sucesiones, ejercicios practicos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
VECERRECTORADO ACADÉMICO
DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA
AREA: EDUCACIÓN
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA III
PROF.: MIGUEL GARCÍA
Límite de una Sucesión (Resumen de la clase. Ejercicios resueltos)
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = {
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 → 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
∞ → 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒂 𝒏~(−𝟏) 𝒇(𝒏)
→ 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆
Caso I: 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑷(𝒏)
𝑸(𝒏)
Ejemplos:
Solución
lim
𝑛→∞
2𝑛3−𝑛2+3
𝑛3+1
= lim
𝑛→∞
2𝑛3
𝑛3
= 2
lim
𝑛→∞
7𝑛3−𝑛4+5𝑛2
𝑛9−8𝑛2
= lim
𝑛→∞
−𝑛4
𝑛9
= lim
𝑛→∞
−
1
𝑛5
= −
1
∞
= 0
lim
𝑛→∞
2𝑛4+𝑛3
𝑛2
= lim
𝑛→∞
2𝑛4
𝑛2
= lim
𝑛→∞
2𝑛2
1
= lim
𝑛→∞
2𝑛2
= ∞
En conclusión de acuerdo a los resultados obtenidos podemos extraer la siguiente regla:
𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 {
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑷( 𝒏) > 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → ∞
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑷( 𝒏) = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐
𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑷( 𝒏) < 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → 𝟎

2. Caso II:
Ejemplos
Solución
lim
𝑛→∞
(√ 𝑛 − √𝑛 + 5) = lim
𝑛→∞
(√ 𝑛−√𝑛+5)(√ 𝑛+√𝑛+5)
(√ 𝑛+√𝑛+5)
Aplicamos conjugada, luego otra fórmula que necesitaremos es:
( 𝒂 − 𝒃)( 𝒂 + 𝒃) = 𝒂 𝟐
− 𝒃 𝟐
= lim
𝑛→∞
(√ 𝑛)2
− (√𝑛 + 5)2
(√ 𝑛 + √𝑛 + 5)
= lim
𝑛→∞
𝑛 − (𝑛 + 5)
(√ 𝑛 + √𝑛 + 5
= lim
𝑛→∞
𝑛−𝑛−5
(√ 𝑛+√𝑛+5)
= lim
𝑛→∞
−5
√ 𝑛+√𝑛+5)
= lim
𝑛→∞
−5
√ 𝑛+√ 𝑛
= lim
𝑛→∞
−5
2√ 𝑛
=
−5
∞
= 𝟎
∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(√ 𝒏 − √𝒏 + 𝟓) = 𝟎
Nota: Obsérvese que el grado de 𝑷(𝒏) = 𝟎 y el grado de
𝑸( 𝒏) = (√ 𝒏) = 𝒏
𝟏
𝟐⁄
=
𝟏
𝟐
.
lim
𝑛→∞
(√… ± √… . . )
lim
𝑛→∞
(√𝑛 + 5 − 8) = lim
𝑛→∞
(√𝑛+5−8)(√𝑛+5+8)
(√𝑛+5+8)
=
= lim
𝑛→∞
(√𝑛 + 5)2
− (8)2
√𝑛 + 5 + 8
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 5 − 64
√𝑛 + 5 + 8
=
= lim
𝑛→∞
𝑛
√ 𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
1
2⁄
= lim
𝑛→∞
𝑛. 𝑛
−1
2⁄
=
= lim
𝑛→∞
𝑛
1
2⁄
= ∞
1
2⁄
= √∞ = ∞
∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(√𝒏 + 𝟓 − 𝟖) = ∞

3. Caso III:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = {
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒄 𝒏 = ∞
} = 𝟏∞
En caso de que esto se cumpla, aplicamos la formula 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝒆
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒄 𝒏(𝒂 𝒏−𝟏)
Ejemplos
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(𝟏 +
𝟐
𝟑𝒏
)
𝒏
= 𝟏∞
Solución
Primeramente verificamos si se cumple la observación indicada al
principio, encontrando los límites que nos indican.
 lim
𝑛→∞
(1 +
2
3𝑛
) = lim
𝑛→∞
(
3𝑛−2
3𝑛
) = lim
𝑛→∞
(
3𝑛
3𝑛
) = 1
 lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞
Luego que verificamos que el resultado obtenido es de la forma 1∞
, aplicamos la
formula, obteniendo lo siguiente:
lim
𝑛→∞
(1 +
2
3𝑛
)
𝑛
= 𝑒
lim
𝑛→∞
𝑛.(1−
2
3𝑛
−1)
= 𝑒
lim
𝑛→∞
𝑛.(1−
2
3𝑛
−1)
= 𝑒
lim
𝑛→∞
𝑛.(
−2
3𝑛
)
=
lim
𝑛→∞
(1 +
2
3𝑛
)
𝑛
= 𝑒
lim
𝑛→∞
(−
2𝑛
3𝑛
)=
= 𝑒−2
3⁄
∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(𝟏 +
𝟐
𝟑𝒏
)
𝒏
= 𝒆− 𝟐
𝟑⁄

4. 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟐𝒏+𝟏
𝟐𝒏+𝟒
)
𝒏 𝟐
𝒏+𝟏
= 𝟏∞
Solución
 lim
𝑛→∞
(
2𝑛+1
2𝑛+4
) = 1
 lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑛+1
= ∞
lim
𝑛→∞
(
2𝑛 + 1
2𝑛 + 4
)
𝑛2
𝑛+1
= 𝑒
lim
𝑛→∞
(
𝑛2
𝑛+1
).(
2𝑛+1
2𝑛+4−1)
lim
𝑛→∞
(
2𝑛 + 1
2𝑛 + 4
)
𝑛2
𝑛+1
= 𝑒
lim
𝑛→∞
(
𝑛2
𝑛+1
).(
−3
2𝑛+4
)=
𝑒
lim
𝑛→∞
−3𝑛2
(𝑛+1)(2𝑛+4)
=
lim
𝑛→∞
(
2𝑛 + 1
2𝑛 + 4
)
𝑛2
𝑛+1
= 𝑒
lim
𝑛→∞
−3𝑛2
2𝑛2+4𝑛+2𝑛+4
=
= 𝑒
lim
𝑛→∞
−3𝑛2
2𝑛2 =
∴ 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟐𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏 + 𝟒
)
𝒏 𝟐
𝒏+𝟏
= 𝒆
−𝟑
𝟐⁄
Caso IV:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏
𝒄 𝒏 ≠ 𝟏∞
Ejemplos:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟐𝒏 𝟐
𝟑𝒏+𝟏
)
3𝑛2+5
𝑛

5. Solución
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟐𝒏 𝟐
𝟑𝒏 + 𝟏
) = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
3𝒏 𝟐 + 5
𝒏
) = ∞
}
= ∞∞
= ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟑𝒏 𝟐+2
𝟓𝒏
)
−3𝑛2
Solución
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝟑𝒏 𝟐
+ 𝟐
𝟓𝒏
) = ∞
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(−𝟑𝒏 𝟐) = −𝟑. ∞ 𝟐
= −∞
}
= ∞−∞
=
𝟏
∞∞ =
𝟏
∞
= 𝟎
Nota:
 ∞−∞
= 𝟎
 𝑺𝒊 𝒂 < 𝟏 → 𝒂∞
= 𝟎, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 (𝟎. 𝟓)∞
= 𝟎
 𝑺𝒊 𝒂 > 𝟏 → 𝒂∞
= ∞, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟕∞
= ∞
 𝑺𝒊 𝒂 > 𝟏 → 𝒂−∞
= 𝟎, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟑−∞
= 𝟎
 𝑺𝒊 𝒂 < 𝟏 → 𝒂−∞
= ∞
 𝟎±∞
= 𝟎