Controladores lineales - Proyecto por Ziegler-Nichols - Principio de Modelo Interno - Reubicación de polos método clásico

 Universidad Nacional de Misiones
Ingeniería Electrónica
Control Clásico y Moderno
Informe de Trabajo Práctico N° 1
Controladores
Autores:
HOFF Romina A.
KRUJOSKI Matías G.
VIERA Juan R.
Grupo Nº 4
Profesores Responsables:
Dr. Ing. Fernando Botterón
Ing. Guillermo Fernández
Ing. Yonatan Aguirre
Ing. Omar Bauernfeid
Sr. Claudio Kruberto
Sr. Germán Linder
Oberá, Misiones, 24/05/2014

Control Clásico y Moderno FI - UNaM TP Nº 4
HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 3 de 47
Ejercicio 1)
Sea la función de transferencia del sistema en la Figura 1.1 dada por la ecuación (1.1).
Proyectar el compensador Gc(s) por reubicación de polos método clásico, para satisfacer
las siguientes especificaciones de desempeño: sobrepaso máximo Mp=5% y tiempo de
establecimiento ts=10 seg. Además, el sistema debe ser capaz de seguir una entrada en
escalón r(t)=5 con error de régimen permanente nulo.
𝐺 𝑝(𝑠) =
𝑠 + 2
𝑠2 + 10
(1.1)
Nota: Considerar el valor de frecuencia del polo no dominante como 1000 veces el valor
de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado.
Figura 1.1: Diagrama de bloques del sistema
a) En un mismo gráfico, trazar la señal de salida y(t) para la entrada en escalón
definida, para el sistema sin compensación y para el sistema compensado.
Verificar sí se satisfacen las especificaciones y comentar los resultados.
b) En un gráfico trazar la señal de error e(t) y en otro gráfico, la señal de la acción
de control u(t). Para obtener éstas señales utilizar el programa PSIM. Comentar
los resultados.
Para realizar las simulaciones, utilizar PSIM o Simulink. Una vez que el sistema alcanzó
el régimen permanente, efectuar una variación en escalón de la referencia desde, por
ejemplo, el 50% al 100% de la misma para verificar el desempeño transitorio del sistema
compensado. Esto vale también para los ejercicios 2 y 3.
Resolución
Para el sistema presentado en la Figura 1.1 se aprecia que el orden de la planta es 2; en
tanto que el orden mínimo posible para el compensador está dado por la expresión (1.2).
𝑚 = 𝑛 − 1 = 1 (1.2)

Partiendo de las especificaciones de desempeño transitorio se puede definir los polos
deseados, según la expresión (1.3).
𝜎 =
4
𝑡 𝑠
=
4
10
= 0,4 (1.3)
𝜉 =
−ln⁡( 𝑀 𝑝)
√ln(𝑀 𝑝)
2
+ 𝜋2
= 0,69
(1.4)
En tanto que la frecuencia natural del sistema compensado, se obtiene como muestra la
expresión (1.5).
𝜔 𝑛 =
𝜎
𝜉
=
0,4
0,69
= 0,57 (1.5)
Por su parte, la función de transferencia a lazo cerrado para el esquema de la Figura 1.1
resulta como muestra la expresión (1.6).
𝐺𝑙𝑐(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑟 𝐺𝑐 𝐺 𝑝
1 + 𝐺𝑐 𝐺 𝑝
=
𝐾𝑟 𝑁𝑐(𝑠)𝑁𝑝(𝑠)
𝐷𝑐(𝑠)𝐷 𝑝(𝑠) + 𝑁𝑐(𝑠)𝑁𝑝(𝑠)
(1.6)
De modo que el polinomio característico deseado -considerando que el polo no
dominante esté a 1000 veces del polo dominante- toma la forma de la ecuación (1.8).
𝐹(𝑠) = (𝑠 + 1000𝜎) ∙ (𝑠2
+ 2𝜉𝜔 𝑛 𝑠 + 𝜔 𝑛
2
) (1.7)
𝐹(𝑠) = 𝑠3
+ 400, 8𝑠2
+ 320,1𝑠 + 134,56 (1.8)
Según el método clásico de reubicación de polos, se debe resolver las ecuaciones
presentadas en forma matricial en (1.9).
[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1]𝑆 𝑚 = [ 𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3] (1.9)
Dónde la matriz Sm está dada por el arreglo de los coeficientes de la planta mostrado en
la ecuación (1.10); y resulta de 2(m+1) filas por n+m+1 columnas.

𝑆 𝑚 = [
10 0 1 0
2 1 0 0
0 10 0 1
0 2 1 0
] (1.10)
De modo que la ecuación matricial presentada en (1.9); considerando los coeficientes
del polinomio característico deseado, dado en (1.8); toma la forma de (1.11).
[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1] [
10 0 1 0
2 1 0 0
0 10 0 1
0 2 1 0
] = [134,56 320,1 400,8 1] (1.11)
Resolviendo las ecuaciones dadas en (1.11), se obtienen los coeficientes del polinomio
del controlador, exhibidos en forma matricial en (1.12).
[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1] = [79,6 −330,78 1 320,39] (1.12)
Los coeficientes del controlador obtenidos, permiten escribirlo como el polinomio
presentado en (1.13).
𝐺𝑐(𝑠) =
320,4 ∙ 𝑠 − 330,78
𝑠 + 79,6
(1.13)
Este sistema deberá seguir, con error en estado estacionario nulo, a una referencia
constante; de modo que la salida estará dada por la expresión (1.14).
𝐺𝑙𝑐(𝑠) = 𝐺𝑙𝑐(𝑠) ∙
𝑎
𝑠
(1.14)
En consecuencia, por aplicación del teorema del valor final debe verificarse lo presentado
en (1.15).
𝐺𝑙𝑐(0) = 1 (1.15)
Dada esta condición, se puede dimensionar la constante de la referencia (Kr) para
compensar la ganancia estática que posee la función transferencia en lazo cerrado. De
modo que debe verificarse lo expuesto en (1.16); operando resulta la expresión dada en
(1.17); y finalmente la ganancia de la referencia resulta según (1.18).
𝐺𝑙𝑐(0) =
𝐾𝑟 𝑁𝑐(0)𝑁𝑝(0)
𝐹(0)
(1.16)

𝐺𝑙𝑐(0) =
𝐾𝑟 𝑁𝑐0 𝑁𝑝0
𝐹0
(1.17)
𝐾𝑟 =
𝐹0
𝑁𝑐0 𝑁𝑝0
=
134,56
−330,78 ∙ 2
= −0,2034 (1.18)
Así, la función transferencia a lazo cerrado para el sistema compensado, presentada
previamente en (1.6), resulta como en (1.19).
𝐺𝑙𝑐(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
−0,2034 ∙ (320,4 ∙ 𝑠 − 330,78)(𝑠 + 2)
(𝑠 + 79,6)(𝑠2 + 10) + (320,4 ∙ 𝑠 − 330,78)(𝑠 + 2)
(1.19)
a)
Recurriendo al software PSIM se generó el diagrama de simulación presentado en la
Figura 1.2. Mediante esta simulación se obtiene la gráfica de comparación entre la salida
para la planta sin compensar y compensada, exhibida en Figura 1.3.
Figura 1.2: Diagrama de simulación en PSIM
0 10 20 30 40
Time (s)
0
-2
2
4
6
Ref Y-comp Y-s-comp
r(t)
Ycomp
Ys-comp
Figura 1.3: Salida para el sistema compensado y sin compensar

En la Figura 1.3 se evidencia que el sistema compensado logra alcanzar a la referencia;
sin embargo, no puede seguir la referencia con un error de estado estacionario nulo. Esto
último se debe a que la planta en su naturaleza no incorpora un integrador, es decir, su
función transferencia no posee un polo en el origen; además, el compensador calculado
según el método clásico de reubicación de polos tampoco incorporó el mencionado polo
en el origen que llevaría el error en régimen estacionario a ser nulo.
Recurriendo a las herramientas de análisis gráfico del simulador se determinan los
parámetros característicos para la respuesta del sistema compensado dados en la Tabla
1.1.
Tabla 1.1: Parámetros de la respuesta compensada
Sobrepaso Mp 4,22%
Tiempo de asentamiento ts 3,22s
b)
Valiéndose del mismo esquema de simulación presentado en la Figura 1.2, se genera la
comparación entre las señales de error del sistema compensado y sin compensar.
0 10 20 30 40
Time (s)
0
-2
-4
-6
-8
2
4
6
E-comp E-s_com Ref
r(t)
E-s_comp(t)
E-comp(t)
Figura 1.4: Error para el sistema compensado y sin compensar

0 10 20 30 40
Time (s)
0
-50
-100
-150
-200
50
U Ylc
U(t)
Y(t)
Figura 1.5: Acción de Control para el sistema compensado
En la Figura 1.4 puede apreciarse que la señal de error del sistema compensado
adquiere magnitudes muy elevadas y de signo negativo; esto se debe a que la ganancia
de la referencia (Kr) posee signo negativo y al restársele la salida de la planta, se torna
de signo negativo con mayor módulo. En tanto que la magnitud del error es tan elevada
debido a que el compensador incorporado al sistema posee una ganancia muy elevada;
esto combinando a un error negativo de gran magnitud permite al controlador llevar la
planta hacia las cercanías del valor de referencia. Este comportamiento queda
evidenciado en la Figura 1.5 donde se aprecia que la acción de control aplicada sobre la
planta tiene una magnitud muy elevada.
Conclusiones:
El desarrollo del ejercicio presentado sirvió como introducción al proyecto de
controladores con el método clásico de reubicación de polos. Además, permitió apreciar
los efectos que se producen sobre la respuesta del sistema cuando la planta y el
controlador proyectado no poseen un polo en el origen; impidiendo así que el error en
estado estacionario sea nulo.
Resuelto por: Krujoski Matías G.
Ejercicio 2)
Para la misma planta del ejercicio 1, proyectar el compensador Gc(s) por ubicación de
polos método clásico, para cumplir con las especificaciones de régimen transitorio y de
régimen permanente (essp=0) especificados en el ejercicio 1, introduciendo el polinomio
θ(s) adecuado en serie con Gc(s), como muestra la Figura 2.1. Considerar en este caso,

el valor de frecuencia del polo no dominante como 100 veces el valor de frecuencia de
la parte real del polo dominante deseado. Punto a y b, ídem ejercicio 1.
Figura 2.1: Diagrama de bloques de la planta más el compensador
Resolución
En el apartado previo se hizo mención al error de estado estacionario que presentaba el
sistema compensado al incorporar únicamente el controlador diseñado por el método
clásico de reubicación de polos. Como alternativa de solución a éste inconveniente se
propone la incorporación de un compensador, diseñado mediante la misma técnica,
contemplando el modelo interno. Tal y como se destacó, la ausencia de un polo en el
origen, en la naturaleza de la planta, causa el error de posición en estado estacionario;
en consecuencia, con el objetivo de contrarrestar dicho efecto indeseado, se propone
incorporar el polinomio θ(s) dado en la expresión (2.1) como denominador del polinomio
de modelo interno. En tanto que el numerador del modelo interno se fija en uno con el fin
de simplificar las operaciones algebraicas. De esta forma, la planta resulta de orden 3,
en consecuencia el mínimo orden del controlador a incorporar será 2; de modo que el
polinomio característico para el esquema propuesto resultará como se exhibe en la
ecuación (2.2).
θ(s) = 𝑠 (2.1)
𝐹(𝑠) = (𝑠 + 100𝜎)3
∙ (𝑠2
+ 2𝜉𝜔 𝑛 𝑠 + 𝜔 𝑛
2
) (2.2)
Valiéndose de los resultados obtenidos en las expresiones (1.3), (1.4) y (1.5), el
polinomio característico de (2.2) resulta como se exhibe en (2.3).
𝐹(𝑠) = 𝑠5
+ 120,78 ∙ 𝑠4
+ 4894,72 ∙ 𝑠3
+ 67814,67 ∙ 𝑠2
+ 51901,9 ∙ 𝑠 + 20793,6 (2.3)
De modo que la ecuación matricial que debe resolverse, por el método clásico de
reubicación de polos, toma la forma presentada en la expresión (2.4).

[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1 𝐷𝑐2 𝑁𝑐2]𝑆 𝑚 = [ 𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐹5] (2.4)
En tanto que el arreglo de los coeficientes de la planta, resulta como el presentado en la
ecuación (2.5).
𝑆 𝑚 =
[
0 10 0 1 0 0
2 1 0 0 0 0
0 0 10 0 1 0
0 2 1 0 0 0
0 0 0 10 0 1
0 0 2 1 0 0]
(2.5)
Resolviendo el sistema de ecuaciones presentado previamente, se obtienen los
coeficientes para el controlador exhibidos en la expresión (2.6).
[−5154,98 10396,8 120,78 46527,46 1 10039,7] (2.6)
De modo que el controlador obtenido tiene una función transferencia como la presentada
en la ecuación (2.7).
𝐺𝑐(𝑠) =
10039,7 ∙ 𝑠2
+ 46527,46 ∙ 𝑠 + 10396,8
𝑠2 + 120,78 ∙ 𝑠 − 5154,98
(2.7)
Tomando las condiciones indicadas en la expresión (1.15), la nueva ganancia de la
referencia se obtiene de la ecuación (2.8).
𝐾𝑟 =
𝐹0
𝑁𝑐0 𝑁𝑝0
=
20793,6
10396 ∙ 2
= 1 (2.8)
Valiéndose del mismo esquema de simulación presentado en la Figura 2.2; se obtiene la
gráfica de salida para el sistema, presentada en la Figura 2.3.
Figura 2.2: Esquema de simulación en PSIM

0 10 20 30
Time (s)
0
2
4
6
8
Ref Y-comp Y-s-comp
r(t)
Y-s_comp(t)
Y-comp(t)
Figura 2.3: Salida del sistema, compensado y no compensado
Puede apreciarse que el sistema compensado con el controlador proyectado mediante
la consideración del modelo interno sufre un sobrepaso extremadamente elevado – como
se detalla en la Tabla 2.1- que podría causar un daño físico a la planta, o verse limitado
a la energía disponible para aplicar en ese instante en calidad de “acción de control”. En
consecuencia, se determina que el diseño obtenido no es apto de ser implementado en
la práctica por no cumplir con las especificaciones.
Tabla 2.1: Parámetros de la respuesta compensada
Sobrepaso Mp 44,2%
Tiempo de asentamiento ts 3,71s
En la Figura 2.4 se aprecia el error del sistema, y en la Figura 2.5 se puede ver la acción
de control.
0 10 20 30
Time (s)
0
-2
-4
2
4
6
Ref E-comp E-s-com
E-comp(t)
r(t)
E-s_comp(t)
Figura 2.4: Error del sistema, compensado y no compensado

0 10 20 30
Time (s)
0
-50
50
100
150
200
Ref U
U(t)
r(t)
Figura 2.5: Acción de control aplicada al sistema
Tal y como se indicó previamente, la Figura 2.4 muestra que el error del sistema es
negativo en todo momento, evidenciando así el sobrepaso producido por la planta.
Además, en la Figura 2.5 se aprecia que la acción de control adquiere magnitudes
consideradas excesivas.
Conclusiones
En función de lo expuesto, y en base a los análisis realizados se determina que el
esquema de control propuesto no debe ser implementado; debido a las limitaciones que
posee para seguir a la referencia.
Resuelto por: Krujoski Matías G.
Ejercicio 3)
Sea la planta de primer orden dada en la figura 3.1, donde por
10
5
p
s
G
s


 . Utilizar el
principio del modelo interno para determinar el polinomio ϕ(s) necesario para que este
sistema siga una referencia sinusoidal dada por ( ) 10 sen(2 50 )r t t  . Sumar en serie con
el compensador por modelo interno, un compensador proyectado por reubicación de
polos método clásico, para las siguientes especificaciones de régimen transitorio: Mp =
0,65% y tp = 0,62seg.
Nota: Considerar el valor de frecuencia de los polos no dominantes igual a 80 veces el
valor de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado, que surge de las
especificaciones anteriores. Cambiar luego este valor de frecuencia a 200 veces el σ y
verificar el efecto sobre la velocidad de convergencia del error a cero.

A) En un gráfico, trazar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón unitario, de
la planta sin compensación. En otro gráfico, la señal de salida y(t) para una entrada en
escalón unitario, de la planta solamente con el compensador por modelo interno, o sea,
1
( )
mi
s
G 

. Finalmente, graficar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón
unitario, del sistema compensado con el controlador hallado por el método clásico más
el compensador por modelo interno. Comentar y justificar los resultados obtenidos en
cada uno de los gráficos anteriores.
B) En un gráfico trazar la señal de salida y(t) para la entrada sinusoidal especificada.
Comentar los resultados.
C) En un gráfico trazar la señal del error e(t) con referencia de entrada sinusoidal y en
otro gráfico la señal de la acción de control u(t) a la salida del bloque. Comentar los
resultados. Para obtener todos los gráficos pueden utilizarse tanto Matlab como PSIM.
D) verificar la estabilidad relativa del sistema con un diagrama de Nyquist.
Figura 3.1: diagrama de bloques del sistema
Desarrollo:
A)
La respuesta de la planta sin compensación, el lazo cerrado responde a la siguiente
ecuación:
10
2 15
plc
s
G
s



(3.1)
Cuya gráfica obtenida con Matlab se aprecia a continuación:

Figura 3.2: Respuesta al escalón unitario, planta en lazo cerrado.
Para incluir el compensador a través del modelo interno, se debe tener en cuenta que
éste debe seguir la referencia dada en la ecuación (3.2)
( ) 10sen(2 50 )r t t  (3.2)
La función de transferencia del compensador del modelo interno resulta:
   
2 22 2
1 1 1
( )
( ) 2 100
miG s
s s f s  
  
 
(3.3)
Por lo que la función de transferencia de la planta más el compensador, en lazo
abierto resulta:
ˆ 3 2 2
10
( )
5. (100 ) . 493480,2
c
s
G s
s s s


  
(3.4)
En la Figura 3.3 es presenta la respuesta al escalón del sistema compensado por modelo
interno, en lazo abierto. Se analiza en lazo abierto dado que en lazo cerrado, Glc(s)
posee un cero y un polo real negativo, y un par de polos complejos conjugados, cuya
parte real es positiva, por lo que el sistema se vuelve inestable y no cumple con las
especificaciones. Por lo tanto al agregar el compensador por el principio de modelo
interno, el sistema pasa a tener peores condiciones de estabilidad que anteriormente.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Respuesta al escalón unitario
Tiempo (s)
Amplitud

Figura 3.3 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo abierto compensada por
modelo interno ϕ(s).
Analizando el diagrama de bode de la función en lazo abierto en la Figura 3.4, se
aprecia que el sistema resulta inestable, con lo que se verifica lo dicho anteriormente
Figura 3.4 Diagrama de bode de la planta compensada por modelo interno, en lazo
abierto
Para lograr que el sistema cumpla con las especificaciones, se propone un
controlador por el método clásico. Como el polinomio de la planta más el de modelo
interno es de tercer orden, n=3, el polinomio de compensador clásico deberá ser m=n-
1=2. Por lo que el orden de la función transferencia final resulta de n+m=5.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x 10
-5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Diagrama de Bode
Frecuencia (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
-225
-180
-135
-90
-45
0
System: untitled1
Phase Margin (deg): -1.82
Delay Margin (sec): 0.0199
At frequency (rad/sec): 314
Closed Loop Stable? No
fase(deg)
-200
-150
-100
-50
0
50
System: untitled1
Gain Margin (dB): 35.9
Magnitud(dB)

El polinomio deseado se presenta en la siguiente ecuación:
3 2 2
( ) ( . ) ( 2 . )n nf s s f s s      (3.5)
Donde los parámetros del polinomio deseado se calculan en función de las
especificaciones dadas.
2 2
ln
0,848
ln
p
p
M
M



 

(3.6)
5,07d
pt

   (3.7)
2
9,56
1
d
n



 

(3.8)
8,12n   (3.9)
Por lo que el polinomio en función de la frecuencia de los polos no dominantes será:
3 2
( ) ( .8,12) ( 16,24. 91,74)F s s f s s    (3.10)
La función transferencia deseada resulta de resolver el siguiente producto matricial
      
1
0 0 1 1 2 2 1N N N 6 * 6 6mD D D F S

 (3.11)
Donde Sm es la matriz con los coeficientes correspondientes a la función de
transferencia de la planta más el compensador diseñado por modelo interno debe ser
de 2(m+1)=6 filas por (n+m+1)=6 columnas.
493480,22 98696,04 5 1 0 0
10 1 0 0 0 0
0 493480,22 98696,04 5 1 0
0 10 1 0 0 0
0 0 493480,22 98696,04 5 1
0 0 10 1 0 0
mS
 
 
 
 
  
 
 
  
 
(3.12)

Para el primer caso, donde la frecuencia de los polos no dominantes es 80 veces la de
los polos dominantes (80σ) el polinomio característico deseado resulta:
3 2
1( ) ( 80.8,12) ( 16,24. 91,74)F s s s s    (3.13)
Realizando la distributiva de la ecuación anterior
5 4 3 6 2 6 6
1( ) 1966. 1298000. 295,1.10 . 4573.10 . 25150.10F s s s s s s      (3.14)
Luego realizando el producto de la matriz Sm por el vector F1(s) se tiene que la función
de transferencia del controlador por reubicación de polos es:
6 2 6 6
1 2
1,1855.10 . 88,987.10 . 2308,1.10
( )
1960. 3990,2
c
s s
G s
s s
 

 
(3.15)
En el segundo caso, donde la frecuencia de los polos no dominantes es 200 veces la de
los polos dominantes (200σ) el polinomio característico deseado resulta:
3 2
2 ( ) ( 200.8,12) ( 16,24. 91,74)F s s s s    (3.16)
Realizando la distributiva de la ecuación anterior
5 4 3 9 2 9 9
2 ( ) 4890. 7996000. 4,416.10 . 70,37.10 . 392,9.10F s s s s s s      (3.17)
Luego realizando el producto de la matriz Sm por el vector F2(s) se tiene que la función
de transferencia del controlador por reubicación de polos es:
6 2 6 6
2 2 3
8,0732.10 . 3853,8.10 . 49162.10
( )
4884,7. 200,02.10
c
s s
G s
s s
 

 
(3.18)
Presentamos a continuación la gráfica de la señal de salida y(t) para una entrada en
escalón unitario de la planta mas los compensadores. Primeramente se gráfica para 80σ

Figura 3.5: Respuesta al escalón unitario en lazo cerrado de la planta compensada
por modelo interno más controlador clásico (con 80σ)
La siguiente gráfica es para 200σ
Figura 3.6: Respuesta al escalón unitario en lazo cerrado de la planta compensada
por modelo interno más controlador clásico (con 200σ)
Comparando las respuestas al escalón de las figuras 3.5 y 3.6, se ve que estas no cumple
con las especificaciones de tiempo de pico (Mp mucho mayor a 0,65%). Tampoco siguen
al valor de referencia unitario, se aprecia un tiempo de establecimiento mayor a uno
(poseen error de régimen permanente). Las respuestas de ambos casos no cumplen las
especificaciones dado que requieren una acción de control muy elevada, lo cual es difícil
lograr en un sistema físico real. Además ninguno de los controladores implementados
incorpora la dinámica del escalón para asegurar el error de régimen nulo.
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Respuesta al escalón
Tiempo (s)
Amplitud
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo (s)
Amplitud

B)
Recordando la expresión de la señal sinusoidal de entrada:
( ) 10 (100 . )r t sen t (3.19)
Se trazan las gráficas para las señales de salidas halladas con 80σ y 200σ,
respectivamente
Figura 3.7: Señal de salida ante una entrada sinusoidal, (con 80σ)
Figura 3.8: Señal de salida ante una entrada sinusoidal, (con 200σ)
Analizando las respuestas, se aprecia que en ambos casos la salida reproduce la
señal de entrada con mucha similitud. En el caso de la respuesta con 80σ, la salida
demora un tiempo pequeño en alcanzar la amplitud de la señal de entrada. Para 200σ
este tiempo es prácticamente nulo, por lo que el sistema responde mejor en este
caso.

C)
La señal de error para el primer caso es la siguiente
Figura 3.9: Señal de error ante una entrada sinusoidal, (con 80σ)
Figura 3.10: Señal de error ante una entrada sinusoidal, (con 200σ)
De la comparación de las gráficas de la señal de error se aprecia que la magnitud del
error es menor cuanto mayor es σ. La acción de control resultante pare el sistema
compensado con 80σ es el siguiente:

Figura 3.11: Acción de control del sistema compensado ante una entrada
sinusoidal, (con 80σ)
Realizando un zoom de la acción de control:
Figura 3.12: Zoom de la acción de control del sistema compensado ante una entrada
sinusoidal, (con 80σ)
La acción de control resultante pare el sistema compensado con 200σ es el siguiente:
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
x 10
5
Accion de control
Tiempo (sec)
Amplitud

Figura 3.13: Acción de control del sistema compensado ante una entrada sinusoidal, (con
200σ)
Un zoom de la acción de control se va a continuación:
Figura 3.14: Zoom de la acción de control del sistema compensado ante una
entrada sinusoidal, (con 200σ)
Analizando las gráficas de las acciones de control, se ve que en un primer instante, la
acción es muy elevada, luego disminuye y finalmente oscila en régimen permanente
entorno a cero, con amplitudes mayores a la de la señal de referencia.
En el caso de 200σ la amplitud de la acción de control y de las oscilaciones es menor
que en el primer caso.
D)
Con el objetivo de analizar la estabilidad relativa del sistema compensado, en lazo
abierto, se realizan las gráficas del diagrama de Nyquist para 80σ y 200σ
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
x 10
6
Accion de control
Tiempo (sec)
Amplitud
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Linear Simulation Results
Time (sec)
Amplitude

Figura 3.15: Diagrama de Nyquist, (con 80σ)
Utilizando la función de Matlab que nos la información acerca de la estabilidad del
sistema, podemos ver en la Figura 3.16 que el sistema es estable para 80σ.
Figura 3.16: zoom del diagrama de Nyquist, (con 80σ)
Las gráficas del diagrama de Nyquist para 200σ resultan:
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
x 10
13
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x 10
14
Diagrama de Nyquist
Eje Real
EjeImaginario
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-2 -1 0 1 2 3 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
System: untitled1
Phase Margin (deg): 63.8
Closed Loop Stable? Yes

Figura 3.17: Diagrama de Nyquist, (con 200σ)
Nuevamente utilizando la función de Matlab que nos informa acerca de la estabilidad del
sistema, vemos que en este caso, también resulta estable.
Figura 3.18: zoom del diagrama de Nyquist, (con 200σ)
(Resuelto por Hoff Romina)
Ejercicio 4)
El modelo promedio de la planta lineal e invariante en el tiempo de un convertidor CC-
CA, está dada por la siguiente función de transferencia:
2
1/( )
( )
/( ) 1/( )
p
LC
G s
s s RC LC

 
(4.1)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
x 10
14
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
14
Diagrama de Nyquist
Eje Real
EjeImaginario
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-6
-4
-2
0
2
4
6
System: untitled1
Phase Margin (deg): 53.7
At frequency (rad/sec): 1.67e+003

Donde L = 1mHy, C = 25 µF y R = 2Ω. Utilizar el principio del modelo interno para
determinar el polinomio ø(s) necesario para que este sistema siga una referencia
sinusoidal dada por r(t) = 311sen(2π.50.t) . Conectar en serie con el compensador por
modelo interno, un compensador proyectado por reubicación de polos método clásico,
para las siguientes especificaciones de régimen transitorio: Mp = 2% y tp = 10mseg.
Nota: Considerar el valor de frecuencia de los polos no dominantes igual a 100 veces el
valor de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado.
A) En un gráfico, trazar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón unitario
de la planta en lazo cerrado sin compensación. En otro gráfico, representar la señal de
salida y(t) para una entrada en escalón unitario, del sistema compensado con el
controlador compuesto hallado; o sea ˆ ( ) ( ) ( )c c miG s G s G s . Comentar y justificar los
resultados obtenidos en cada uno de los gráficos anteriores.
B) En un gráfico trazar la señal de salida y(t) para la entrada sinusoidal especificada.
Comentar los resultados.
C) En un gráfico con referencia de entrada sinusoidal, trazar la señal del error e(t) y
en otro gráfico, la señal de la acción de control u(t) a la salida del bloque ˆ ( )cG s . Comentar
los resultados. Para obtener todos los gráficos pueden utilizarse tanto Matlab como
PSIM.
D) Verificar la estabilidad relativa del sistema con un diagrama de Bode.
Desarrollo:
A) Reemplazando los valores en la ecuación (4.1) se tiene la función transferencia
de la planta
6
2 6
40.10
( )
20000. 40.10
pG s
s s

 
(4.2)
La respuesta al escalón de la función de transferencia de la planta en lazo cerrado se
expone a continuación:

Figura 4.1: Respuesta al escalón unitario de la planta en lazo cerrado.
Para incluir el compensador a través del modelo interno, se debe tener en cuenta que
éste debe seguir la referencia dada en la ecuación
( ) 311sen(2 50 )r t t  (4.3)
Por lo que la función de transferencia del compensador del modelo interno resulta:
   
2 22 2
1 1 1
( )
( ) 2 100
miG s
s s f s  
  
 
(4.4)
Por lo que la nueva función que en lazo abierto resulta:
6
4 3 6 2 9 12
40.10ˆ ( )
20000 40,1.10 . 1,974.10 . 3,948.10
cmi laG s
s s s s
 
   
(4.5)
La siguiente figura es la respuesta al escalón del sistema compensado por modelo
interno, en lazo abierto
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10
-3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Tiempo (s)
Amplitud

Figura 4.2 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo abierto compensada por
modelo interno ϕ(s).
A continuación se analiza la estabilidad del sistema a lazo abierto, mediante el diagrama
de Bode.
Figura 4.3 Diagrama de Bode de la planta en lazo abierto, compensada por modelo
interno
En la Figura 4.3 se aprecia que el sistema en lazo abierto compensado por modelo
interno es inestable. Esto indica que el sistema en lazo cerrado también es inestable, ya
que posee un par de polos complejos conjugados en el semiplano derecho (parte real
positiva). Además el compensador no se proyecta para una respuesta al escalón, sino
para una referencia sinusoidal.
-400
-300
-200
-100
0
100
Magnitud(dB)
Diagrama de Bode
10
0
10
2
10
4
10
6
-405
-360
-315
-270
-225
-180
System: Gplc
Phase Margin (deg): -17.9
Fase(deg)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
-5
Tiempo (s)
Amplitud

Para devolver la estabilidad al sistema y cumplir las especificaciones dadas, se procede
a conectar en serie a la planta y al compensador de modelo interno, un compensador
proyectado por el método de reubicación de polos.
Entonces, como el polinomio de la planta más el de modelo interno es de cuarto orden,
n=4, el polinomio de compensador clásico deberá ser m=n-1=3. Por lo que el orden de
la función transferencia final resulta de n+m=7.
El polinomio deseado se presenta en la siguiente ecuación:
5 2 2
( ) ( . ) ( 2 . )n nf s s f s s      (4.6)
Donde los parámetros del polinomio deseado se calculan en función de las
especificaciones dadas.
2 2
ln
0,7797
ln
p
p
M
M



 

(4.7)
314,15d
pt

   (4.8)
2
501,73
1
d
n



 

(4.9)
391,2n   (4.10)
En este caso, la frecuencia de los polos no dominantes es 100 veces la de los polos
dominantes (100σ) por lo que el polinomio característico deseado resulta:
5 2 3
( ) ( 100.391,2) ( 782,4. 251,7.10 )F s s s s    (4.11)
Realizando la distributiva de la ecuación (4.11) se tiene el polinomio F(s):
7 5 6 10 5 14 4 19 3 23 2 25 28
( ) s +1,964.10 .s +1,546.10 .s +6,107.10 .s +1,218.10 .s +1,009.10 .s +7,463.10 .s+2,306.10F s  (4.12)
La función transferencia deseada resulta de resolver el siguiente producto matricial
      
1
0 0 1 1 2 2 3 3N N N N 8 * 8 8mD D D D F S

 (4.13)

Donde Sm es la matriz con los coeficientes correspondientes a la función de transferencia
de la planta compensada por modelo interno debe ser de 2(m+1)=8 filas por (n+m+1)=8
columnas.
12 9 6
3,948.10 1,974.10 40,1.10 20000 1 0 0 0
6
40.10 0 0 0 0 0 0 0
12 9 6 20000 1 0 00 3,948.10 1,974.10 40,1.10
0 06
0 40.10 0 0
Sm 
0 0
12 9 60 0 3,948.10 1,974.10 40,1.10 20000 1 0
6
0 0 40.10 0 0 0 0 0
12 9 6
0 0 0 3,948.10 1,974.10 40,1.10 20000 1
6 0 0 0 00 0 0 40.10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.14)
Resolviendo el producto de la inversa de la matriz Sm por el vector F(s), se obtienen los
coeficientes con los cuales se arma la función de transferencia del controlador por
reubicación de polos, esta se aprecia en la ecuación (4.15).
11 3 15 2 18 20
3 5 2 10 14
1,097.10 . 2,156.10 . 1,847.10 . 5,405.10
( )
1,764.10 . 1,189.10 . 3,659.10
c
s s s
G s
s s s
  

  
(4.15)
A continuación se gráfica la señal de salida y(t) de la planta en lazo cerrado, compensada
por modelo interno más controlador por reubicación de polos. Ante una entrada en
escalón unitario.
Figura 4.4 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo cerrado compensada por
modelo interno y por controlador clásico.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo (sec)
Amplitud

En la Figura 4.4 se aprecia que la señal de salida no responde según las
especificaciones, cuando la entrada es un escalón, ya que posee un tiempo de
asentamiento mayor a 10 ms, se establece en un valor menor a uno.
B)
En la Figura 4.5 se analiza la respuesta del sistema ante la entrada sinusoidal
especificada r(t)=311sen(100π.t)
Se observa que la señal de entrada queda totalmente superpuesta con la señal de salida,
esto indica que la salida sigue fielmente a la entrada desde el primer instante. Por lo que
el sistema compensado responde satisfactoriamente.
Figura 4.5: Respuesta de la planta en lazo cerrado compensada por modelo interno
y por controlador clásico.
C)
La señal de error, se aprecia en la Figura 4.6 donde el error es nulo prácticamente desde
el inicio de la acción de control. Es un sistema que responde con mucha precisión.
Figura 4.6 Señal de error, planta en lazo cerrado compensada por modelo interno
y por controlador clásico.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-300
-200
-100
0
100
200
300
Respuesta a una entrada sinusoidal
Tiempo (sec)
Amplitud
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-300
-200
-100
0
100
200
300
señal de error
Tiempo (sec)
Amplitud

En la Figura 4.7 se presenta la acción de control del compensador, la cual es muy
elevada en un primer instante y luego se estabiliza.
Figura 4.7: Acción de control, planta en lazo cerrado compensada por modelo interno y
por controlador clásico.
En la Figura 4.8 se presenta un zoom de la acción de control. Se ve que la acción de
control es sinusoidal pero es muy elevada. Por lo cual no es viable implementar un
controlador físico real que realice dicha acción de control.
Figura 4.8: Zoom de la acción de control, planta en lazo cerrado compensada por modelo
interno y por controlador clásico.
D)
Para analizar si el sistema es estable, se realiza un Diagrama de Bode. Este se aprecia
en la Figura 4.9, y nos dice que el sistema resulta estable.
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x 10
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x 10
10
Acción de control
Tiempo (s)
Amplitud
0.265 0.27 0.275 0.28 0.285 0.29 0.295 0.3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x 10
8
Acción de control
Tiempo (s)
Amplitud

Figura 4.9: Diagrama de Bode de la planta en lazo abierto compensada por modelo
interno y por controlador clásico.
Finalmente se puede concluir que el sistema compensado resultó estable, la acción de
control responde rápidamente a la señal de entrada, posee una señal de error
prácticamente nulo. Pero para lograr la implementación de este controlador se requiere
de una acción de control muy elevada, por lo que el orden del controlador es grande. Así
mismo el diseño del controlador es complicado y existe una limitación en cuanto a
componentes físicos reales a la hora de la implementación.
(Resuelto por: Hoff Romina)
Ejercicio 5)
Sea la función de transferencia de un proceso dada por 𝐺 𝑝(𝑠) =
1
(100𝑠+1)(10𝑠+1)
⁡base a la
respuesta al escalón unitario de este sistema, proyectar, utilizando el método de Ziegler-
Nichols de lazo abierto: 1- Un compensador proporcional; 2- Un compensador
proporcional-integral y 3- Un compensador proporcional-integral-derivativo. En cada
caso, trazar la respuesta al escalón del sistema compensado y concluir sobre los
resultados obtenidos.
Resolución:
Primero se realizo el grafico de la respuesta de la función en lazo abierto con el programa
Matlab® y con este se aproximo una función por medio del método pedido.
El programa utilizado es el que se ve en la Tabla 5.1: script de Matlab ® para hallar la
respuesta al impulso en lazo abierto.
Diagrama de Bode
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
-360
-270
-180
-90
0
System: untitled1
Phase Margin (deg): 72
Fase(deg)
-200
-100
0
100
200
300
400
System: untitled1
Gain Margin (dB): 13.4
Magnitud(dB)

Tabla 5.1: script de Matlab ® para hallar la respuesta al impulso en lazo
abierto.
clc
clear all
close all
num=[0 0 0.001]; % numerador de lazo abierto
den=[1 0.11 0.001]; %denominador de lazo abiero
y=tf(num,den) %funcion de transferencia de lazo abiero
step(y) % respuesta al escalon de la funcion de lazo abierto
El gráfico obtenido sobre el que se realizaron las mediciones para hallar el modelo de
Ziegler Nichols se encuentra en la Figura 5. 1: Resultado de la respuesta al escalón y
mediciones realizadas
Figura 5. 1: Resultado de la respuesta al escalón y mediciones realizadas
Se grafica la salida de la planta a lazo abierto, cuando a la entrada se aplica un escalón
unitario, trazando una recta tangente al punto de inflexión, donde esta recta corta la
asíntota de régimen permanente se mide una de las constantes T proyectando esta

intersección al eje de tiempo. La otra constante L es el valor donde se intercepta tangente
al punto de inflexión de la curva con el eje de tiempo.
La escala de tiempo vale:
𝐸𝑠𝑐𝑡: 100𝑠 = 47,18 → 1 =
100𝑠
47,18
= 2,12 (5.1)
Esto es según (5.1)
𝐸𝑠𝑐𝑡 → 1: 2.12 5.2)
La constante T vale:
𝑇 = 67,93. 𝑒𝑠𝑐𝑡 = 67,93 ∗ 2,12 = 134 (5.3)
La constante L vale:
𝐿 = 2,87. 𝑒𝑠𝑐𝑡 = 2,87.2,12 = 6 (5.4)
Una vez encontrado estos puntos se procede a determinar los valores del compensador
propuestos por Ziegler-Nicholls. A continuación, se propone una tabla brindada por la
cátedra con los valores para la obtención de los parámetros.
Tabla 5.5.2: Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta al
escalón unitario
Tipo de
controlador
Kp Ti Td
P
T
L
 0
PI
0,9
T
L 0,3
L
0
PID
1,2
T
L
2L 0,5L
Reemplazando los valores de L y T encontrados por el método propuesto en la tabla
Tabla 5.5.2: Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta al escalón
unitario, podemos calcular los valores que se presentan a continuación:

Tabla 5.5.3: Valores de las constantes correspondientes a los diferentes
controladores.
Tipo de controlador Kp Ti Td
P
22,37  0
PI
20,1 20 0
PID
26,8 12 3
Con los datos obtenidos se procede a implementar los controladores.
1_Compensador proporcional (P):
Si se observa la figura 4.2 se tiene que la función transferencia del compensador es:
Gc(s)=22,37
La gráfica de salida se presenta en la figura 5.2
Figura 5. 2: Respuesta al escalón unitario de la planta compensada con un P.
Se puede apreciar que se mejorar el tiempo de respuesta, pero en este caso no se
anula el error de régimen permanente, dado que solo se incorporó un compensador
proporcional.
2_Compensador proporcional - integral (PI):
En base a los datos de la tabla 5.3 la función transferencia del compensador sería

𝐺𝑐 = 𝐾𝑝 (1 +
1
𝑘𝑖 𝑆
) =
20,1. 𝑆 + 1
𝑆
(5.5)
El gráfico que se obtiene es el que se observa en la figura Figura 5. 3:
Figura 5. 3: Sistema con compensador PI
Se puede apreciar que se mejora notablemente el tiempo de respuesta.
2_Compensador proporcional - integral (PI):
En base a los datos de la tabla 5.3 la función transferencia del compensador será la
que se muestra en la ecuación 5.6.
𝐺𝑐 =
𝑘 𝑝 𝑘 𝑑 𝑆2
+ 𝑘 𝑝 𝑆 +
𝑘 𝑝
𝑘𝑖
⁄
𝑠
=
80,4𝑆2
+ 26,8𝑆 + 2,33
𝑆
(5.6)
El gráfico de salida se aprecia en la Figura 5. 4:

Figura 5. 4: Sistema con compensador PID
En este caso se puede apreciar que tanto el tiempo de respuesta disminuye respecto del
caso anterior así como el sobrepaso.
Conclusiones
Se observo que método de Ziegler – Nicholls es un método simple y muy práctico a la
hora de encontrar las constantes proporcionales para los diferentes compensadores
como fueron presentados de forma genérica en la tabla 5.2. Estas constantes se obtienen
con una sola medición a lazo abierto de la planta. Además es un método apropiado para
aplicar a plantas de las cuales se desconoce su función transferencia.
(Resuelto por Viera Juan)
Ejercicio 6)
Para la función de transferencia de segundo orden con polos reales, dada a continuación,
y, en base a la aplicación de un escalón unitario, utilizar la técnica de Ziegler-Nichols que
corresponda para proyectar: 1- Un compensador proporcional; 2- Un compensador
proporcional-integral y 3- Un compensador proporcional-integral-derivativo. En cada
caso, trazar la respuesta al escalón del sistema compensado y concluir sobre los

resultados obtenidos.
Resolución:
La función de transferencia es:
𝐺𝑐 =
1,66
𝑆2 + 0,55𝑆 + 0,061
(6.1)
Para resolver este ejercicio se utilizara el método de Ziegler Nichols para sistemas de
lazo abierto,
A continuación se presenta la respuesta en lazo abierto de la planta frente a un escalón
Figura 6 .1
Figura 6 .1: Respuesta ante un escalón unitario de la planta operando en lazo
abierto
La escala utilizada fue:
𝐸𝑠𝑐𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔 = 41,47 → 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,12𝑠 (6.2)
Los valores de T y L son:
𝑇 = 110,1⁡𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13,27 (6.3)
𝐿 = 7,67⁡𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,925 (6.4)

Con estos valores, el compensador proporcional vale:
𝐾𝑝 =
𝑇
𝐿
= 14,34 (6.5)
Con este valor el controlador proporcional vale:
𝐺𝑐 = 14,34 (6.6)
Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado es la que se observa en la
Figura 6.2
Figura 6.2: Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador
proporcional.
Con un controlador proporcional mejora notablemente el tiempo de repuesta pero la
respuesta se hace bastante oscilatoria hasta alcanzar el tiempo de establecimiento
Los parámetros del controlador proporcional integral quedan:
𝐾𝑝 = 0,9
𝑇
𝐿
= 12,91 (6.7)
𝐾𝑖 =
𝐿
0,3
= 3 (6.8)
Con lo que la ecuación del compensador será:

𝐺𝑐 =
𝑘 𝑝 𝑘𝑖⁡ 𝑆 + 𝑘 𝑝
𝑆
=
38,73𝑆 + 12,91
𝑆
(6.9)
Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la
Figura 6.3
Figura 6.3: Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador
proporcional integral.
Con este controlador la frecuencia de las oscilaciones empeora y se extienden mas en
el tiempo que en el caso anterior.
Los parámetros del controlador proporcional integral derivativo quedan:
𝐾𝑝 = 1,2
𝑇
𝐿
= 17,21 (6.10)
𝐾𝑖 = 2𝐿 = 1,85 (6.11)
𝐾𝑑 = 0,5𝐿 = 0,46 (6.12)

𝐺𝑐 =
𝑘 𝑝 𝑘 𝑑 𝑆2
+ 𝑘 𝑝 𝑆 +
𝑘 𝑝
𝑘𝑖
⁄
𝑠
=
7,91𝑆2
+ 17,21𝑆 + 9,3
𝑆
(6.13)
Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la
Figura 6.4
Figura 6.4 Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador
PID
El compensador PID es el que mejor respuesta tiene, se elimina la oscilación disminuye
el sobreimpulso y baja el tiempo de asentamiento.
Conclusiones:
En la realización del ejercicio puede destacarse que la implementación de un
compensador PI a la planta aumenta el tiempo de establecimiento y el sobre impulso de
su respuesta a un escalón unitario en comparación con la implementación de un control
proporcional. Dado que la misma posee una ganancia mayor, posteriormente se vio la
implementación de una acción integral si bien nos garantiza un error de régimen
permanente nulo, este tiende a aumentar el sobrepaso en régimen transitorio. Dado que
el sistema a lazo cerrado posee un régimen transitorio con características oscilatorias la
implementación del compensador PI tiende a incrementar las amplitudes de las
oscilaciones y aumentado también el tiempo de establecimiento. La mejor respuesta al

escalón unitario se obtuvo mediante la implementación de un controlador PID; y como
se puede observar en la Figura 6.4 el sistema presenta un comportamiento aceptable
tanto en régimen transitorio como también en régimen permanente
(Resuelto por: Viera Juan R.)
Ejercicio 7)
Sea la siguiente función de transferencia de un determinado proceso⁡⁡𝐺 𝑝(𝑆) =
1
𝑆(𝑆+5)(𝑆+3)
.
Utilizando el método de Ziegler-Nichols de lazo cerrado proyectar: 1- Un compensador
proporcional; 2- Un compensador proporcional-integral y 3- Un compensador
proporcional-integral-derivativo. En cada caso, trazar la respuesta al escalón del sistema
compensado y concluir sobre los resultados obtenidos.
¿Considerando que en los métodos de Ziegler-Nichols el objetivo es conseguir que el
valor del sobrepaso para una entrada en escalón, sea menor al 25%, cuáles de los
parámetros (Kp, Ti o Td) modificaría para conseguir esta reducción del sobrepaso?
Sugerencia: Modificar los parámetros del compensador, obteniendo una configuración
para la cual, la respuesta del sistema resulte menos oscilatoria. Escribir las conclusiones
sobre este análisis.
Resolución
Desarrollando a función de transferencia queda como se puede observar en la ecuación
7.1
𝐺𝑝(𝑆) =
1
𝑆3 + 8𝑆2 + 15𝑆
(7.1)
Para resolver este ejercicio se utilizara el método de Ziegler Nichols para sistemas de
lazo abierto,
Se presenta en la Figura 7. 2 la respuesta a un escalón de la planta a lazo cerrado.

Figura 7. 1: Respuesta del sistema colocando en lazo cerrado a la planta sin
compensador.
Figura 7. 2: Respuesta del sistema colocando en lazo cerrado a la planta
multiplicándola por Kcr.
La escala utilizada fue:
𝐸𝑠𝑐𝑡 = 2𝑠𝑒𝑔 = 40,4 → 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,05𝑠 (7.2)
Los valores de T y L son se calculan a partir de Pcr y Kcr

𝑃𝑐𝑟 = 32,64⁡𝐸𝑠𝑐𝑡 = 1,62 (7.3)
Por medio del criterio de Routh podemos encontrar que Kcr vale:
𝐾𝑐𝑟 = 120 (7.4)
Con estos valores el compensador proporcional vale:
𝐾𝑝 = 0,5𝐾𝑐𝑟=60 (7.5)
Con este valor el controlador proporcional vale:
𝐺𝑐 = 60 (7.6)
Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la Figura
6.2
Figura 7. 3: Respuesta del sistema con el controlador proporcional.
Con un controlador proporcional mejora el tiempo de respuesta, ganando algo se
sobreimpulso.
Los parámetros del controlador proporcional integral quedan:

𝐾𝑝 = 0,45𝐾𝑐𝑟 = 54 (7.7)
𝑇𝑖 = 0.8⁡𝐾𝑐𝑟 = 96 (7.8)
𝐺𝑐 = 𝑘 𝑝 (1 +
1
𝑇𝑖 𝑆
) = 54 +
54
96𝑆
=
54𝑆 +
9
16
𝑆
(7.9)
6.3
Figura 7.4: Respuesta del sistema con el controlador proporcional integral.
Con este controlador el sistema no presenta cambios notorios con respecto al
compensador proporcional.
Los parámetros del controlador proporcional integral derivativo quedan:
𝐾𝑝 = 0,6𝐾𝑐𝑟 = 72 (7.10)
𝑇𝑖 = 0,5⁡𝑃𝑐𝑟⁡ = 0,81 (7.11)
𝑇𝑑 = 0,125⁡𝑃𝑐𝑟 = 0,2 (7.12)

𝐺𝑐 = 𝐾𝑝 (1 +
1
𝑇𝑖 𝑆
+ 𝑇𝑑 𝑆) = 72 (
0,81𝑆 + 1 + 0,16𝑆2
0,81𝑆
) =
14,22𝑆2
+ 72𝑆 + 88,88
𝑆
(7.13)
6.4
Figura 7 .5: Respuesta del sistema con un compensador PID
Para poder apreciar la deferencia entre los tres compensadores se realiza un solo grafico
con ellos superpuestos.

Figura 7.6: Respuesta del sistema con un compensador PID
En la figura 7.6 puede apreciarse la pequeña diferencia entre los tres compensadores,
puede observarse que el PID es el que mejor desempeño tiene.
Conclusiones:
Como la planta tiene un polo en el origen, su respuesta ya tiene error en régimen
permanente nulo, el mayor trabajo de los compensadores es el de mejorar el tiempo de
respuesta.
(Resuelto por: Viera Juan R.)

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