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Distribucion 4 erlang

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Distribucion 4 erlang

  1. 1. DISTRIBUCIÓN DE ERLANGLa Distribución Erlang es una distribución de probabilidad continua con una amplia aplicabilidaddebido principalmente a su relación con la exponencial y la distribución gamma dada por la sumade un número de variables aleatorias independientes que poseen la misma distribuciónexponencial. La distribución Erlang se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, ejemplo:En situaciones donde el servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicioexponencial.La distribución Erlang es el resultado del trabajo realizado por el matemático danés Agner KrarupErlang (1878 - 1929) quien fue un pionero en la aplicación de métodos estadísticos para el análisisde las redes telefónicas. La distribución se deriva del modelo el total de tiempo de espera asociadocon una cola de solicitudes en una central telefónica, por lo cual es de especial interés para nuestrocurso de teoría de colas.DEFINICIÓNLa distribución Erlang es una distribución continua, que tiene un valor positivo para todos losnúmeros reales mayores que cero, y está dada por dos parámetros: la forma k, que es un enterono negativo, y la tasa λ, que es un número real no negativo. La distribución a veces se definenutilizando el inverso del parámetro de tasa, la escala θ. Se utiliza la distribución Erlang paradescribir el tiempo de espera hasta el suceso número k en un proceso de Poisson. El parámetrode escala θ es equivalente a la media de una distribución exponencial, y el parámetro de forma kes equivalente al número de eventos distribuidos exponencialmente. Cuando el parámetro deforma k es igual a 1, la distribución se reduce a la distribución exponencial.La distribución de Gamma generaliza la distribución Erlang permitiendo k ser una real, usando lafunción gamma en lugar de la función factorial. Fig.1 Función de densidad de probabilidad para la Distribución ErlangDebido a la función factorial en el denominador, la distribución Erlangsólo estádefinida cuandoel parámetro k es un entero positivo. De hecho, esta distribución es a veces llamada distribuciónErlang-k (por ejemplo, una distribución Erlang-2 es una distribución Erlang con k = 2).
  2. 2. 1.2Función de Distribución Acumulativa Fig. 2 Función de atribución acumulativa Erlang Parámetros alt.: Dominio Función de densidad (pdf) Función de distribución (cdf) Media Mediana — Moda for Varianza Coeficiente de simetría
  3. 3. Curtosis Entropía Función for generadora de momentos (mgf) Función característica2 CASOS DE USO2.1 Los tiempos de esperaLos eventos que ocurren independientemente con cierta tasa media, son modelados con procesosde Poisson. Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento son distribuciones de Erlang.La distribución de Erlang, que mide el tiempo transcurrido entre la recepción de llamadas, sepuede utilizar en conjunción con la duración esperada de las llamadas entrantes para así generaralguna información sobre la carga de tráfico medido en unidades de Erlang. Esto puede ser usadopara determinar la probabilidad de pérdida de paquetes o el retardo, de acuerdo con diversashipótesis formuladas acerca de si las llamadas están bloqueadas son abortadas (fórmula Erlang B)o hasta que la cola sirva (la fórmula Erlang C). Las fórmulas Erlang B y C están todavía en el usodiario para la elaboración de modelos de tráfico para aplicaciones tales como el diseño de centrosde llamadas.Formula Erlang BLa fórmula de Erlang B asume una población infinita de orígenes (como usuarios de telefonía), lacual ofrece tráfico en conjunto a N servidores (como líneas en un grupo de troncales). La tasa dellegadas de nuevas llamadas (tasa de nacimiento) es igual a λ y es constante, no depende delnúmero de recursos activos, porque se asume que el total de recursos es infinito. La tasa deabandono (tasa de mortandad) es igual al número de llamadas en progreso dividida por h, lamedia del tiempo de llamadas en espera. La fórmula calcula la probabilidad de bloqueo en unapérdida del sistema, si un requerimiento no es atendido inmediatamente cuando trata de utilizarun recurso, y este es abortado. Por lo tanto no son encolados. El bloqueo ocurre cuando hay unnuevo requerimiento de recursos, pero todos los servidores ya están ocupados. La fórmula asumeque el tráfico que es bloqueado se libera inmediatamente.Una forma que es usada para calcular tablas de la fórmula de Erlang B es:
  4. 4. Donde: B es la probabilidad de bloqueo N es el número de recursos como servidores o circuitos en un grupo A = λh es la cantidad de tráfico entrante expresado en ErlangsLa fórmula Erlang B se aplica a los sistemas con pérdidas, tales como sistemas telefónicos tantofijos como móviles, que no ofrecen almacenamiento de llamadas (es decir, no permiten dejar lallamada "en espera"), y no se pretende que lo hagan. Se asume que las llegadas de llamadas puedenser modeladas por un proceso de Poisson, pero es válida para cualquier distribución estadística detiempos entre llamadas.Erlang B también es una herramienta para dimensionar tráfico entre centrales de conmutación devoz.La cantidad B(N, A), como se expresó arriba, involucra algún trabajo de cálculos numéricos y,consecuentemente, se necesitan tablas.Formula Erlang CLa Formula de Erlang C también asume una infinita población de fuentes, las cuales ofrecen enconjunto, un trafico de A Erlang hacia N servidores. Sin embargo, si todos los servidores estánocupados cuando una petición llega de una fuente, la petición es introducida en la cola. Un sin finde números de peticiones podrían ir a la cola en este modo simultáneamente. Esta formula calculala probabilidad de la cola ofrecido en el trafico, asumiendo que las llamadas que fueronbloqueadas se quedaran en el sistema hasta que se pueda atender. Esta formula es usada paradeterminar la cantidad de agentes o representantes de clientes, que necesitará en un [Call Center]para después saber la probabilidad en la cola.Donde: A es la intensidad total del trafico ofrecido en unidades de Erlangs. N es la cantidad de servidores [numero de troncales]. PW es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para ser atendido.Se asume que las llamadas entrantes pueden ser modeladas usando una distribución de Poisson yque el tiempo de espera de las llamadas son descriptas por una distribución exponencial negativa.2.2 Compartimiento de modelosLa distribución Erlang también se produce como una descripción de la tasa de transición de loselementos a través de un sistema de compartimentos. Estos sistemas son ampliamente utilizadosen la biología y la ecología. Por ejemplo, en matemáticas, epidemiología, una persona puedeprogresar a un ritmo exponencial de saludable a portador y de nuevo de forma exponencial deportador a infeccioso. La probabilidad de que un individuo infeccioso en el momento t sería dada
  5. 5. por la distribución Erlang con k = 2. Estos modelos tienen la propiedad útil que la varianza en loscompartimientos infecciosos es grande. En un modelo exponencial puro la varianza es 1 / λ2 que amenudo es demasiado pequeña.EJEMPLOS ERLANG1. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estosciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundociclo.a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.b. A más de dos desviaciones por encima de la media.Solución:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo, en horas.k=2l=2 ciclos/100 horas →l=0.02a-) P (m-s <>m+s) = P (29.29b-) P(X > m+2s) = P(X > 241.42) = 1 – P(X £ 241.42) =2. Encuentre el número de dispositivos n requeridos para A = 60 Erlang y la probabilidad de pérdida de0.001.SoluciónPara E = 0.001, en las tablas puede verse que n = 83 corresponde al valor A de 60.403 Erlang, y n = 82al de A= 59.537. Por tanto n=83. n Probabilidad de pérdida (E) n 0.000 0.0000 0.000 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 01 5 1 5 48.71 59.72 60.95 61.89 62.66 63.33 8 80 51.397 52.687 56.101 57.810 0 0 5 5 8 0 0 49.49 60.60 61.84 62.79 63.57 64.24 8 81 52.204 53.506 56.949 58.673 2 0 5 4 3 1 1 50.27 61.48 62.73 63.69 64.47 65.15 8 82 53.012 54.325 57.798 59.537 7 0 7 3 9 3 2 51.06 62.36 83 53.822 55.146 58.649 60.403 63 2 2

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