1. “Quizá la existencia de una respuesta dependa solamente de que se haga la pregunta adecuada (Robert Ducan).”
FORMUALARIO CIV201
Notación Vectorial
k
A
j
A
i
A
A z
y
x







Magnitud de un Vector Cartesiano
2
2
2
z
y
x A
A
A
A
A 




Vector Unitario
k
A
Az
j
A
Ay
i
A
A
A
A
u x













k
j
i
u






 cos
cos
cos 


Vector Posición Entre los Puntos PQ
     k
P
Q
j
P
Q
i
P
Q
r
r z
z
y
y
x
x
P
Q
PQ












Fuerza Dirigida a lo Largo de la Recta PQ
PQ
u
F
F




Producto Punto

cos
B
A
B
A






A
B
B
A
B
A
B
A
B
A z
z
y
y
x
x










Fuerza Paralela al Eje P-Q
  PQ
PQ
Q
P u
u
F
F







||
Producto Cruz de Vectores
z
y
x
z
y
x
B
B
B
A
A
A
k
j
i
B
A







     k
B
A
B
A
j
B
A
B
A
i
B
A
B
A
B
A x
y
y
x
x
z
z
x
y
z
z
y












Momento de una Fuerza Respecto a un Punto
F
r
M A
A





Momento de una Fuerza Respecto a un Eje
  a
a
a
a u
F
r
M 
 






 
  a
a
a
a
a
a u
u
F
r
M 

 







*El vector posición es de la fuerza
Momento Respecto a un “PAR”
Fd
M  ; F
r
M





*El vector posición es de cualquier punto de la línea de
acción de la 1º fuerza a cualquier punto de la línea de acción
de la 2º fuerza
Movimiento de una fuerza sobre un cuerpo
rígido
1º Caso: Reducción a una fuerza “única”
R
R F
M 
R
R
F
M
d 


*La fuerza resultante en el punto P provoca lo mismo que la
fuerza resultante y le momento en O
2º Caso: Reducción a una “llave”
R
R F
M 
*Se denomina llave cundo el vector momento resultante y
fuerza resultante son colineales
Cargas Distribuidas
 



b
a
dx
x
q
A
R
*Resultante = Área del diagrama de carga
 
 



 b
a
b
a
dx
x
q
xdx
x
q
x
d
*Distancia del centro de gravedad
**a y b son límites de la función
Equilibrio
  0
F
  0
M
Soportes de cuerpos rígidos sujetos a sistemas de
fuerzas
Ver Anexo (Tabla 2-5)
Análisis estructural
Todas las fuerzas actúan sobre los nudos, tanto para
2D como para 3D
Armaduras (2D)
La forma básica de las armaduras en 2D es el
triágulo
# Barras + #Reacciones = # Incógnitas
# Incógnitas = 2 * # Nudos
#B+#R=2*#N
Método de los nudos
*Si las fuerzas llegan al nudo es compresión
*Si las fuerzas salen del nudo es tracción
**Sólo para el método de los nudos
***Se pueden utilizar dos ecuaciones por nudo
Método de las secciones
*El corte que realizamos debe ser como para un cuerpo
rígido; el corte que realizamos se utiliza para aislar un
pedazo; el corte deberá tener tres incógnitas
*Dibujamos las fuerzas de las barras cortadas de tal manera
que se vean en compresión (apretadas) o tracción (estiradas)
***Se pueden utilizar tres ecuaciones por corte
Miembros de “fuerza cero”
*Después de borrar las barras con fuerza cero se dejan de
contar como barras y si es el caso los nudos también se
dejan de contar
1º Nudo con dos barras
*Nudos con dos barras y si no hay carga externa, apoyos o
vínculos entonces las dos barras que llegan a ese nudo son
de “fuerza cero”
2º Nudo con tres barras
*Nudos con tres barras, y si dos de ellas son colineales
entonces la tercera barra es de “fuerza cero”, cuando en el
nudo no haya carga externa, apoyo a vínculo; no importa la
dirección de la tercera barra
Estructuras Espaciales
Armaduras (3D)
La forma básica de las armaduras en 2D es el
tetraedro
# Barras + #Reacciones = # Incógnitas
# Incógnitas = 3 * # Nudos
#B+#R=3*#N
*Método de los Nudos
*Método de las Secciones
Entramados
Entramados (2D)
*Las fuerzas no necesariamente actúan sobre los nudos, ya
pudiendo actuar también sobre los cuerpos o elementos
barra.
*Separar cada parte del entramado y colocar la reacción que
produce un cuerpo sobre el otro.
*Se utilizan las ecuaciones de equilibrio, para todos los
elementos separados correctamente (utilizando el teorema de
acción y reacción) tanto como para elementos barra, y nudos
de cada cuerpo.
Fuerzas Interiores












COMPRESIÓN
TRACCIÓN
A
F
Normal
Fuerza
F x
x ;
A
F
F
tes
Cor
Fuerzas
F
F
z
y
z
y
|
|
;
tan







Torsor
Momento
M x 
Flectores
Momentos
M
M
z
y




Vigas (2D)
V
N
Normal (N)
La normal tiene signo positivo cuando “tracciona”al
cuerpo
Cortante (V)
La cortante tiene signo positivo cuando “hace girar”
en sentido horario al cuerpo
Momento Flector (M)
El momento flector es positivo cuando provoca una
deformación con la concavidad hacia arriba o fuera
Relaciones entre Cargas y momentos flectores
(Para los diagramas)
Los diagramas presentan saltos y discontinuidades
de la gráfica en lugares donde existen cargas
puntuales
)
(x
q
dx
dVx


)
(x
V
dx
dMx





2
1
1
2 )
( dx
x
q
V
V
Área de las cargas entre 1 y 2



2
1
1
2 )
( dx
x
V
M
M
Área de diagrama de cortantes
Pórticos (2D)
El corte que se realiza es perpendicular al eje del
pórtico
Para los diagramas lo positivo estará fuera del
pórtico y lo negativo hacia adentro
Pórtico (Caso de Simetría)
El pórtico debe cumplir los siguientes aspectos
Geometría: Simétrica
Apoyos: Simétricos
Cargas: Simétricas
Para los diagramas repetir de la siguiente forma
Normales: Simétrico
Cortantes: Antisimétrico
M. Flectores: Simétrico
Pórtico (Caso de Antisimetría)
El pórtico debe cumplir los siguientes aspectos
Geometría: Simétrica
Apoyos: Antisimétricos
Cargas: Antisimétricas
Para los diagramas repetir de la siguiente forma
Normales: Antisimétrico
Cortantes: Simétrico
M. Flectores: Antisimétrico
Centros de gravedad, centros de masa
Centro de gravedad
dA
x
y



dA
xdA
x
;



dA
ydA
y
x, y son las coordenadas del centro de gravedad del
diferencial de área dA
Centro de gravedad de figuras compuestas



i
i
i
A
x
A
x
;



i
i
i
A
y
A
y
Momentos de Inercia (2D)
dA
y
?
I[=]L4
 cm4
, m4
, ft4
, in4

 dA
y
Ix
2 ;

 dA
x
Iy
2
Inercia Polar
( 2
=x2
+y2
)

 dA
I 2
0 

 
 dA
x
dA
y
I 2
2
0
y
x I
I
I 

0
Producto de Inercia

 xydA
Ixy
xy
yx I
I 

Teorema del eje paralelo
2
' Ad
I
I x
x 
 ; 2
' Ad
I
I y
y 

y
x
xy
uv d
Ad
I
I 

Inercias de reacciones compuestas

 
 2
Ad
I
I xg
XG
;

 
 2
Ad
I
I yg
YG

 
 y
x
xgyg
XGYG d
Ad
I
I
Inercias en ejes inclinados

 2
*
2
cos
*
2
2
sen
I
I
I
I
I
I xy
y
x
y
x
u 





 2
*
2
cos
*
2
2
sen
I
I
I
I
I
I xy
y
x
y
x
v 





 2
*
2
*
2
sen
I
sen
I
I
I xy
y
x
uv 


y
x
v
u I
I
I
I 


Para encontrar Ө donde I es máxima
y
x
xy
I
I
I
tag



2
2
2
2
2
2
xy
y
x
y
x
MAXoMIN I
I
I
I
I
I 







 



“Lo
que
en
vida
hagas,
en
la
eternidad
resonará”
-
“La
muerte
es
una
vida
vivida.
La
vida
es
una
muerte
que
viene”
“No
existe
en
el
mundo
nada
más
poderoso
que
una
idea
a
la
que
le
ha
llegado
su
tiempo”