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LEY DE ELASTICIDAD DE HOOKE



En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada
para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario
que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza
aplicada F:




Siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección
transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un
límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de
Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento,
Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su
contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como
la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es
mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida
sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:



dondek se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que
experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento
del resorte viene dada por la siguiente ecuación:




Es importante notar que la k antes definida depende de la longitud del muelle y de
su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte
independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial
constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al
producto o intrínseca, se tiene:
Llamaremos         a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x
de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, kΔx a la
constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δx a la misma distancia y δΔx
al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza F(x).
Por la ley del muelle completo:




Tomando el límite:




que por el principio de superposición resulta:




Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene
como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios
(Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un
resorte se calcula como:




Ley de Hooke en sólidos elásticos

En la mecánica de sólidos deformableselásticos la distribución de tensiones es
mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje.
La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor
de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se
representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados
por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o
ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que
caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones
tienen la forma general:
Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir
deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y
deformación.

De tal forma que la deformación Є es una cantidad adimencional,el modulo E se
expresa en las mismas unidades que el esfuerzo ζ (unidades pa, psi y ksi).El
máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un
material es conocido como límite de proporcionalidad de un material .En este
caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedenciadefinido;en ciertos
materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que
es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo ζ para el que la similitud
entre ζ y Є deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el
límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia
de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales,como
resistencia ,ductibilidad y resistencia de corrosión;que pueden afectarse debido a
la aleación ,el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones
en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden
ignorar ζ = ζ11, ε = ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a:



dondeE es el módulo de Young.

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  • 1. LEY DE ELASTICIDAD DE HOOKE En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F: Siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza"). Ley de Hooke para los resortes La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido: dondek se llama constante elástica del resorte y es su elongación o variación que experimenta su longitud. La energía de deformación o energía potencial elástica Uk asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación: Es importante notar que la k antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al producto o intrínseca, se tiene:
  • 2. Llamaremos a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, kΔx a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δx a la misma distancia y δΔx al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza F(x). Por la ley del muelle completo: Tomando el límite: que por el principio de superposición resulta: Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como: Ley de Hooke en sólidos elásticos En la mecánica de sólidos deformableselásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:
  • 3. Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación. De tal forma que la deformación Є es una cantidad adimencional,el modulo E se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo ζ (unidades pa, psi y ksi).El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material .En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedenciadefinido;en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo ζ para el que la similitud entre ζ y Є deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales,como resistencia ,ductibilidad y resistencia de corrosión;que pueden afectarse debido a la aleación ,el tratamiento térmico y el proceso de manofactura. Caso unidimensional En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar ζ = ζ11, ε = ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a: dondeE es el módulo de Young.