Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con campos vectoriales y cálculo vectorial. En el primer ejercicio, se evalúa un campo vectorial F en un punto P y en una dirección dada. En el segundo, se calcula el ángulo entre F y otro vector A. Luego, se calcula el flujo de salida a través de la superficie de un cubo y la divergencia de un campo D definido entre dos esferas. Finalmente, se verifica el teorema de la divergencia al obtener el mismo resultado al calcular

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁTEDRA DE TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I
TAREA I
INTEGRANTE
BRYAN HINOJOSA
19170086

2. a)
Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4)
𝐹! = 𝑎!
12
−2 ! + −4 ! + 4!
= 𝑎!
12
6
= 𝑎! 2
Ahora evaluamos F en el punto P(-2,-4,4), pero en dirección (-4) usando el valor
ya encontrado
𝐹! !
= 2
−4
−2 ! + −4 ! + 4!
= −2
4
6
= −
4
3
b)
Ahora para encontrar el ángulo formado entre F y A lo hacemos mediante el
producto punto entre ambos vectores unitarios
cos 𝜃!" = 𝑎! . 𝑎!
𝜃!" = cos!!
𝑎! . 𝑎!
Ahora formaremos ambos vectores unitarios
𝑎! =
1
6
−2𝑎! − 4𝑎! + 4𝑎! =
1
3
−𝑎! − 2𝑎! + 2𝑎!
𝑎! =
1
2 ! + −3 ! + −6 !
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎! =
1
7
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎!
∴ 𝜃!" = cos!!
𝑎! . 𝑎! = cos!!
1
3
−𝑎! − 2𝑎! + 2𝑎! .
1
7
2𝑎! − 3𝑎! − 6𝑎!
𝜃!" = cos!!
1
21
−2 + 6 − 12 = cos!!
−8
21
= 180° − 67,61° = 112,39°
2(P2-13).- Exprese la componente de r, de un vector A en ( , , )
a) En función de y en coordenadas cartesianas
b) En función de y en coordenadas esféricas
3(P-15).- Dado un campo vectorial en condenadas esféricas F = ( )
a) Encuentre F y , en el punto P(-2,-4,4)
b) Encuentre el ángulo que forma F con el vector A = 2 - 3 - 6, en P
4(P2-21).- Dado un campo vectorial F = xy + yz + zx
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad
en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región
comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d

3. Hemos aplicado las teorías de producto punto, como encontrar ángulos
entre vectores y como realizar un producto unitario, ya sea evaluado en un
punto o no, así probando las teorías aprendidas en la unidad.

4. Resolveremos mediante integral de superficie
𝐷 = 𝑎!
cos 𝜙!
𝑅!
𝑑𝑠 =
𝑎! 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 , 𝑒𝑛 𝑅 = 3 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
−𝑎! 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 , 𝑒𝑛 𝑅 = 2 (𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
a)
Ahora haciendo el producto punto obtenemos
𝐷 . 𝑑𝑠 =
1
3
−
1
2
!
!
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!!
!
= −
1
6
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!!
!
= −
1
6
− cos 𝜃
𝜋
0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙 = −
1
6
− cos 𝜋 + cos 0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙
= −2
1
6
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
𝜙
2
+
sin 2𝜙
4
2𝜋
0
= −
1
3
2𝜋
2
+
sin 4𝜋
4
−
0
2
+
sin 0
4
= −
𝜋
3
𝐷 . 𝑑𝑠 = −
𝜋
3
a) Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad
en el primer octante con un vértice en el origen
b) Encuentre ▪ F y verifique el teorema de la divergencia
5(P2-24).- Un campo vectorial D= ( ) / existe en la región
comprendidas entre dos capaz esféricas definidas por R = 2 y R= 3, calcule
a)
b) ∇∙D.d

5. b)
Resolveremos mediante integral de volumen
𝐷 = 𝑎!
cos 𝜙!
𝑅!
𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑹 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠.
∇ . 𝐷 = cos 𝜙!
𝜕
𝜕𝑅
1
𝑅!
𝑎! = −
cos 𝜙!
𝑅!
𝑑𝜐 = 𝑅!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙 (𝑷𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔)
∇ . 𝐷 𝑑𝜐 = −
1
𝑅!
cos 𝜙!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!
!
!!
!
= − −
1
3
+
1
2
sin 𝜃 cos 𝜙!
𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!!
!
= − −
1
3
+
1
2
− cos 𝜃
𝜋
0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙 = − −
1
3
+
1
2
− cos 𝜋 + cos 0
!!
!
cos 𝜙!
𝑑𝜙
= −2 −
1
3
+
1
2
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
=
2
3
−
2
2
cos 𝜙!
𝑑𝜙
!!
!
= −
1
3
𝜙
2
+
sin 2𝜙
4
2𝜋
0
= −
1
3
2𝜋
2
+
sin 4𝜋
4
−
0
2
+
sin 0
4
= −
𝜋
3
∇ . 𝐷 𝑑𝜐 = −
1
𝑅!
cos 𝜙!
sin 𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙
!
!
!
!
!!
!
= −
𝜋
3

6. Como podemos observar hemos demostrado el Teorema de la Divergencia,
primero lo resolvimos por la integral de superficie y luego la integral de
volumen, obteniendo como resultado el mismo valor y así quedando
comprobado el teorema. Se probo la teoría de el gradiente y se hizo un
breve repaso en derivadas e integrales triples y dobles.