UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
FRANCISCO DE MIRANDA
VECERRECTORADO ACADÉMICO
DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA
AREA: ...
Caso II:
Ejemplos
Solución
lim
𝑛→∞
(√ 𝑛 − √𝑛 + 5) = lim
𝑛→∞
(√ 𝑛−√𝑛+5)(√ 𝑛+√𝑛+5)
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Aplicamos conjugada, luego otr...
Caso III:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = {
𝐥𝐢𝐦
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𝒂 𝒏 = 𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒄 𝒏 = ∞
} = 𝟏∞
En caso de que esto se cumpla, aplicamos la formula 𝐥𝐢𝐦
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𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
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Solución
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sucesiones

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA VECERRECTORADO ACADÉMICO DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA AREA: EDUCACIÓN UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA III PROF.: MIGUEL GARCÍA Límite de una Sucesión (Resumen de la clase. Ejercicios resueltos) 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 = { 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 → 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 ∞ → 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒏~(−𝟏) 𝒇(𝒏) → 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆 Caso I: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝑷(𝒏) 𝑸(𝒏) Ejemplos: Solución lim 𝑛→∞ 2𝑛3−𝑛2+3 𝑛3+1 = lim 𝑛→∞ 2𝑛3 𝑛3 = 2 lim 𝑛→∞ 7𝑛3−𝑛4+5𝑛2 𝑛9−8𝑛2 = lim 𝑛→∞ −𝑛4 𝑛9 = lim 𝑛→∞ − 1 𝑛5 = − 1 ∞ = 0 lim 𝑛→∞ 2𝑛4+𝑛3 𝑛2 = lim 𝑛→∞ 2𝑛4 𝑛2 = lim 𝑛→∞ 2𝑛2 1 = lim 𝑛→∞ 2𝑛2 = ∞ En conclusión de acuerdo a los resultados obtenidos podemos extraer la siguiente regla: 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 { 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑷( 𝒏) > 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → ∞ 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑷( 𝒏) = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑷( 𝒏) < 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑸( 𝒏) → 𝟎
  2. 2. Caso II: Ejemplos Solución lim 𝑛→∞ (√ 𝑛 − √𝑛 + 5) = lim 𝑛→∞ (√ 𝑛−√𝑛+5)(√ 𝑛+√𝑛+5) (√ 𝑛+√𝑛+5) Aplicamos conjugada, luego otra fórmula que necesitaremos es: ( 𝒂 − 𝒃)( 𝒂 + 𝒃) = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 = lim 𝑛→∞ (√ 𝑛)2 − (√𝑛 + 5)2 (√ 𝑛 + √𝑛 + 5) = lim 𝑛→∞ 𝑛 − (𝑛 + 5) (√ 𝑛 + √𝑛 + 5 = lim 𝑛→∞ 𝑛−𝑛−5 (√ 𝑛+√𝑛+5) = lim 𝑛→∞ −5 √ 𝑛+√𝑛+5) = lim 𝑛→∞ −5 √ 𝑛+√ 𝑛 = lim 𝑛→∞ −5 2√ 𝑛 = −5 ∞ = 𝟎 ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ (√ 𝒏 − √𝒏 + 𝟓) = 𝟎 Nota: Obsérvese que el grado de 𝑷(𝒏) = 𝟎 y el grado de 𝑸( 𝒏) = (√ 𝒏) = 𝒏 𝟏 𝟐⁄ = 𝟏 𝟐 . lim 𝑛→∞ (√… ± √… . . ) lim 𝑛→∞ (√𝑛 + 5 − 8) = lim 𝑛→∞ (√𝑛+5−8)(√𝑛+5+8) (√𝑛+5+8) = = lim 𝑛→∞ (√𝑛 + 5)2 − (8)2 √𝑛 + 5 + 8 = lim 𝑛→∞ 𝑛 + 5 − 64 √𝑛 + 5 + 8 = = lim 𝑛→∞ 𝑛 √ 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 1 2⁄ = lim 𝑛→∞ 𝑛. 𝑛 −1 2⁄ = = lim 𝑛→∞ 𝑛 1 2⁄ = ∞ 1 2⁄ = √∞ = ∞ ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ (√𝒏 + 𝟓 − 𝟖) = ∞
  3. 3. Caso III: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 = { 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 = 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒄 𝒏 = ∞ } = 𝟏∞ En caso de que esto se cumpla, aplicamos la formula 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 = 𝒆 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒄 𝒏(𝒂 𝒏−𝟏) Ejemplos 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ (𝟏 + 𝟐 𝟑𝒏 ) 𝒏 = 𝟏∞ Solución Primeramente verificamos si se cumple la observación indicada al principio, encontrando los límites que nos indican.  lim 𝑛→∞ (1 + 2 3𝑛 ) = lim 𝑛→∞ ( 3𝑛−2 3𝑛 ) = lim 𝑛→∞ ( 3𝑛 3𝑛 ) = 1  lim 𝑛→∞ 𝑛 = ∞ Luego que verificamos que el resultado obtenido es de la forma 1∞ , aplicamos la formula, obteniendo lo siguiente: lim 𝑛→∞ (1 + 2 3𝑛 ) 𝑛 = 𝑒 lim 𝑛→∞ 𝑛.(1− 2 3𝑛 −1) = 𝑒 lim 𝑛→∞ 𝑛.(1− 2 3𝑛 −1) = 𝑒 lim 𝑛→∞ 𝑛.( −2 3𝑛 ) = lim 𝑛→∞ (1 + 2 3𝑛 ) 𝑛 = 𝑒 lim 𝑛→∞ (− 2𝑛 3𝑛 )= = 𝑒−2 3⁄ ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ (𝟏 + 𝟐 𝟑𝒏 ) 𝒏 = 𝒆− 𝟐 𝟑⁄
  4. 4. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟐𝒏+𝟏 𝟐𝒏+𝟒 ) 𝒏 𝟐 𝒏+𝟏 = 𝟏∞ Solución  lim 𝑛→∞ ( 2𝑛+1 2𝑛+4 ) = 1  lim 𝑛→∞ 𝑛2 𝑛+1 = ∞ lim 𝑛→∞ ( 2𝑛 + 1 2𝑛 + 4 ) 𝑛2 𝑛+1 = 𝑒 lim 𝑛→∞ ( 𝑛2 𝑛+1 ).( 2𝑛+1 2𝑛+4−1) lim 𝑛→∞ ( 2𝑛 + 1 2𝑛 + 4 ) 𝑛2 𝑛+1 = 𝑒 lim 𝑛→∞ ( 𝑛2 𝑛+1 ).( −3 2𝑛+4 )= 𝑒 lim 𝑛→∞ −3𝑛2 (𝑛+1)(2𝑛+4) = lim 𝑛→∞ ( 2𝑛 + 1 2𝑛 + 4 ) 𝑛2 𝑛+1 = 𝑒 lim 𝑛→∞ −3𝑛2 2𝑛2+4𝑛+2𝑛+4 = = 𝑒 lim 𝑛→∞ −3𝑛2 2𝑛2 = ∴ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟒 ) 𝒏 𝟐 𝒏+𝟏 = 𝒆 −𝟑 𝟐⁄ Caso IV: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒂 𝒏 𝒄 𝒏 ≠ 𝟏∞ Ejemplos: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟐𝒏 𝟐 𝟑𝒏+𝟏 ) 3𝑛2+5 𝑛
  5. 5. Solución 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟐𝒏 𝟐 𝟑𝒏 + 𝟏 ) = ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 3𝒏 𝟐 + 5 𝒏 ) = ∞ } = ∞∞ = ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟑𝒏 𝟐+2 𝟓𝒏 ) −3𝑛2 Solución 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ( 𝟑𝒏 𝟐 + 𝟐 𝟓𝒏 ) = ∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ (−𝟑𝒏 𝟐) = −𝟑. ∞ 𝟐 = −∞ } = ∞−∞ = 𝟏 ∞∞ = 𝟏 ∞ = 𝟎 Nota:  ∞−∞ = 𝟎  𝑺𝒊 𝒂 < 𝟏 → 𝒂∞ = 𝟎, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 (𝟎. 𝟓)∞ = 𝟎  𝑺𝒊 𝒂 > 𝟏 → 𝒂∞ = ∞, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟕∞ = ∞  𝑺𝒊 𝒂 > 𝟏 → 𝒂−∞ = 𝟎, 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟑−∞ = 𝟎  𝑺𝒊 𝒂 < 𝟏 → 𝒂−∞ = ∞  𝟎±∞ = 𝟎

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