Distribucion de probabilidad continua

1. Universidad Fermín Toro
Cabudare – Edo. Lara
Distribuciones de Probabilidad Tipo Continuo
Integrante:
Daniela Vargas
Sección:Saia A
Estadística Aplicada

2. Distribución Gamma
Es una generalización delmodeloExponencial ya que, enocasiones, se utiliza para modelar variables que
describen el tiempo hasta que se produce p veces undeterminadosuceso.
Este modelo depende de dos parámetros positivos: α yp. La funciónΓ(p) es la denominada función Gamma de
Euler que representa la siguiente integral:
Que verifica Γ(p+ 1) = pΓ(p), con loque, si p es unnúmero enteropositivo, Γ(p + 1) = p!
Gráfica:
Esta distribución se emplea de manera extensa en una gran diversidad de áreas.
1. Para representar el tiempode falla de unsistema que falla solo si de manera exacta los componentes
fallanyla falla de cada componente ocurre a una frecuenciaconstante λ=1/ϴ por unidadde tiempo.
2. En líneas de espera para completar una reparación que se lleva a caboensubestaciones;encada una de
las cualeses un evento independiente que ocurre a una frecuencia constante igual a l=1/q.
3. Ingresos familiares.
Ejercicio:
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren
de manera independiente a una frecuencia promediode dos por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el
intervalo de tiempose encuentre hasta que ocurre el segundociclo.
a. Dentro de una desviaciónconrespecto deltiempopromedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapsoque ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclode esfuerzo,enhoras.
Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P(λ=2) E(Y)= 2
Y':Número de ciclos / hora ---------Y'~P( λ=0.02) E(Y')= 0.02 =λ
X ~ G(2, 0.02)

3. a. 𝑃( 𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 − 𝜎) = 𝑃(29.29 < 𝑋 < 170.71) = ∫
0.022
𝛾(2)
∗ 𝑥 ∗ 𝑒−0.02𝑥
𝑑𝑥 =
170.71
29.29
0.73752
𝜇 =
𝛼
𝜆
=
2
0.02
= 100 𝜎2
= (
2
0.02
)
2
= 5000 𝜎 = 70.71
b. P(X> 𝜇 + 2𝜎) = 𝑃( 𝑋 > 241.42) = 0.0466
Distribución Exponencial
Es una distribuciónde probabilidad continua con unparámetro cuya funciónde densidad es:
Su funciónde distribución acumulada es:
Donde representa el número e. El valor esperado yla varianza de una variable aleatoria Xcon distribución
exponencial son:
La distribuciónexponencial es uncasoparticular de distribucióngamma con k= 1. Además la suma de
variables aleatoriasque siguenuna misma distribución exponencial es una variable aleatoria expresable entérminos de
la distribucióngamma.
Esta distribuciónse empleade manera extensa enuna grandiversidadde áreas.
a. El tiempotranscurridoenun call center hasta recibir la primer llamada del día se podría modelar comouna
exponencial
b. El intervalode tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribuciónexponencial.
c. Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidadde metros de alambre hasta encontrar
una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial
Gráfica:
Ejercicio:
En una tienda departamentalel tiempo promediode espera para ser atendidoencajasal pagar la mercancía
es de 7min. Determine la probabilidad de que A) Un cliente espere menos de 4min. B)Un cliente espere masde 9 min.
λ=0.142857142 λ=1/7=0.142857142
Para k=4 𝑝( 𝑥 ≤ 4) = 1 − 2.71823−0.571428571
= 0.435275724 = 43.52%
λ=0.142857142
Para k=9 𝑝( 𝑥 ≥ 9) = 2.71823−1.285714278
= 0.276459825 = 27.64%

4. Distribución de Erlang
Es una distribuciónde probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores
es
La distribuciónErlang es el equivalente de la distribucióngamma con el parámetro y .
Para esoes la distribuciónexponencial. Se utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo de espera
hasta el suceso número enunproceso de Poisson.
Uso:
Los tiempos de espera. Los eventos que ocurre independientemente con cierta tasa media, sonmodelos con
procesos de poisson. Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento son distribuciones de erlang.
La distribuciónde erlang, que mide el tiempotranscurridoentre la recepciónde llamadas, se puede utilizar en
conjunción conla duraciónesperada de las llamadas entrantes para asigenerar alguna informaciónsobre la carga de
trafico medido en unidades de Erlang
La distribuciónde erlang puede ser usadopara determinar la probabilidadde pérdida de paqueteso retardo.
Gráfica:
Ejercicio:
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren
de manera independiente a una frecuencia promediode dos por cada 100horas. Obtener la probabilidadde que el
intervalo de tiempose encuentre hasta que ocurre el segundociclo.
a. Dentro de una desviacióncon respectodel tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media
Solución:
X: Lapsoque ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclode esfuerzo, enhoras.
k=2
I= 2 ciclos/100 horas, I=0.02
𝜎 = √ 𝑉(𝑥) = √
𝑘
𝜆2 =
√2
0.02
= 70.71
a. 𝑃( 𝑚 − 𝑠 <> 𝑚 + 𝑠) = 𝑃(29.29)
∫ 𝑥 ∗
0.022
𝑒−0.02𝑥
1!
170.71
29.29
𝑑𝑥 = 0.7375128
b. 𝑃( 𝑥 > 𝑚 + 2𝑠) = 𝑃( 𝑥 > 241.42) = 1 − 𝑃( 𝑥 < 241.42)
1 − ∫ 𝑥 ∗
0.022
𝑒−0.02
1!
241.42
0
𝑑𝑥 = 0.0466

5. Distribución de Weibull
Es una distribuciónde probabilidad continua. Recibe sunombre de Waloddi Weibull, que la describió
detalladamente en1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) yaplicada por primera vez por Rosiny
Rammler (1933) para describir la distribuciónde los tamaños de determinadas partículas.
La funciónde densidad de una variable aleatoria conla distribuciónde Weibull x es:
donde es el parámetro de forma y es el parámetro de escala de la distribución.
La distribuciónmodela la distribuciónde fallos cuandola tasa de fallos es proporcionala una potenciadel
tiempo:
 Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
 Cuando k=1, la tasa de fallos es constante enel tiempo.
 Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.
La distribuciónde Weibull se utiliza en:
 Análisis de la supervivencia
 En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados conel tiempo de fabricaciónydistribuciónde
bienes
 Teoría de valores extremos
 Meteorología
 Para modelar la distribuciónde la velocidaddel viento
 En telecomunicaciones
 En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
 En seguros, para modelar el tamañode las pérdidas
Gráfica:
Ejemplo:
Suponga que la vida útil de ciertoelementoes una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con α= 0.5
y λ = 0.01. Calcular:
a. La vida media útilde ese artículo.
b. La variación de la vida útil.

6. c. La probabilidadde que el elemento dure más de 300 horas.
Solución: