Método da secante

1. EL MÉTODO DE LAEL MÉTODO DE LA
SECANTE Y SECANTESECANTE Y SECANTE
MODIFICADOMODIFICADO
Métodos abiertosMétodos abiertos

2. El Método de la SecanteEl Método de la Secante
 Se deriva delSe deriva del
método demétodo de
Newton-RaphsonNewton-Raphson
 Se aproxima laSe aproxima la
derivadaderivada
mediantemediante
diferencia finitadiferencia finita
dividida haciadividida hacia
atrásatrás
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
′
−=+
ii
ii
i
xx
xfxf
xf
−
−
≅′
−
−
1
1 )()(
)(

3. Fórmula de la SecanteFórmula de la Secante
 Se obtiene la fórmula de la secanteSe obtiene la fórmula de la secante::
 Se observa que este método requiereSe observa que este método requiere
2 valores iniciales de x.2 valores iniciales de x.
 Sin embargo, no se necesita que f(x)Sin embargo, no se necesita que f(x)
cambie de signo, por lo que no es uncambie de signo, por lo que no es un
método cerrado.método cerrado.
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
−
−
+

4. Algoritmo para la SecanteAlgoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: X1) Se dan 2 valores: Xii y Xy Xi-1i-1
2) Se calcula f(x2) Se calcula f(xii) y f(x) y f(xi-1i-1))
3) Se obtiene X3) Se obtiene Xi+1i+1 mediante la fórmulamediante la fórmula
de la secantede la secante
4) Se vuelve al paso 2 para encontrar4) Se vuelve al paso 2 para encontrar
una nueva raízuna nueva raíz

5. Diferencia entre Secante yDiferencia entre Secante y
Falsa PosiciónFalsa Posición
 Si recordamos laSi recordamos la
fórmula de la falsafórmula de la falsa
posición:posición:
 Y vemos la fórmulaY vemos la fórmula
de la secante:de la secante:
)()(
))((
ul
ulu
ur
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx
−
−
−=
−
−
+

6. Diferencia entre Secante yDiferencia entre Secante y
Falsa PosiciónFalsa Posición
 Se diferencianSe diferencian
por la formapor la forma
en que uno deen que uno de
los valoreslos valores
iniciales seiniciales se
reemplaza conreemplaza con
lala
aproximación.aproximación.

7. Ejemplo del Método deEjemplo del Método de
SecanteSecante
 Problema 6.5 (Chapra, Canale):Problema 6.5 (Chapra, Canale):
Determine la menor raíz real de:Determine la menor raíz real de:
a) Gráficamentea) Gráficamente
b) Usando el método de la secante para unb) Usando el método de la secante para un
valor de Evalor de Ess con tres cifras significativascon tres cifras significativas
32
5.2172211)( xxxxf −+−−=

8. Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.5
32
5.2172211)( xxxxf −+−−=
xx yy
-1-1 30.530.5
-0.5-0.5 4.564.56
00 -11-11
11 -18.5-18.5
22 -7-7
33 8.58.5
44 1313
55 -8.5-8.5
a) Gráficamentea) Gráficamente
4.0−≈x

9. Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.5
32
5.2172211)( xxxxf −+−−=
b) Por el método de la secante (Eb) Por el método de la secante (Ess<0.05%)<0.05%)
IteraciónIteración xxi-1i-1 xxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)
11 -1-1 00 -0.2651-0.2651 --
22 00 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 35.735.7
33 -0.2651-0.2651 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 8.78.7
44 -0.4123-0.4123 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 0.520.52
55 -0.3793-0.3793 -0.3813-0.3813 -0.3813-0.3813 0.0040.004

10. Método de la SecanteMétodo de la Secante
ModificadoModificado
 Se aproxima laSe aproxima la
derivada de laderivada de la
función con unfunción con un
método de cambiométodo de cambio
fraccionario de lafraccionario de la
variable.variable.
 Se reemplaza en laSe reemplaza en la
ecuación deecuación de
Newton-RaphsonNewton-Raphson
i
iii
i
x
xfxxf
xf
δ
δ )()(
)(
−+
=′
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
′
−=+

11.  Con lo que se obtiene la fórmula de laCon lo que se obtiene la fórmula de la
secante modificada:secante modificada:
Nótese que ahora solo se requiere un valorNótese que ahora solo se requiere un valor
de x inicial y el valor del cambio fraccionario.de x inicial y el valor del cambio fraccionario.
Fórmula de la SecanteFórmula de la Secante
ModificadaModificada
)()(
)(
1
iii
ii
ii
xfxxf
xfx
xx
−+
−=+
δ
δ

12. Ejemplo del Método deEjemplo del Método de
Secante ModificadoSecante Modificado
 Problema 6.7 (Chapra, Canale):Problema 6.7 (Chapra, Canale):
Calcule la raíz real de xCalcule la raíz real de x3.33.3
=79, con el=79, con el
método de la secante modificado quemétodo de la secante modificado que
cumpla con Ecumpla con Ess=0.1%. Intente diferentes=0.1%. Intente diferentes
valores de δ y analice los resultados.valores de δ y analice los resultados.

13. Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7
793.3
=x
 Para δ=0.01 x=3.758707344Para δ=0.01 x=3.758707344
IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)
11 3.53.5 3.5353.535 3.78033.7803 --
22 3.78033.7803 3.81813.8181 3.75893.7589 0.50.5
33 3.75893.7589 3.79643.7964 3.75873.7587 0.0050.005

14. Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7
793.3
=x
 Para δ=0.1 x=3.758707344Para δ=0.1 x=3.758707344
IteraciónIteración xxii xxii+δx+δxii xxi+1i+1 EEss(%)(%)
11 3.53.5 3.853.85 3.77233.7723 --
22 3.77233.7723 4.14954.1495 3.75923.7592 0.30.3
33 3.75923.7592 4.13514.1351 3.75873.7587 0.010.01

15. Ejemplo Programado enEjemplo Programado en
MatLab …MatLab …