Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con campos vectoriales y cálculo vectorial. En el primer ejercicio, se evalúa un campo vectorial F en un punto P y en una dirección dada. En el segundo, se calcula el ángulo entre F y otro vector A. Luego, se calcula el flujo de salida a través de la superficie de un cubo y la divergencia de un campo D definido entre dos esferas. Finalmente, se verifica el teorema de la divergencia al obtener el mismo resultado al calcular
PP_Comunicacion en Salud: Objetivación de signos y síntomas
Tarea 1 teoria electromagnetica I
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁTEDRA DE TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
TAREA I
INTEGRANTE
BRYAN HINOJOSA
19170086
2. a)
Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4)
𝐹! = 𝑎!
12
−2 ! + −4 ! + 4!
= 𝑎!
12
6
= 𝑎! 2
Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4), pero en dirección (-4) usando el valor
ya encontrado
𝐹! !
= 2
−4
−2 ! + −4 ! + 4!
= −2
4
6
= −
4
3
b)
Ahora para encontrar el ángulo formado entre F y A lo hacemos mediante el
producto punto entre ambos vectores unitarios
cos 𝜃!" = 𝑎! . 𝑎!
𝜃!" = cos!!
𝑎! . 𝑎!
Ahora formaremos ambos vectores unitarios
𝑎! =
1
6
−2𝑎! − 4𝑎! + 4𝑎! =
1
3
−𝑎! − 2𝑎! + 2𝑎!
𝑎! =
1
2 ! + −3 ! + −6 !
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎! =
1
7
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎!
∴ 𝜃!" = cos!!
𝑎! . 𝑎! = cos!!
1
3
−𝑎! − 2𝑎! + 2𝑎! .
1
7
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎!
𝜃!" = cos!!
1
21
−2 + 6 − 12 = cos!!
−8
21
= 180° − 67,61° = 112,39°
2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )
a) En función de y en coordenadas cartesianas
b) En función de y en coordenadas esféricas
3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )
a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4)
b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P
4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad
en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región
comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d
3. Hemos aplicado las teorías de producto punto, como encontrar ángulos
entre vectores y como realizar un producto unitario, ya sea evaluado en un
punto o no, así probando las teorías aprendidas en la unidad.
4. Resolveremos mediante integral de superficie
𝐷 = 𝑎!
cos 𝜙!
𝑅!
𝑑𝑠 =
𝑎! 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 , 𝑒𝑛 𝑅 = 3 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
−𝑎! 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 , 𝑒𝑛 𝑅 = 2 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
a)
Ahora haciendo el producto punto obtenemos
𝐷 . 𝑑𝑠 =
1
3
−
1
2
!
!
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!!
!
= −
1
6
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!!
!
= −
1
6
− cos 𝜃
𝜋
0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙 = −
1
6
− cos 𝜋 + cos 0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙
= −2
1
6
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
𝜙
2
+
sin 2𝜙
4
2𝜋
0
= −
1
3
2𝜋
2
+
sin 4𝜋
4
−
0
2
+
sin 0
4
= −
𝜋
3
𝐷 . 𝑑𝑠 = −
𝜋
3
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad
en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región
comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d
5. b)
Resolveremos mediante integral de volumen
𝐷 = 𝑎!
cos 𝜙!
𝑅!
𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑹 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠.
∇ . 𝐷 = cos 𝜙!
𝜕
𝜕𝑅
1
𝑅!
𝑎! = −
cos 𝜙!
𝑅!
𝑑𝜐 = 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙 (𝑷𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔)
∇ . 𝐷 𝑑𝜐 = −
1
𝑅!
cos 𝜙!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!
!
!!
!
= − −
1
3
+
1
2
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!!
!
= − −
1
3
+
1
2
− cos 𝜃
𝜋
0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙 = − −
1
3
+
1
2
− cos 𝜋 + cos 0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙
= −2 −
1
3
+
1
2
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
=
2
3
−
2
2
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
𝜙
2
+
sin 2𝜙
4
2𝜋
0
= −
1
3
2𝜋
2
+
sin 4𝜋
4
−
0
2
+
sin 0
4
= −
𝜋
3
∇ . 𝐷 𝑑𝜐 = −
1
𝑅!
cos 𝜙!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!
!
!!
!
= −
𝜋
3
6. Como podemos observar hemos demostrado el Teorema de la Divergencia,
primero lo resolvimos por la integral de superficie y luego la integral de
volumen, obteniendo como resultado el mismo valor y así quedando
comprobado el teorema. Se probo la teoría de el gradiente y se hizo un
breve repaso en derivadas e integrales triples y dobles.