3. media, mediana,_moda_y_otras_medidas

Media, mediana, moda
y otras medidas
de tendencia central

NOTACiÓN DE íNDICES
Denotemos por Xj (léase "X sub l') cualquiera de los N valores XI' X2 , X 3"'" XN que toma
una variableX. La letrajenXj , que puede valer 1,2,3, ... , N se llama subíndice. Es claro que
es posible emplear cualquier otra letra en vez dej; por ejemplo, i, k, p, q o s.

El símbolo I1=1 Xj denota la suma de todos los Xj desde j = 1 hasta j = N; por definición,
N
LX j = XI + X 2 + X 3 + ... + X N
j=1

Cuando no ocasione confusión, se denotará esa suma simplemente con Ix, IX o I J0.
j j
El símbolo I es la letra griega sigma mayúscula, que significa suma.
N
EJEMPLO 1 ?Xjlj = XI YI + X2Y2 + X3 Y3 + ... + XNYN
}=¡

N N
EJEMPLO 2 ¿aXj = aX¡ + aX2 + ... + aXN = a(X¡ + X2 + ... + XN = aLXj
)
~ . ~

donde a es una constante. Más simple: I aX = a Ix.

EJEMPLO 3 y
Si a, b c son constantes, entonces I(aX + bY - cZ) = a Ix + b Iy - e Iz (véase el problema 3.3).

PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de una conjunto de datos. Como tales valo-
res suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los pro-
medios se conocen como medidas de tendencia central.

,

La media aritmética ponderada. 59

Se definen varios tipos. siendo los más comunes la media aritmética. la mediana. la
moda. la media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas.
según los datos y el objetivo perseguido .

.·'.J..@$UUJiiUk$$)ii4 LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética. o simplemente media. de un conjunto de N números XI' X2 • X 3 ••••• X N
se denota por X(léase "X barra") y se define por

(1)

EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8. 3. 5.12 Y 10 es

X = 8 + 3 + 5 + 12 + 10 = 38 = 7.6
5 5
Si los números XI' X2..... X KocurrenJ¡.h... .• fK veces. respectivamente (es decir, con
frecuenciasJ¡.h •...• fK).la media aritmética es

(2)

donde N =Lf es lafrecuencia total (es decir. el número total de casos).
EJEMPLO 5 Si 5, 8. 6 Y2 ocurren con frecuencias 3. 2.4 Y 1, en ese orden. su media aritmética es

X = (3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2) = 15 + 16 + 24 + 2 = 5.7
3+2+4+1 10

LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces se asocia a los números XI' X2••••• XKciertosfactores de peso (o pesos) W¡. W 2••••• W K•
dependiendo de la influencia asignada a cada número. En tal caso.

x= _1....:.'1X--'-I_+_W.::.2X _+_.'_'_+_W.::K_X...::.
----"-2 k LWX
(3)
W¡ +w2 + ... +WK LW

se llama media aritmética ponderada con pesos J¡. h .... ./K' Obsérvese la similitud con la
ecuación (2). que puede considerarse una media aritmética ponderada con pesosJ¡,f2'" .,fK'

EJEMPLO 6 Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial y un estu-
diante obtiene una calificación de 85 en el examen final. y 70 Y90 en los dos parciales, la calificación
media es
X = (1)(70) + (1)(90) + (3)(85) = 415 = 83
1+1+3 5

60 CAPíTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números con respecto a su
media aritmética es cero.

EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 Y10 en relación con su media aritmética 7.6 son 8 -7.6,
3 -7.6, 5 -7.6, 12-7.6y 10-7.6, o sea, 0.4,--4.6,-2.6,4.4 Y2.4, con suma algebraica 0.4-4.6- 2.6
+ 4.4 + 2.4 =O.

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj con res-
pecto de un cierto número a es mínima si y sólo si a =X (véase el problema 4.27).
3. Si/¡ números tienen media m¡,A números tiene media ~, .. . ,fK números tienen media
mK , entonces la media de todos los números es
X =I¡m¡ +12 m2 + ... +IKmK (4)
/1 +fz+···+fK
es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problema 3.12).
4. Si A es una media aritmética supuesta o conjeturada (que puede ser cualquier número)
y si dj = Xj - A son las desviaciones de Xj respecto de A, las ecuaciones (1) y (2) se
convierten, respectivamente, en

(5)

(6)

donde N =¿ ~=¡ h =¿f. Observe que las fórmulas (5) y (6) se resumen en la ecuación
X =A + ¡¡ (véase el problema 3.18).

CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA
PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen
dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio
del intervalo. Las fórmulas (2) y (6) son válidas para tales datos agrupados y se interpretan
Xj como la marca de clase'h como su correspondiente frecuencia de clase, A como cualquier
marca de clase conjeturada o supuesta y dj = Xj - A como las desviaciones de ~ respecto de A.
Los cálculos con las fórmulas (2) y (6) se llaman métodos largos y métodos cortos,
respectivamente (véanse los problemas 3.15 y 3.20).
Si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño c, las desviaciones dj = Xj - A
pueden expresarse como cUj ' donde uj serían números enteros positivos, negativos o cero, es
decir, O, ±1, ±2, ±3, ... , Yla fórmula (6) se convierte en

(7)

La moda. 61

que es equivalente a la ecuación X= A + cü (véase el problema 3.21). Esto se conoce como
método de codificación para calcular la media. Es un método corto y debe usarse siempre
para datos agrupados con intervalos de clase de tamaños iguales (véanse los problemas 3.22
y 3.23). Véase que en el método de codificación los valores de la variable X se transforman
en los valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu.

,LA MEDIANA
La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es el valor central o la
media de los dos valores centrales.

EJEMPLO 8 El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 Y 10 tiene mediana 6.

EJEMPLO 9 El conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 Y 18 tiene mediana!C9 + 11) = 10.

Para datos agrupados, la mediana, obtenida por interpolación, está dada por

-- (L:!)¡ )
N
Mediana = L¡ + 2 c (8)
( fmediana

donde: L¡ = frontera inferior de la clase de la mediana (es decir, la clase que contiene a
la mediana)
N= número de datos (es decir, la frecuencia total)
(2-/)¡ = suma de las frecuencias de las clases inferiores a la clase de la mediana
fmediana = frecuencia de la clase de la mediana
c= tamaño del intervalo de clase de la mediana

Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa), que corresponde a la recta
vertical que divide un histograma en dos partes de área igual. Ese valor de X suele denotarse
por X.

r
~MODA

La moda de una conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir,
el valor más frecuente. La moda puede no existir e incluso no ser única.

EJEMPLO 10 El conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9,10,10, 11, 12 Y 18 tiene moda 9.

EJEMPLO 11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 Y 16 carece de moda.

EJEMPLO 12 El conjunto 2, 3,4,4,4,5,5,7,7,7 Y9 cuenta con dos modas, 4 y 7, Yse le conoce como bimodal.

La distribución con una sola moda se llama unimodal.
En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias, para
ajustar los datos, la moda será(n) el(los) valorees) de X correspondiente(s) al(os) máximo(s)
de la curva. Ese valor de X se denota por X.
La moda llega a obtenerse de una distribución de frecuencias o de un histograma a
partir de la fórmula:

Moda = L¡ + C~¡~¡~Jc (9)


donde L¡ = frontera inferior de la clase modal (clase que contiene a la moda)
~¡ = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase inferior inme-
diata.
~2 = diferencia de la frecuencia modal con la frecuencia de la clase superior inme-
diata.
c = tamaño del intervalo de la clase modal.

;j(uu;q;:;¿;MPAtJlJi)Sb14UJQlt$§(i RELACiÓN EMPíRICA ENTRE MEDIA,
MEDIANA Y MODA
Para curvas de frecuencia unimodales, que sean moderamente sesgadas o asimétricas, se
tiene la siguiente relación empírica:
Media - moda = 3(media - mediana) (JO)
Las figuras 3-1 y ~-2 indican las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
para curvas de frecuencia sesgadas a la derecha y a la izquierda, respectivamente. Para
curvas simétricas, los valores de la media, la mediana y la moda coinciden.

FIGURA 3-1 FIGURA 3-2

LA MEDIA GEOMÉTRICA G
La media geométrica G de un conjunto de N números positivos X¡, X 2 , X 3, ••• , X N es la raíz N-
ésima del producto de esos números:

(11)

EJEMPLO 13 La medi'á'g~bmétrica de los números 2, 4 Y8 es G = "V(2)(4)(8) = "V64 = 4.

Puede calcular G por medio de logaritmos (véase el problema 3.35) o con una calcu-
ladora. Para la media geométrica de datos agrupados, véanse los problemas 3.36 y 3.9 I. ~

_ LA MEDIA ARMÓNICA H
La media armónica H de un conjunto de números XI' X 2 , X 3, ••• , X N es el recíproco de la
media aritmética de los recíprocos de los números:
1 N
H=----=-
1 l N 1
-¿-
N Xi
i=l
LX (12)

Cuartiles, deciles y percentiles. 63

En la práctica puede ser más fácil recordar que

(13)

EJEMPLO 14 La media armónica de los números 2, 4 Y8 es

(Para la media armónica de datos agrupados, véanse los problemas 3.99 y 3.100.)

Me
(1%.444#$$44$*$# $X
RELACiÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA,
GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA
La media geométrica de un conjunto de números positivos XI' X 2 , ••• , XNes menor o igual a
su media aritmética, pero es mayor o igual a su media armónica. Es decir,
H5G5X (14)
Los signos de igualdad se incluyen s610 si todos los números XI' X2 , ••• , XN son idénticos.

EJEMPLO 15 El conjunto 2, 4, 8 tiene media aritmética de 4.67, media geométrica de 4 y media armónica de 3.43.

LA MEDI~ CUADRÁTICA (MC)
La media cuadrática (MC) de un conjunto de números XI' X 2 , ••• , X N algunas veces se simbo-
liza por ~ y se define como

(15)

Este tipo de promedio sé utiliza con frecuencia en aplicaciones físicas.

EJEMPLO 16 La Me del conjunto 1,3,4,5 Y7 es
2 2 2
_12_+_3__+_4_2_+_5__+_7_ = J20 = 4.47
5

p
CUARTILES, DECILES y PERCENTILES
Si un conjunto de datos se ordena de acuerdo consu magnitud, el valor central (o la media
aritmética de los dos valores centrales) que divide al conjunto en dos partes iguales es la
mediana. Extendiendo esta idea, es posible considerar los valores que dividen al conjunto
en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados por QI' Q2 y Q3' se denominan como
primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente, donde Q2 es igual a la mediana.
De forma similar, los valores que dividen los datos en 10 partes iguales son llamados
deciles; los cuales se denotan por DI' D 2 , ••• , D 9 , mientras que los valores que dividen a los
datos en 100 partes iguales se conocen como percentiles y se indican con PI' P2 ,·.·, P 99 • El


quinto decil y el 500. percentil coinciden con la mediana. Los percentiles 250. y 750. co-
rresponden al primero y tercer cuartiles, respectivamente.
De manera conjunta, cuartiles, deciles y percentiles, lo mismo que otros valores obteni-
dos por medio de subdivisiones iguales de los datos, son denominados cuantiles. Para el
cálculo de éstos, a partir de datos agrupados, véanse los problemas 3.44 al 3.46.

Problemas resueltos
Notación de sumatoria
3.1 Escriba los términos explícitos de cada una de las siguientes sumas indicadas:
6 N 3
a) LXj e) La e) L(Xj - a)
j=1 }=I j=1
4 5
b) L(Yj - 3)2 d) LfkXk
j=¡ k=¡
SOLUCiÓN

a) XI + X2 + X3 + X4 + Xs + X6
b) (Y I - W + (Y2 - 3f + (Y3 - 3)2 + (Y4 - 3)2
e) a + a + a + ... + a = Na
d) flX I + hX2 + jjX3+ f~4 + fsXs
~ ~-~+~-~+~-~=~+~+~-~

3.2 Exprese en notación de sumatoria cada uno de los siguientes términos:
a) Xi + X~ + X~ + ... + Xro
b) (XI + Y¡) + (X2 + Y2) + ... + (Xg + Ys)
e) f¡Xi + AX~ + ... + f2oX~O
d) a¡b¡ + a 2b2 + a 3b3 + ... + a,)JN
e) J¡X¡Y¡ + AX2 Y2 + f3X3Y3+ f4X4Y4
SOLUCiÓN
lO 20 4
a) LX] e) LfjX] e) L fjX¡l
j=1 j=1 j='
g N
b) L(Xj + Y)) d) Lajbj
j=' j='

3.3 Pruebe que If=¡(aXj + blj - cZj) =aIf=¡ Xj + bIf=¡ lj - cIf=1 Zj' donde a, b y e
son cualesquiera constantes.
SOLUCiÓN
N
L (aXj + bY¡ - cZj) = (aX, + bY, - cZ¡) + (aX2 + bY2 - CZ2) + ... + (aXN + bYN - CZN)
}=,
= (aXI + aX2 + ... + aXN) + (bY¡ + bY2 + ... + bYN )- (CZI + CZ2 + ... + CZN)
=a(X, +X2 +···+XN)+b(Y¡ + Y 2 +···+ YN)-c(Z¡ +Z2+,··+ZN)
N N N
= aLXj +b L Yj - CLZj
}=, j=1 j=1
o, más breve, I(aX + bY - cZ) = aIX + bIY - cIz.

Problemas resueltos. 65

3.4 Dos variables, X y Y, toman los valores XI = 2, X 2 = - 5, X 3 = 4, X 4 = -8 Y YI = - 3,
Y2 = -8, Y3 = 10, Y4 = 6, respectivamente. Calcule a) b) Ix, Iy, Ixy, Ixz,
e) d)
e) Irz,f) (Ix)(IY), Ixrz y I(x
g) h) + Y)(X - Y). ,

SOLUCiÓN

Obsérvese que en cada caso el subíndice j de X y Y ha sido omitido y que ¿ es entendida
como ¿1=1' Así, por ejemplo, ¿X es la abreviatura de ¿1=1 Xj .
a) ¿X = (2) + (- 5) + (4) + (-8) = 2 - 5 + 4 - 8 = -7
b) ¿Y=(-3)+(-8)+(10)+(6)=-3 - 8+ 10+6=5
c) ¿XY= (2)(-3) + (-5)(-8) + (4)(10) + (-8)(6) = -6 +40+40 -48 =26
d) ¿X2= (2)2 + (-5)2 + (4)2 + (-8f=4 + 25 + 16 + 64= 109
e) ¿YZ = (-3)2 + (-8)2 + (lW + (6)2 = 9 + 64 + 100 + 36 = 209
f) (¿X)(¿Y)=( -7)(5)= - 35, utilizando los incisos a) yb). Véase que (¿X) (¿Y)#¿XY.
g) Ixyz = (2)( - W + (- 5)( -8)2 + (4)(10)2 + (-8)(6)2 = -190
h) ¿(X + Y)(X - Y) = ¿(X2 - YZ) = ¿X2 - ¿y2 = 109 -209 = -100, usando los incisos
d) ye).

3.5 Si ¿~IXj = -4 Y ¿~=IXJ = 10, calcule a) ¿~I (2Xj + 3), b) ¿~=IXlXj- 1) y
e) I~=I (~- 5)2.

SOLUCiÓN
6 6 6 6
a) ~)2X) + 3) = ¿2X) + ¿ 3 = 2 ¿X) + (6)(3) = 2(-4) + 18 = 10
j=1 j=1 j=1 j=1
6 6 6 6
b) ¿X)(X) -1) = ¿(X)2 - X) = ¿X)2 - ¿X) = 10 - (-4) = 14
j=1 j=1 j=1 j=1
6 6 6 6
e) ¿(X) - 5)2 = ¿(Xl - 1Ox¡ + 25) = ¿ x¡2 - 10 ¿ X¡ + 25(6) = 10 - 10(-4) + 25(6) = 200
j=1 j=1 j=1 j=1

Si así se desea, se puede omitir el subíndice j y utilizar ¿ en lugar de ¿J=I> siempre y
cuando se comprendan bien estas abreviaturas.

La media aritmética
3.6 Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron: 84,91,72,68,87 Y
78. Encuentre la media aritmética.

SOLUCiÓN

x = LX = 84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 480 = 80
N 6 6

Con frecuencia el término promedio se utiliza como sinónimo de media aritmética.
Sin embargo, estrictamente hablando, esto es incorrecto, dado que existen otros prome-
dios además de la media aritmética.
3.7 Un científico registró diez mediciones del diámetro de un cilindro: 3.88, 4.09,
3.92, 3.97, 4.02, 3.95, ~:.Q1.. 3.92, }~~.y_4.:º§_~,~p.tí'E~t.!:.()§..c~!P). Determine su
media aritmética. ¡ UN;",:.::;::',','. :;, ','ro': ¡


SOLUCiÓN

-_¿ X _ 3.88 + 4.09 ~ 3.92 + 3.97 + 4.02 + 3.95 + 4.03 + 3.92 + 3.98 + 4.06 _ 39.82 _ 9
N -
X - 10 - --¡-¡) - 3. 8cm

3.8 El siguiente resultado con Minitab muestra el tiempo por semana que pasaron en
línea 30 usuarios de Internet, y también la media de los 30 tiempos. ¿Diría usted
que este promedio es típico de los 30 tiempos?

MTB > print cl
Data Display
time
3 4 4 5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 7 7 7 7 7 8 8
9 10 10 10 10 10 10 12 55 60

MTB > mean el
Column Mean
Mean of time = 10.400

SOLUCiÓN

La media de lOA horas no es típica o representativa de los tiempos. Obsérvese que 21 de
los 30 tiempos son de un solo dígito, pero la media es de 1004 horas. Una gran desventaja
de la media es que se ve fuertemente afectada por valores extremos.
3.9 Encuentre la media aritmética de los números 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2,8,6,5,4,8,3,4,5,
4,8,2,5 Y4.

SOLUCiÓN

Primer método

x= EX = 5+3+6+5+4+5+2+8+6+5+4+8+3+4+5+4+8+2+5+4 = 96 =48
N 20 20 .

Segundo método
Hay seis 5, dos 3, dos 6, cinco 4, dos 2 y tres 8. Por lo tanto,

x = EfX = EfX = (6)(5) + (2)(3) + (2)(6) + (5)(4) + (2)(2) + (3)(8) = 96 = 4.8
El N 6+2+2+5+2+3 20

3.10 De un total de 100 números, 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 30 eran seises, y los
restantes eran sietes. Obtenga la media aritmética de los números.

SOLUCiÓN

x = EfX = EfX = (20)(4) + (40)(5) + (30)(6) + (10)(7) = 530 = 5.30
El N 100 100

3.11 Las calificaciones finales de un estudiante en matemáticas, física, inglés e higiene
son, en ese orden, 82, 86, 90 Y 70. Si los créditos respectivos recibidos por estos
cursos son 3, 5, 3 Y 1, determine un promedio de calificaciones apropiado.


SOLUCiÓN

Se utiliza una media aritmética ponderada, con pesos asociados a cada calificación consi-
derada, como el número de créditos recibidos. Así, pues,

x = ¿wX = (3)(82) + (5)(86) + (3)(90) + (1)(70) = 85
¿I" 3+5+3+1

3.12 Una empresa tiene 80 empleados, 60 ganan $10.00 por hora y 20, $13.00 por hora.
a) Determine la ganancia media por hora.
b) ¿Sería igual la respuesta en a) si los 60 empleados tuvieron un salario medio
de $10.00 por hora? Compruebe su respuesta.
e) ¿Considera que el salario medio por hora es representativo?

SOLUCiÓN

a)
x = ¿.IX = i 60)($1O.00) + (20)($13.00) = $10 75
N 60+ 20 .

b) Sí, el resultado es el mismo. Para probarlo, supóngase quell números tienen media mi
y que.12 números tienen media m2. Debe probar que la media de todos los números es

X =fi m ¡ +12 m 2
fi +/2
Considere que la suma de los II números sea MI y la suma de 10s.12 números sea
M 2 • Entonces, de acuerdo con la definición de la media aritmética, el resultado es:

y

o MI = 11 m I y M 2 = .12m2' Siendo que los (f¡ +.12) números se suman (MI + M 2),
la media aritmética de todos los números es
X _ MI + M 2 _/lml +12 m2
- I¡+fi - /1+12
como se pidió. El resultado se generaliza fácilmente.
e) Se puede decir que $10.75 es un salario por hora "representativo""en el sentido de
que la mayoría de los empleados ganan $10.00, que no se aleja mucho de $10,75 por
hora. Es necesario recordar que siempre que se resumen datos numéricos en un solo
número (como sucede en un promedio), es posible que se cometa algún error. Sin
embargo, el resultado no es tan engañoso como el del problema 3.8.
En realidad, para asegurarse, se deben dar ciertos estimados de la "dispersión" o
"variación" de los datos respecto de la media (u otro promedio). Esto se conoce como
dispersión de los datos. En el capítulo 4 se presentan diversas medidas de dispersión,

3.13 Cuatro grupos de estudiantes, consistentes de 15, 20, 10 Y 18 individuos, reporta-
ron pesos medios de 162, 148, 153 Y 140 libras (lb), respectivamente. Encuentre el
peso medio de todos los estudiantes.

SOLUCiÓN

x = UX = (15)(162) + (20)(148) + (10)(153) + (18)(140) = 150 lb
U 15 + 20 + 10 + 18

3.14 Si los ingresos medios anuales de trabajadores agrícolas y no agrícolas son de
$25 000 Y $35 000, respectivamente. ¿El ingreso medio anual de ambos grupos
sería de $30 000?


SOLUCIÓN
Sería de $30 000 sólo si el número de trabajadores agrícolas y no agrícolas fuera el
mismo. Para determinar la media verdadera del ingreso anual, se tendría que conocer
el número relativo de trabajadores en cada grupo. Suponga que 10% de todos los trabaja-
dores son agrícolas, entonces la media sería (0.10)(25 000) + (0.90)(35 000) = $34 000.
Si hubiera el mismo número de ambos tipos de trabajadores, entonces la media sería
(0.50)(25 000) + (0.50)(35 000) = $30 000.

3.15 Utilice la distribución de frecuencias de estaturas de la tabla 3-1 para encontrar la
estatura media de los 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ.

SOLUCIÓN
En la tabla 3-1 se indica la forma de resolverlo. Opsérvese que todos los estudiantes con
estaturas de 60 a 62 pulgadas (pulg), de 63 a 65 pulgadas, etcétera, se consideran con esta-
turas de 61 pulgadas, 64 pulgadas, etcétera. Entonces, el problema se reduce a encontrar la
estatura media de 100 estudiantes donde 5 miden 61 pulgadas, 18 miden 64, etcétera.
Los cálculos necesarios suelen resultar tediosos, especialmente en casos en que los
números son grandes y en los que existen muchas clases. Hay técnicas breves que reducen
el trabajo en tales situaciones; por ejemplo, véanse los problemas 3.20 y 3.22.

Tabla 3-1
Estatura (pulg) Marca de clase (X) Frecuencia (j) fX

60-62 61 5 305
63-65 64 18 I 152
66-68 67 42 2814
69-71 70 27 1890
72-74 73 8 584
N=¿f= 100 N=¿f=6745

- ¿fX ¿fX 6745
X =- - =- - =- - =67.45 pulg
¿f N lOO

Propiedade~ de la media aritmética
3.16 Pruebe que la suma de las desviaciones de Xl' X2 , ••• , XN , respecto de su media, es
igual a cero.

SOLUCIÓN
Seand¡ =X¡-x, d2 =X2 -X, ... , dN=XN-Xlas desviaciones deX¡, X2, ... , XN a partir de su
,
media X. Entonces
Suma de las desviaciones = ¿di = ¿(Xi -X) = ¿Xi - NX

=LXj-N(LNXj ) =LJ0-LXj =O
donde se ha usado ¿ en lugar de ¿~=¡. Se hubiera podido omitir el subíndice j en Xi' dado
que queda Xi sobreentendido.

3.17 Si Z¡ =X¡ + Y¡. ~ = X2 + Y2 , ... , ZN= XN+ YN, pruebe que Z=X +f.

SOLUCIÓN

Por definición,
- LX
X=-- - L
Y=_·-
y - LZ
Z=-
N N N


Luego: z = E Z = E (X + Y) = E X + E y = E X +E y =X+Y
N N N N N
donde los subíndicesj de X, Yy Z se han omitido y donde I significa I1=l.
3.18 a) Si N números Xl' X2 , ... , XN tienen desviaciones respecto de cualquier número
A, dadas por d l = Xl - A, d2 = X2 - A, .. . , dN = X N - A, respectivamente, pruebe que
N
¿~
X = A + j=1 =A +E d
N N
b) En caso de que Xl' X2 , • •• , XK tengan, en ese orden, las frecuencias J¡, h" ... ,A,
y d l = Xl - A, ... , dK = X k - A, demuestre que el resultado del inciso a) es
sustituido por

K
donde ¿Jj=Ef=N
j=1

SOLUCiÓN

a) Primer método
Dado que dj = Xj - A YXj = A + dj , por ello,

- EXj E(A+d¡) EA+Edj NA+Edj Edj
X=--=
N N
= N
= N
=A+--
N
donde se utiliza I en lugar de I1=l por brevedad.
Segundo método
Se tiene d =X - A o X =A + d, omitiendo los subíndices en d y X. Así, por el
problema 3.17,

dado que la media de varias constantes todas iguales a A es A.
K
LijXj
X_ }=1 _ EijXj _ Eij(A + di) _ E Aij + Eijd¡ _ A Eij + Eijd¡
b) -~ -N- N - N - N
0ij
j=1

= AN + " j,·d·
6 E j,·d·
J~=A+ __ " Id
J_~=A+_6_
N N N
Obsérvese que formalmente el resultado se obtiene del inciso a) sustituyendo dj por
jj dj , y sumando desde j = 1 hasta K, en lugar de hacerlo desde j = 1 hasta N. El
a,
resultado es equivalente a X=A + donde =C2jd)/N. a
Cálculo de la media aritmética
para datos agrupados
3.19 Utilice el método del problema 3.18a) para encontrar la media aritmética de los
números 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 Y 10, eligiendo como la "media supuesta" A los
valores a) 9 y b) 20.


SOLUCiÓN

a) Las desviaciones de los números dados respecto de 9 son -4, -1,2, 0,3, - 3,5 Y 1.
La suma de las desviaciones es Id =-4 -1 + 2 + O + 3 - 3 + 5 + 1 =3. Por lo tanto,
- ¿d 3
X = A +-¡:¡-= 9+
8= 9.375

b) Las desviaciones de los números dados respecto de 20 son -15, -12, -9, -11, -8,
-14, -6 Y -lO, lo mismo que Id = -85. Por lo tanto,

x = A + ¿Nd = 20 + (-85) = 9.375
8
3.20 Utilice el método del problema 3.18b) para encontrar la media aritmética de las es-
taturas de 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ (véase el problema 3.15).

SOLUCiÓN

El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-2. Aquí se consideró la marca de
clase 67 (con la mayor frecuencia) como la media supuesta A, aunque es posible utilizar
cualquier marca de clase para A. Obsérvese que los cálculos son más sencillos que los del
problema 3.15. Para abreviar el trabajo aún más, se procederá como en el problema 3.22,
donde se usa el hecho de que todas las desviaciones (columna 2 de tabla 3-2) son múltiplos
enteros del tamaño del intervalo de clase.

Tabla 3-2
Desviación
Marca de clase (X) d=X -A Frecuencia if) Id

61 -6 5 -30
64 -3 18 -54
A ---> 67 O 42 O
70 3 27 81
73 6 8 48

N=¿1=100 ¿ Id =45

- ¿Id 45
X =A + ---¡¡- = 67 + 100 = 67.45 pulg

3.21 Sea que dj = Xj - A represente las desviaciones de cualquier marca de clase Xi' en
una distribución de frecuencias respecto de una marca de clase dada A. Pruebe que
si todos los intervalos de clase son del mismo tamaño c, entonces a) todas las
c
desviaciones son múltiplos de (es decir, j d =cU
j ' donde j u=
0, ±1, ±2, ... ) Y b) la
media aritmética puede calcularse a partir de la fórmula

X=A+ (LjU)c
SOLUCiÓN

a) El resultado se ilustra en la tabla 3-2 del problema 3.20, donde se observa que todas las
desviaciones en la columna 2 son múltiplos del tamaño del intervalo de clase c = 3 pulg.
Para ver que el resultado es verdadero casi siempre, nótese que si XI, X2 , Xl, ...
son marcas de clase sucesivas, su diferencia común será, para este caso, igual a c, de
manera que X2 = XI + c, X3 = XI + 2c y, en general, Xj = XI + (j - l)c. Entonces,
cualquier par de marcas de clase, por ejemplo, Xp y Xq, diferirán en
.Xp-Xq = [XI + (p-l)c] - [XI + (q-l)c] = (p - q)c,
que es un múltiplo de c.


b) Por el inciso a), las desviaciones de todas las marcas de clase, a partir de cualquiera de
ellas, son múltiplos de c (es decir, d¡ =cu¡). Entonces, utilizando el problema 3.18b):

Nótese que esto es equivalente al resultado X = A + cit, que es posible obtener a
partir de X=A + d, colocando d = cu y observando que d = cit (véase el problema 3.18).

3.22 Utilice el resultado del problema 3.21b) para encontrar la estatura media de 100
estudiantes hombres de la universidad XYZ (véase el problema 3.20).

SOLUCiÓN
El procedimiento puede ordenarse como en la tabla 3-3. El método se denomina método
de compilación y debe utilizarse siempre que sea posible.

Tabla 3-3
x u f fu
61 -2 5 -10
64 -1 18 -18
A -1-> 67 O 42 O
70 1 27 27
73 2 8 16

N= 100 'Lfu= 15

x = A + ('Lfu)c = 67 + C~0)(3) = 67.45 in

3.23 Calcule el salario semanal medio de los 65 empleados de la empresa P&R, a partir
de la distribución de frecuencias de la tabla 2-5, usando a) el método largo y b) el
método de codificación.

SOLUCiÓN
Las tablas 3-4 y 3-5 contienen las soluciones para a) y b), respectivamente.

Tabla 3-4 Tabla 3-5

x f fX x u f fu
$255.00 8 $2040.00 $255.00 -2 8 -16
265.00 10 2650.00 265.00 -1 10 -10
275.00 16 4400.00 A -f-----> 275.00 O 16 O
285.00 14 3990.00 285.00 1 14 14
295.00 10 2950.00 295.00 2 10 20
305.00 5 1525.00 305.00 3 5 15
315.00 2 630.00 315.00 4 2 8

N=65 'L fX = $18 185.00 N=65 'Lfu= 31


Puede suponerse que se han introducido errores en estas tablas, dado que las marcas
de clase en realidad son $254.995, $264.995, etcétera, en lugar de $255.00, $265.00 ... Si
se utilizan las marcas de clase verdaderas en la tabla 3-4, entonces la marca de clase
resulta ser $279.76 en vez de $279.77, cuya diferencia es insignificante.
_ ¿IX
X =- - =
N '
$18185.00
65
$279.77 x = A (EfU) e = $275.00 + !~ ($10.00) = $279.77
+

3.24 Utilizando la tabla 2-9d), encuentre el salario medio de los 70 empleados de la
empresa P&R.

SOLUCiÓN
En este caso, los intervalos de clase no son del mismo tamaño, por lo que habrá que
utilizar el método largo, como se indica en la tabla 3-6.

Tabla 3-6
x f IX
$255.00 8 $2040.00
265.00 10 2650.00
275.00 16 4400.00 -
285.00 15 4275.00
295.00 10 2950.00
310.00 8 2480.00
350.00 3 1050.00

N=70 EIX $19845.00

x= ¿IX =$19 845.00 =$283.50
N 70

La mediana
3.25 El siguiente resultado de Minitab muestra el tiempo que 30 usuarios de Internet
pasaron realizando búsquedas en línea, así como la mediana de los 30 tiempos.
Verifique la mediana. ¿Considera que este promedio es representativo de los 30
tiempos? Compare sus resultados con los del problema 3.8.
MTB > print el
Data Display
time
3 4 4 5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 7 7 7 7 7 8 8
9 10 10 10 10 10 10 12 55 60
MTB > median el
Column Median
Median of time = 7 . 0000

SOLUCiÓN
Obsérvese que los dos valores intermedios son 7 y que la media de los dos valores inter-
medios es 7. En el problema 3.8la media fue de lOA horas. La mediana es más represen-
tativa de los tiempos que la media.


3.26 Se registró el número de transacciones de ATM por día en 15 lugares de una gran
ciudad. Los datos fueron: 35,49,225,50,30,65,40,55,52, 76,48,325,47,32 Y
60. Encuentre a) la mediana de las transacciones y b) la media de las transacciones.

SOLUCiÓN

a) Los datos ordenados son: 30,32,35,40,47,48,49,50,52,55,60,65,76,225 Y325.
Debido a que el número de datos es impar, sólo existe un valor intermedio, 50, que es
la mediana.
b) La suma de los 15 valores es 1 189. La media es 1 189/15 = 79.267.
Obsérvese que la mediana no se ve afectada por los dos valores extremos 225 y
325, mientras que la media sí. En este caso, la mediana es un mejor indicador del
promedio del número de transacciones diarias de ATM.

3.27 Si a) 85 y b) 150 números se ordenan, ¿cómo calcularía la mediana de dichos
números?

SOLUCiÓN

a) Dado que son 85 datos, que es un número impar, sólo existe un valor intermedio con
42 números por debajo y 42 por encima. Por lo tanto, la mediana es el número 43.
b) Puesto que son 150 datos, un número par, hay dos valores intermedios con 74 núme-
ros por debajo y 75 por encima de ellos. Los dos valores intermedios son los números
750. y 760., Y su media aritmética es la mediana.

3.28 A partir del problema 2.8, encuentre la mediana de los pesos de los 40 estudiantes
de la universidad estatal; utilizando a) la distribución de frecuencias de la tabla
2-7 (reproducida aquí como tabla 3-7), y b) los datos originales.

SOLUCiÓN

a) Primer método (por interpolación)
Se supone que los pesos en la distribución de frecuencias de la tabla 3-7 se distribu-
yen de manera continua. En tal caso, la mediana es aquel peso que deja por encima a
la mitad de la frecuencia total (40/2 = 20) Y por debajo a la otra mitad.
Tabla 3-7
Peso (lb) Frecuencia

118-126 3
127-135 5
136-144 9
) :'
145-153 12
154-162 5
163-171 4
172-180 2

Tota140

La suma de las primeras tres frecuencias de clase es 3 + 5 + 9 = 17. Por lo tanto,
para llegar al valor deseado, 20, se requieren tres más de los 12 casos de la cuarta
clase. Dado que el cuarto intervalo de clase, 145-153, en realidad corresponde a los
pesos de 144.5 a 153.5, la mediana debe estar a 3/12 de distancia entre 144.5 y 153.5;
es decir, la mediana es

3 3
144.5 + 12 (153.5 - 144.5) = 144.5 + 12 (9) = 146.8 lb


Segundo método (utilizando la fórmula)
Debido a que la suma de las primeras tres y las primeras cuatro frecuencias de clase
son 3 + 5 + 9 = 17 Y3 + 5 + 9 + 12 = 29, respectivamente, queda claro que la mediana se
encuentra en la cuarta clase, la cual es, por lo tanto, la clase de la mediana. Entonces:

L¡ = frontera inferior de la clase de la mediana = 144.5
N = número de datos =40
C¿f)¡ = suma de todas las clases inferiores a la clase de la mediana = 3 + 5 + 9 = 17
¡mediana = frecuencia de la clase de la mediana = 12
e = tamaño del intervalo de clase de la mediana = 9

por 10 tanto,

Mediana = L¡ + (N/2¡ eL medIana
f)¡)c = 144.5 + (40/2 - 17)<9) = 146.8 lb
12

b) Los pesos originales ordenados son
119,125,126,128,132,135,135,135,136,138,138,140, 140, 142, 142, 144, 144,
145,145,146,146,147,147,148,149,150,150,152,153, 154, 156, 157, 158, 161,
163,164,165,168,173,176
La mediana es la media aritmética de los pesos 20 y 21, en ese orden, y es igual a
146 lb.

3.29 Muestre cómo se puede obtener la mediana del peso en el problema 3.28, a partir
de a) un histograma y b) una ojiva de porcentajes.

SOLUCiÓN

a) La figura 3-3a) es el histograma correspondiente a los pesos del problema 3.28. La
mediana es la abscisa correspondiente a la línea LM, que divide el histograma en dos
áreas iguales. Ya que en un histograma el área corresponde a la frecuencia, el área a
la derecha y a la izquierda de LM representan, cada una, la mitad de la frecuencia
total o 20. Así, las áreas AMLD y MBEL tienen que ver con las frecuencias de 3 y 9.
Entonces AM = -fiAB = -&(9) = 2.25, en tanto que la mediana es 144.5 + 2.25 = 146.75
o 146.8 lb, redondeando a la décima de libra. El valor también puede leerse de mane-
ra aproximada en la gráfica.
FIGURA 3-3

--
~100
ca .
"C
ca
'5 80
15 E
:::J
ca g /50%
Ü 60
t: ~
~10
u
¡
! ~ 40
u. ca
5
'u
t:
9
~ 20 I

4
2 ~
u.
:/Mediana

122 131 140 149 158 167 176 117.5 126.5 135.5 144.5 153.5 162.5 171.5 180.5
Peso (libras) Peso (libras)
a) b)


b) La figura 3-3b) forma el polígono de frecuencias relativas acumuladas (u ojiva de
porcentajes) correspondiente a los pesos del problema 3.28. La mediana es la abscisa
del punto P en esta ojiva, cuya ordenada es 50%. Para calcular su valor, véase de los
triángulos semejantes PQR y RST que

RQ PQ RQ 50% - 42.5% 9
RS ST
o
9 72.5% - 42.5% 4
así que RQ = 4= 2.25

Por lo tanto.: Mediana = 144.5 + RQ = 144.5 + 2.25 = 146.75 lb
o 146.8 lb, redondeando a la décima de libra. Este valor también puede leerse, de
manera aproximada, directamente en la gráfica.

3.30 Encuentre la mediana del sueldo de los 65 empleados de la empresa P&R (véase el
problema 2.3).

SOLUCiÓN

Aquí N = 65 Y NI2 = 32.5. Dado que la suma de las primeras dos y de las primeras tres
frecuencias de clase son 8 + 10 = 18 Y 8 + 10 + 16 =34, respectivamente, la clase de la
mediana es la tercera clase. Utilizando la fórmula:

Mediana = LI + (N /2 - (L, /)1) e = $269.995 + (32.5l~ 18) ($10.00) = $279.06
fmedlana

La moda
3.31 Encuentre media, mediana y moda de los conjuntos a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 Y b)
51.6,48.7,50.3,49.5,48.9.

SOLUCiÓN

a) Los números ordenados son 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8 y 9.
Media = fa (2 + 2. + 3 + 5- + 5- + 5 + 6 + 6 + 8 +~) =5.1
Mediana = media aritmética de los dos números centrales =!C5 + 5) = 5
Moda = número que aparece con mayor frecuencia = 5
b) Los núme~os ordenados son 48.7, 48.9, 49.5, 50.3 y 51.6.
Media = !(48.7:¡' 48:9 + 495 + 50.3 + 51.6) = 49.8
Mediana =número central =49.5
Moda = número más frecuente (aquí no existe)

3.32 Desarrolle una fórmula para determinar la moda de datos presentados en una dis-
tribución de frecuencias.

SOLUCiÓN

Suponga que la figura 3-4 representa tres rectángulos del histograma de la distribución de
frecuencias, donde el rectángulo central corresponde a la clase modal. Considérese tam-
bién que los intervalos de clase son del mismo tamaño.
Defina la moda como la abscisa del punto de intersección P de las líneas QS y RT
construidas.
Sean X = LI YX = VI las fronteras inferior y superior de la clase modal, así como Al
y A2 las diferencias de la frecuencia de clase modal con las frecuencias de clase, a la
derecha y a la izquierda de la clase modal.
A partir de triángulos PQR y PST semejantes, el resultado es:

EP PF X-L¡ V¡-X
o -~=~
RQ ST


.. .. i
.".:p
R S

~ ....--,.... ¡
FIGURA 3-4
P2
-.
); F
P1
- .
1 -- T
Q
~
.'

•
X=L~~I
Moda-X
'X=U1

<i2 X - <i2L¡ = <i¡ U¡- <i¡X

o
i = ~] u] + ~2L]
~] +~2

Debido a que U¡ = L¡ + e, donde e es el tamaño del intervalo de clase, esto se convierte en

i=~](L]+C)+~2L]=(~]+~2)L]+~]C=L]+(
~] +~2 ~] +~2
~]
~] +~2
)c
El resultado tiene la siguiente interesante interpretación: Si se traza una parábola que
pase por los tres puntos medios de los techos de los rectángulos de la figura 3-4, la abscisa
del máximo de esta parábola será igual a la moda que se obtuvo antes.

3.33 Calcule el salario modal de los 65 empleados de la empresa P&R (véase el proble-
ma 3.23) utilizando la fórmula desarrollada en el problema 3.32.

SOLUCiÓN

Aquí L¡ = $269.995, <i¡ = 16 - 10 = 6, <i 2 = 16 -14 = 2, Y e =$10.00. Por tanto:

Moda = L¡ + ( ~] )c = $269.995 + (_6_) ($10.00) = $277.50
~] +~2 2+6

Relación empírica entre media, mediana y moda
3.34 a) Use la fórmula empírica media - moda = 3(media - mediana) para calcular el
salario modal de los 65 empleados de la empresa P&R.
b) Compare su resultado con la moda obtenida en el problema 3.33.

SOLUCiÓN

a) En los problemas 3.23 y 3.30 se obtuvo una media = $279.77 y una mediana = $279.06.
Por ello,
Moda =media - 3(media - mediana) =$279.77 - 3($279.77 - $279.06) = $277.64
b) En el problema 3.33 se obtuvo un salario modal de $277.50, por lo tanto, hay una
buena concordancia con el resultado empírico en este caso.

La media geométrica
3.35 Encuentre a) la media geométrica y b) la media aritmética de los números 3, 5, 6.
6,7, 10 Y 12. Suponga que los números son exactos.


SOLUCiÓN

a) Media geométrica = G = "0/(3)(5)(6)(6)(7)(10)(12) = "0/453600. Usando logarit-
mos comunes, lag G =Hog 453600 = ~(5.6567) = 0.8081, entonces, G = 6.43 (re-
dondeado a la centésima más cercana). Alternativamente puede utilizarse una calcu-
ladora.
Otro método

lag G = HIog 3 + lag 5 + lag 6 + lag 6 + lag 7 + lag 10 + lag 12)
= H0.4771 +0.6990+0.7782+0.7782+0.8451 + 1.0000+ 1.0792)
= 0.8081
Entonces G = 6.43
b) Media aritmética = X= H3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 10 + 12) = 7. Esto ilustra el hecho de que
la media geométrica de un conjunto de números positivos distintos es menor que la
media aritmética.

3.36 Los números XI' X2 , ••• , Xx ocurren con frecuenciasf..,f2"",fx, dondef.. + h + ...
+ Ix = N es la frecuencia total.
a) Encuentre la media geométrica G.
b) Obtenga una expresión para log G.
e) ¿De qué manera se pueden utilizar los resultados para encontrar la media geo-
métrica de los datos agrupados en una distribución de frecuencias?
SOLUCiÓN

a) G=V~
[¡ veces h veces JI:. veces

donde N = U A esto se le denomina media geométrica ponderada.

b)

donde se considera que todos los números son positivos; de lo contrario, no estarían
definidos los logaritmos.
Obsérvese que el logaritmo de la media geométrica de un conjunto de números
positivos es la media aritmética de los logaritmos de dichos números.
c) El resultado puede usarse para calcular la media geométrica de datos agrupados.
tomando X¡, X 2, ... , Xx como marcas de clase y fl,f2, ... ,fx como las frecuencias de
clase correspondientes.
3.37 Durante un año la proporción del precio de un cuarto de leche, respecto del precio de.
una rebanada de pan, fue de $3.00, mientras que durante el siguiente año fue de $2.00.
a) Calcule la media aritmética de estas dos proporciones en un periodo de dos
años.
b) Determine la media aritmética de las proporciones de los precios del pan y de
la leche, en el periodo de dos años.
e) Discuta la conveniencia de usar la media aritmética para promediar propor-
ClOnes.
d) Analice qué tan adecuada es la media geométrica para promediar proporcio-
nes.

SOLUCiÓN

a) Proporción media del precio de la leche con el del pan = !(3.00 + 2.00) = 2.50.


b) Dado que la proporción del precio de la leche con respecto al del pan durante el
primer año es de 3.00, la proporción del precio del pan en relación con el de la leche
es de 1/3.00 =0.333. De manera similar, la proporción del precio del pan en cuanto al
de la leche en el segundo año es 1/2.00 = 0.500.
Por lo tanto,
Proporción media del precio del pan = 1 (0.333 + 0.500) = 0.417
con respecto al de la leche l!
e) Se esperaría que la proporción del precio de la leche en cuanto al del pan fuese el
recíproco de la proporción media del precio del pan sobre el de la leche, si la media
*
es un promedio adecuado. Sin embargo, 1/0.417 = 2.40 2.50. Esto muestra que la
media aritmética es un promedio inadecuado para las proporciones.
el) Media.geométrica de la proporción del = V(3.()O) (2.00 = V 6.00
precIo de la leche respecto al del pan )

Me~ia geométrica de ~~ proporción del = V(0.333)(0.500) = VO.0167 = l/V6.00
precIO del pan en relaclOn al de la leche
Como estos promedios son recíprocos, se concluye que la media geométrica es más
adecuada que la media aritmética para promediar proporciones en este tipo de pro-
blemas.

3.38 El conteo de bacterias en cierto cultivo se incrementó de 1 000 a 4 000 en 3 días.
¿Cuál fue el promedio del porcentaje de incremento diario?

SOLUCiÓN

Ya que un incremento de 1 000 a 4 000 es de 300%, se podría pensar que el promedio del
porcentaje de incremento diario es de 300%/3 = 100%. Sin embargo. esto implicaría que
durante el primer día el conteo aumentó de 1 000 a 2 000, durante el segundo de 2 000 a
4 000 Y en el tercero de 4 000 a 8 000, 10 cual no es verdad.
Para determinarlo, se denotará al promedio del porcentaje de incremento como r.
Entonces:
Conteo total de bacterias después de 1 día = 1 000 + 1 OOOr = 1 OOO( 1 + r)
Conteo total de bacterias después de 2 días = 1 000(1 + r) + 1 OOO( 1 + r)r = l 000(1 + r)2
Conteo total de bacterias después de 3 días = 1 OOO( 1 + r)' + 1 OOO( 1 + r}"r = 1 000 (1 + r)3
Esta última expresión debe ser igual a 4 000. Por ello, 1 OOO( 1 + r)3 = 4 000, (1 + r? =4,
1 + r= fi, y r= V-¡ - 1 = 1.587 - 1 = 0.587, así que r= 58.770.
En general, si se inicia con una cantidad P y se incrementa a una razón constante r
por unidad de tiempo, después de n unidades de tiempo se tiene la cantidad
A = P(1 + r)"
Ésta se denomina fórmula del interés compuesto (véanse los problemas 3.94 y 3.95).

La media armónica
3.39 Encuentre la media armónica H de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 Y 12.

SOLUCiÓN

~_~ ""~_~(~ ~ ~ ~ ~ ~ ~) _~(140+84+70+70+60+42+35)
H - N L X - 7 3 + 5 + 6 + 6 + 7 + 10 + 12 - 7 420
501
2940
2940
H=--=5.87
501


Es conveniente expresar las fracciones en forma decimal primero. Por lo tanto
1 .
H = Ho.3333 + 0.2000 + 0.1667 + 0.1667 + 0.1429 + 0.1000 + 0.0833)
1.1929
7
7
y H = 1.1929 = 5.87

La comparación con el problema 3.35 ilustra el hecho de que la media armónica de
varios números positivos diferentes es menor que su media geométrica, la cual es menor
que su media aritmética.

3.40 Por 4 años consecutivos el propietario de una casa compró combustible para su
calefacción a $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por galón (gal). ¿Cuál fue el costo pro-
medio del combustible en los 4 años?

SOLUCiÓN

Caso 1

Supóngase que el propietario compró la misma cantidad de combustible cada año, por
ejemplo, 1 000 gal. Entonces
. costo total $800+$900+1050+$1250
Costo promedIO =- - - - - - - - - $1.00/ gal
cantidad total comprada 4000 gal

Esto es igual a la media aritmética del costo por galón; es decir, h$0.80 + $0.90 + $1.05
+ $1.25) = I.OO/gal. El resultado sería idéntico aun cuando se utilizaran x galones al año.

Caso 2

Considérese que el propietario gasta la misma cantidad de dinero cada año, por ejemplo,
$1 000. Entonces:
. costo total $4000
Costo promedIO = - - - - - - - - - $0.975/ gal
cantidad total comprada (1 250+1 Ill+952+800)gal

~sto es igual a la media armónica del costo por galón.
4
1 I I 1 = 0.975
- +0.90+1.05+ -
0.80
- - 1.25
El resultado sería idéntico aun cuando se gastaran y dólares cada año.
Ambos procedimientos son correctos, aunque cada uno fue calculado de diferente
manera.
Debe indicarse que en caso de que el número de galones usados cambie de un año a
otro, la media aritmética del caso 1 se reemplazaría por una media aritmética ponderada.
De forma similar, si la cantidad gastada cambia de un año a otro, la media armónica del
caso 2 se reemplazaría por una media armónica ponderada

3.41 Un automóvil viaja 25 millas a 25 mph, 25 millas a 50 mph y 25 millas a 75 mph.
Calcule la media aritmética y la media armónica de las tres velocidades. ¿Cuál es
la correcta?

SOLUCiÓN

La velocidad promedio es igual a la distancia recorrida entre el tiempo total y es igual a:
75

80 CAPÍTULO 3 • Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central

La media aritmética de las tres velocidades es:

25 + 50 + 75 = 50 mph
3

La media armónica se calcula de la siguiente manera
450
y H=U=40.9

La media armónica es la medida correcta de la velocidad promedio ..

La media cuadrática
3.42 Calcule la media cuadrática de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 Y 12.

SOLUCiÓN

3.43 Pruebe que la media cuadrática de dos números positivos distintos, a y b, es mayor
que su media geométrica.

SOLUCiÓN

Se requiere demostrar que V ~ (a 2 + b2) > v-;;b. Si esto es cierto. entonces, elevando al
cuadrado ambos lados, Ha 2 + b 2) > ab, de tal modo que a 2 + b2 > 2ab, a 2 - 2ab + b2 > 00
(a - bj2 > O' Esta última desigualdad es verdadera, da'do que el cuadrado de cualquier
número real distinto de cero debe ser positivo.
La prueba consiste en invertir el procedimiento anterior. Así. comenzando con (a -
b)2 > O que se sabe es cierto, se puede demostr~ que a 2 + b2 > 2ab, ha 2 + b 2) > ab y,
finalmente, Vha 2 + b 2) > v-;;b, como se pidió.
Obsérvese que V~(a2 + b2 ) = Vab, si y sólo si a = b:

Cuartiles, deciles y percentiles
3.44 Encuentre a) los cuartiles Q¡, Q2Y Q3' Y b) los deciles D¡, D 2 , ••• , D9 para los sala-
rios de los 65 empleados de la empresa P&R (véase el problema 2.3).

SOLUCiÓN

,! a) El primer cuartil Q¡ es el salario obtenido contando N/4 = 65/4 =Í6.25 de los casos,
empezando con la primera clase (la inferior). Ya que la primera clase incluye 8 casos,
debe tomar 8.25 (16.25 - 8) de los !O casos de la segunda clase. Por el método de
interpolación lineal se tiene

Q1 = $259.995 + 8~~5 ($10.00) = $268.25

El segundo cuartil Q2 se obtiene contando los primeros 2N/4 = N/2 = 65/2 =
32.5 casos. Dado que las dos primeras clases incluyen 18 casos, habrá que tomar
32.5 - 18 = 14.5 de los 16 casos de la tercera clase; por lo tanto,

1~5
Q2 = $269.995 + ~ ($10.00) = $279.06
Véase que Q2 es, en realidad, la mediana.


El tercer cuartil Q3 se obtiene contando los primeros 3N/4 = i(65) = 48.75 de los
casos. Puesto que las cuatro primeras clases comprenden 48 casos, se tiene que to-
mar 48.75 - 48 = 0.75 de los 10 casos de la quinta clase; entonces

Q3 = $289.995 + 10 ($10.00) = $290.75
0.75

Por lo tanto, 25% de los empleados reciben $268.25 o menos, 50% gana $279.06
o menos y 75% perciben $290.75 o menos.

b) El primero, segundo, ... , noveno deciles se obtienen contando NilO, 2NIl O, ... , 9NIl0
de los casos, comenzando con la primera clase (inferior). ASÍ:

DI = $249.995 + 6.5 ($10.00) =$258.12 D6 = $279.995 + ~($1O.00) =$283.57
. 8 14
5
D2 = $259.995 + 10 ($10.00) =$265.00 D7 = $279.995 + 1;¡($1O.00) =$288.21

D3 = $269.995 + ~.~ ($10.00) =$270.94 Ds = $289.995 + 1~ ($10.00) =$294.00
8
D4 = $269.995 + 16 ($10.00) =$275.00 D9 = $299.995 + 9f<$1O.00) =$301.00

Ds = $269.995 + 1:~5($1O.00) = $279.06

Por lo tanto, 10% de los empleados gana $258.12 o menos, 20% recibe $265.00
o menos, ... , 90% obtienen $301.00 o menos.
Obsérvese que el quinto decil es la mediana. El segundo, cuarto, sexto y octavo
deciles, que dividen la distribución en cinco partes iguales y que se denominan
quintiles, tienen un uso práctico.

3.45 Determine a) el percentil35o. y b) el percentil60o. de la distribución en el proble-
ma 3.44.

SOLUCiÓN

a) El percentil350. denotado por P3S, se obtiene contando los primeros 35NIl00 = 35(65)/
100 = 22.75 casos, comenzando con la primera clase (inferior). Entonces, igual que
en el problema 3.44,

P3S = $269.995 + 4i~5 ($10.00) = $272.97

Esto significa que 35% de los empleados gana $272.97 o menos.
b) El percentil600. es P 60 =$279.995 +"f4($1O.00) =$283.57. Obsérvese que esto coin-
cide con el sexto decil y el tercer quintil.

3.46 Explique cómo pueden obtenerse los resultados de los problemas 3.44 y 3.45 de
una ojiva de porcentajes.

SOLUCiÓN

En la figura 3-5 se muestra la ojiva de porcentajes correspondiente a los datos de los
problemas 3.44 y 3.45.
El primer cuartil es la abscisa del punto de la ojiva cuya ordenada es 25%, el segundo
y tercer cuartiles son las abscisas de los puntos de la ojiva con ordenadas 50% y 75%,
respectivamente.
Los deciles y percentiles pueden obtenerse de forma similar. !?or ejemplo, el séptimo
decil y el percentil 350. son las abscisas de los puntos de la ojiva que corresponden a las
ordenadas 70% y 35%, respectivamente.


FIGURA 3-5 ;? 100
~
ca
"
ca
3 80
E
::J
U
ca 60
ca
>
:¡::
ca
40
...
Qj
ca
·u
t: 20
CI)
::J
U
...
CI)

u.
250 260 310 320
Salarios (dólares)

Problemas complementarios

Notación de sumatoria
3.47 Escriba los términos de cada una de las siguientes sumas:

4 3 4
a) ¿(Xj +2) e) ¿Uj (Uj +6) e) ¿4Xj Yj
j=1 j=1 j=1
5 N
b) ¿JjXJ d) ¿(Yf -4)
j=1 k=1

3.48 Exprese en notación de sumatoria:
a) (X¡ + 3)3 + (X2 + 3)3 + (X3 + 3)3
b) J¡(Y¡ - a)2 + h<Y2- a)2 + ... + !t5(Y¡5 - a)2
e) (2X¡- 3Y¡) + (2X2- 3Y2) + ... + (2XN - 3YN )
d) (X/Y¡ - 1)2 + (XjY2 - 1)2 + ... + (XsIYs - 1)2

e) Ildf + 12a~ + ... + l2 aT2
11+12+···+112
3.49 Pruebe que 2:1=1 (~. - 1)2 = 2:1=1 XJ - 2 E1=1 X¡ + N.
3.50 Demuestre que ¿(X + a)(Y + b) =¿XY + a¿Y + b¿X + Nab, donde a y b son constantes.
¿Qué notación de subíndice está implicada?

3.51 Dos variables, U y V, toman los valores V¡ =3, V 2 =-2, V 3 =5 Y V¡ =-4, V2=-1, V3 =6,
respectivamente. Calcule a) ¿VV, b) ¿(U + 3)(V -4), e) ¿V2, d) (¿U)(¿V)2, e) ¿VV2,f)
¿(V2 - 2V2 + 2) Y g) ¿(VlV).

3.52 Siendo ¿~~¡ Xj = 7, ¿j=¡ Yj = -3, Y ¿i=¡ XjY¡ = 5, determine a) ¿i=¡ (2Xj + 5Y)
Yb) ¿i=¡ (Xj - 3)(2Y¡ + 1).

La media aritmética
3.53 Un estudiante obtuvo las calificaciones 85, 76, 93, 82 Y 96 en 5 materias. Encuentre la
media aritmética de las calificaciones.

Problemas complementarios. 83

3.54 Un psicólogo midió los tiempos de reacción de un individuo a ciertos estímulos, siendo
éstos 0.53, 0.46, 0.50, 0.49, 0.52, 0.53, 0.44 Y 0.55 segundos, en ese orden. Determine la
media del tiempo de reacción del individuo a los estímulos.

3.55 Un conjunto de números consiste de 6 seises, 7 sietes, 8 ochos, 9 nueves y 10 dieces. ¿Cuál
es la media aritmética de los números?

3.56 Las calificaciones obtenidas por un estudiante en laboratorio, teoría y práctica de un curso
de física son 71, 78 Y 89, respectivamente.
a) Si los pesos asignados a las calificaciones son 2, 4 Y5, ¿cuál es la calificación promedio?
b) ¿Cuál sería la calificación promedio si se utiliza el mismo peso para las tres?

3.57 Tres profesores de economía, que tienen 32, 25 Y 17 alumnos, en ese orden, reportaron las
siguientes medias de calificaciones en sus grupos: 79, 74 Y 82. Encuentre la calificación
promedio de todos los grupos.

3.58 El salario promedio anual de todos los empleádos de una empresa es de $36 000. Los sala-
rios medios anuales de los empleados y las empleadas es de $34 000 y $40 000, respectiva-
mente. Busque el porcentaje de hombres y mujeres empleados por la empresa.

3.59 La tabla 3-8 muestra la distribución de las cargas máximas en toneladas cortas (l tonelada
corta = 2000 lb) que soportan ciertos cables producidos por una empresa. Determine la
carga máxima media usando a) el "método largo" y b) el método de codificación.
'j Tabla 3-8
Carga máxima Número de
(toneladas cortas) cables
il ;
'q¡5~ :t.)§ 9.3-9.7 2
:.! ,;<5' ;'!r.' ~I 7t 1(:.:t . 9.8-10.2 5
;' -q-.. !P)( fb¡l) -;0,.)1.,
, 1O.3-1Q.7 12-

!¿: jr: 10 l ( ! :,¡
- ~ ~ fin
10.8-11.2 17
1I.', ,
J )
11.3-11.7 14..
,r '~. ;I-;¡f .,(_. <¡.<
<., .
';<~~ji .Ú¡?i
.' ,):
11.8-12.2 6-
f :. <':z ~;' ~ Jl~, ~.2
12.3-12.7 1
:::,.?5~ IZJ;'t' ~ . :. _~, ~ 1'} ...! (
12.8-13.2 1.
f2,p$.. 13; ~S' ~:~ 2;
Total 60

3.60 Calcule X para los datos de la tabla 3-9 utilizando a) el "método largo" y b) el método de
codificación.
Tabla 3-9
X 462 480 498 516 534 552 570 588 606 624

f 98 75 56 42 30 21 15 II 6 2

. ,
3.61 La tabla 3-10 contiene la distribución de los diámetros de los remaches elaborados por una
empresa. ¿Cuál es el diámetro medio?

3.62 Encuentre la media de los datos de la tabla 3-11.

3.63 Calcule la media del tiempo semanal que los 400 estudiantes de secundaria del problema
2.20 dedican a ver TV.


3.64 a) Utilice la distribución de frecuencias obtenida en el problema 2.27 para conocer el
diámetro medio de los baleros de rodamiento.

b) Calcule la media directamente de los datos sueltos y compárela con a); explique las
discrepancias.

Tabla 3-10 Tabla 3-11

Diámetro (cm) Frecuencia Clase Frecuencia

0.7247-0.7249 2 10 hasta menos de 15 3
0.7250--0.7252 6 15 hasta menos de 20 7
0.7253-0.7255 8 20 hasta menos de 25 16
0.7256--0.7258 15 25 hasta menos de 30 12
0.7259-0.7261 42 30 hasta menos de 35 9
0.7262-0.7264 68 35 hasta menos de 40 5
0.7265--0.7267 49 40 hasta menos de 45 2
0.7268-0.7270 25
Total 54
0.7271-0.7273 18
0.7274--0.7276 12
0.7277-0.7279 4
0.7280--0.7282 1

Total 250

La mediana
3.65 Busque la media y la mediana de los siguientes conjuntos de números: a) 5,4,8,3,7,2,9
Y b) 18.3,20.6,19.3,22.4,20.2,18.8,19.7,20.0.

3.66 ¿Cuál es la mediana de las calificaciones del problema 3.53?

3.67 Calcule la mediana del tiempo de reacción del problema 3.54.

3.68 Ubique la mediana del conjunto de números del problema 3.55.

3.69 Calcule la mediana de las cargas máximas de los cables de la tabla 3-8 del problema 3.59.

3.70 Encuentre la mediana para la distribución de la tabla 3-9 del problema 3.60.

3.71 ¿Cuál es la mediana para ~l diámetro de los remaches de la tabla 3-10 del problema 3.61?

3.72 Calcule la mediana para la distribución de la tabla 3-11 del problema 3.62.

3.73 La tabla 3-12 muestra el número de muertes (en miles) ocasionadas por enfermedad cardiaca
en 1993. Encuentre la mediana de la edad para los individuos que murieron de enfermedad
cardiaca en 1993.

3.74 Busque la mediana de la edad en Estados Unidos, utilizando los datos del problema 2.31.

3.75 Determine la mediana del tiempo dedicado a verTV para los 400 estudiantes de secundaria
del problema 2.20.

3. media, mediana,_moda_y_otras_medidas

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