Analisis de varianza de una via

1. An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza de Multiples Vias
a
Licenciado Fernando Cede˜o.
n
Licenciado Fernando Cede˜o.
n

2. An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
1 An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
Licenciado Fernando Cede˜o.
n

3. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
En experimentos con factores se trata de explicar las variaciones de
una variable aleatoria Y continua mediante factores que son
variables cuantitativas que definen una categor´ y que podemos
ıa,
controlar, es decir son factores no aleatorios o fijos.
Ejemplo:
Tenemos una variable Y que es el importe anual de nuestra factura
telef´nica y queremos estudiar como influye en Y tres operaciones
o
del servicio.
Variable respuesta: Importe anual de la factura telef´nica.
o
Factor:Tipo de operador de servicio con 3 niveles: Op1, Op2,Op3.
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n

4. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Operador 1 750 800 810 815 815
Operador 2 800 850 880 890 900
Operador 3 950 850 820 900 820
En este caso se tomaron 5 muestras de Y por cada operador.
¿Que queremos hacer?
Comparar los niveles de un factor sobre la variable Y respuesta.
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n

5. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Los datos en general aparecer´n as´
a ı:
NiveloTratamiento Observaciones Totales Promedio
1 Y11 Y12 . . . Y1n Y1. ¯
Y1.
2 Y21 Y22 . . . Y2n Y2. ¯
Y2.
3 Y31 Y32 . . . Y3n Y3. ¯
Y3.
.
. . . .. .
. . . .
. . . . . . .
. .
.
a Ya1 Ya2 . . . Yan Ya. ¯a.
Y
Y.. ¯
Y..
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n

6. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
El modelo lineal asociado al dise˜o de un factor es:
n
Yij = µ + τi + εij
Si εij ∼ N 0, σ 2 son independientes id´nticamente distribuidos
e
entonces
E (Yij ) = µ + τi Var (Yij ) = σ 2
y Yij ∼ N µ + τi , σ 2
Donde:
µ = es la media global de todos los datos sin importar el nivel del
factor.
τi = efecto del i-´simo nivel ´ tratamiento del factor.
e o
εij = es una v.a con εij ∼ N 0, σ 2 iid.
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n

7. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Para el modelo:
Yij = µ + τi + εij
Usamos el m´todo de m´
e ınimos cuadrado para el cual no es
necesario asumir la normalidad para los errores a fin de estimar µ y
τi .
a n a n
⇒ Q= ε2 =
ij (Yij − µ − τi )2
i=1 j=1 i=1 j=1
a n
∂Q
⇒ = −2 (Yij − µ − τi ) = 0
ˆ ˆ
∂µ
i=1 j=1
n
∂Q
= −2 (Yij − µ − τi ) = 0 i = 1, . . . , a
ˆ ˆ
∂τi
j=1
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n

8. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Entonces:
a n
Yij − N µ − nˆ1 − . . . − nˆa = 0
ˆ τ τ
i=1 j=1
n
yij − nˆ − nˆi = 0
µ τ ∀i = 1, . . . , a
j=1
⇒
N µ + nˆ1 + nˆ2 , . . . , +nˆ = Y..
ˆ τ τ τ
nˆ + nˆ1
µ τ = Y1.
nˆ
µ + nˆ2
τ = Y2.
.
.
.
nˆ +
µ +nˆa = Ya.
τ
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n

9. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Para este modelo los efectos de tratamientos τi se definen como
las observaciones con respecto a la media general.
⇒ µi = µ + τi
a n
⇒ µi = aµ + τi
i=1 i=1
a n
i=1 µi i=1 τi
⇒ =µ+
a a
n
⇒ τi = 0
i=1
Entonces para encontrar alguna soluci´n a las ecuaciones normales
o
colocamos una restricci´n
o
n
τi
ˆ
i=1
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n

10. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
⇒ Tenemos a+1 ecuaciones l.i para a+1 par´metros: µ, τ1 , . . . , τa .
a
n
Y.. ¯
nˆ + n
µ τi = Y.. ⇒ µ =
ˆ ˆ = Y..
N
i=1
⇒ nˆ + nˆi
µ τ = Yi.
¯.. + nˆi
nY τ = Yi.
¯ Yi.
⇒ Y.. + τi
ˆ =
n
⇒ τi
ˆ ¯ ¯
= Yi. − Y.. i = 1, . . . , a
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n

11. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Pero esta soluci´n no es unica y depende de la restricci´n que se
o ´ o
coloque; sin embargo no es importante que las estimaciones para τi
sean determinadas de manera unica porque lo que interesa es la
´
diferencia entre las medidas de los tratamientos:
µi = µ + τi
⇒ µi
ˆ ¯ ¯ ¯ ¯
= µ + τi = Y.. + Yi. − Y.. = Yi.
ˆ ˆ
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n

12. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Ejemplo
Obs Yi. ¯
Yi.
Op1 750, 800, 810, 815, 815 3990 798
Op2 800, 850, 880, 890, 900 4320 864
Op3 950, 850, 820, 900, 820 4340 868
12650 843,33
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n

13. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Yij = µ + τi + εij i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3, 4, 5.
τ1
ˆ ¯1. − Y.. = 798 − 843,33 = −45,33
= Y ¯
⇒ efecto: disminuye el costo por debajo deµ
τ2
ˆ ¯ ¯
= Y2. − Y.. = 864 − 843,33 = 20,67
⇒ efecto:aumenta el costo por debajo deµ
τ3
ˆ ¯ ¯
= Y3. − Y.. = 868 − 843,33 = 24,67
⇒ efecto: aumenta el costo por debajo deµ
¯
µ = Y.. 843,33
¯
µi = Yi.
ˆ
µ1 = 798
ˆ
µ2 = 864
ˆ
µ3 = 869
ˆ
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n

14. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Finalmente, el modelo ajustado quedar´
ıa:
ˆ
Yij = µ + τi
ˆ ˆ
Calculo de los residuales: Los residuales
eij ˆ
= Yij − Yij = Yij − µ. − τi
ˆ ˆ
⇒ eij ¯ ¯ ¯
= Yij − Y.. − (Yi. − Y.. )
⇒ eij ¯
= Yij − Yi.
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n

15. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
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An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
y estos residuales deben cumplir con los supuestos del modelo:
Son v.a porque son funciones, adem´s son normales por ser funci´n
a o
de variable aleatoria normal
¯
E (eij ) = E (Yij ) − E (Yi. )
n
E j=1 Yij
= µ + τi −
n
n
1
= µ + τi − (µ + τi )
n
j=1
= µ + τi − (µ + τi ) = 0
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n

16. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
¯
Var (eij ) = Var (Yij ) + Var (Yi. )
n
1 2
= σ + 2 σ2
n
j=1
σ2 n+1 2
= σ2 + = σ
n n
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n

17. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
¯ ¯
Cov (eij , ekj ) = Cov (Yij − Yi. , Ykj − Yk )
¯
= Cov (Yij , ykj ) − Cov (Yij , Yk. )
¯ ¯ ¯
− Cov (Yi. , Yk,j ) + Cov (Yi. , Yk. )
n
1
= 0− Cov (Yij , Ykj )
n
j=1
n n n
1 1
− (Yij , Ykj ) + 2 (Yij , Ykj )
n n
j=1 j=1 j=1
= 0
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n

18. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
La idea es probar si alg´n nivel del factor o alg´n tratamiento
u u
afecta la variabilidad de la respuesta:
⇒ H0 : µ1 = µ2 =, . . . , = µa
⇒ H1 : µ i = µ j
para al menos un par (i,j). Una forma equivalente de expresar esta
hip´tesis es:
o
H0 : τ1 = τ2 =, . . . , = τa = 0
H1 : τi = 0
para al menos alg´n i = 1, . . . , a.
u
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n

19. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
El anova resulta de descomponer la variabilidad total de los datos
en sus partes componentes:
a n
SCT = ¯
(Yij − Y.. )2
i=1 j=1
Mide la variabilidad total de los datos. pero
a n
SCT = ¯
(Yij − Y.. )2
i=1 j=1
a n
= ¯ ¯ ¯
(Yij − Yi. + Yi. − Y.. )2
i=1 j=1
a n
= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(Yij − Yi. )2 + 2(Yij − Yi. )(Yi. − Y.. ) + (Yi. − Y.. )2
i=1 j=1
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n

20. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
a n a
SCT = ¯
(Yij − Yi. )2 + n ¯ ¯
(Yi. − Y.. )2
i=1 j=1 i=1
a n
+ 2 ¯ ¯ ¯
(Yij − Yi. )(Yi. − Y.. )
i=1 j=1
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n

21. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
a n a n
¯ ¯ ¯
(Yij − Yi. )(Yi. − Y.. ) = ¯ ¯
(Yi. − Y.. ) ¯
(Yij − Yi. )
i=1 j=1 i=1 j=1
a
= ¯ ¯ ¯ ¯
(Yi. − Y.. )(nYi. − nYi. )
i=1
= 0
Entonces
a a n
SCT = n ¯
(Yi. − Y.. )2 + ¯
(Yij − Yi. )2
i=1 i=1 j=1
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n

22. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
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An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
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An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Donde:
a
n ¯
(Yi. − Y.. )2
i=1
Es la Suma Cuadrado de la diferencia entre los promedios de los
tratamientos SCtrat.
a n
¯
(Yij − Yi. )2
i=1 j=1
Es la Suma cuadrado de los Errores SCE.
SCT tiene N-1 gl.
SCtrat tiene a-1 gl.
SCE tiene N-a gl.
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n

23. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
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An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Ahora: n ¯ 2
j=1 (Yij −Yi. )
SCE = a i=1
n ¯ 2 2
j=1 (Yij − Yi. ) pero Si = n−1 es la
varianza muestral del i-´simo tratamiento i = 1, . . . , a.
e
a a
⇒ SCE = (n − 1)Si2 = (n − 1) Si2
i=1 i=1
y
a a 2
SCE (n − 1) (n − 1) i=1 Si
= Si2 = a
N −a N −a i=1 (n − 1)
i=1
SCE
⇒ CME = N−a es una estimaci´n de la varianza com´n a cada
o u
uno de los ” a”tratamientos.
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24. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
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a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Adem´s tenemos
a
E (CME ) = σ 2
Por otra parte:
SCtrat
CMtra =
a−1
a
n 2
E (CMtrat) = σ + τi2
a−1
i=1
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25. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Luego, si rechazamos H0 ⇒CMtrat =CME. ⇒ y en este caso
decimos que los niveles de tratamiento o del factor afecta la
variabilidad de la respuesta y es la clave del anova .
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26. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
o a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
An´lisis de Varianza para el modelo de efecto fijos
a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Luego la tabla ANOVA:
Fuente de Variacion SC gl CM F
Entre Trat SCtrat a − 1 CMtrat
CMtrat
Error(Dentro de Trat) SCE N − a CME CME
Total SCT N −1
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n

27. Estimaci´n de los par´metros del Modelo
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a
An´lisis de Varianza: Experimentos con solo un factor
a
Ejemplo
2
3 5 2 Y.. 126502
SCT = i=1 j=1 Yij − 15 = 10705850 − 15 = 37683,33
3 2
Yi. 126502 53418100 126502
SCtrat = i=1
5 − 15 = 5 − 15 = 15453,33
SCE = SCT − SCTrat = 37683,33 − 15453,33 = 22229,99
FV SC gl CM F F2,12,0,05
EntreTrat 15453,33 2 7726,66 4,17 3,8853
Error 22229,99 12 1852,49
Total 37683,33 14
⇒ Se rechaza H0 ⇒alg´n τ0 = 0 ⇒ con el tipo de operadora
u
telef´nica var´ el monto de la factura.
o ıa
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n