Tema iii medidas de centralizacion uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 ÁLGEBRA LINEAL
TEMA III: MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
NOTACIÓN DE ÍNDICES
Denotemos por iX (léase « X sub i » cualquiera de los N valores NXXXX ,,,, 321  que toma
una variable X . La letra i en iX , que puede valer N,,3,2,1  se llaman subíndice. Es claro que
podíamos haber empleado cualquier otra letra en vez de i , por ejemplo ,,,,,,,, qponmlkj etc.
NOTACIÓN DE SUMA
El símbolo 
N
i
iX
1
denotará la suma de todos los iX desde 1i a ;Ni  por definición:
N
N
i
i XXXXX 
321
1
Cuando no ocasiones confusión, denotaremos esa suma simplemente por i
XX  , o i iX .
El símbolo  es la letra griega SIGMA mayúscula, que denota suma.
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un PROMEDIO es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como tales
valores suelen situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados por magnitud, los promedios
se conocen como MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
Se definen varios tipos, siendo los más comunes la media aritmética, la mediana, la moda, la
media geométrica y la media armónica. Cada una tiene ventajas y desventajas, según los datos y el
objetivo perseguido.
LA MEDIA ARITMÉTICA
La MEDIA ARITMÉTICA, o simplemente MEDIA, de un conjunto de N números
NXXXX ,,,, 321  se denota por X (léase « X barra») y se define por:
 11321
N
X
N
X
N
XXXX
X
N
i
i
N 


 

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ESTADÍSTICA GENERAL
EJEMPLO: La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es:
7,6
5
38
5
1012538


X
Si los números KXXXX ,,,, 321  ocurren Kffff ,,,, 321  veces, respectivamente (o sea, con
frecuencias Kffff ,,,, 321  ), la media aritmética es:
 2
1
1
321
332211
K
Xf
f
Xf
f
Xf
ffff
XfXfXfXf
X K
i
i
K
i
ii
K
KK 



 












Donde   Kf es la FRECUENCIA TOTAL (o sea, el número total de casos).
EJEMPLO: Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4, y 1, respectivamente, su media
aritmética es:
                7,5
10
57
10
2241615
1423
21648253





X
LA MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A veces asociamos con los números KXXXX ,,,, 321  ciertos FACTORES PESO (o PESOS)
KWWWW ,,,, 321  dependientes de la relevancia asignada a cada número. En tal caso:
 3
321
332211








W
XW
WWWW
XWXWXWXW
X
K
KK


Se llama la MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA con pesos KWWWW ,,,, 321  .
EJEMPLO: Si el examen final de un curso cuenta tres veces más que una evaluación parcial,
y un estudiante tiene calificación 85 en el examen final 70 y 90 en los dos parciales, la calificación
media es:
            83
5
145
5
2559070
311
853901701





X

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de número respecto de su media
aritmética es cero.
EJEMPLO: Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 respecto de su media aritmética 7.6
son: 8 – 7.6=0.4; 3 – 7.6= –4,6; 5 – 7.6= –2,6, 12 – 7.6=4,4 y 10 – 7.6=2,4, con suma algebraica:
0.4 – 4.6 – 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0.
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números iX respecto de un
cierto número a es mínima si y sólo si .Xa 
3. Si 1f números tiene media ,1m 2f números tiene media Kfm ,,2  números tienen media
,Km entonces la media de todos los números es:
 4
321
2211
K
KK
ffff
mfmfmf
X





Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias.
4. Si A es una MEDIA ARITMÉTICA SUPUESTA o CONJETURADA (que puede ser
cualquier número) y si AXd ii  son las desviaciones de iX respecto de A, las ecuaciones (1) y
(2) se convierten, respectivamente en:
 
 6
5
1
1
1
K
df
A
f
df
AX
N
d
A
N
d
AX
K
i
i
K
i
ii
N
i
i












Donde  

.
1
ffK
K
i
i Nótese que las formulas (5) y (6) se resumen en .dAX 
5. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda
aumentada en dicho número.
6. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número.

CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando los datos se presentan en una distribución de frecuencias, todos los valores que caen
dentro de un intervalo de clase dado se consideran iguales a la marca de clase, o punto medio, del
intervalo. Las fórmulas (2) y (6) son válidas para tales datos agrupados si interpretamos iX como la
marca de clase if como su correspondiente frecuencia de clase, a A como cualquier marca de clase
conjeturada y AXd ii  como las desviaciones de iX respecto de A.
Los cálculos con (2) y (6) se llaman MÉTODOS LARGOS y CORTOS, respectivamente.
Si todos los intervalos de clase tienen idéntica anchura c , las desviaciones AXd ii 
pueden expresarse como iuc , donde iu pueden tomar valores enteros positivos o negativos o cero
(es decir, 0 + 1, + 2, + 3,…) con lo que la fórmula (6) se convierte en:
 71
c
K
fu
A
K
uf
AX
K
i
ii
























Que es equivalente a la ecuación .ucAX  A esta ecuación se conoce como MÉTODO
CODIFICADO para calcular la media. Es un método muy breve y debe usarse siempre para datos
agrupados con intervalos de clase de anchuras iguales. Nótese que en el método codificado los
valores de la variable X se TRANSFORMAN en valores de la variable u de acuerdo con
.ucAX 
LA MEDIANA
La MEDIANA de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en
una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales.
En tal sentido, “La mediana se define como el valor de la distribución por encima de la cual
está el 50% de los casos y por debajo el otro 50%, es decir, divide la distribución en dos partes
iguales…” (Hamdan- González, 1994, p. 52).
EJEMPLO 1: El conjunto de números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 tiene mediana 6 (pues la serie
tiene un número impar de medidas y por tanto es el valor central).
EJEMPLO 2: EL conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 tiene mediana:
  10
2
119


Ya que la serie tiene un número par de medidas, valores o puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones centrales.
Un procedimiento práctico para encontrar la posición de la mediana consiste en ordenar La
serie de datos de menor a mayor o viceversa, dividir la serie entre dos y sumar 0,5. Veamos los
siguientes ejemplos:

(a) Para la serie de calificaciones de Castellano: 01, 13, 14, 15 y 16, según con lo discutido al
principio la mitad esta en 14, ahora la posición de la mediana usando el procedimiento
viene dada por: ,35,05,25,0
2
5
 es decir, el valor de la mediana está en la tercera
posición (14 puntos).
(b) Para otra serie de calificaciones de Castellano: 12, 13, 14 y 25, de acuerdo con lo discutido
al principio es ,5,13
2
27
2
1413








ahora la posición de la mediana de acuerdo con el
procedimiento queda definida por ;5,25,025,0
2
4
 así, el valor de la mediana es
13,5 puntos.
Estos dos ejemplos conducen a las siguientes conclusiones:
1. Para determinar la mediana hay que ordenar en forma ascendente o descendente la serie
de valores.
2. La posición de la mediana viene dada por el número de casos dividido entre dos más 0,5:
5,0
2
PMe 
N
Además, para datos agrupados según su rol de frecuencias es dado por:
 8Mediana 2





 
 i
f
pNf
L
i
a
Donde:
 2L = Límite superior real del valor que toma la variable.
 af = Frecuencia acumulada.
 N = Número de casos de la distribución en estudio.
 p = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana.
 if = Frecuencia absoluta correspondiente.
 i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana.
Para datos agrupados en intervalos de clase, la mediana obtenida por interpolación viene dada
por:
 
 8
anterior
2Mediana 1














 c
f
f
N
L
i
a
Donde:

 1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que
contiene la mediana).
 N = Número de datos (es decir, la frecuencia total).
 af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana.
 if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana.
 i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana.
Geométricamente la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a la recta vertical
que divide un histograma en dos partes de igual área. Ese valor de X se suele denotar por .
~
X
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
iX if af
 63,60 5 5
 66,63 18 23
 69,66 42 65
 72,69 27 92
 75,72 8 100
100 if
SOLUCIÓN:
Como: 50
2
100

Clase de la mediana:  .69,66 Luego, de acuerdo con la fórmula  8 :
93,67Mediana
93,166Mediana
42
81
66Mediana
3
42
27
66Mediana
3
42
5023
66Mediana








 






 


LA MODA
La MODA de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir,
el valor más frecuente. La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir.
EJEMPLO 1: El conjunto de 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 tiene moda 9. En este caso
la distribución con moda única se dice UNIMODAL.
EJEMPLO 2: El conjunto de 3, 5, 8, 10, 12, 15, y 16 no tiene moda.
EJEMPLO 3: El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9, tiene dos modas, 4 y 7, y se llama
BIMODAL.
EJEMPLO 4: En el conjunto 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9, no tiene moda, ya que todas
las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
EJEMPLO 5: En el conjunto 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8; la moda es Mo = 4, ya que dos
puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos
puntuaciones adyacentes.
En el caso de datos agrupados donde se haya construido una curva de frecuencias para ajustar
los datos, la moda será el valor (o valores) de X correspondientes al punto (o puntos) máximo (o
máximos) de la curva.
Ese valor de X se denota por .X

En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener mediante la
fórmula siguiente:
 9Moda
21
1
1 cL 








Donde:
 1L = Frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda).
 1 = Exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata.
 2 = Exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata.
 c = Amplitud del intervalo de la clase modal.
CÁLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS
1) TODOS LOS INTERVALOS TIENEN LA MISMA AMPLITUD.
   
 9Mo
11
1






a
ffff
ff
L i
iiii
ii
i
Donde:

 iL = Es el límite inferior de la clase modal.
 if = Es la frecuencia absoluta de la clase modal.
 1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
 1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
 ia = Es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:
 9Mo
11
1










a
ff
f
L i
ii
i
i
EJEMPLO: Calcular la moda de una distribución estadística de la siguiente tabla:
iX if
 63,60 5
 66,63 18
 69,66 42
 72,69 27
 75,72 8
100 if
SOLUCIÓN:
Usando la fórmula  9 :
   
846,67Mo
846,166Mo
39
72
66Mo
3
39
24
66Mo
3
1524
24
66Mo
3
27421842
1842
66Mo












Ahora, usando la fórmula  9 :
8,67Mo
8,166Mo
45
81
66Mo
3
45
27
66Mo
3
2718
27
66Mo


















2) LOS INTERVALOS TIENEN AMPLITUDES DISTINTAS.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas:
i
i
i
a
f
h 
La clase modal es la que tiene mayor altura.
   
 9Mo
11
1






a
hhhh
hh
L i
iiii
ii
i
La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
 iv
i
ii
i
i a
hh
h
L 9Mo
11
1










EJEMPLO: En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
iX if ih
 5,0 15 3
 7,5 20 10
 9,7 12 6
 10,9 3 3
50 if

SOLUCIÓN:
Usando la fórmula  9  :
   
72,6Mo
72,15Mo
11
14
5Mo
2
11
7
5Mo
2
47
7
5Mo
2
610310
310
5Mo











Ahora, usando la fórmula  iv
9 :
33,6Mo
33,15Mo
9
12
5Mo
2
9
6
5Mo
2
63
6
5Mo


















RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA
Para curvas de frecuencias unimodales que sean poco asimétricas tenemos la siguiente
relación empírica.
   10mediana-media3moda-Media 

Las Figuras 3.1 y 3.2 muestran las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda
para curvas de frecuencia asimétricas a derecha e izquierda, respectivamente. Para curvas simétricas,
los tres valores coinciden.
Figura 3.1: Posiciones relativas de la
media, la mediana y la moda en curvas de
frecuencias sesgadas a la derecha.
Figura 3.2: Posiciones relativas de la media,
la mediana y la moda en curvas de
frecuencias sesgadas a la izquierda.
FORMAS DE DISTRIBUCIÓN
Con los valores que se obtienen de la media, mediana y moda se puede evaluar el
comportamiento central de diferentes aspectos de una distribución de datos estadísticos;
dependiendo de su comportamiento los resultados de estas tres medidas pueden ser iguales o
diferentes:
 Si el valor de la media es igual al de la mediana  MeX los datos tienen una
DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA.
 Si la media es igual al valor de la mediana e igual al valor de la moda  MoMe X entonces
es una DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA y UNIMODAL, conocida también como
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
 Cuando la media es mayor que la mediana  MeX la distribución es ASIMÉTRICA
POSITIVA y cuando el valor de la media es menor que el de la mediana  MeX , la
ASIMETRÍA ES NEGATIVA.
LA MEDIA GEOMÉTRICA G
La MEDIA GEOMÉTRICA G de un conjunto de N números positivos NXXXX ,,,, 321  es
la raíz N -ésima del producto de esos números.
 11321
N
NXXXXG  

EJEMPLO: La media geométrica de 2, 4 y 8 es:
      .464842 33 G
Podemos calcular G por logaritmos o con una calculadora. Para la media geométrica de datos
agrupados veamos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1: Los números KXXXX ,,,, 321  se presentan con frecuencias Kffff ,,,, 321 
donde Nffff K  321
es la frecuencia total.
(a) Encontrar la media geométrica G de estos números.
(b) Deducir una expresión para log G .
(c) ¿Cómo se pueden emplear los resultados para hallar la media geométrica de datos agrupados
en una distribución de frecuencias?
SOLUCIÓN:
(a)
21
21
21
vecesveces
222
veces
111
N f
K
ff
N
f
KKK
ff
K
K
XXXG
XXXXXXXXXG

  

  





Donde  .fN A esta media suele llamársele MEDIA GEOMÉTRICA PONDERADA.
(b)
 
      
      
 
 
N
Xf
G
Xf
N
G
XfXfXf
N
G
XXX
N
G
XXX
N
G
XXXG
K
ii
KK
f
K
ff
f
K
ff
N f
K
ff
K
K
K












 

log
log
log
1
log
logloglog
1
log
logloglog
1
log
log
1
log
loglog
1i
2211
21
21
21
21
21
21





Donde se supone que todos los números son positivos; de otra manera, los logaritmos no están
definidos. Obsérvese que el logaritmo de una media geométrica de un conjunto de números
positivos es la media aritmética de los logaritmos de los números.
(c) Al hallar la media geométrica de datos agrupados, este resultado puede emplearse tomando
KXXXX ,,,, 321  como las marcas de clase y Kffff ,,,, 321  como sus frecuencias correspondientes.
LA MEDIA ARMÓNICA H
La MEDIA ARMÓNICA H de un conjunto de números NXXXX ,,,, 321  es el reciproco de
la media aritmética de los recíprocos de esos números:
 12
111
1
1




 X
N
XN
H N
i i
En la práctica es más fácil recordar que:
 13
1
N
1
1
1



XN
X
H
EJEMPLO: La media armónica de los números 2, 4 y 8 es
43,3
7
24
8
7
3
8
1
4
1
2
1
3


H
Para la media armónica de datos agrupados: Si ,,, 321 XXX son las marcas de clase de una
distribución de frecuencias y ,,,, 321 fff son sus frecuencias correspondientes, demostrar que su
media armónica está dada por:
N
111
3
3
2
2
1
1







X
f
X
f
X
f
X
f
NH

Donde  .321 ffffN 
RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICAS, GEOMÉTRICAS Y ARMÓNICA
La media geométrica de una colección de números positivos NXXXX ,,,, 321  es menor o igual
que su media aritmética, pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos,
XGH 
La igualdad ocurre si y sólo si todos los números NXXXX ,,,, 321  son idénticos.

EJEMPLO: La media aritmética de los números 2, 4, 8 es 4, 67; su media geométrica 4 y
media armónica 3,43.
LA RAÍZ CUADRADA MEDIA
La RAÍZ CUADRADA MEDIA (RCM) o MEDIA CUADRÁTICA (MQ) de un conjunto
de números NXXXX ,,,, 321  suele denotarse 2
X y se define
RCM
2
1
2
2
N
X
N
X
X
N
i
i

 
Este tipo de promedio suele usarse en aplicaciones físicas.
EJEMPLO: La raíz cuadrada media del conjunto 1, 3, 4, 5, y 7 es:
47,420
5
100
5
49251691
5
75431
RCM
22222





MEDIDAS DE POSICIÓN
Cuando trabajamos la mediana se hizo con el propósito de encontrar n valor que permitiera
localizar la posición de algún caso con relación a otros que están ordenados de manera ascendente o
descendente. En ese preciso instante se inicio el estudio de las medidas de posición, puesto que se
dividió la distribución en dos partes iguales, pero igualmente puede dividirse en cuatro (cuartiles),
en diez (deciles) o en cien partes iguales (percentiles).
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Si un conjunto de datos está ordenado por magnitud, el valor central (o la media de los dos
centrales) que divide al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana. Extendiendo esa idea,
podemos pensar en aquellos valores que dividen al conjunto en cuatro partes iguales y que se
denominan CUARTILES. Esos valores, denotados 21,QQ y ,3Q se llaman primer, segundo y tercer
cuartil, respectivamente, en donde: “El 1Q significa que por debajo de su valor se encuentra el 25%
de los casos en la distribución que se está analizando, el 2Q coincide con la mediana y bajo el 3Q
se encuentra el 75% de los casos”.
CÁLCULO DE LOS CUARTILES
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión: .23,1,
4


k
Nk
Por ejemplo:

(a) Número impar de datos: 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
321
9,7,6,5,4,3,2
QQQ

(b) Número par de datos: 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
  
321
6,54,52,5
9,7,6,5,4,3,2,1
QQQ

CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ;3,2,1,
4


k
Nk
en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
 
.3,2,1,
anterior
4 


 ka
f
f
Nk
LQ i
i
a
ik
Donde:
 iL = Es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.
 N = Es la suma de las frecuencias absolutas.
 af = Es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.
EJEMPLO: Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:
iX if af
 60,50 8 8
 70,60 10 18
 80,70 16 34
 90,80 14 48
 100,90 10 58
 110,100 5 63
 120,110 2 65
65 if

 Cálculo del primer cuartil: Como ;25,16
4
65
4
651


entonces:
25,6825,86010
10
825,16
601 

Q
 Cálculo del segundo cuartil: Como ;5,32
4
130
4
652


entonces:
0625,790625,970
16
145
7010
16
5,14
7010
16
185,32
702 

Q
 Cálculo del tercer cuartil: Como ;75,48
4
95
4
653


entonces:
75,9075,09010
10
4875,48
903 

Q
Análogamente, los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales se llaman DECILES, y
se denotan .,,, 921 DDD 
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.
5D coincide con la mediana.
CÁLCULO DE LOS DECILES
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra ;9,,23,1,
10


k
Nk
en la tabla de las
frecuencias acumuladas.
 
.9,,3,2,1,
anterior
10 


 ka
f
f
Nk
LD i
i
a
ik
 iL = Es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.
 N = Es la suma de las frecuencias absolutas.
 af = Es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil.
EJEMPLO: Calcular los deciles de la distribución de la tabla anterior.
SOLUCIÓN:
 Cálculo del primer decil: Como ;5,6
10
65
10
651


entonces:

125,58125,850
8
65
5010
8
5,6
5010
8
05,6
501 

D
 Cálculo del segundo decil: Como ;13
10
130
10
652


entonces:
6556010
10
813
602 

D
 Cálculo del tercer decil: Como ;5,19
10
195
10
653


entonces:
9375,709375,070
16
15
7010
16
5,1
7010
16
185,19
703 

D
 Cálculo del cuarto decil: Como ;26
10
260
10
654


entonces:
75570
16
80
7010
16
8
7010
16
1826
704 

D
 Cálculo del quinto decil: Como ;5,32
10
325
10
655


entonces:
0625,790625,970
16
145
7010
16
5,14
7010
16
185,32
705 

D
 Cálculo del sexto decil: Como ;39
10
390
10
656


entonces:
57,8357,380
14
50
8010
14
5
8010
14
3439
806 

D
 Cálculo del séptimo decil: Como ;5,45
10
455
10
657


entonces:
21,8821,880
14
115
8010
14
5,11
8010
14
345,45
807 

D
 Cálculo del octavo decil: Como ;52
10
520
10
658


entonces:
9449010
10
4852
908 

D
 Cálculo del noveno decil: Como ;5,58
10
585
10
659


entonces:
1011100
5
5
10010
5
5,0
10010
5
585,58
1009 

D

Mientras que los valores que los dividen en 100 partes iguales se llaman PERCENTILES,
denotados por ,,,, 9921 PPP  . Además, el percentil es el punto por debajo del cual se encuentra un
determinado porcentaje de casos, por ejemplo, el percentil ochenta  80P es el punto por debajo del
cual se encuentra el 80% de los casos en la distribución.
Además, tenemos que: “El percentil veinticinco  25P es igual al cuartil uno  ,1Q el percentil
cincuenta  50P es igual a la mediana e igual al cuartil dos  250 Me QP  y el percentil setenta y
cinco es igual al cuartil tres  375 QP  ”. Para su cálculo con datos agrupados en distribuciones de
frecuencia el cálculo de los percentiles se hace mediante un procedimiento análogo al utilizado para
la mediana:
 
i
f
f
NK
LP
i
a
iK 



anterior
100
Donde:
 K = Es el percentil que se desea determinar.
 N = Es la suma de las frecuencias absolutas de la distribución  Nfi  .
Los demás componentes de la fórmula ya fueron estudiadas en la mediana.
EJEMPLO: Calcular los percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla anterior.
SOLUCIÓN:
 Percentil 35: Como ;75,22
100
2275
100
6535


entonces: 97,7210
16
1875,22
7035 

P
 Percentil 60: Como ;39
100
3900
100
6560


entonces: 57,8310
14
3439
8060 

P
Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan CUANTILES.
Veamos otros siguientes ejemplos:
EJEMPLO 1: Dado el conjunto de calificaciones ( iX ) recogidas en forma desorganizada en
una evaluación parcial realizada a los estudiantes de Informática en la materia Electrónica Digital en
el Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” (IUTAJS) fueron las siguientes:
11, 10, 12, 13, 11, 14, 14, 13, 15, 16, 15.
SOLUCIÓN:
Veamos la siguiente tabla en donde tenemos la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa, la
frecuencia relativa porcentual:

Tabla 1
Calificaciones de una evaluación parcial realizada a los estudiantes de
Informática en la materia Electrónica Digital en el IUTAJS
iX if af rf rf % ii Xf 
10 1 1 09,0
11
1

9% 10
11 2 3 18,0
11
2

18% 22
12 1 4 09,0
11
1

9% 12
13 2 6 18,0
11
2

18% 26
14 2 8 18,0
11
2

18% 28
15 2 10 18,0
11
2

18% 30
16 1 11 09,0
11
1

9% 16
11 if 99,0 rf 144 ii Xf
Nota: Tabla elaborado con los datos tomados en el lapso académico 2014-1 en el IUTAJS.
De acá que la media es:  Fórmula

 

i
ii
f
Xf
X
Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 1: 09,13
11
144
X
Para el cálculo de la mediana la columna de las frecuencias acumuladas juega un papel
preponderante ya que una vez preparado el cuadro de frecuencias acumuladas, el paso siguiente
consiste en ubicar la posición de la mediana, la cual viene dada por el producto de .5,55,011  pN
Este valor se ubica en la columna de frecuencias acumuladas y la primera fila que contenga una
cantidad igual o mayor a 5,5 (en este caso es 6) y es donde está localizada la posición de la
mediana1
. En esta fila (la cuarta) están además:
 2L = Límite superior real del valor que toma la variable (13,5).
 af = Frecuencia acumulada (6).
 N = Número de casos de la distribución en estudio (11).
 p = 50% ó 0,5, posición según definición de la mediana.
 if = Frecuencia absoluta correspondiente (2).
 i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana (1).
1
Notemos que ordenándolos crecientemente la mitad es: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16 además, de
acuerdo con la fórmula:
65,05,55,0
2
11
PMe 
Lo cual coincide con el 13.

Luego de a la formula  8 : ,Mediana 2 i
f
pNf
L
i
a





 
 tenemos que:
 
25,13Mediana
25,05,13Mediana
125,05,13Mediana
1
2
5,0
5,13Mediana
1
2
5,56
5,13Mediana















 

La moda (o modas) son: 11, 13,14 y 15
CÁLCULOS EN EXCEL2
Media 13,09090909
Mediana 13
Moda 11
GRÁFICAS
Un HISTOGRAMA es una representación gráfica de una variable en forma de barras. Se
utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que
se han agrupado en clases. En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen
por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.
La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.
Un DIAGRAMA DE SECTORES o DIAGRAMA CIRCULAR se puede utilizar para todo
tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.
2
En EXCEL se selecciona la secuencia “Tools ⇒ Data Analysis ⇒ Descriptive Statistics”, se obtienen las
medidas de tendencia central mediana, media y moda.

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a
la frecuencia absoluta correspondiente.
if
N

0
360
De acuerdo con cada frecuencia tenemos que:
Para 10: 0
0
1 73,321
11
360
 Para 11: 0
0
2 45,652
11
360
 Para 12: 0
0
3 73,321
11
360

Para 13: 0
0
4 45,652
11
360
 Para 14: 0
0
5 45,652
11
360
 Para 15: 0
0
6 45,652
11
360

Para 16: 0
0
7 73,321
11
360

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.
Para construir el POLÍGONO DE FRECUENCIA se toma la marca de clase que coincide
con el punto medio de cada rectángulo.
CÁLCULOS DE LOS CUARTILES
4
11
4
111


entonces:
875,11875,011
2
75,1
111
2
175,2
111 

Q
 Cálculo del segundo cuartil: Como ;5,5
4
22
4
112


entonces:
75,1375,013
2
5,1
131
2
45,5
132 

Q
4
33
4
113


entonces:
125,15125,114
2
25,2
141
2
625,8
143 

Q

OTRO ANÁLISIS: Ordenándolo los datos crecientemente: 10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15,
15, 16; luego:
 Como teníamos que ;75,2
4
11
4
111
1 

Q al revisar la posición 2, le corresponde a 11, pero
como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 11 y 11 de la siguiente forma:
    11025,011111125,0111 =+=+=Q 
Así, el valor del Q1 es 11 y bajo de él deja el 25 % de la serie de datos.
4
22
4
112
2 

Q al revisar la posición 5, le corresponde a 13, pero
como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 13 y 13 de la siguiente forma:
    1305,01313135,0132 =+=+=Q 
Así, el valor del Q2 es 13 y bajo de él deja el 50 % de la serie de datos.
4
33
4
113
3 

Q al revisar la posición 8, le corresponde a 14,
pero como hay decimales, debemos interpolar entre la posición 14 y 15 de la siguiente forma:
    75,1475,014175,014141575,0143  =+=+=Q
Así, el valor del Q3 es 14,75 y bajo de él deja el 75 % de la serie de datos.
Notemos que usando EXCEL tenemos que:
PRIMER CUARTIL SEGUNDO CUARTIL
TERCER CUARTIL
11,5 13
14,5
Fórmula: =CUARTIL(Matriz; k) k=1,2,3
EJERCICIO: Hallar
(a) Los deciles.
(b) Los percentiles (30, 60,90).
(c) Verificar los cálculos en Excel (=PERCENTIL(Matriz; k) k entre 0 y 1.
EJEMPLO 2: Dado el conjunto de calificaciones, en intervalos de clase, de una evaluación
parcial realizada a los estudiantes que le aplicaron una prueba de conocimiento en el Instituto
Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” (IUTAJS). Veamos la siguiente tabla en donde
tenemos la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa, la frecuencia relativa porcentual:
SOLUCIÓN:

Tabla 2
Calificaciones de una evaluación parcial realizada a los estudiantes de una prueba de
conocimiento en el IUTAJS
Puntaje en una
prueba de
conocimientos
( iX )
Estudiante
s
if
af rf rf % X ii Xf 
10-14 5 5 12,0
42
5

12% 12 60
15-19 3 8 07,0
42
3

7% 17 51
20-24 6 14 14,0
42
6

14% 22 132
25-29 14 28 33,0
42
14

33% 27 378
30-34 6 34 14,0
42
6

14% 32 192
35-39 3 37 07,0
42
3

7% 37 111
40-44 5 42 12,0
42
5

12% 42 210
42 if 99,0 rf 1134 ii Xf
Nota: Tabla elaborada durante el lapso académico 2014-2 en el IUTAJS.
De acá que la media es:
 Fórmula
1
1





 K
i
i
K
i
ii
f
Xf
X

Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 2: 27
42
1134
X
La posición aproximada de la mediana es ,215,042  equivalente a ;
2
N
este valor está
contenido en el ,28af el cual corresponde al intervalo de clase 25 a 29, además:
 1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que contiene
la mediana) es 24,5.
 N = Número de datos (es decir, la frecuencia total) son 42.
 af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana es 14.
 if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana es 14.
 i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana es 5.

Así, de acuerdo con la fórmula  8 :
27Mediana
5,25,24Mediana
5
2
1
5,24Mediana
5
14
7
5,24Mediana
5
14
1421
5,24Mediana





















 

INTERPRETACIÓN: El 50% de los estudiantes logró en el examen de conocimientos
puntajes superiores a 27.
En este ejemplo la moda es 27 que corresponde al punto medio de la categoría modal:
27
2
54
2
2925


mX
Esta es la categoría que tiene mayor frecuencia en la distribución (14 estudiantes).
GRÁFICAS

EJEMPLO DE CLASE: Sean las siguientes calificaciones de una evaluación en Matemática
realizada en la Universidad Nacional Experimental del Yaracuy (UNEY) a unos estudiantes de la
Ingeniería en Instrumentación y Control: 2, 5, 6, 4,2 9, 11, 18, 19, 14, 2, 1, 6, 10, 11, 10, 12, 19, 14,
12, 10, 3, 8, 9, 9, 8. Realizar:
1. Una tabla estadística y calcular:
(a) Intervalo de clase (Con 4 categorías).
(b) Frecuencias absoluta
(c) Frecuencia acumulada.
(d) Frecuencia relativa absoluta y porcentual.
(e) Marca de Clase (Punto Medio).
2. Con base a lo anterior hallar:
(a) Media.
(b) Mediana.
(c) Moda.
(d) Cuartiles.
(e) Deciles.
(f) Percentil (30, 60)
3. Hacer los gráficos: Histograma, Polígono de Frecuencia y Diagrama Circular.
SOLUCIÓN: Antes de hacer la tabla debemos buscar los Intervalos de Clase:
Primero ordenamos los datos en forma ascendente (creciente): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9,
9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 14, 18, 19, 19. Ahora, podemos agrupar las calificaciones de los
estudiantes en intervalos de clase en consonancia con los pasos descrito:
1. Se ubica las calificaciones superior e inferior: ( 19sX y 1iX ). Y luego se determina la
amplitud total ( 18119 tA ).
2. Dado que esta fijo el número de intervalos de clases ( 4m categorías), se determina la
amplitud del intervalo en cada categoría 





 5,4
4
18
i . Como el resultado no es un numero
entero (como este caso), por lo general se redondea al inmediato superior más próximo, cuando
la primera cifra decimal es cinco o más; en nuestro caso, la distribución tendrá .5i
3. De los datos originales se toma la menor edad (1) como límite inferior del primer intervalo y se
le suma 1i para obtener el límite superior de la primera categoría de edades   .5151  Es
decir, que la primera categoría de edades está conformada por 1-5 (insistimos, es recomendable
que todas las categorías tengan el mismo intervalo para facilitar los cálculos). Así,
sucesivamente se construye el segundo intervalo (6-10) a partir del primero, se coloca en su
límite inferior la calificación que sigue al límite superior de la primera categoría (6) y se le
suma (5-1); de esta forma se procede para las restantes categorías.
Ahora procedamos a extraer la frecuencia absoluta ( if ) en cada Intervalo de Clase: 1, 2, 2, 2,
3, 4, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 14, 14, 18, 19, 19, además agreguemos a la tabla
las frecuencias acumuladas ( af ), frecuencia relativa 






N
f
f i
r y relativa porcentual






 %100%
N
f
f i
r , la Marca de Clase .18
2
2016
,13
2
1511
,8
2
106
,3
2
51














X

Tabla 3
Calificaciones de una evaluación en Matemática realizada en la UNEY a estudiantes
de la Ingeniería en Instrumentación y Control.
Puntaje en una
prueba ( iX )
Estudiantes
if af rf rf % X ii Xf 
1-5 7 7 27,0
26
7

27% 3 21
6-10 10 17 38,0
26
10

38% 8 80
11-15 6 23 23,0
26
6

23% 13 78
16-20 3 26 12,0
26
3

12% 18 54
26  ifN 1 rf 233 ii Xf
Nota: Tabla elaborada durante el lapso académico 2014-2015 en la UNEY.
De acá que la media es:
 Fórmula
1
1





 K
i
i
K
i
ii
f
Xf
X

Luego de acuerdo con los cálculos de la Tabla 3:
96,8
26
233
X
La posición aproximada de la mediana es ,135,026  equivalente a ;
2
N
este valor está
contenido en el ,17af el cual corresponde al intervalo de clase 6 a 10, además:
 1L = Frontera o límite inferior real de la clase de la mediana (es decir, de la clase que contiene
la mediana) es 5,5.
 N = Número de datos (es decir, la frecuencia total) son 26.
 af = Frecuencia acumulada antes de la fila de la posición aproximada de la mediana es 7.
 if = Frecuencia absoluta de la clase de la mediana es 10.
 i = Intervalo que corresponda a la posición de la mediana es 5.
Así, de acuerdo con la fórmula  8 tenemos que la Mediana (Clase Medianal) es:

5,8Mediana
35,5Mediana
10
30
5,5Mediana
5
10
6
5,5Mediana
5
10
713
5,5Mediana















 

INTERPRETACIÓN: El 50% de los estudiantes logró en el examen de conocimientos
puntajes superiores a 8,5.
Ahora, encontremos la moda (Clase Modal) usando la fórmula  9 con:
 iL = Es el límite inferior de la clase modal es 6.
 if = Es la frecuencia absoluta de la clase modal es 10.
 1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal es 7.
 1if = Es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal es 6.
 ia = Es la amplitud de la clase es 5.
En este caso tenemos que:
   
14,8Mo
14,26Mo
7
15
6Mo
5
7
3
6Mo
5
43
3
6Mo
5
610710
710
6Mo











Cálculos de los cuartiles:
4
26
4
261


entonces:
64,564,41
7
5,32
15
7
5,6
15
7
05,6
11 

Q

 Cálculo del segundo cuartil: Como ;13
4
52
4
262


entonces:
936
10
30
65
10
6
65
10
713
62 

Q
4
78
4
263


entonces:
08,1108,211
6
5,12
115
6
5,2
115
6
175,19
113 

Q
Cálculos de los deciles:
 Cálculo del primer decil: Como ;6,2
10
26
10
261


entonces: 85,25
7
06,2
11 

D
 Cálculo del segundo decil: Como ;2,5
10
52
10
262


entonces: 71,45
7
02,5
12 

D
 Cálculo del tercer decil: Como ;8,7
10
78
10
263


entonces: 4,65
10
78,7
63 

D
 Cálculo del cuarto decil: Como ;4,10
10
104
10
264


entonces: 7,75
10
74,10
64 

D
 Cálculo del quinto decil: Como ;13
10
130
10
265


entonces: 95
10
713
65 

D
 Cálculo del sexto decil: Como ;6,15
10
156
10
266


entonces: 3,105
10
76,15
66 

D
 Cálculo del séptimo decil: Como ;2,18
10
182
10
267


entonces: 125
6
172,18
117 

D
 Cálculo del octavo decil: Como ;8,20
10
208
10
268


entonces: 17,145
6
178,20
118 

D
 Cálculo del noveno decil: Como ;4,23
10
234
10
269


entonces: 7,165
3
234,23
169 

D
Ahora hallemos los percentiles:
100
780
100
2630


entonces: 4,65
10
78,7
630 

P

100
1560
100
2660


entonces: 3,105
10
76,15
660 

P
LA MEDIA GEOMÉTRICA G
                           
              
18,7
10789101094,1
361181961441211000729643654381
19181412111098654321
26 22
26
26 21222332211131




G
G
G
G
LA MEDIA ARMÓNICA H
 
3,5
19,0
1
9,4
26
11
19
2
18
1
14
2
12
2
11
2
10
3
9
3
6
2
5
1
4
1
3
1
2
3
1
1
26
11










H
H
H
H
EJERCICIO: Hallar LA RAÍZ CUADRADA MEDIA
En EXCEL
Media 9
Error típico 1,0137516
Mediana 9
Moda 2
Rango 18
Mínimo 1
Máximo 19
Suma 234
Cuenta 26
Clase Frecuencia
3 7
8 10
13 6
18 3

En EXCEL
Primer Cuartil Segundo Cuartil Tercer Cuartil
5,25 9 11,75
En EXCEL
Percentil 30 Percentil 60
6 10
ANEXO
OBSERVACIONES SOBRE LA MEDIA ARITMÉTICA
(a) La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
(b) La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
(c) La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los
siguientes pesos: 65 kg, 69kg, 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg. La media es igual a
74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
(d) La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
iX iX if
 63,60 61,5 5
 66,63 64,5 18
 69,66 67,5 42
 72,69 70,5 27
 ,72 8
100 if
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de
último intervalo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Haber, Audrey. (1973). Estadística General. Traducción de Ricardo Lazada.
Meyer P. (1998). Probabilidad y Aplicaciones estadísticas. Edición revisada. Addison Wesley
Logman.
Pulido, J. (2006). Estadística aplicada a la educación. Manual Instruccional. UPEL-IMPM. Caracas:
Venezuela.
Ritchey F. (2002). Estadística para las ciencias sociales. Mc Graw Hill.
Spiegel, Murray R. 1996). Teoría y problemas de probabilidad y estadística. Traducción de Jairo
Osuna S. México: McGraw-Hill.
Walpole R., Myers R., Myers S., Ye K. (2007). Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias.
Octava Edición. Pearson, Prentice Hall.

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