Capitulo 3 parte 1 (1)

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pandeo de una viga

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Capitulo 3 parte 1 (1)

  1. 1. Curso: Resistencia II CAPÍTULO 3 ELEMENTOS A COMPRESIÓN: PANDEO 3.1 Introducción Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente falle por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. Las columnas se suelen dividir en 3 grupos: Cortas, intermedias y largas. Las columnas se consideran cortas cuando su longitud es menor o igual a 10 veces su dimensión transversal menor. Se las suele denominar también “poste”. Figura 3.1 Elemento sujeto a compresión: Elevación y sección transversal Las columnas cortas suelen fallar por aplastamiento. Las columnas largas suelen fallar por flexión lateral o pandeo. Las columnas intermedias suelen fallar por una combinación de aplastamiento y pandeo. Las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. 1
  2. 2. Curso: Resistencia II Figura 3.2 Factores que intervienen en la excentricidad de las cargas en las columnas (Tomado de Singer 2008). Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las deflexiones son proporcionales al cubo de la longitud, con un valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Para columnas intermedias, no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. 3.2 Carga Crítica Coloquemos verticalmente una viga esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. En la figura 3.3(a) se aplica una carga H en la mitad de la viga mientras que en la figura 3.3(b) se aplica una carga P que aumenta gradualmente mientras que la carga H disminuye gradualmente. De esta figura, si tomamos momento con respecto al punto de aplicación de la carga H se tiene por equilibrio: Si H 0 ‫ܮ ܪ‬ ‫ ܯ‬ൌ ൬ ൰ ൅ ܲߜ 2 2 ‫ ܯ‬ൌ ሺܲ ሻߜ ௖௥ (3.1) 2
  3. 3. Curso: Resistencia II Figura 3.3 Viga y columna con la misma flexión (Tomado de Singer 2008). Como se indica en la figura 3.3(c), Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión δ, lo que incrementará M, con lo cual volverá a aumentar δ y así sucesivamente hasta que la columna falle por pandeo. 3
  4. 4. Curso: Resistencia II 3.3 Fórmula de Euler para columnas largas o muy esbeltas 3.3.1 Columnas articuladas En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica (ver Cap. 1). ‫ ܫܧ‬ ݀ଶ‫ݕ‬ ൌ‫ܯ‬ ݀‫ ݔ‬ଶ Ahora se sabe que este análisis es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En los tiempos de Euler, no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior de la carga crítica. Figura 3.4 Columna pandeada con sus extremos articulados. La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre un eje vertical. En estas condiciones, de una viga. ௗ௬ ௗ௫ es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica M es positivo cuando la columna se pandea en el sentido indicado. ௗమ௬ ‫ ܫܧ‬ௗ௫మ ൌ ‫ ܯ‬ൌ ܲ ሺെ‫ݕ‬ሻ (1.2) ݀ଶ‫ܲ ݕ‬ ܲ ൅ ‫ ݕ‬ൌ 0 ; ݇ ଶ ൌ ଶ ݀‫ݔ‬ ‫ܫܧ‬ ‫ܫܧ‬ Condiciones de frontera (CF): ‫ ݕ‬ൌ ‫ܥ‬ଵ ‫ ݔ݇ ݊݁ݏ‬൅ ‫ܥ‬ଶ cos ݇‫ݔ‬ ‫ ݔ :1ܨܥ‬ൌ 0, ‫ݕ‬ൌ0 4
  5. 5. Curso: Resistencia II 0 ൌ 0 ൅ ‫ܥ‬ଶ ‫ܥ‬ଶ ൌ 0 ‫ ݔ :2ܨܥ‬ൌ ‫ ݕ ,ܮ‬ൌ 0 Tres soluciones: (1) C1= 0 0 ൌ ‫ܥ‬ଵ ‫ ܮ݇ ݊݁ݏ‬ No hay pandeo. (2) kL= 0: Como L no es cero (3) sen kL= 0 P no existe. kL= nπ (n= 0, 1, 2, 3, …. ) ܲ ඨ ‫ ߨ݊ = ܮ‬ ‫ܫܧ‬ ܲ ଶ ‫݊ = ܮ‬ଶ ߨ ଶ ‫ܫܧ‬ ܲ= n=0 Pଵ = n=2 P2 = 4P1 n=3 (3.2) P0 = 0 n=1 ݊ଶ ߨ ଶ ‫ ܫܧ‬ ‫ܮ‬ଶ P3 = 9P1 ୉୍ πమ ୐మ Figura 3.5 Efecto de n en el valor de la carga crítica (Tomado de Singer 2008) Por lo tanto, la carga crítica, para una columna articulada en sus extremos, es ܲ = ௖௥ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ܮ‬ଶ (3.3) Pcr = Carga crítica = Carga de Euler o de Pandeo. E = Módulo de Elasticidad I = Momento de Inercia con respecto al eje sobre el cual ocurre el pandeo (mínimo). 5
  6. 6. Curso: Resistencia II 3.3.2 Columna Empotrada Reemplazando (3.3) con L = Le en donde Le se denomina Longitud efectiva de la columna y representa la distancia entre los puntos de inflexión en la configuración pandeada de la columna. ܲ = ௖௥ ܲ = ௖௥ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ ݁ܮ‬ଶ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ ܮ‬ଶ ቀ 2ቁ ܲ = ௖௥ 4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ܮ‬ଶ (3.4) Figura 3.6 Columna pandeada con sus extremos empotrados y diagrama de cuerpo libre (Tomado de Singer 2008). 3.3.3 Columna Empotrada y Libre Para esta columna usamos la ecuación (3.4) pero teniendo en cuenta que la longitud de la columna doblemente empotrada es cuatro veces más larga (ver figura 3.6(b)) entonces: ܲ = ௖௥ ܲ = ௖௥ ܲ = ௖௥ 4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ ݁ܮ‬ଶ 4 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ (4‫)ܮ‬ଶ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ 4 ‫ܮ‬ଶ (3.5) Figura 3.7 Columna pandeada con sus extremos empotrado - libre y diagrama de cuerpo libre (Tomado de Singer 2008). 6
  7. 7. Curso: Resistencia II 3.3.4 Columna Empotrada y Articulada ܲ = ௖௥ ܲ = ௖௥ ܲ ൎ ௖௥ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ ݁ܮ‬ଶ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ (0.7 ‫ܮ‬ሻଶ 2 ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ܮ‬ଶ (3.6) Figura 3.8 Columna pandeada con sus extremos empotrado - articulado (Tomado de Singer 2008). Generalizando las fórmulas ܲ ൌ ௖௥ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ ݁ܮ‬ଶ ܲ = ௖௥ k = Factor de longitud efectiva. ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ (݇‫)ܮ‬ଶ (3.7) Le = Longitud efectiva de la columna. Condiciones de Sujeción Ambos extremos articulados Ambos extremos empotrados Un extremo empotrado y el otro libre Un extremo empotrado y el otro articulado Le = kL L 1/2 L 2L 0.7 L 7
  8. 8. Curso: Resistencia II 3.3.5 Estabilidad P Equilibrio inestable Equilibrio neutro Punto de bifurcación Pcr Equilibrio estable Comportamiento posterior al pandeo P =Pcr o δ Figura 3.9 Diagrama carga axial-deflexión lateral para una columna Si P > Pcr : Equilibrio Inestable Si P = Pcr : Equilibrio Neutro Si P < Pcr : Equilibrio Estable 8
  9. 9. Curso: Resistencia II 3.4 Limitaciones de la fórmula de Euler Una columna tiende a pandearse siempre en la dirección en la cual es más flexible. El valor de I en la fórmula de Euler es siempre el MENOR momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues con respecto al eje principal de momento de inercia MÍNIMO de la sección recta. ‫ܫ‬௫ = ‫ܫ‬௬ ൌ ܾ݄ଷ 12 ݄ܾଷ 12 ‫ ܫ‬ൌ ‫ܫ‬௬ Figura 3.10 Momentos de Inercia para una columna con sección rectangular La carga crítica que produce el pandeo NO DEPENDE de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del modulo elástico. Dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus resistencias son muy diferentes, tienen prácticamente el mismo módulo de elasticidad.nmmnkj ߪ σ୳ ൌ σ୷ ൌ ߝ Figura 3.11 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para dos tipos de acero estructural. 9
  10. 10. Curso: Resistencia II Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales o a lo más parecidos posibles. O sea: ‫ܫ‬௫ ൎ ‫ܫ‬௬ Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el pandeo NO DEBE EXCEDER el límite de proporcionalidad (ߪ௅ ሻ. De (3.7): ܲ ൌ ௖௥ ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ ‫ ܫ‬ൌ ‫ ݎܣ‬ଶ ܲ௖௥ ൌ ܲ ‫ ݎܧ‬ଶ ߨ ଶ ௖௥ ൌ ‫ܣ‬ ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ ߪ௖௥ = En donde: ‫ܧ‬ሺ‫ ݎܣ‬ଶ ሻ ߨ ଶ ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ ܲ ‫ ߨܧ‬ଶ ௖௥ = ‫ܣ‬ ݇‫ ܮ‬ଶ ቀ‫ݎ‬ቁ (3.8) A = área de la sección transversal r = radio de giro mínimo Pcr = Carga critica, carga de Euler, carga de pandeo σୡ୰ୀ Esfuerzo crítico, esfuerzo de Euler, esfuerzo de pandeo ௞௅ ௥ = Relación de esbeltez (adimensional) El valor P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación kL/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez, de la columna. ߪ௖௥ ≤ ߪ௅ (3.9) Se define como columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. ܲ = En donde: ܲ ௖௥ ‫ܵܨ‬ (3.10) P = Carga de trabajo, carga admisible, carga permisible. También se puede abreviar como PT o PW. FS = Factor de seguridad (varía de 2 a 3 y depende del material y de ciertas condiciones). 10
  11. 11. Curso: Resistencia II ߪ௖௥ ߪ௅ ߪ௖௥ ൬ ݇‫ܮ‬ ൰ ‫ݎ‬ ݇‫ܮ‬ ‫ݎ‬ Figura 3.12 Diagrama esfuerzo crítico – Relación de Esbeltez (Tomado de Singer 1994). ܲ ܲ ௖௥ = ‫ܵܨ ܣ ܣ‬ ߪ= ߪ௖௥ ‫ܵܨ‬ (3.11) ߪ = Esfuerzo de trabajo, esfuerzo admisible, esfuerzo permisible. También se puede abreviar como σT o σW. 11
  12. 12. Curso: Resistencia II Ejemplo 3.1 Una columna de acero con sus extremos articulados tiene un límite de proporcionalidad de 200 MPa. El módulo de elasticidad es de 200 Gpa. Determinar: a) Esfuerzo crítico si kL/r = 50, 75, 100, 150 y 200 b) La grafica kL/r vs. ࣌ࢉ࢘ c) Esfuerzo de trabajo σ para un FS de 3 y kL/r = 100 a) De (3.8) y (3.9): σୡ୰ = E πଶ kL ଶ ቀrቁ ൑ σ୐ ; k ൌ 1 Para una columna articulada σୡ୰ ൌ ‫ۺ‬ ‫ܚ‬ 50 75 100 150 200 b) E πଶ L ଶ ቀr ቁ ൌ 200 x 10ଷ x πଶ L ଶ ቀr ቁ ൌ 1972 x 10ଷ L ଶ ቀrቁ ો‫( ܚ܋‬MPa) 789 > ߪ௅ ߪ௖௥ ൌ ߪ௅ ൌ 200‫ ܽܲܯ‬ σcr = σL = 200 MPa 350 > ߪ௅ 197.2 ൎ 200‫ ܽܲܯ‬ൌ ߪ௅ ; o.k. 87.6 < ߪ௅ ; o.k. 49.3 < ߪ௅ ; o.k. ߪ௖௥ ൬ ݇‫ܮ‬ ൰ ‫ݎ‬ Nota 1: El esfuerzo crítico es el representado por la línea continua. Nota 2: El esfuerzo crítico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una columna de este tipo, la esbeltez debe ser lo menor posible. 12
  13. 13. Curso: Resistencia II c) ߪ = ? FS = 3 kL/r = 100 σୡ୰ = 200MPa, valor obtenido del literal a) Aplicando la fórmula (3.11): ߪ= ߪ= ߪ௖௥ ‫ܵܨ‬ 200 ‫ܽܲܯ‬ 3 ࣌ = ૟૟. ૠ ࡹࡼࢇ 13
  14. 14. Curso: Resistencia II Ejemplo 3.2 Una pieza de madera rectangular de 5 x 10 cm se emplea como columna con los extremos empotrados (Singer, problema # 1102 pág. # 419). a) Calcular la longitud mínima para que pueda aplicarse la fórmula de Euler si E = 105 kg/cm2 y el límite de proporcionalidad es de 350 kg/cm2. b) ¿Qué carga axial podrá soportar con un factor de seguridad igual a 3 si la longitud es de 2.50 m? a) Lmin = ? Paso 1. Hallar kL/r. La longitud mínima se determina cuando las ecuaciones (3.8) y (3.9) son iguales: σୡ୰ = E πଶ kL ଶ ቀrቁ ൌ σ୐ ݇‫ܮ‬ ‫ ߨܧ‬ଶ ൬ ൰ൌඨ ‫ݎ‬ ߪ௅ 10ହ ߨ ଶ ݇‫ܮ‬ ൌ 53.08 ൬ ൰ൌඨ ‫ݎ‬ 350 Paso 2. Hallar Radio de Giro mínimo r. Véase Sección 3.4. hb 3 10 × 53 = = 104.17 cm 4 12 12 A = 5 × 10 = 50 cm 2 I min = I Y = r= I 104.17 = = 1.443 cm A 50 Paso 3. Hallar la longitud mínima. Lmin = 53.08r/k; k =0.5 para una columna doblemente empotrada. Lmin = 53.08 * 1.443/0.5 = 153.2 cm ≈ 1.53 m. 14
  15. 15. Curso: Resistencia II b) P=? De la ec. (3.4) para una columna doblemente empotrada se tiene: ܲ = ௖௥ 4‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ‫ܮ‬ଶ Pcr = 4* 105 * 104.17* π2/(2502) = 6573 kg Aplicando (3.10): P = Pcr/FS = 6573/3 = 2191 kg. Otro método: De ec. (3.8): σୡ୰ = σୡ୰ = σୡ୰ = E πଶ kL ଶ ቀrቁ 10ହ πଶ 0.5 ∗ 250 ଶ ቀ 1.443 ቁ 10ହ πଶ = 131.39 kg/cm2 ሺ86.81ሻଶ Pcr = σcr * A = 131.39 * 50 = 6573 kg P = Pcr/FS = 6573/3 = 2191 kg. 15
  16. 16. Curso: Resistencia II 3.4.1 Selección de Perfiles En Ingeniería Civil se presentan generalmente dos tipos de problemas: Problema Tipo 1: Datos: a) Conoce el material: CR, AE, Madera (E, σl). b) Conocen las dimensiones: L, b, h o el perfil (I, A, r) c) Conoce el tipo de soporte: k Incógnita: • Se desea hallar su carga de trabajo P o esfuerzo de trabajo σ. ܲ = ߪ= ܲ ௖௥ ‫ܵܨ‬ ߪ௖௥ ‫ܵܨ‬ (3.10) (3.11) Este fue el caso de la parte b) del ejemplo 3.2. Problema Tipo 2: Problema más común. Datos: a) b) c) d) Conoce el material: CR, AE, Madera (E, σl). Conoce solamente L Conoce el tipo de soporte: k Conoce la carga de trabajo P o esfuerzo de trabajo σ Incógnita: • • • Se desea hallar las dimensiones del elemento (I, A, r). Este problema se conoce con el nombre de “Selección de Perfiles” en el caso de elementos de acero estructural. Para elementos principales se recomienda trabajar con columnas en donde 40 ≤ kL/r ≤ 120 pero bajo ningún concepto kL/r > 200. ߪ௖௥ = ߪ௅ Recordar ejemplo 3.1 en donde kL/r ≤ 100, y que si kL/r > 100, la fórmula de Euler es aplicable. 16
  17. 17. Curso: Resistencia II Ejemplo 3.3 Para el tubo articulado en ambos extremos de acero de forma rectangular de la figura encuentre la carga crítica, el esfuerzo crítico, la carga de trabajo y el esfuerzo de trabajo asumiendo un FS de 2.5. Tome L = 4.20 m, E = 2.1 x 106 kg/cm2. use fórmula de Euler, si ello es posible. y x Este es un Problema Tipo 1. Paso 1. Hallar radio de giro mínimo r. En este caso Ix = Imin. 12.5 × 7.5 3 11.25 × 6.25 3 I min = − = 210.57 cm 4 12 12 A = 7.5 × 12.5 − 6.25 × 11.25 = 23.44 cm 2 rmin = I min = A 210.57 = 3.00 cm 23.44 Paso 2. Encontrar Pcr. k = 1.0 (extremos articulados) kL 1* 420 = = 140 > 100 r 3 De (3.7): Pc r = π 2 EI (kL) 2 = se puede aplicar la fórmula de Euler (ver ejemplo 3.1) π 2 × 2.1× 10 6 × 210.57 (1* 420)2 ≈ 24741 kg Paso 3. Encontrar σcr. De (3.8): Pc r 24741 σ cr = = = 1055.50 kg cm 2 A 23.44 Paso 4. Hallar P y σ. De (3.10) y (3.11): P = Pcr/FS = 24741/2.5 ≈ 9900 kg σ = σcr/FS = 1055.5/2.5 = 422 kg/cm2 17
  18. 18. Curso: Resistencia II Ejemplo 3.4 Escoger el perfil I de ala ancha europeo más económico para una columna de 8 m de longitud con extremos empotrados que ha de soportar una carga admisible de 30000 kg con un coeficiente de seguridad de 2.5. El límite de proporcionalidad es de 2100 kg/cm2. E = 2.1 x 106 kg/cm2. Use la fórmula de Euler. (Singer, problema # 1108 pág. # 419). Este es un Problema Tipo 2. Paso 1. Hallar radio de giro mínimo r. De (3.8) y (3.9) con el signo igual: σୡ୰ = E πଶ kL ଶ ቀrቁ = σ୐ ‫ ߨܧ‬ଶ ݇‫ܮ‬ ൬ ൰=ඨ ߪ௅ ‫ݎ‬ ݇‫ܮ‬ 2.1‫ ߨ ଺01 ݔ‬ଶ ≈ 100 ൬ ൰=ඨ ‫ݎ‬ 2100 k =1/2, L = 8 metros r = kL/100 = ½*800/100 = 4 cm. Paso 2. Encontrar Pcr. De (3.10): P = Pcr/FS Pcr = P*FS = 30000 * 2.5 = 75000 kg Paso 3. Encontrar Imin. De (3.7) y con k =1/2 ܲ = ௖௥ I= Pc r (kL) 2 2 π E = ‫ ߨ ܫܧ‬ଶ ሺ݇‫ܮ‬ሻଶ (75000)(1/ 2 * 800)2 2 π × 2.1×10 6 = 578.98 cm 4 Así pues, la sección debe tener un momento de inercia mínimo mayor que 578.98 cm4 y un radio de giro mayor de 4 cm. Se puede elegir, considerando tabla B-8 pág. # 614 del libro de Singer, un perfil I de ala ancha de 16 cm que tiene I min = 922 cm 4 y un radio de giro mínimo de 4.06 cm, con peso 44 kg/m. Otro método. En lugar de hallar Imin en el paso 3, se puede hallar el área mínima. De (3.11): σ cr = Pc r A ⇒ Amin = 75000 = 35.71 cm 2 2100 y con un valor de radio de giro mínimo cercano a 4 cm, mayor preferible, se obtiene el mismo perfil. 18

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