RESISTENCIA DE mATERIALES

1. Facultad de Ingeniería - UNA
UNIDAD IV
1. Hipótesis Simplificadoras.
2. Procedimiento general de la Mecánica de los
sólidos
3. Problemas Principales
4. Diferentes casos de Resistencia.

2. Facultad de Ingeniería - UNA
Hipótesis simplificadoras

3. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Hipótesis fundamentales de la Resistencia
de Materiales
LEY DE HOOKE
HIPOTESIS DE NAVIER BERNOULLI

4. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
LEY DE ROBERT HOOKE (1676)
Anagrama:
“ceiiinosssttuv”
Latin: “Ut tensio sic Vis”
Traducido:
“Como la deformación así la tensión”

5. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Anagrama: De Galileo Galilei a Johannes Kepler
(Septiembre 1610)
“Haec immatura a me iam frustra leguntur o.y.”
(“En vano estas cosas son leídas por
mi, prematuramente, o.y.”)
Clave del anagrama: “Cynthiae figuras aemulatur
mater amorum”
(“la madre de los amores imita las figuras de Diana”)
Venus (la madre de los amores) cambia de forma igual
que la luna (Diana). Es decir tiene fases como la luna.

6. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
de
dσ
Etg α
0
0
0
LANGdeLey
HodkinsondeLey
BACHdeLey
2
ba
ba
A
m
LEY DE HOOKE
G.
Tensiones normales Tensiones tangenciales

7. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
=E.

8. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Coeficiente de Poisson “µ”

9. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
1233
3122
3211
321
1
1
1
1
EE
E
ε
E
ε
E
ε
E
ε
Ley de Hooke Generalizada
EJES
PRINCIPALES

10. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Módulo de Elasticidad Volumétrico
3
.
lidadcompresibideFactor
k
1
oVolumétricdElasticidadeMódulo
213
213
21
363
ica)hidroestát(Presión
321
mm
321
V
321V
321
V
k
E
k
E
EEE
si

11. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Ley de Hooke Generalizada (ejes no
principales)
G
G
G
E
ε
E
ε
E
ε
zy
zy
xz
xz
xy
xy
z
y
x
xyz
zxy
zyx
1
1
1

12. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Deformaciones Térmicas
t
E
ε
t
E
ε
t
E
ε
t
t
εtεεε
t
z
y
x
zyxzxy
Tzyx
.
1
.
1
.
1
ndisminució
aumento
0
.
ratemperatudeVariación
xyz
zxy
zyx

13. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
La Ley de Hooke presupone que:
 El cuerpo se deforma idealmente
 El cuerpo es elástico. Las deformaciones
producidas por cualquier sistema de carga que
se aplica gradualmente, desaparece al dejar de
actuar este (Reversibilidad del proceso de
deformación), del cual se concluye la relación
unívoca entre una determinada tensión con su
deformación.

14. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
zxyzxyzyx
zx
zxyzxyzyx
xz
zxyzxyzyx
xy
zxyzxyzyxz
zxyzxyzyxy
zxyzxyzyxx
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
AAAAAA
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
2
2
2
Ley de Hooke para materiales anisotrópos

15. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
 La ley de Hooke generalizada es función lineal homogénea de las seis
deformaciones (lineales y angulares)
 “Existiendo una función lineal de deformaciones, son iguales los coeficientes de
cada pareja, que llevan los mismos subíndices cambiados de orden respecto al
guión que los separa por la propiedad de aquellas funciones de ser iguales sus
derivadas cruzadas (Por ejemplo A12= A21)Ñ; y el número de coeficientes se
reduce de 36 a 21.
 En los materiales ortotrópicos, es decir que tienen propiedades diferentes según
tres direcciones ortogonales (como por ejemplo la madera) el número de
constantes independientes se reduce a nueve.
 En los materiales isotrópicos el número de constantes independientes se reduce
a tres ya que se puede demostrar que : A11= A22= A33; A12= A13= A23; A44= A55=
A66 y además A12= A21; A13= A31; A23= A32
 Entonces:
G
A
E
A
E
A
2
11
141211

16. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Isotropismo
 La tensión normal no produce deformaciones
angulares en el mismo sistema de referencia.
Esto es las tensiones normales solamente
producen deformaciones lineales en sus
mismas direcciones.
 La tensión tangencial no produce
deformaciones lineales en el mismo sistema de
referencia. Las tensiones tangenciales
producen solamente deformaciones anglares
en el mismo sistema coordenado.

17. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
HIPOTESIS DE NAVIER-BERNOULLI
En el transcurso de la
deformación, la sección
recta de una pieza
permanece:
-Plana
-Idéntica a si misma
-Normal a la fibra media
deformada

18. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
CONDICIÓN DE APLICACIÓN DE LAS LEYES DE
HOOKE Y DE NAVIER
 Forma
 Cuerpo en forma de barra
 Dimensiones de la sección recta del mismo orden de magnitud y
pequeñas con respecto a la longitud – 1/10, 1/15
 Variación de la sección lenta, contínua
 Radio de curvatura grande en relación a las dimensiones de la
sección >5.h
 Material
 Continuo
 Homogéneo
 Isótropo
 Elástico
 Fuerzas
 Aplicación lenta
 Deformaciones locales no permanentes
 No debe impedir deformaciones transversales
 Debe variar según funciones continuas

19. Facultad de Ingeniería - UNA
Procedimiento General de la
Mecánica de los Sólidos

20. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Método de las Secciones
G x
y
z
x
y
Q
N
T
My
Mz
t

21. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Procedimiento General
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
a) Expresar las Tensiones en función de las Fuerzas Internas
dAdq
dAdf
i
i
.
.
G x
y
z
x
y
dfl = da
dql = dA
dft

22. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
G x
y
z
x
y
df
Q
N
T
My
Mz
dft
TdA
MzdA
MydA
QdA
NdA
A
y
A
z
A
A
A
..
.
.
.
.
1º Paso: Relacionar las Cargas con las Fuerzas Internas
b) Relacionar las Tensiones con las Fuerzas Internas
dql

23. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
2º Paso: Determinar la ley de distribución de las Tensiones
a) Experimentalmente estudiar la distribución de las tensiones obteniendo
= f (y;z) g = f ( j )
Como se cumple la Hipótesis de Navier
dx
dxx
dx = (A1 + B1y + C1z) dx (a)

24. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
b) Hallar la relación entre tensión y deformación
= f ( ) = f ( )
Si se cumple la Ley de Hooke
= E = G .
c) Expresar la tensión en función de las coordenadas del punto reemplazando
la expresión (a) en (b)
(b)
= E. = E (A1 + B1y + C1z) dx
= f ( y ; z ) = f ( )
d) Expresar las fuerzas internas en función de las coordenadas del punto
etc..; QdAfNdAzyf
AA

25. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
3er Paso: Obtener las fórmulas de la Tensión en un Punto
en función de las fuerzas internas
a) Se resuelven las ecuaciones del último punto del paso anterior obteniendo:
= f (y ; z ; d ; Fi)
= f (y ; z ; d ; Fi)
S y t ; en función de las coordenadas del punto ( y ; z ) de alguna
Característica Geométrica de la sección y de las fuerzas internas
b) Trazar los diagramas de variación de las tensiones
Tensiones normales Tensiones tangenciales

26. Facultad de Ingeniería - UNA
Problemas Principales

27. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Problemas principales
a)Verificación de tensiones
b) Dimensionamiento
a)Verificación de desplazamientos

28. Facultad de Ingeniería - UNA
Los diferentes casos de
Resistencia

29. Facultad de Ingeniería - UNAMecánica de Materiales I – 4º Semestre
Diferentes casos de Resistencia
 Estado de Tensión Simple:
 N
 Q
 M (My, Mx)
 Mt
 Resistencia Compuesta:
 Combinación de dos estados simples
 Tensiones Normales: N, M
 Tensión Normal con Tangencial: M, T; M, Mt; N, T; N, Mt
 Tensiones Tangenciales T, Mt
 Tensioens normales en piezas de gran longitud
 Combinación de tres estados simples
 N, T, M
 N, T, Mt
 N, M, Mt
 T, M, Mt
 Combinación de cuatro estados simples
 N, T, M, Mt

30. Facultad de Ingeniería - UNA
Próxima Clase: Piezas cargadas
axialmente
Fin