces:       3 8 ·2       2 6 ·7·2 114332210112 2 6 ·14 3 8 ·2 =+=      +     
  94. 94. 115 El binomio de Newton (a + b)2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. (a + b)3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1
  95. 95. 116 Teorema del binomio ( ) ( ) jjn n j n yxjnCyx − = ∑=+ 0 , nnnnn y n n yx n n yx n yx n x n       +      − ++      +      +      = −−− 11221 1 ... 210 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )k n k kkn n k n knCknC 1,11,110 00 −=−=−+= ∑∑ = − = ( ) ( ) 0,1 0 =−∑= knC n k k Demostrar:
  96. 96. 117 Generalización del binomio de Newton Vamos a encontrar una fórmula similar a la del binomio de Newton para (a + b + c)n. Aplicando la propiedad distributiva a: (a + b + c)n = (a + b + c) (a + b + c) ... (a + b + c) tendremos todos los posibles productos ah bk cm tales que h + k + m = n escogidas sobre: S = {n ·a, n · b, n · c}. De modo que: mkh nmkh mkh n cba mkh n cba ∑ =++ =++ ,, !!! ! )(  Coeficientes Multinomiales
  97. 97. 118 ADN (Ácido Desoxirribonucleico) Cadena de cuatro posibles bases: Timina (T), Citosina (C), Adenina (A) y Guanina (G) Ejemplo de cadena de ADN: TTCGCAAAAAGAATC ADN y ARN
  98. 98. 119 Alga (P. salina): 6,6x105 bases de longitud. Moho (D. discoideum): 5,4x107 bases de longitud. Mosca de la fruta (D. melanogaster): 1,4x108 bases Gallo (G. domesticus): 1,2x109 bases
  99. 99. 120 Humanos (H. sapiens): 3,3x109 bases. (Alrededor de 20.500 genes según las últimas estimaciones). ¿Cuántas cadenas distintas de esta longitud son posibles? 98 899 1098,1106,63 106,610106,6103,3 10)10( )2(24 ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ≈==
  100. 100. 121 ARN es una molécula mensajera. Lee las bases del ADN y las copia exactamente iguales, excepto para el caso de la timina (T) que reemplaza por la base uracilo (U). ADN y ARN
  101. 101. 122 Algunas enzimas rompen las cadenas de ARN en los lugares donde detectan una G. Otras enzimas lo hacen para C o U. Consideremos la cadena: CCGGUCCGAAAG Si aplicamos una G-enzima romperá la cadena en los fragmentos: CCG|G|UCCG|AAAG CCG, G, UCCG, AAAG Gracias a la G-enzima podemos conocer estos fragmentos, pero no el orden en que aparecen en la cadena original. Tijeras moleculares
  102. 102. 123 Cada permutación de todos los fragmentos nos proporciona una posible cadena. Como por ejemplo, ésta (que no es la original): UCCGGCCGAAAG En este ejemplo concreto, ¿cuántas posibles cadenas podemos construir con estos cuatro fragmentos? 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 posibles cadenas. Volvamos a la cadena original: CCGGUCCGAAAG Supongamos que aplicamos ahora las enzimas U y C. Dispondremos de los U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C, GAAAG ¿Cuántas supuestas cadenas originales podemos formar con estos fragmentos? ¿Es 6! = 720 la respuesta correcta?
  103. 103. 124 Los dos primeros fragmentos, el cuarto y quinto son el mismo (C), de modo que no podemos distinguirlos... El número de posibles fragmentos no será 6! = 720. Tenemos 6 posiciones (hay 6 fragmentos) y asignamos 4 posiciones de tipo C, uno de tipo GGU y uno de tipo GAAAG. El número de posibilidades es: PR(6;4,1,1) = 6!/4!1!1! = 30. Pero el resultado es incorrecto, aunque no por nuestro argumento combinatorio... ¿Por qué? Teníamos: C, C, GGU, C, C, GAAAG
  104. 104. 125 Observemos que el fragmento GAAAG no acaba en U o C. De modo que necesariamente es el final. Así que tenemos realmente que posicionar 5 fragmentos. El número de posibles cadenas con esos 5 fragmentos es: PR(5;4,1) = 5 Las posibles cadenas son: (1) CCCCGGU, (2) CCCGGUC, (3) CCGGUCC, (4) CGGUCCC y (5) GGUCCCC a las que hay que añadir GAAAG al final. De modo que tenemos 24 posibles cadenas a partir de los G-fragmentos y 5 con los U,C-fragmentos. Pero no hemos combinado los conocimientos de los G y U,C-fragmentos. G-fragmentos: CCG, G, UCCG, AAAG U,C-fragmentos: C, C, GGU, C, C, GAAAG ¿Cuáles de las 5 cadenas posibles de los U,C-fragmentos están en acuerdo con los G-fragmentos?
  105. 105. 126 CCCGGUCGAAAG CCGGUCCGAAAG CGGUCCCGAAAG GGUCCCCGAAAG CCCCGGUGAAAG → no, ya que CCCCG es un G-fragmento y no aparece entre los posibles. ¿Hay más casos semejantes? Comparando las 4 posibles cadenas de ARN restantes con los U,C-fragmentos, solo la tercera: CCGGUCCGAAAG es compatible. Y hemos recuperado así la cadena inicial. Por cierto, ¿cuántas cadenas posibles de ARN pueden construirse con las mismas 12 bases: 4 Cs, 4 Gs, 3 As y 1 U? PR(12;4,4,3,1) = 138 600
  106. 106. 127 La “Estratagema de fragmentación” que hemos descrito brevemente fue usada por primera vez por R.W. Holley en Cornell en 1965 para determinar una secuencia de ARN. El método fue superado casi inmediatamente por otros mucho más eficientes. Esto era un ejemplo de secuenciación de una cadena de ARN dada su completa digestión por enzimas. No es siempre posible establecer sin ambigüedad la cadena original por este método.
  107. 107. 128
  108. 108. 129 Queremos pintar r pelotas con n colores. Es como agrupar r pelotas en n montones, alguno de los cuales puede estar vacíos. Supongamos r = 5 y n = 4, por ejemplo. Vamos a codificar el problema para hacerlo tratable. La configuración 1 1 0 1 0 1 0 1 significará: hay tantas bolas como 1s y 0 = “pasa al siguiente color”. ¿Qué significa: 1 1 1 1 1 0 0 0 y 0 0 1 1 1 1 1 0? Siempre habrá 5 unos (pelotas) y 3 ceros (cambios de color). Combinaciones con repetición
  109. 109. En el caso general, si llamemos a la solución f(n, r), será igual al número de maneras de disponer r unos y n-1 ceros en una secuencia que consta de n – 1 + r símbolos en total. f(n, r) = # de maneras de escoger n-1 lugares entre n + r – 1 o f(n, r) = # de maneras de escoger r lugares entre n + r – 1. Y hemos convertido el problema de combinaciones con repetición en combinaciones sin repetición. De modo que:
  110. 110. Combinaciones con repetición 131 El número de r-combinaciones de un conjunto con n objetos distintos, cada uno repetido infinitamente, es:
  111. 111. 132 En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles? No importa el orden y puede haber dos o más pasteles repetidos (hasta cuatro), luego se trata de combinaciones con repetición:
  112. 112. Ejemplo. (El número de soluciones enteras) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación diofántica: donde x1, x2 y x3 son enteros no negativos? 133 11321 =++ xxx Solución: Tenemos que seleccionar un total de 11 objetos (unidades) para formar 3 conjuntos (3 números). Es equivalente a pintar 11 bolas con 3 colores. En cada selección tenemos x1 elementos en el primer conjunto, x2 elementos en el segundo conjunto y x3 elementos en el tercero. El número de soluciones posibles es: C(3 + 11 - 1, 11) = 78
  113. 113. Ejemplo: (Iteraciones en un bucle) ¿Cuál es el valor de k después de ejecutar el siguiente código? 134 k := 0 for i1 := 1 to n for i2 := 1 to i1 ... for im := 1 to im-1 k := k + 1 next im ... next i2 next i1 El valor inicial de k es 0 y le sumamos 1 cada vez que pasamos por la línea donde redefinimos k. Observa que los valores de los enteros i1, i2, … , im siempre cumplen: niii mm ≤≤≤≤≤ − 11 ...1 El número de los posibles enteros que pueden cumplir todas las desigualdades a la vez es el número de maneras que tenemos de escoger m enteros del conjunto {1, 2, …, n}, con posible repetición (m bolas con n colores). De modo que k = C(n + m - 1, m) es la solución.
  114. 114. 135 En una línea están acomodadas cinco canicas rojas, dos blancas y tres azules. Si las canicas del mismo color no pueden diferenciarse entre sí (son indistinguibles), ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ordenar sobre la línea? De nuevo nos enfrentamos a permutaciones con repetición. Pero, por razonar de otra manera, usemos un astuto truco: Supongamos que la respuesta es N configuraciones distintas. Observa que dada una de esas configuraciones, si cambiamos bolas del mismo color entre sí, como son indistinguibles, la configuración sigue siendo la misma. Entonces, multiplicando N por el número de maneras de colocar las 5 canicas rojas entre ellas, las 2 blancas y las 3 azules, es decir: N·5!2!3!, obtenemos las posibles configuraciones si se diferenciasen entre sí todas las bolas. Pero si todas las bolas fueran diferentes, el número de configuraciones sería: 10!. Entonces: (5!2!3!)N = 10! y despejando N tendremos la respuesta: N = 10!/(5!2!3!).
  115. 115. ¿De cuántas formas posibles podemos ordenar una baraja de n cartas? f(n) = n! Cuando encontramos soluciones como estas se denominan fórmulas cerradas (que pueden expresarse como composición de funciones sencillas). Hemos visto las permutaciones, variaciones y combinaciones. Pero en general esta aproximación no siempre es posible o práctica. En ese caso podemos encontrar la solución como una ecuación de recurrencia o como una función generatriz. Veamos como funcionarían para las combinaciones con repetición. Fórmulas cerradas, ecuaciones de recurrencia y función generatriz
  116. 116. 137 Supongamos que tenemos r pelotas de golf, indistinguibles entre sí, cada una de las cuales debe ser pintada con cualquiera de n colores disponibles. ¿De cuántas formas las podemos colorear? (Repetimos) Denotemos como x1 al número de pelotas pintadas con el primer color, como x2 al número de pelotas pintadas con el segundo color, etc. Entonces: x1 + x2 +...+ xn = r. Llamemos a la solución f(n,r). Entonces: (a) Si sólo dispusiéramos de un color (n = 1) las r pelotas sólo podrían pintarse de una manera: f(1,r) = 1 para todo r ≥ 1. (b) Si dispusiéramos de n colores para una sola pelota, tendríamos n formas de colorear posibles: f(n, 1) = n para todo n ≥ 1. Combinaciones con repetición
  117. 117. 138 (1) Enfoque por recurrencias: Consideremos f(n, r) y centrémosnos en el n-ésimo color. Una vez pintadas las r pelotas, podemos o no haber usado el n-ésimo color. Si no lo ha sido, sólo han entrado en juego n - 1 colores, y entonces las formas posibles de colorear en ese caso son: f(n - 1, r). Y si el n-ésimo color ha sido utilizado, al menos una de las r bolas habrá sido pintada con él y quedaran r - 1 pelotas que pueden estar coloreadas con n colores, es decir f(n, r - 1), por lo tanto: f(n, r) = f(n - 1, r) + f(n, r - 1) Solucionar el problema consiste en resolver esta ecuación de recurrencia con las condiciones iniciales: f(1,r) = 1 para todo r ≥ 1, f(n, 1) = n para todo n ≥ 1.
  118. 118.       − − +      − =      1 1'1'' r n r n r n Recordemos la identidad de Pascal: Supongamos esta solución. Cumple las condiciones iniciales: rn r n r C r rn rnCRCR +− =      +− == 11 ),( rn r rn r rn r CCC +− − +−+− += 2 1 21 f(1,r) = 1 para todo r ≥ 1, f(n, 1) = n para todo n ≥ 1. ? que alcanzamos, simplemente haciendo el cambio de variable: n -1+r → n’
  119. 119. 140 (2) Enfoque por funciones generatrices: ...)3,()2,()1,()0,( ...)1(......)1(...)1( 32 323232 +⋅+⋅+⋅+= ++++⋅⋅++++=++++ xnfxnfxnfnf xxxxxxxxx n n    Función generatriz de los números f(n, r). nn xxxx x x xxx − − −=++++ −= − =++++ )1(...)1( )1( 1 1 ...1 32 132
  120. 120. 144
  121. 121. 145
  122. 122. 146
  123. 123. 147
  124. 124. Se distribuyen 100 sillas auxiliares entre 5 aulas de modo que las dos mayores, reciben, entre las dos, 50 sillas ¿De cuántas formas distintas se puede hacer el reparto? SOLUCIÓN: Sean A y B las aulas mayores. Repartamos 50 sillas en estas dos aulas. Como las sillas son indistinguibles no importa el orden en esta asignación y cada distribución es una combinación con repetición de orden 50 con los elementos A y B. Análogamente, las formas de distribuir las otras 50 sillas son: y el reparto se puede efectuar de 51·1326= 67.626 formas distintas. 51 50 51 50 1502 50,2 =      =      −+ =R C 1326 2 52 50 1503 50,3 =      =      −+ =R C 148
  125. 125. Consiste en rellenar un tablero de 9 x 9 casillas con números del 1 al 9 sin que se repita ningún número en cada fila y en cada columna. Además, cada uno de los 9 bloques de 3 x 3 casillas delimitados por líneas gruesas en la imagen, debe rellenarse con todos los números del 1 al 9 sin repeticiones. ¿Cuántos sudokus diferentes existen? El resultado exacto fue resuelto de por Bertram y Frazer en Mayo 2005, ayudados por ordenador. Kevin Kilfoil llegó a un resultado muy aproximado con un argumento sencillo. Sudoku J. M. Parrondo Investigación y Ciencia
  126. 126. Dividimos el sudoku en los nueve bloques marcados con líneas gruesas a los que denominamos B1, B2,…,B9. Podemos ver que el primer bloque B1 se puede llenar de 9! maneras diferentes: P9 = 9! Si no tuviéramos en cuenta «interacciones» entre bloques, el número de configuraciones en todo el sudoku será (9!)9 B1
  127. 127. Ahora analizamos las formas de rellenar B2. Si los números 4,5 y 6 están en la misma fila de B1, para B2 deberán estar en la fila superior o Inferior. Tenemos 2 opciones (sin tener en cuenta el orden por columnas). ò En cambio, si colocamos 2 elementos arriba y 1 abajo (o viceversa), por ejemplo: 4 en la fila inferior y 5, 6 en la superior. Ahora debemos tomar una cifra de {7,8,9} y colocarla arriba. Y en la inferior dos cifras del conjunto {1,2,3}. Esto se puede hacer de 9 formas distintas. Hay 6 configuraciones de este tipo. En total hay 2 + 9 x 6 = 56 formas de colocar B2 sin tener en cuenta el orden por columnas. Como cada fila de 3 números puede ordenarse de 6 formas diferentes (P3 = 3! = 6), entonces hay 56 x 63 = 12.096 formas de rellenar B2.
  128. 128. Las posibles configuraciones de B3: La ordenación por filas queda totalmentedeterminada por B1 y B2. Las posibles permutaciones dentro de cada una de sus tres filas nos deja 63 ordenaciones posibles para B3. Por tanto los bloques B1-B3 se pueden rellenar de (9!) x 56 x 63 x 63 maneras. Lo mismo ocurre con B4-B6 y B7-B9. Por tanto con la regla de las filas: El truco de KilFoil fue aplicar lo mismo para la regla “no pueden repetirse números en cada columna”. Con lo que quedaría un total de sudokus posibles La solución exacta de Bertram y Frazer fue: 6,670,903,752,021,072,936,960 ~ 6.67×1021 ¡Ambas sólo difieren en un 0,2 %! 14 36 9 101,28 )656(9! )(9! ⋅≈ ⋅⋅ =R 21 2 9 10x6,657 )(9! ≈ R
  129. 129. ¿De cuántas maneras podemos partir un conjunto de n objetos en k subconjuntos disjuntos? Por ejemplo: Sea S = {1, 2, 3, 4}. ¿De cuántas maneras podemos partir S en dos subconjuntos disjuntos ninguno vacío? 153 {1}, {2, 3, 4} {2}, {1, 3, 4} {3}, {1, 2, 4} {4}, {1, 2, 3} {1, 2}, {3, 4} {1, 3}, {2, 4} {1, 4}, {2, 3} El número de maneras de partir un conjunto de n elementos en k subconjuntos, ninguno vacío, es igual a S(n, k), donde los S(n, k) se conocen como los números de Stirling. Y están definidos como: S(n, k) = S(n -1, k - 1) + k S(n - 1, k) S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para todo n ≥ 1.
  130. 130. El triángulo de los números de Stirling: S(n, k) = S(n - 1, k - 1) + k S(n - 1, k) con S(n, 1) = 1 y S(n, n) = 1, para todo n ≥ 1. 154 n S(n,1) S(n,2) S(n,3) S(n,4) S(n,5) S(n,6) S(n,7) S(n,8) 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 7 6 1 5 1 15 25 10 1 6 1 31 90 65 15 1 7 1 63 301 350 140 21 1 8 1 127 966 1701 1050 266 28 1
  131. 131. 163 Eugène Charles Catalan (1814-1894), matemático belga, propuso el problema en 1838. Números de Catalan Tenemos una cadena de n símbolos, dados en un orden fijo. Deseamos añadir n-1 paréntesis, de modo que, en el interior de cada par de paréntesis izquierdo y derecho, haya dos "términos". Estos términos emparejados pueden ser dos letras adyacentes cualesquiera, o una letra y un agrupamiento adyacente encerrado en paréntesis, o dos agrupamientos contiguos. ¿De cuántas formas podemos introducir paréntesis en la cadena?
  132. 132. 164 n = 2 números: (12) n = 3 números: (1 (2 3)) ((1 2) 3) n = 4 números: (1 (2 (3 4))) (1 ((2 3) 4)) ((1 2) (3 4)) ((1 (2 3)) 4) (((1 2) 3) 4) n = 5 números: (1 (2 (3 (4 5)))) (1 (2 ((3 4) 5))) (1 ((2 3) (4 5))) (1 ((2 (3 4)) 5)) (1 (((2 3) 4) 5)) ((1 2) (3 (4 5))) ((1 2) ((3 4) 5)) ((1 (2 3)) (4 5)) ((1 (2 (3 4))) 5) ((1 ((2 3) 4)) 5) (((1 2) 3) (4 5)) (((1 2) (3 4)) 5) (((1 (2 3)) 4) 5) ((((1 2) 3) 4) 5) En 1961, H. G. Forder demostró una correspondencia biunívoca entre las triangulaciones de los polígonos y la introducción de paréntesis en las expresiones.
  133. 133. 165 El matemático británico Arthur Cayley demostró que los números de Catalan dan el total de árboles (grafos conexos sin loops) que son planares (se puede dibujar en el plano sin que intersequen las aristas), plantados (tiene un tronco en cuyo extremo se halla la raíz) y trivalentes (en cada nodo exceptuando la raíz y los extremos de las ramas, concurren tres aristas). 2 5 14 42
  134. 134. 166 n = 2 ¿Cuántos caminos distintos puede seguir una torre de ajedrez desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho, siempre por debajo de la diagonal y con movimientos posibles al sur y al oeste, en un tablero de lado n? n = 3 n = 4 2 5 14
  135. 135. Explosión combinatoria Contar los posibles caminos para llegar desde vértice superior izquierdo hasta el inferior derecho (A007764 en OEIS). 2 12 184 Curioso video anime sobre el tema.
  136. 136. 168 La Combinatoria es una rama de la matemática que estudia colecciones de objetos (normalmente finitos) que satisfacen ciertos criterios. En particular si se trata de contarlos estamos frente a la Combinatoria Enumerativa. Nos hemos centrado casi exclusivamente en ella porque es esencial para cálculos elementales de probabilidad. Pero existen otras ramas bien desarrolladas: el diseño combinatorio, la teoría de matroides, la combinatoria extremal, la optimización combinatoria o el álgebra combinatoria.
  137. 137. Chuletas A, B y C. A1 + B1 = 10 min A2 + C1 = 10 min B2 + C2 = 10 min ----------------------- Total = 30 min Esto es un problema típico de optimización combinatoria en investigación operativa.
  138. 138. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 se pueden formar 362.880 números de 9 cifras –son las permutaciones de 9 elementos P(9) = 9!– diferentes. ¿Cuántos de ellos son primos?
  139. 139. 172 (2) Un pastor tiene que pasar un lobo, un conejo y una col de una orilla de un río a la otra orilla. Dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las tres cosas anteriores. Si deja solos al conejo y al lobo, éste se come a aquél; si deja al conejo con la col, aquél se la come. ¿Cómo debe proceder para llevar las tres cosas a la orilla opuesta? Un par de problemas clásicos de optimización combinatoria más: (1) ¿Cómo harías para traer de un río seis litros de agua, si no tienes a tu disposición, para medir el agua, mas que dos recipientes, uno de cuatro litros y otro de nueve?
  140. 140. 174

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