Geometría plana 3o ESO

3º ESO
Tema 8
Geometría del Plano
C.E.I.P.S. Adolfo Suárez
Luis Alonso

Curso 2010/2011 Luis Alonso 2
Tema 8
1.- FORMAS GEOMÉTRICAS
2.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN
TRIÁNGULO
6.- LUGARES GEOMÉTRICOS
3.- FIGURAS SEMEJANTES
4.- TEOREMA DE TALES
5.- TEOREMA DE PITÁGORAS
7.- LONGITUDES Y ÁREAS DE FIGURAS
PLANAS

● La suma de los ángulos interiores de un
triángulo es 180o
.
● Un polígono cualquiera se puede descomponer
en triángulos; luego podemos calcular la suma
de todos los ángulos interiores como la suma
de los 180o
de cada uno de los triángulos.
● Por tanto, la suma de los ángulos interiores de
un polígono de n lados es 180o
∙(n2).

● Por ejemplo, en un pentágono la suma de los
ángulos interiores es 180∙3=540o
.

EJERCICIOS:
1, 2 (p. 133)

● Si un polígono es regular, cada ángulo mide:
180o
∙(n2)
n
Por ejemplo, en el
pentágono, cada ángulo
interior mide 108o
.
108o

● Dos ángulos son complementarios si su suma
es un ángulo recto (90º).
● Dos ángulos son suplementarios si su suma es
un ángulo llano (180º).

● Los ángulos opuestos por un vértice son
iguales.
● Los ángulos de lados paralelos o son iguales o
son suplementarios.

● Dos puntos determinan una recta.
● Dos rectas que se cortan en un punto son
secantes.
● Dos rectas que no se cortan en ningún punto
son paralelas.
● Dos rectas son perpendiculares si son
secantes y el ángulo que determinan es recto.

● Una recta y una circunferencia pueden cortarse
en un punto, en dos puntos o no cortarse. En
ese caso se dice que la recta es tangente,
secante o exterior a la circunferencia,
respectivamente.
Observación: Ha sido un breve repaso del tema 11 de 1º ESO
(pág. 198 del libro de SM).

Tema 8
TRIÁNGULO
PLANAS

2.1.- Mediatrices y circuncentro
● La mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular al mismo en su punto medio.
● Las tres mediatrices de un triángulo se cortan
siempre en un punto llamado circuncentro.
● El circuncentro está a igual distancia de cada
vértice. Luego es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.

2.2.- Bisectrices e incentro
● La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa
por un vértice y divide al ángulo en dos partes
iguales.
● Las tres bisectrices de un triángulo se cortan
siempre en un punto llamado incentro.
● El incentro está a igual distancia de cada lado.
Luego es el centro de la circunferencia inscrita
al triángulo.

2.3.- Medianas y baricentro
● La mediana de un triángulo es la recta que
pasa por un vértice y el punto medio del lado
opuesto.
● Las tres medianas de un triángulo se cortan
siempre en un punto llamado baricentro.
● El baricentro se encuentra a doble distancia del
vértice que del punto medio del lado.

2.4.- Alturas y ortocentro
● La altura de un triángulo es la recta que pasa
por un vértice y es perpendicular al lado
opuesto o a su prolongación.
● Las tres alturas de un triángulo se cortan
siempre en un punto llamado ortocentro.

Observación
● El ortocentro, el baricentro y el circuncentro
están alineados y determinan la Recta de
Euler.

2.- RECTAS Y PUNTOS
NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
EJERCICIOS:
3, 5 (p. 134)
A)¿Dónde se encuentran el ortocentro, el
baricentro y el circuncentro en un triángulo
rectángulo?
B)¿Y en un triángulo equilátero?

Tema 11
TRIÁNGULO
PLANAS

6.1.- Mediatriz
● La mediatriz de un segmento es el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan (misma distancia) de los extremos
del segmento.

6.2.- Bisectriz
● La bisectriz de un ángulo es el lugar
geométrico de los puntos del plano que
equidistan de los lados del ángulo.

6.3.- Circunferencia
● La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos del plano que equidistan de un punto
interior llamado centro.

Lugar geométrico
● El lugar geométrico es un conjunto de puntos
que cumplen una determinada propiedad.

EJERCICIOS:
16 (p. 139) 71 (p. 147)
A)Tres pueblos están comunicados por carretera de forma
triangular. Se quiere construir una gasolinera de forma
que se encuentre a igual distancia de los tres pueblos.
¿Dónde se debería ubicar?
B)Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que se
encuentran a una distancia de 4cm de la circunferencia de
centro O y radio 7cm.

Tema 8
TRIÁNGULO
PLANAS

● Cuando revelamos fotos, lo podemos hacer en
varios formatos (9x13, 10x15, 15x20,...).
● Estos formatos indican siempre una relación de
forma que la imagen siempre sea la misma.
● Así tendremos figuras semejantes.

● Dos figuras son semejantes cuando tienen la
misma forma.
● Es decir, cuando los ángulos correspondientes
son siempre iguales.
● Además, en dos figuras semejantes, los lados
correspondientes son proporcionales, cuya
razón de proporcionalidad es la razón de
semejanza.

● La razón de semejanza se obtiene dividiendo
las longitudes correspondientes.
● Si es mayor que 1, la 1ª (el numerador) se trata
de una ampliación de la 2ª (el denominador).
● Si es menor que 1, se trata de una reducción.

● ¿Cuánto tenemos figuras semejantes?
– En fotografías,
– Maquetas,
– Cuadros,
– Mapas,
– Planos,
– ...

Triángulos semejantes
● Dos triángulos semejantes tienen igual sus
ángulos y proporcionales sus lados.
● Pero pueden estar girados o ser simétricos.
● Criterios de semejanza de triángulos:
– Tienen dos ángulos iguales.
– Tienen los lados proporcionales.
– Tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido igual.

Polígonos semejantes
● Para semejanza de polígonos, los
descomponemos en triángulos y comprobamos
si los triángulos correspondientes son
semejantes.

EJERCICIOS:
8, 9 (p. 135)
31, 32, 33 (p. 144)

Tema 8
TRIÁNGULO
PLANAS

Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes.
En este caso, estos dos triángulos están en
posición de Tales.

● El Teorema de Tales dice que:
– Dos triángulos en posición de Tales son
semejantes.
● Es más,
– Dos triángulos son semejantes si se pueden
poner en posición de Tales.
● Por ejemplo, si dos triángulos tienen dos ángulos
iguales, podemos encajar el pequeño en el grande,
haciendo coincidir uno de los ángulos.

● Otra forma de ver el Teorema de Tales es:
donde k es la razón de semejanza.
AB
AB '
=
BC
B' C '
=
AC
AC '
=k

EJERCICIOS:
11 (p. 136)

Tema 11
TRIÁNGULO
PLANAS

En un triángulo rectángulo (con un ángulo de
90o
), los lados menores son los que forman el
ángulo recto y se llaman catetos. El lado mayor
se llama hipotenusa.
Llamaremos a la hipotenusa a y a los catetos b y
c.

El Teorema de Pitágoras establece una relación
entre los lados de los triángulos rectángulos.
El Teorema de Pitágoras dice:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos:
a
2
=b
2
c
2
b
a
c

5.1.- Demostraciones del Teorema
de Pitágoras (1)
● 1ª interpretación:
El Teorema de
Pitágoras expresa
una relación entre los
cuadrados de las
medidas de los lados
de un triángulo
rectángulo.

de Pitágoras (1)
El área del cuadrado
verde construido sobre la
hipotenusa, tiene un área
cuya medida es la
medida de la hipotenusa
al cuadrado; las áreas de
los cuadrados azul y
amarillo construidos
sobre los catetos del
triángulo rectángulo,
tienen como medida la
medida de los catetos al
cuadrado.

de Pitágoras (1)
Es fácil comprobar
que el área del
cuadrado verde es la
suma de las áreas de
los cuadrados azul y
amarillo.

de Pitágoras (1)
Por tanto, en un
triángulo rectángulo,
el área del cuadrado
construido sobre la
hipotenusa es igual a
la suma de las áreas
de los cuadrados
construidos sobre los
catetos.

de Pitágoras (2)
● 2ª interpretación:
El área del cuadrado
de color gris,
construido sobre la
hipotenusa, tiene el
mismo área que un
cuadrado de lado a+b
menos el área de los
triángulos azules.

de Pitágoras (2)
El área de cada
triángulo azul es a·b/2,
el área de todos los
cuadrados azules suma
2a·b.
c2 = (a+b)2 – 2ab =
= a2 + b2 + 2ab – 2ab
= a2 + b2

de Pitágoras (3)
Vemos otras demostraciones interactivas

5.2.- Conociendo los lados,
averiguar si es rectángulo
Si conocemos los lados de un triángulo, podemos
averiguar si es o no es rectángulo, gracias al
Teorema de Pitágoras: ¿Es a2 igual que b2 + c2?
•
Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo.
•
Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo.
•
Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo.

5.3.- Cálculo de lados desconocidos
en un triángulo rectángulo
● Cálculo de la hipotenusa
Si conocemos los dos catetos de un triángulo
rectángulo, podemos calcular la hipotenusa:
a
2
=b
2
c
2
 a=b
2
c
2
a=b
2
c
2
b
c

Queremos hacer una tirolina entre dos árboles
separados 24m. El cable estará atado a 9m de altura
en el árbol y a 2m de altura en el otro. ¿Cuál es la
longitud del cable en tensión?
l2
= 72
+ 242
= 49 + 576 =
625
Solución: La longitud del cable tenso es de 25m.
Además, habrá que tener en cuenta la longitud
necesaria para atarlo a cada árbol.
9m
7m
24m 2m
l
l=625=25m

● Cálculo del cateto
Si conocemos la hipotenusa y uno de los
catetos de un triángulo rectángulo, podemos
calcular el otro cateto:
a2
=b2
c2
 b2
=a2
−c2
b=a2
−c2
b=a2
−c2
a
c

Queremos salvar un escalón de 0,8m de altura para
pasar con una carretilla. Disponemos de un tablón de
1,7m. ¿Hasta qué distancia nos iríamos del escalón?
d2
= 1,72
– 0,82
=
= 2,89 – 0,64 = 2,25
Solución: El pie del tablón estará situado a 1,5m del
escalón, o algo menos, para que pueda apoyarse.
0,8m
1,7m
d
d =2,25=1,5m

5.4.- Cálculo de distancias en
polígonos
Debemos encontrar triángulos rectángulos
conocidos dos lados para buscar el lado
desconocido con el Teorema de Pitágoras.

EJERCICIOS:
13, 14 (p. 137)
37, 38, 39 (p. 144)
52 (p. 145)
69, 70 (p. 147)

Tema 11
TRIÁNGULO
PLANAS

7.- LONGITUDES Y ÁREAS DE
FIGURAS PLANAS
● El perímetro de un polígono es la suma de las
longitudes de los lados.
● El área de un polígono es la medida de su
superficie.

Áreas de polígonos
Rectángulo
A = b∙a
Paralelogramo o romboide
A = b∙a
Rombo
A=
d · D
2
a
b
a
b
d
D

Áreas de polígonos
Trapecio
Triángulo
Polígono regular
A=
Perímetro· Apotema
2
A=
a·b
2
A=
bb'
2
·a
a
b
b'
b
a
al

Áreas circulares
Círculo
Sector circular
Corona circular
A=·r2
A=·r
2
·

360
A=· R2
−r2

r
r
R
r α

Áreas de figuras
● El área del triángulo se puede calcular en
función de sus lados (Fórmula de Herón):
– Perímetro: p=a+b+c
– Semiperímetro: s=p/2
Para calcular el área de cualquier figura,
debemos dividirla en trozos que podamos
calcular.
A=s·s−a·s−b·s−c

7.- LONGITUDES Y ÁREAS DE
FIGURAS PLANAS
EJERCICIOS:
24, 25 (p. 142)
41, 42, 43, 44 (p. 145)
65, 66 (p. 146)
79 (p. 148)

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