Andrés Miniguano Trujillo
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS
Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA
DEBER N....
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caracteriza por pr...
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son m...
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Arrugas en el
papel
85 85 0.461956522 0.461956522
Tiempo de
entrega
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mínimos y máximos de las cate...
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𝑅 = 𝑀 − 𝑚 = 39 − 8 = 31
𝑠 = √
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∑ 𝑥 𝑖
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Frecuencia
Acumulada
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8.2. Halle el número de meses que han ingresado mas de 45 mil y no más de 80 mil.
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i Intervalos de clase Punto medio f(i) F(i) fr(i) Fr(i)
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11. En unestudio sobre la resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión (en lb/plg2
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i Intervalos de clase Punto medio f(i) fr(i) F(i) Fr(i)
1 8.5-89.5 49 25 25 0,284090909 0,284090909
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1390.5 --- 1489.5 4
13.1. Los precios de venta de las lámparas están dados de la siguiente manera:
Si la lámpara dura h...
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14.2. El promedio de kilómetros que han recorrido los 50 carros.
𝑥̅ =
1
50
∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
7
𝑖=1
= 214.64
14.3. La mediana....
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15.4. La media, mediana y moda de la muestra.
𝑥̅ =
1
𝑛
∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖)
𝑞
𝑖=1
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∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖)
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𝑖=1
= 31.07
𝑀𝑑 = 𝑥9+1
2...
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16.5. ¿En cuántos días se puede esperar vendan una cantidad de galones menor o igual a 450
galones?
𝑃𝑘 = 𝐿 +
𝑛𝑝 − 𝐹
𝑓
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  1. 1. Andrés Miniguano Trujillo ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA DEBER N. 1:PRESENTACION Y DESCRIPCION DE DATOS ESTADISTICOS 1. En una empresa textil se desea analizar el número de defectos en los tejidos que fábrica. En la tabla siguiente se muestran los factores que se han identificado como causantes de los mismos así como el número de defectos asociado a ellos: Factores Número de defectos Seda Algodón Tul Tafetán Raso Encaje Lana Lino Satén Viscosa 13 171 105 7 7 8 4 9 11 9 Usando el diagrama de Pareto, determine los defectos “pocos vitales” y “muchos triviales”; ¿Qué tipo de telas se deben mejorar para minimizar el 80% de defectos? Primero organicemos la información presentada además de realizar unos cálculos complementarios: Factores Frecuencia Frecuencia Acumulada Porcentaje Porcentaje Acumulado Algodón 171 171 0.4971 0.4971 Tul 105 276 0.3052 0.8023 Seda 13 289 0.0378 0.8401 Satén 11 300 0.0320 0.8721 Lino 9 309 0.0262 0.8983 Viscosa 9 318 0.0262 0.9245 Encaje 8 326 0.0233 0.9478 Raso 7 333 0.0203 0.9681 Tafetán 7 340 0.0203 0.9884 Lana 4 344 0.0116 1.0000 En base al porcentaje acumulado se realiza el Diagrama de Pareto: Según la regla 80-20 se deben mejorar las telas de tul y algodón para minimizar el 80% de los defectos presentes en los productos textiles de la fábrica. A partir de ello se determinan las dos clases diferentes de defectos: los defectos poco vitales son el tul y algodón, mientras que los defectos triviales son el 0 0.5 1 PorcentajeAcumulado Tejidos Defectos en los tejidos de fábrica
  2. 2. 2 resto de telas que son seda, satén, lino, viscosa, encaje, raso, tafetán y lana. Este último grupo se caracteriza por presentar un bajo porcentaje de incidencia en lo que confiere a defectos producidos por la fábrica en el producto terminado. 2. Un fabricante de accesorios plásticos desea analizar cuáles son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción. Para esto, empezó por clasificar todos los defectos posibles en sus diversos tipos: T Tipo de Defecto Detalle del Problema Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente Fuera de medida Ovalización mayor a la admitida Mala terminación Aparición de rebabas Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable Posteriormente, un inspector revisa cada accesorio a medida que sale de producción registrando sus defectos de acuerdo con dichos tipos. Al finalizar la jornada, se obtuvo una tabla como esta: Tipo de Defecto Frecuencia Aplastamiento 40 Rotura 35 Fuera de medida 8 Mal color 3 Mal alabeo 3 Mala terminación 2 Incompleto 2 Desbalanceo 1 Realice el diagrama de Pareto; ¿Cuáles son los tipos de defectos más frecuentes (pocos vitales) y cuáles son los “muchos triviales”? ¿Qué puede concluir de acuerdo al principio de Pareto? Primero organicemos la información presentada además de realizar unos cálculos complementarios: Tipo de Defecto Frecuencia Frecuencia Acumulada Porcentaje Porcentaje Acumulado Aplastamiento 40 40 0.425531915 0.425531915 Rotura 35 75 0.372340426 0.79787234 Fuera de medida 8 83 0.085106383 0.882978723 Mal color 3 86 0.031914894 0.914893617 Mal alabeo 3 89 0.031914894 0.946808511 Mala terminación 2 91 0.021276596 0.968085106 Incompleto 2 93 0.021276596 0.989361702 Desbalanceo 1 94 0.010638298 1 A partir de los datos anteriores procedemos a construir el Diagrama de Pareto:
  3. 3. 3 Los defectos más frecuentes son el aplastamiento y la rotura mientras que el resto de defectos podrían decirse que son más ocasionales, son triviales. Según el principio de Pareto el fabricante debe invertir en la corrección del aplastamiento y la rotura en sus productos antes de llegar a la línea de producción ya que estos representan el 80% de los defectos presentes en sus productos terminados. El resto de defectos no son tan relevantes por el momento debido a su poca frecuencia, por lo que una inversión apresurada en todos los defectos no será muy pertinente mientras que en los defectos más frecuentes es necesaria una atención inmediata. 3. En una empresa gráfica se presentan reclamaciones por varios defectos en el producto, los cuales se presentan en la siguiente tabla: Reclamo Frecuencia Tipo de papel 18 Arrugas en el papel 85 Tiempo de entrega 42 Encuadernación 12 Acabado 4 Color 10 Tinta 3 Motas 5 Facturación 2 Imágenes 3 Realice un análisis de los reclamos usando Pareto. Primero organizaré la información dada y añadiré los cálculos de frecuencia acumulada, porcentaje y porcentaje acumulado: Reclamo Frecuencia Frecuencia Acumulada Porcentaje Porcentaje Acumulado 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PorcentajeAcumulado Tipo de Defecto Defectos en productos terminados
  4. 4. 4 Arrugas en el papel 85 85 0.461956522 0.461956522 Tiempo de entrega 42 127 0.22826087 0.690217391 Tipo de papel 18 145 0.097826087 0.788043478 Encuadernación 12 157 0.065217391 0.85326087 Color 10 167 0.054347826 0.907608696 Motas 5 172 0.027173913 0.934782609 Acabado 4 176 0.02173913 0.956521739 Imágenes 3 179 0.016304348 0.972826087 Tinta 3 182 0.016304348 0.989130435 Facturación 2 184 0.010869565 1 A partir del Porcentaje Acumulado se obtiene eldiagrama de Pareto: Según el diagrama los principales problemas que afronta el servicio que está brindando la empresa son las arrugas en el papel, el tipo de papel y el tiempo de entrega. La primera causa es de carácter mecánico, algo que se podría solucionar mediante el mantenimiento de la maquinaria usada o invirtiendo en mejores impresoras. La segunda causa depende del distribuidor de la empresa, ésta tendrá que enfrentar costos para mejorar el tipo de papel que oferta. La tercera causa ya es de carácter humano, mediante un asesoramiento al personal se podría mejorar los tiempos de entrega para satisfacer más a las demandas de los clientes. El resto de reclamos son de menos proporción que los anteriores y tienen una relación casi directa con los primeros tres, así que si se los corrige a los primeros el resto se solucionará paulatinamente sin necesidad de mayor inversión. 4. Los siguientes datos representan los minutos que se demoraron en contestar una encuesta de opinión y el número de personas que lo hicieron Minutos 8 10 12 13 15 18 22 25 26 30 32 36 39 Personas 14 17 18 16 24 23 25 16 23 24 31 28 19 4.1. A las personas que se hallan dentro del 35% mas bajo respecto al tiempo empleado en contestar la encuesta, se les realiza otro tipo de preguntas para comprobar la información proporcionada. A las encuestas de las personas que se hallan sobre el 35 % y hasta el 80% del tiempo empleado se les revisa para comprobar la información y a las encuestas de las 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 PorcentajeAcumulado Reclamo Reclamospor defectos en el producto
  5. 5. 5 personas que se hallan sobre el 80% del tiempo se les considera válidas. Halle los tiempos mínimos y máximos de las categorías descritas y el número de personas que se hallan dentro de cada categoría. Si sumamos todos los minutos empleados sin considerar las frecuencias tenemos que se consideraron 286 minutos de encuestas. El 35% de estos son 100 y el 80% son 229. Se procede a acercar los valores mediante sumasde los tiempos: 8 + 10 + 12 + 13 + 15 + 18 + 22 = 98 8 + 10 + 12 + 13 + 15 + 18 + 22 + 25 + 26 + 30 + 32 = 211 Si bien estos valores sólo se acercan a lo estimado, son aceptados debido a que no hay otros tiempos medidos de encuestas con los cuales se pueda llegar exactamente alvalor previsto. Entonces los tiempos mínimos y máximos de las categorías son los siguientes: Para el primer grupo el mínimo tiempo es de 8 minutos, el máximo es de 22 minutos y participan 137 personas. Para el segundo grupo el tiempo mínimo es de 25 minutos y el máximo de 32, participan 94 personas. Para el tercer grupo el tiempo mínimo es de 36 minutos y el máximo de 39, participan 47 personas. 4.2. A las personas que demoraron menos de 18 minutos se les pide que llenen otro formulario, a las personas que se demoraron desde 18 y hasta 30 minutos se les pide que revisen sus respuestas y al resto de personas se les agradece su participación. Halle el número de personas que corresponde a cada categoría. Basta sumar elnúmero de personas que corresponde a cada categoría: En un tiempo menor a 18 minutos: 14 + 17 + 18 + 16 + 21 = 86 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 En un tiempo entre 18 a 30 minutos: 23 + 25 + 16 + 23 + 24 = 111 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 De 30 a 39 minutos: 31 + 28 + 19 = 78 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 4.3. Halle la media, mediana y moda del tiempo empleado en contestar la encuesta. Media: 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑞 𝑖=1 𝑓( 𝑥 𝑖) = 1 279 (8(14) + 10(17) + 12(18) + 13(16) + 15(24) + 18(23) + 22(25) + 25(16) + 26(23) + 30(24) + 32(31) + 36(28) + 39(19)) = 23.34 Mediana: 𝑀𝑑 = 𝑥 𝑛+1 2 = 𝑥13+1 2 = 𝑥7 = 22 Moda: 36 minutos 4.4. Si el costo por cada encuesta es de 0,20 dólares por cada minuto empleado por el encuestado, halle el costo promedio de las encuestas realizadas. 𝐶̅ = 0.20 𝑥̅ = 0.20(23.34) = $4.69 4.5. Halle el rango y la desviación estándar del tiempo empleado en contestar las encuestas.
  6. 6. 6 𝑅 = 𝑀 − 𝑚 = 39 − 8 = 31 𝑠 = √ 1 𝑛 − 1 ∑ 𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑛( 𝑥̅)2 𝑞 𝑖=1 = 9.587 5. Utilizando intervalos de clase con la información proporcionada, conteste todas las preguntas planteadas,excepto la 1, 5 y en su lugar halle la desviación estándar. 𝑚 = 8, 𝑀 = 39, 𝐿 = 32 r w e 7 5 3 8 4 0 9 4 4 10 4 8 11 3 1 12 3 4 13 3 7 Tomando 𝑟 = 7: i Intervalos de clase Punto medio f(i) fr(i) F(i) Fr(i) 1 6.5-11.5 9 31 31 0,111111111 0,111111111 2 11.5-16.5 14 58 89 0,207885305 0,318996416 3 16.5-21.5 19 23 112 0,082437276 0,401433692 4 21.5-26.5 24 64 176 0,229390681 0,630824373 5 26.5-31.5 29 24 200 0,086021505 0,716845878 6 31.5-36.5 34 60 260 0,215053763 0,931899642 7 36.5-41.5 39 19 279 0,068100358 1 a) 𝑃𝑘 = 𝐿 + 201 − 𝐹 𝑓 𝑤 1. 𝑟 < 18 18 = 16.5 + 𝑛𝑝 − 89 23 5 ⇒ 𝑛𝑝 = 95.5 ⇒ 𝑦 < 95.5~95 2. 18 ≤ 𝑟 ≤ 30 30 = 26.5 + 𝑛𝑝 − 176 24 5 ⇒ 𝑛𝑝 = 192.8 ⇒ 𝑦 = 121 3. 30 < 𝑟 𝑦 = 247 − 121 = 126 b) 𝑥̅ = 1 279 ∑ 𝑥 𝑖 7 𝑖=1 𝑓( 𝑥𝑖) = 23.44 𝑀𝑑 = 𝐿 + 𝑛 2 − 𝐹 𝑓 𝑤 = 21.5 + 139.5 − 112 64 5 = 23.65 𝑀𝑜 = 24 c)
  7. 7. 7 𝐶̅ = 0.20 𝑥̅ = $4.69 d) 𝑠 = √ 1 278 ∑ 𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 279(23.44)2 7 𝑖=1 = 9.31 6. En un experimento en el cual se debe medir el tiempo empleado, los grupos A y B han obtenido los siguientesvalores, en segundos: Grupo A: 26, 22, 25, 34, 29, 32 Grupo B: 30, 32, 28, 24, 29, 25 6.1. ¿En cada grupo,cuál esel valor que más representa el tiempo que demora el experimento? 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐺𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐴: 𝑥̅ = 1 6 (26 + 22 + 25 + 34 + 29 + 32) = 28 𝐺𝑟𝑢𝑝𝑜 𝐵: 𝑥̅ = 1 6 (30 + 32 + 28 + 24 + 29 + 25) = 28 6.2. ¿Cuál de las dos muestras escogería como representante de los resultados del experimento?, ¿Por qué? Analizando el rango de las muestras: 𝑅 𝐴 = 34 − 22 = 12, 𝑅 𝐵 = 32 − 24 = 8 . Hay mayor dispersión de datos en los resultados del grupo A que del grupo B, por lo que el mejor representante de los resultados sería la muestra del grupo B. Algo así también se puede notar en el cuadro lateral: si comparamos el valor absoluto de la pendiente de la recta de mejor ajuste para los datos dados, se puede notar que la pendiente de la recta para los datos de A es mayor que la de B, lo cual implica mayor dispersión de datos, considerando que hay menor dispersión cuando la pendiente tiende a cero. A= 1,7143x + 22 B = -1,0857x + 31,8 21 23 25 27 29 31 33 35 0 2 4 6 8 Grupo A Grupo B
  8. 8. 8 7. Se conoce que en una muestra, el valor mínimo es 11.2 y el valor máximo es 57.8. Construya, utilizando las normas dadas en clase, los intervalos mas convenientes para la distribución de las frecuencias. 𝑚 = 11.2, 𝑀 = 57.8 ⇒ 𝑚′ = 112, 𝑀′ = 578 𝐿 = 𝑀′− 𝑚′ + 1 = 578 − 112 + 1 = 467 r w e 7 67 2 8 59 5 9 52 1 10 47 3 11 43 6 12 39 1 13 36 1 Si se toma a 𝑟 = 7 y se reparte elexceso en 1 por intervalo,se tiene que: Datos Transformados Intervalo Punto Medio 110.5-177.5 144 177.5-244.5 211 244.5-311.5 278 311.5-378.5 345 378.5-445.5 412 445.5-512.5 479 512.5-579.5 546 Pasando a los datos originales: Datos Originales Intervalo Punto Medio 11.05-17.75 14.4 17.75-24.45 21.1 24.45-31.15 27.8 31.15-37.85 34.5 37.85-44.55 41.2 44.55-51.25 47.9 51.25-57.95 54.6 8. Con los siguientes datos respecto a los ingresos mensuales (en miles de dólares) que se han recopilado en cierta empresa: 26 71 40 90 50 22 62 25 80 34 85 29 78 44 37 50 32 75 40 75 45 77 20 64 86 33 48 60 35 30 49 33 32 61 57 89 26 24 75 21 48 77 59 38 88 63 71 82
  9. 9. 9 Utilizando datos individuales: 8.1. Construya elcuadro de frecuencias Ingresos Frecuencia Frecuencia Acumulada Porcentaje Porcentaje Acumulado 20 1 1 0,020833333 0,020833333 21 1 2 0,020833333 0,041666667 22 1 3 0,020833333 0,0625 24 1 4 0,020833333 0,083333333 25 1 5 0,020833333 0,104166667 26 2 7 0,041666667 0,145833333 29 1 8 0,020833333 0,166666667 30 1 9 0,020833333 0,1875 32 2 11 0,041666667 0,229166667 33 2 13 0,041666667 0,270833333 34 1 14 0,020833333 0,291666667 35 1 15 0,020833333 0,3125 37 1 16 0,020833333 0,333333333 38 1 17 0,020833333 0,354166667 40 2 19 0,041666667 0,395833333 44 1 20 0,020833333 0,416666667 45 1 21 0,020833333 0,4375 48 2 23 0,041666667 0,479166667 49 1 24 0,020833333 0,5 50 2 26 0,041666667 0,541666667 57 1 27 0,020833333 0,5625 59 1 28 0,020833333 0,583333333 60 1 29 0,020833333 0,604166667 61 1 30 0,020833333 0,625 62 1 31 0,020833333 0,645833333 63 1 32 0,020833333 0,666666667 64 1 33 0,020833333 0,6875 71 2 35 0,041666667 0,729166667 75 3 38 0,0625 0,791666667 77 2 40 0,041666667 0,833333333 78 1 41 0,020833333 0,854166667 80 1 42 0,020833333 0,875 82 1 43 0,020833333 0,895833333 85 1 44 0,020833333 0,916666667 86 1 45 0,020833333 0,9375 88 1 46 0,020833333 0,958333333 89 1 47 0,020833333 0,979166667
  10. 10. 10 90 1 48 0,020833333 1 8.2. Halle el número de meses que han ingresado mas de 45 mil y no más de 80 mil. Analizando la tabla y considerando que 45 < 𝑥 ≤ 80, entonces 𝑥 = 21. 8.3. Halle la máxima cantidad que se puede asegurar ingresó en los dos años de peoresingresos. Si los datos dados están ordenados se tiene lo siguiente: Año Ingreso Anual por miles 1 614 2 637 3 613 4 672 Los dos años de peores ingresos fueron el primero y el tercero. En el primero entró 614 000, mientras que en el segundo 613 000. Las máximas cantidades que ingresaron esos años fueron de 90 000 y 89 000 respectivamente. 8.4. Halle el mínimo ingreso de los mejores12 meses. Analizando la frecuencia acumulada final, al restarle doce se apunta al valor donde ésta es 36, entonces elmínimo ingreso fue de 75 000. 9. Con los siguientes datos respecto a los ingresos mensuales (en miles de dólares) que se han recopilado en cierta empresa: 26 71 40 90 50 22 62 25 80 34 85 29 78 44 37 50 32 75 75 40 45 77 20 64 86 33 48 60 35 30 49 33 32 61 57 89 26 24 75 21 48 77 59 38 88 63 71 82 Utilizando datos agrupados: 9.1. Construya elcuadro de frecuencias 𝑚 = 20, 𝑀 = 90, 𝐿 = 71 r w e 7 11 6 8 9 1 9 8 1 10 8 9 11 7 6 12 6 1 13 6 7 Tomando 𝑟 = 7:
  11. 11. 11 i Intervalos de clase Punto medio f(i) F(i) fr(i) Fr(i) 1 16.5-27.5 22 7 7 0,145833333 0,145833333 2 27.5-38.5 33 10 17 0,208333333 0,354166667 3 38.5-49.5 44 7 24 0,145833333 0,5 4 49.5-60.5 55 5 29 0,104166667 0,604166667 5 60.5-71.5 66 6 35 0,125 0,729166667 6 71.5-82.5 77 8 43 0,166666667 0,895833333 7 82.5-93.5 88 5 48 0,104166667 1 9.2. Halle la media, mediana y moda. 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖) 𝑟 𝑖=1 = 1 48 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓( 𝑥𝑖) 7 𝑖=1 = 1 48 (22(7) + 33(10) + 44(7) + 55(5) + 66(6) + 77(8) + 88(5)) = 2519 48 ≈ 52.479 𝑀𝑑 = 𝐿 + 𝑛 2 − 𝐹 𝑓 𝑤 = 38.5 + 24 − 17 7 11 = 49.5 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 33 9.3. Halle el rango,la desviación promedio y la desviación estándar. 𝑅 = 88 − 22 = 66 𝐷𝑝 = 1 𝑛 ∑| 𝑥 𝑖 − 𝑥̅| 𝑓(𝑖) 𝑟 𝑖=1 = 1 48 ∑| 𝑥𝑖 − 𝑥̅| 𝑓(𝑖) 7 𝑖=1 = 19,48 𝑠 = √ 1 𝑛 − 1 ∑ 𝑥𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 𝑛( 𝑥̅)2 𝑟 𝑖=1 = √ 1 47 ∑ 𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥 𝑖) − 48 ( 6345361 2304 ) 7 𝑖=1 = 22.145 10. Para diseñar un puente, es necesario conocer el esfuerzo que soportará el concreto. La tabla de datos representa las libras de presión por pulgada cuadrada que soportó cada uno de los 40 bloques de una muestra. 500.2 497.8 496.9 500.8 491.6 503.7 501.3 500.0 500.8 502.5 503.2 496.9 495.3 497.1 499.7 505.0 490.5 504.1 508.2 500.8 502.2 508.1 493.8 497.8 499.2 498.3 496.7 490.4 493.4 500.7 502.0 502.5 506.4 499.9 508.4 502.3 491.3 509.6 498.4 498.1 Construya los intervalos según lo establecido en el curso y complete la información que necesite para contestar los siguientes puntos.
  12. 12. 12 𝑚 = 490.4, 𝑀 = 509.6 ⇒ 𝑚′ = 4904, 𝑀′ = 5096 𝐿 = 𝑀′ − 𝑚′+ 1 = 193 r w e 7 28 3 8 25 7 9 22 5 10 20 7 11 18 5 12 17 11 13 15 2 Si se toma a 𝑟 = 13 y se reparte elexceso en 1 por intervalo,se tiene que: Datos Transformados Intervalo Punto Medio 4902.5-4917.5 4910 4917.5-4932.5 4925 4932.5-4947.5 4940 4947.5-4962.5 4955 4962.5-4977.5 4970 4977.5-4992.5 4985 4992.5-5007.5 5000 5007.5-5022.5 5015 5022.5-5037.5 5030 5037.5-5052.5 5045 5052.5-5067.5 5060 5067.5-5082.5 5075 5082.5-5097.5 5090 Pasando a los datos originales: Datos Originales Intervalo Punto Medio f(i) F(i) 490.25-491.75 491.0 4 4 491.75-493.25 492.5 0 4 493.25-494.75 494.0 2 6 494.75-496.25 495.5 1 7 496.25-497.75 497.0 4 11 497.75-499.25 498.5 8 19 499.25-500.75 500.0 3 22 500.75-502.25 501.5 5 27 502.25-503.75 503.0 5 32 503.75-505.25 504.5 3 35 505.25-506.75 506.0 1 36 506.75-508.25 507.5 2 38 508.25-509.75 509.0 2 40 10.1. ¿Cuántos bloques soportaron entre 495 y 505 libras de presión por pulgada cuadrada? 30 bloques. 10.2. ¿Cuál es la máxima presión en libras por pulgada cuadrada que se puede asegurar resistieron los 25 bloques de menor resistencia? 501.5 libras por pulgada cuadrada.
  13. 13. 13 11. En unestudio sobre la resistencia a la ruptura bajo cargas de tensión (en lb/plg2 ) de cilindros de concreto se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias. Intervalos (en lb/plg2 ) Frecuencias Intervalos (en lb/plg2 ) Frecuencias 417.5 --- 424.5 9 445.5 --- 452.5 21 424.5 --- 431.5 15 452.5 --- 459.5 16 431.5 --- 438.5 14 459.5 --- 466.5 13 438.5 --- 445.5 20 466.5 --- 473.5 7 11.1. Los cilindros con resistencia mayor a 450 lb/plg2 se venden 15 dólares cada uno, los cilindros con resistencia entre 435 y 450 lb/plg2 se venden a 10 dólares cada uno y los cilindros con menos de 435 lb/plg2 de resistencia se venden a 5 dólares cada uno. ¿Cuánto ingresa por la venta de la muestra distribuida en el cuadro? 𝑉 = 5(9 + 15) + 10(14 + 20) + 15(21 + 16 + 13 + 7) = $1315 11.2. ¿Qué resistencia máxima se puede asegurar tienen los 40 cilindros de menor calidad y qué resistencia mínima tienen los 40 cilindros de mejor calidad? De los primeros se puede asegurar una resistencia máxima de 438.5 lb.plg-2 , de los segundos se puede asegurar una resistencia mínima de 452.5 lb.plg-2 . 12. En un estudio de control de calidad de la producción de radios transmisores-receptores se han obtenido los siguientes datos respecto al tiempo de funcionamiento (en días) hasta que se presenta la primera falla 16 224 16 80 96 536 400 80 392 576 128 56 656 224 40 32 358 384 256 246 328 464 448 654 304 16 72 80 9 72 56 608 108 194 136 224 80 16 424 264 156 216 168 184 552 72 184 240 438 120 308 32 272 152 328 480 60 208 340 104 72 168 40 152 360 232 40 112 112 288 168 352 56 72 64 40 184 264 96 224 168 168 114 280 152 208 160 176 12.1. Construya los intervalos según las normasestablecidasen elcurso y elcuadro de frecuencias. 𝑚 = 9, 𝑀 = 656 𝐿 = 𝑀 − 𝑚 + 1 = 648 r w e 7 93 3 8 81 0 9 72 0 10 65 2 11 59 1 12 54 0 13 50 2 Tomando 𝑟 = 8 se tiene:
  14. 14. 14 i Intervalos de clase Punto medio f(i) fr(i) F(i) Fr(i) 1 8.5-89.5 49 25 25 0,284090909 0,284090909 2 89.5-170.5 130 20 45 0,227272727 0,511363636 3 170.5-251.5 211 15 60 0,170454545 0,681818182 4 251.5-332.5 292 10 70 0,113636364 0,795454545 5 332.5-413.5 373 7 77 0,079545455 0,875 6 413.5-494.5 454 5 82 0,056818182 0,931818182 7 494.5-575.5 535 2 84 0,022727273 0,954545455 8 575.5-656.5 616 4 88 0,045454545 1 12.2. Halle la media, mediana y moda. ¿De estos tres valores, cuál es el valor que usted sugeriría se tome como representante de la muestra? 𝑥̅ = 1 88 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 8 𝑖=1 = 208.24 𝑀𝑑 = 𝐿 + 𝑛 2 − 𝐹 𝑓 𝑤 = 89.5 + 44 − 25 20 81 = 166.45 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 49 Los datos son muy dispersos, lo cual aleja a la media de ser un representante óptimo, la mayoría de radio receptores han presentado defectos entre 8.5 y 251.5, un entorno cercano a la mediana, por lo que sugeriría usar este valor como representante de la muestra. 12.3. ¿Cuántos radios funcionan hasta el día 200,sin que se presente la primera falla? 𝑃𝑘 = 𝐿 + 201 − 𝐹 𝑓 𝑤 200 = 170.5 + 𝑛𝑝 − 45 15 81 ⇒ 𝑛𝑝 = 50.46 ≈ 50 estos funcionan hasta el día 200 presentando fallas, es decir, son el número de radios acumulados hasta eldía 200. El resto de la muestra será la que funciona hasta dicho día,es decir: 𝑥 = 38 12.4. Con los datos ordenados de menor a mayor respecto al número de días antes de presentarse la primera falla, ¿Cuántos días funciona el radio que se encuentra en el puesto 75? 𝑃𝑘 = 332.5 + 75 − 70 7 81 = 390[𝑑í𝑎𝑠] 13. La siguiente información representa una muestra de la vida útil, en horas, de lámparas de 60 watts Intervalos (en horas) Frecuencias 499.5 --- 598.5 3 598.5 --- 697.5 7 697.5 --- 796.5 12 796.5 --- 895.5 23 895.5 --- 994.5 57 994.5 --- 1093.5 51 1093.5 --- 1192.5 22 1192.5 --- 1291.5 14 1291.5 --- 1390.5 7
  15. 15. 15 1390.5 --- 1489.5 4 13.1. Los precios de venta de las lámparas están dados de la siguiente manera: Si la lámpara dura hasta 700 horas, se vende a 5 dólares Si la lámpara dura entre 700 y 1200 horas,se vende a 8 dólares Si la lámpara dura mas de 1200 horas, se vende a 12 dólares 13.1.1.Calcule el ingreso si se venden todas las lámparas de la muestra. 𝑉 = 5(3 + 7) + 8(12 + 23 + 57 + 51 + 22) + 12(14 + 7 + 4) = $1670 13.1.2. Calcule el ingreso si se venden 2000 lámparas que se comportan como las de la muestra. Hay 200 lámparas,por relación de proporcionalidad: 𝑉 = $1670 13.2. ¿Cuál es el máximo número de horas que se puede asegurar duran las 50 lámparas de peor calidad y el mínimo número de horas que duran las 50 lámparas de mejor calidad? Se puede asegurarun mínimo de 1093.5 horas y se puede asegurar un máximo de 895.5 horas. 13.3. ¿Cuál esel promedio de horas de vida útil de las lámparas de la muestra? 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑟 𝑖=1 = 996.947 14. Los siguientes datos representan el número de kilómetros recorridos por 50 automóviles, tomados al azar, con 10 galonesde gasolina. 299 225 185 253 257 175 232 201 281 174 240 247 221 207 155 255 261 248 125 247 156 295 163 193 118 234 187 196 282 122 158 198 268 175 273 113 248 253 259 265 157 242 289 152 221 288 123 127 134 254 Halle, utilizando intervalos: 14.1. El cuadro de frecuencias. 𝑚 = 113, 𝑀 = 299 𝐿 = 𝑀 − 𝑚 + 1 = 187 r w e 7 27 2 8 24 5 9 21 2 10 19 3 11 17 0 12 16 5 13 15 8 Tomando 𝑟 = 7 se tiene: i Intervalos de clase Punto medio f(i) fr(i) F(i) Fr(i) 1 111.5-138.5 125 7 7 0,14 0,14 2 138.5-165.5 152 6 13 0,12 0,26 3 165.5-192.5 179 5 18 0,1 0,36 4 192.5-219.5 206 5 23 0,1 0,46 5 219.5-246.5 233 6 29 0,12 0,58 6 246.5-273.5 260 15 44 0,3 0,88 7 273.5-300.5 287 6 50 0,12 1
  16. 16. 16 14.2. El promedio de kilómetros que han recorrido los 50 carros. 𝑥̅ = 1 50 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 7 𝑖=1 = 214.64 14.3. La mediana. 𝑀𝑑 = 𝑋7+1 2 = 206 14.4. La desviación estándar. 𝑠 = √ 1 49 ∑ 𝑥𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 50(214.64)2 7 𝑖=1 = 55.479 14.5. El número de carros,que recorrieron hasta 235 kilómetros con los 10 galones de gasolina. Si analizamos la tabla de frecuencias: 𝑥 = 23,pero sianalizamos los datos: 𝑥 = 28. 14.6. El número máximo de kilómetros que recorren los 26 carros de menor rendimiento en kilómetros por galón. 𝑃𝑘 = 𝐿 + 𝑛𝑝 − 𝐹 𝑓 𝑤 𝑃𝑘 = 219.5 + 26 − 23 6 27 = 233[𝑘𝑚] 14.7. El número de carros y el porcentaje de carros que recorrieron entre 150 y 220 kilómetros con los 10 galones de gasolina. 150 = 138.5 + 𝑛𝑝 − 7 6 27 ⇒ 𝑛 𝑘 100 = 9.5̇ ⇒ 𝑘 = 19%, 𝑛𝑝 = 9 [𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠] 220 = 119.5 + 𝑛𝑝 − 23 6 27 ⇒ 𝑛 𝑘 100 = 45.3̇ ⇒ 𝑘 = 91%, 𝑛𝑝 = 45 [𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠] ⇒ 𝑥 = 45 − 9 = 36[ 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠], % = 72% 14.8. Los kilómetros que se puede asegurar recorrieron los 20 carros con menor rendimiento y los 10 carros con mejor rendimiento . 𝑃𝑘 = 192.5 + 20 − 18 5 27 = 203.3[𝑘𝑚] Los de menor rendimiento recorrieron desde 113[ 𝑘𝑚] hasta 203.3[𝑘𝑚] 𝑃𝑘 = 246.5 + 41 − 29 15 27 = 268.1[ 𝑘𝑚] Los de mejor rendimiento recorrieron desde 268.1[ 𝑘𝑚] hasta 299[𝑘𝑚] 15. Los siguientes datos representan los galones de pintura utilizados diariamente y el número de días que se utilizaron esos galones en cierta empresa de publicidad en carreteras. Galones de pintura 26 28 29 30 31 32 33 35 36 Número de días 14 13 11 9 15 13 12 14 11 Halle : 15.1. El número de días que utilizaron a lo mas 34 galones de pintura. 12 días 15.2. El número total de galones que se puede asegurar usaron en los 65 días de menor trabajo. 191 galones, el número de días que lleva a afirmar esto está formado por aquellos de menores al resto cuya suma se acerca a 65. 15.3. El número de días que utilizaron mas de 29 y hasta 35 galones de pintura. 63 días
  17. 17. 17 15.4. La media, mediana y moda de la muestra. 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥 𝑖) 𝑞 𝑖=1 = 1 112 ∑ 𝑥 𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 9 𝑖=1 = 31.07 𝑀𝑑 = 𝑥9+1 2 = 𝑥5 = 31 𝑀𝑜𝑑𝑎 = 31 16. En cierta estación de gasolina se ha obtenido la siguiente información respecto a la cantidad de galones que han vendido por día: Intervalos de clase Frecuencias (galones de gasolina vendidos) (número de días) 386.5 - 399.5 35 399.5 - 412.5 27 412.5 - 425.5 32 425.5 - 438.5 23 438.5 - 451.5 17 451.5 - 464.5 34 464.5 - 477.5 28 477.5 - 490.5 31 Halle : Intervalos Puntos Medios Frecuencia Frecuencia Acumulada 386.5 - 399.5 393 35 35 399.5 - 412.5 406 27 62 412.5 - 425.5 419 32 94 425.5 - 438.5 432 23 117 438.5 - 451.5 445 17 134 451.5 - 464.5 458 34 168 464.5 - 477.5 471 28 196 477.5 - 490.5 484 31 227 16.1. La desviación estándar de la muestra 𝑠 = √ 1 𝑛 − 1 ∑ 𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥 𝑖) − 𝑛( 𝑥̅)2 𝑞 𝑖=1 = √ 1 226 ∑ 𝑥𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 227(437.84)2 8 𝑖=1 = 31.3 16.2. El número de días que han vendido la cantidad de galones que se halla entre la media menos una desviación estándar y la media mas una desviación estándar. 𝑥̅ − 𝑠 = 406,541 ⇒ 27 𝑑í𝑎𝑠 𝑥̅ + 𝑠 = 469,142 ⇒ 28 𝑑í𝑎𝑠 El número de días entre estos: 27 + 32 + 23 + 17 + 34 + 28 = 161 𝑑í𝑎𝑠 16.3. Si el precio del galón es de 2,10 dólares, ¿cuál será el ingreso el día que vendan la cantidad de galones que corresponde a la media más una desviación estándar? 471(2,10) = $989,10 16.4. ¿Cuál es el ingreso que se puede esperar del día que menos vendan, considerando los 120 días de mejores ventas? 445(2,10) = $934,50
  18. 18. 18 16.5. ¿En cuántos días se puede esperar vendan una cantidad de galones menor o igual a 450 galones? 𝑃𝑘 = 𝐿 + 𝑛𝑝 − 𝐹 𝑓 𝑤 450 = 438.5 + 𝑛𝑝 − 117 17 13 ⇒ 𝑛𝑝 = 132.04 17. La producción diaria de leche en cierta zona del país está dada por: Intervalosde clase Frecuencias (litros de leche) (número de días) 5617.5 - 5692.5 33 5692.5 - 5767.5 37 5767.5 - 5842.5 31 5842.5 - 5917.5 29 5917.5 - 5992.5 28 5992.5 - 6067.5 25 6067.5 - 6142.5 27 6142.5 - 6217.5 31 Intervalos Puntos Medios Frecuencia Frecuencia Acumulada 5617.5 - 5692.5 5655 33 33 5692.5 - 5767.5 5730 37 70 5767.5 - 5842.5 5805 31 101 5842.5 - 5917.5 5880 29 130 5917.5 - 5992.5 5955 28 158 5992.5 - 6067.5 6030 25 183 6067.5 - 6142.5 6105 27 210 6142.5 - 6217.5 6180 31 241 17.1. Si por cada litro, la pasteurizadora paga 0,28 dólares, ¿Cuál es la cantidad total que la pasteurizadora paga y cuál esla cantidad promedio que paga diariamente? 𝑃 𝑇 = 0,28(5655(33) + 5730(37) + 5805(31) + 5880(29) + 5955(28) + 6030(27) + 6180(31)) = $355664,4 𝑃 𝐷 = 0,28𝑥̅ = 0,28(5904,59) = $1653,28 17.2. ¿Cuál es la desviación estándar de la producción de leche diaria en la zona? 𝑠 = √ 1 𝑛 − 1 ∑𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 𝑛( 𝑥̅)2 𝑞 𝑖=1 = √ 1 240 ∑ 𝑥 𝑖 2 𝑓(𝑥𝑖)− 241(5904,59)2 8 𝑖=1 = 175,7 17.3.¿En cuántos días se puede asegurar la producción no ha superado la cantidad de 6000 litros? Si consideramos la producción como independiente entre días serían 5 días. En caso de que ese no sea elcaso,se tomarán entre 25 y 33 días. 17.4. ¿Cuál es la máxima cantidad de litros diarios que se puede asegurar se hanobtenido en los 150 días de menor producción? 5880 litros 17.5. ¿En cuántos días se puede asegurar la producción se halla entre 5800 y 6050 litros? En 101 y 183 respectivamente. 17.6. ¿Cuál es la máxima cantidad de litros diarios que se puede asegurar se hanobtenido en los 120 días de menor producción y cuál es la mínima cantidad de litros diarios que se puede asegurar se han obtenido en los 120 días de mejor producción? Se puede asegurar que en los 120 de menor producción la máxima cantidad es de 5805 mientras que pasa que la producción mínima es de 5955.

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