El documento describe los diferentes tipos de modelos, incluyendo modelos mentales, verbales, gráficos, físicos, matemáticos, analíticos, numéricos y computacionales. Luego discute los componentes básicos de un modelo matemático y conceptos como gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano. Finalmente, introduce métodos numéricos como series de Taylor y diferencias finitas.

1. Métodos Numéricos Mónica Yamile Camacho 2010

2. UN MODELO ES UNA ABSTRACCION DE LA REALIDAD QUE UTILIZA MECANISMOS PARA EXPRESAR TODA REALIDAD. MODELO

3. TIPOS DE MODELO MODELO MENTAL : Es el primer juego de ideas que se generan a escala mental sobre el problema en cuestión. MODELO VERBAL: Es cualitativo por naturaleza, las palabras se usan para describir las reacciones del sistema frente a un estímulo. MODELO GRAFICO: Es el conjunto de imágenes y gráficos de sirven de apoyo y permiten ubicar las relaciones funcionales que priman en el sistema que se desea estudiar. MODELO FISICO: Son modelos a pequeña escala de barco, que se desarrollan para investigar el comportamiento del sistema real.

4. MODELO MATEMATICO: Es aquel donde la relación entre las diferentes variables en un sistema se formaliza a través de relaciones matemáticas (normalmente ecuaciones). MODELO ANALITICO: Se llevan a cabo cuando el modelo diferencial tiene solución. MODELO NUMERICO: Es una representación teórica de un modelo, típicamente expresado en forma matemática, que permite una mejor comprensión y estudio de su comportamiento . MODELO COMPUTACIONAL: Se refiere a un programa de computadora que permite que los modelos analíticos o numéricos se puedan solucionar más rápidamente . TIPOS DE MODELO

5. Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos, que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. MODELO MATEMATICO

6. Ejemplo: modelo matemático

7. Modelo cuantitativo: es aquel cuyos principales símbolos representan números. Modelo cualitativo: aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y probabilidades. Modelo Determinístico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas. Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos. Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima. TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

8. COMPONENTES DE UN MODELO MATEMÁTICO 1.Variables dependientes 2. Variables independientes 3. Parámetros 4. Funciones de fuerza 5.Operadores

9. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO GRADIENTE: Sea f(x,y,z) una función en dos variables, el gradiente de f(x,y,z) se denota como y esta definido como:

10. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Divergencia: Sea f(x,y,z)= f(x,y,z)i + f(x,y,z)j + f(x,y,z)k la divergencia de f, denotada por div f y esta definida como:

11. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Rotacional: Operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Expresión en coordenadas cartesianas:

12. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Laplaciano: Si Ø,A , son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como: El Laplaciano de una función f es: Campo escalar Campo vectorial

13. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Segunda ley de newton: la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo. dv F dt m

14. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de calor de Fourier: La conducción de calor es un mecanismo de trasferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas. q=-k dt dx ( expresión matemática)

15. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de difusión de Fick: es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adlf Fick. J=-D dc dx ( expresión matemática)

16. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO Factor geométrico porosidad Velocidad de flujo fuentes

17. ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO La ecuación fundamental de flujo depende de: • Balance de masa • Conservación del momentum ( ley de Darcy) • Ecuación de estado

18. ELEMENTOS BÁSICOS DE UN MODELO MATEMÁTICO Ley de Darcy: Describe: Expresa el flujo de fluidos en términos de presión y gravedad: Limitaciones de la ley de Darcy: La constante de proporcionalidad K no es propia ni característica del medio poroso. En algunas circunstancias la relación entre el Q y el gradiente hidráulico no es lineal. CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM

20. La tortuosidad: es una característica que representa lo tortuoso de una curva, es decir, el grado de vueltas o rodeos que tiene. Existen varios intentos de medir este índice, aplicables a distintos escenarios.

21. ECUACIÓN DE ESTADO En un fluido incompresible la densidad ( ρ ) es constante. En un fluido lentamente compresible tenemos que: ρ = ρ (1+cp). Ecuación de estado de los fluidos compresibles ρ = pM/zRT ó pM= ρ z RT

22. SERIE DE TAYLOR

23. La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como: SERIE DE TAYLOR

24. La serie de Taylor se puede escribir de manera mas sencilla como: donde : n indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden  es un valor cualquiera de x que se encuentra entre xi y xi+1 SERIE DE TAYLOR

25. La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. SERIE DE TAYLOR

26. SERIE DE TAYLOR La serie de Taylor centrada en cero es llamada serie de Maclaurin:

27. Uso de la serie de Taylor para estimar errores de Truncamiento. La serie de Taylor es muy útil para hacer la estimación de errores de truncamiento. Esta estimación ya la realizamos en los ejemplos anteriores. Recordemos que la serie de Taylor la podemos representar como: Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene SERIE DE TAYLOR

28. SERIE DE TAYLOR Despejando el valor de v’, tenemos: El primer término de la ecuación represente la aproximación de la derivada y el segundo el error de truncamiento. Note que el error de truncamiento se hace más pequeño a medida que ti+1 – ti (incremento) se hace pequeño. Así que podemos hacer una buena aproximación de derivadas utilizando el primer término, siempre y cuando se utilicen incrementos pequeños.

29. Ejemplo: Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de: f(x)= x n = 4 , c = 1 = xi 5 Solución : Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1: SERIE DE TAYLOR

30. x 4 = =1 4x 3 = =4 12x 2 = =12 24x = = 24 24 = =24 Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1: SERIE DE TAYLOR ) ( x f ) ( ' i x f ) ( ' ' i x f ) ( ' ' ' i x f IV fx ) ( ' ' i x

31. Reemplazamos estos valores en la serie de Taylor y resolvemos para encontrar el polinomio: SERIE DE TAYLOR ) ( x f = 1 + 4 +12 + 24 +24 (X i+1 – x i ) (X i+1 – x i ) 2 2! (X i+1 – x i ) 3 3! (X i+1 – x i ) 4 4! ) ( x f = 1 + 4 + 6 + 4 + (X i+1 – x i ) (X i+1 – x i ) 2 (X i+1 – x i ) 3 (X i+1 – x i ) 4

32. APROXIMACIONES

33. Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas (“tediosos cálculos aritméticos”). APROXIMACION NUMERICA: Se entiende por aproximación numérica a una cifra que representa un número cuyo valor exacto es x. En la medida en que la cifra se acerca más al valor exacto x, será una mejor aproximación de ese número. APROXIMACIONES

34. APROXIMACIONES Aproximación numérica Cifras significativas Numero de dijitos en la mantisa exactitud precisión Convergencia Estabilidad Selección de alternativas

35. Las cifras significativas son los dígitos de un número que consideramos no nulos, número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable. El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

36. EXACTITUD Y PRECISIÓN La precisión: se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad. La exactitud: se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa. Exactitud alta Precisión alta Exactitud alta Precisión baja Exactitud baja Precisión alta

37. CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD CONVERGENCIA: Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. ESTABILIDAD: Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseado

39. APROXIMACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS Diferencias finitas

42. Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos. En este caso, el error aparece al operar con representaciones numéricas finitas. Se puede solucionar utilizando más decimales, pero esto conlleva utilizar más memoria (recursos). ERROR POR TUNCAMIENTO ERROR POR REDONDEO

43. 1. es.wikipedia.org/wiki 2. www.material_simulacion.ucv.cl/ 3. www.scielo.cl/scielo.php?pid=S0718...script... 4. ciencias.jornada.com.mx/.../modelo-matematico-para-extraccion-de-petroleo 5. SANTAFE, Elkin R. “Elementos básicos de modelamiento matemático”. Clases-Universidad Industrial de Santander Año-2009. 6.http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=24480 7.http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/STaylor.html

44. F i n