1. Producto vectorial 1
Producto vectorial
Esquema
En Matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto
cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio
tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los
vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que
los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector
perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de
acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta
operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas
matemáticos, físicos o de ingeniería.
Definición
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El
producto vectorial entre y da como resultado un nuevo
vector, . El producto vectorial entre a y b se denota
mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz.
En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra
x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial
mediante:[1]
El producto vectorial puede definirse de una manera más
compacta de la siguiente manera:
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b
y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ
es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano
derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

2. Producto vectorial 2
Producto vectorial de dos vectores
Sean los vectores concurrentes de , el espacio afín
tridimensional según la base anterior. Se define el producto:
Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:
donde la última fórmula se interpreta como:
esto es:
Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de
orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el
segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Dando como resultado:
Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y
verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)

3. Producto vectorial 3
Propiedades
Identidades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. , cancelación por ortogonalidad.
3. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la
condición de paralelismo entre dos direcciones.
4. .
5. , conocida como regla de la expulsión.
6. , conocida como identidad de Jacobi.
7. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores y ,
siendo , el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área
del paralelogramo que definen ambos vectores.
8. El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto vectorial:
9. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se dice que es una base ortonormal
derecha si cumple con las siguientes condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior,
son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física
aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los
vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que
no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
Dual de Hodge
En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede
reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos
vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.

4. Producto vectorial 4
Generalización a n dimensiones
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a
dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores, dependiendo de la dimensión en la que
se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un
vector, y el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:
Otros productos vectoriales
Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:
• producto escalar
• producto vectorial
• producto tensorial
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y
directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por
dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de
tres vectores.
En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un
vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por
ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una
operación interna.
Referencias
[1] Spiegel, 1992, p. 96
Bibliografía
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN
84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons.
ISBN 0-471-32057-9.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN
84-7615-197-7.
Enlaces externos
• Bogomolny, Alexander. « Real and Complex Products of Complex Numbers (http:/ / www. cut-the-knot. org/
arithmetic/ algebra/ RealComplexProducts. shtml)» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles
(http:/ / www. cut-the-knot. org/ index. shtml).
• Weisstein, Eric W. « Cross Product (http:/ / mathworld. wolfram. com/ CrossProduct. html)» (en inglés).
MathWorld. Wolfram Research.

5. Fuentes y contribuyentes del artículo 5
Fuentes y contribuyentes del artículo
Producto vectorial Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=76421138 Contribuyentes: AlbertoCrakito, AlexFBP, Algarabia, Andres Rojas, Angel GN, Charlitos, Chrisyagami, Coins,
Cristian.arbe, Dante93, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Dusan, Edgardo C, FedeBosio, Fitohira, Fportales, Fsd141, GermanX, Gusbelluwiki, Götz, Ignacioerrico, JMCC1, Jkbw,
Jorgeneo560, Juan Mayordomo, Jurock, Kender00, Kved, LPFR, ManuelMore, MarceloPinoQuivira, Marianov, Matdrodes, Muro de Aguas, Oleg chmkv, Pólux, Rakugan, Ramjar, Raulshc,
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