Fundamentos de cinemática

1. B II FUNDAMENTOS DE MECÁNICA
L 4 FUNDAMENTOS DE ESTÁTICA
L 5 FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
L 6 FUNDAMENTOS DE DINÁMICA
L 7 TRABAJO Y ENERGÍA
L 8 DINÁMICA DE SISTEMAS Y SÓLIDO RÍGIDO
L 9 MÁQUINAS SIMPLES
L10 FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD
L11 FUNDAMENTOS DE MECÁNICA DE FLUIDOS

2. 5. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
1. Introducción.
2. Vector de posición, desplazamiento y trayectoria.
3. Vector velocidad media, velocidad instantánea.
4. Vector Aceleración media, aceleración instantánea.
5. Algunos movimientos: MRU,MRUA. Representaciones
gráficas.
6. Componentes intrínsecas de la aceleración.
7. Movimiento de proyectiles.
8. Aplicaciones. Ángulos de lanzamiento, velocidad mínima
de lanzamiento, alcance máximo.
9. Cinemática del movimiento circular. Velocidad y
aceleración angular.
10.Relación entre las velocidades y aceleraciones angulares y
lineales.
Cinemática

3. © Rafael Arteaga
5.1 Introducción
La mayor parte de nuestro conocimiento de la naturaleza, y del deporte,
se deduce de la observación de los movimientos
parece lógico comenzar desarrollando las ideas que se necesitan para
una valoración cuantitativa del movimiento
comenzaremos ocupándonos del movimiento rectilíneo de un objeto
para, posteriormente, ocuparnos de otros movimientos como el tiro
parabólico
La biomecánica es una disciplina que se basa en medidas cuantitativas
que han de relacionarse de alguna manera. Con frecuencia se comparan
con predicciones teóricas, que si coinciden con los resultados
experimentales, decimos que comprendemos el fenómeno tratado
Un tratamiento cuantitativo del movimiento requiere, indudablemente,
medidas de tiempos y distancias. Ello conlleva, en primer lugar, una cierta
destreza en las magnitudes y unidades implicadas en dichas medidas.
Cinemática

4. © Rafael Arteaga
5.1 Introducción
 Responder a ciertas cuestiones tales como la altura a la
que puede llegar una pelota cuando es lanzada verticalmente,
o el ángulo que debe formar la velocidad del centro de masas
de un saltador de longitud, en el momento del despegue, para
obtener alcance máximo son las que aprenderá a contestar
en este capítulo.
 Estudiaremos el movimiento más simple. Una partícula que
se mueve en línea recta, la cual utilizaremos a menudo para
modelar un cuerpo en movimiento, si los efectos de rotación
o de cambios de forma no son importantes.
 Así, cuando estudiemos una carrera de 100m lisos
podemos analizar el movimiento del atleta mediante el
análisis del movimiento de su centro de masas.
Cinemática

5. 5.2 Vector de posición, desplazamiento y
trayectoria
© Rafael Arteaga
tomaremos un Sistema de Coordenadas Cartesiano
como el de la figura en el que el vector vendrá dado
por sus componentes cartesianas y los vectores unitarios
Cinemática
:

x y z  x y z  A  A i  A j A k  A ,A ,A
kˆ y jˆ , i ˆ
Llamaremos vector de posición al vector que va desde el
origen de coordenadas O hasta la posición en cada instante, de
tal forma que la posición en dos instantes ty tvendrá dada
1 2  
por los vectores de posición
r   x ,y  , r 
 x ,y  1 1 1 2 2 2  el desplazamiento experimentado cuando la partícula se
traslada desde la posición 1 hasta la posición 2 es la línea
recta que une ambos vectores de posición, y vendrá dado por
  

  1 2 1 2 1 r r r x x ,y y 2     
Llamaremos trayectoria, s, al camino seguido por la
partícula Si la trayectoria es curvilínea, la trayectoria y el

módulo del desplazamiento no coinciden.
r  s

6. © Rafael Arteaga
5.3 Vector velocidad media, instantánea
Definimos el vector velocidad media como el cociente entre
el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo
transcurrido:
Cinemática
r
t


vm 


Ejemplo: Calcule la
velocidad media de un
nadador como el de la
figura que realiza 50
metros en 21 segundos
50
 
 i ˆ m/s . i ˆ vm 2 38
21

 La velocidad media nos proporciona información que es menos
precisa cuanto mayor sea el intervalo temporal para la cual la
calculamos. Lo ideal, especialmente en el deporte, es conocer la
velocidad en cada instante.

7. © Rafael Arteaga
Si los intervalos de tiempo, Δt,
los hacemos cada vez más
pequeños, el vector
desplazamiento se acerca a la
dirección de la recta tangente a
la curva en el punto P1.
Cinemática
5.3 Vector velocidad media, instantánea
r
t


vm 


 Definimos la velocidad instantánea como el límite del vector
velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Esto lo
expresamos de la siguiente forma:
dr
dt
r
t
v t
 




 0 lim

8. 1p
2p
x
2 x
1 x
1t 2t
x  x  x 2 1
t t  t 2 1
o
t
s t 1
x  55 m
v  55 m/s
Velocidad instantánea = pendiente
de la tangente
1 p
160 m
4 s
x
o
t
Velocidad media = pendiente
© Rafael Arteaga
5.3 Vector velocidad media, instantánea
Derivada de una función f(x) en
f (x ) f (x )
2 1
f (x ) lim x  
x
1 0

 
un punto x1
Cinemática

9. La aceleración de una partícula describe el cambio en la
velocidad de la partícula. Llamaremos vector aceleración
media a la variación del vector velocidad en un intervalo de
tiempo determinado
Vector aceleración media
m
v
a
t



Vector aceleración instantánea
1 p
2 p

v
2 v
1 v
v
Pendiente de la tangente= aceleración instantánea en 1 p
1 t 2 t
v v  v 2 1
t t  t 2 1

o
t
© Rafael Arteaga
5.4 Vector aceleración media, instantánea
Cinemática
t
am 


dv
dt
v

a t 
t

 0 lim

10. © Rafael Arteaga
5.4 Ejemplo v y aceleración media.
calculemos la velocidad y
aceleración media en el eje OX
de una articulación, por
ejemplo, el codo. Las
fotografías se realizan a
intervalos de tiempo
constantes de 0.5 s y en cada
una de ellas medimos las
coordenadas (x, y) de la
articulación del codo
Cinemática
26.5
longitud real
e  
longitud foto
x x
v (n) n n
0 5
1
.
m
 

2 07 0 95
3 3 2 
v ( ) m 2 24
. m/ s
. .
.
x x
.
0 5
0 5





11. © Rafael Arteaga
5.4 Ejemplo v y aceleración media.
Cinemática
De ésta manera obtenemos la tabla I. donde podemos observar que
inicialmente, aumenta la velocidad media, y en las dos últimas
medidas disminuye. Este hecho es corroborado por el valor
negativo de la aceleración media en las medidas 4 y 5.
26.5
longitud real
e  
longitud foto
x x
v (n) n n
0 5
1
.
m
 
2 . 07 0 .
95
x x
3 3 2 
 . m/ s
v ( ) m 2 24
.
.
0 5
0 5





12. 5.5 Algunos movimientos. MRU
© Rafael Arteaga
Cinemática
Como vimos anteriormente

v t  
La ecuación del movimiento será
cte
dr
dt
r
t


 

0 lim
  
  0
r r vt

cte v 
Si tomamos como la línea recta que define este movimiento como eje de las X, las
representaciones gráficas x-t, v-t y a-t son las que mostramos en la figura 2.6. La
representación x-t es una recta, ya que la ecuación 2.1 representa una recta de la
variable x en función de t cuya pendiente es la velocidad . La representación v-t
muestra una recta horizontal y, por último la gráfica a-t representa una recta
constante e igual a cero.

13. 5.7 Representación gráfica x-t, v-t y a-t
Interpretación geométrica gráficas x-t
© Rafael Arteaga
Movimiento rectilíneo uniforme, MRU (v = cte)
Cinemática

14. 5.5 Algunos movimientos. MRUA
Como vimos anteriormente
dv
dt
v

a t 
t

 0 lim
La primera ecuación del movimiento será
La segunda ecuación del movimiento será
La tercera ecuación del movimiento será
© Rafael Arteaga
  
  0
   1

  
r r v t at
2 2
2
0
  
   
La representación x-t es una ecuación cuadrática, que se corresponde con la ecuación
2 y representa la variable x en función de t. Como la velocidad, en cada instante, es la
recta tangente a la función en cada punto la gráfica x-t muestra como dicha tangente es
creciente según aumenta el tiempo. La representación v-t que se corresponde con la
ecuación 1 que indica que la velocidad en función del tiempo es una recta cuya
pendiente es la aceleración y, por último, la gráfica a-t representa una recta horizontal
de valor constante.
Cinemática
cte a 
v v at
2
0 0 2
v v a (r r ) 0

15. 5.7 Representación gráfica x-t, v-t y a-t
Interpretación geométrica gráficas x-t
© Rafael Arteaga
MR acelerado
MR desacelerado
Cinemática

16. 5.7 Representación gráfica x-t, v-t y a-t
Interpretación geométrica gráficas x-t
© Rafael Arteaga
Cinemática

17. 5.5 Pruebas de velocidad
© Rafael Arteaga
  
  0
   1

  
r r v t at
2 2
2
0
  
   
  
  0
Las pruebas de velocidad en atletismo (100 metros lisos), podemos modelizarlas
como una prueba compuesta de dos movimientos rectilíneos: uno inicial
uniformemente acelerado, y a continuación, uno con velocidad constante. Esto
viene representado gráficamente por la figura, aunque realmente el cambio de
MRUA a MRU no es instantáneo como mostramos en el tramo verde de dicha
figura.
Cinemática
v v at
2
0 0 2
v v a (r r ) 0
r r vt

18. 5.5 Pruebas de velocidad
© Rafael Arteaga
El nadador anterior realizó dicha prueba en 21 s. Si suponemos que partió del
reposo con aceleración constante a y alcanzó su velocidad máxima en 2.0 s la
cual mantuvo hasta el final de la prueba, ¿cuál fue la aceleración a del nadador?
¿Cuál fue el “recorrido la aceleración”? ¿Y la velocidad máxima?
  
   
Cinemática
  
  0
v v at
2
   1

  
r r v t at
0 0 2
2 2
2
0
v v a (r r ) 0
  
  0
r r vt
2 a  1.25 m/ s v m s máx  2.5 / x  2.5 m

19. 5.5 Pelota que sube y baja
© Rafael Arteaga
Las ecuaciones que rigen el
movimiento de subida y bajada
vendrán dadas por
Cinemática
 
v v gt ( 1)
0
  
h h v t 1/ 2
gt (2)
v v g h h (3)
y y
y
y y
2 ( )
0
2
0
2
2
0 0
  
Velocidades de subida y bajada:
2   2 (0  0) 
2
0
y y y y v v g v v0
Tiempos de subida y bajada:
Para la subida, donde la velocidad
final es cero, utilizando (1)
v
0
v gt t y
g
0    
0 y
Para la bajada, teniendo en
 
cuenta que v  
vy 0
y , y que ahora la
velocidad inicial es cero
v
g
v o gt t
y
y
0
0     

20. Un jugador de baloncesto que va a realizar un mate salta verticalmente 80 cm.
¿Cuánto tiempo emplea el jugador en saltar los primeros 15cm?¿Y los últimos
15cm antes de alcanzar la altura máxima?. Ayuda esto a explicar por qué los
jugadores parecen mantenerse en el aire cuando están alcanzando la altura
máxima .
© Rafael Arteaga
Cinemática
5.5 Salto vertical de un jugador baloncesto
Las ecuaciones que rigen el movimiento de
subida y bajada vendrán dadas por
 
v v gt ( 1)
0
  
h h v t 1/ 2
gt (2)
v v g h h (3)
y y
y
y y
2 ( )
0
2
0
2
2
0 0
  
Primeros 15 cm:
2
0     
v g( . ) v . m/ s y y 0 2 0 80 0 3 96 0
2      
0.15 0 3.96t 1/ 2gt t 0.04 s, t 0.77 s 1 2
Últimos 15 cm:
2 0.65  0.80  0 1/ 2gt
t  0.18 s
t  0.04 s

21. 5.6 Componentes intrínsecas de la aceleración
Componentes intrínsecas de la aceleración
 


 a
n a
a
c 

n
 p

v
Vector Aceleración
© Rafael Arteaga
Cinemática
 
dt
d vuˆ

dv
a t  
dt

 
duˆ
a t
dt
t   
uˆ v
dv
dt
d vuˆ
dt
t

Se puede demostrar que
r
v
t uˆ
r
duˆ
dt
 
r
2
   dv
 v

   
t r t u
r
u
dt
a a a

22. 5.6 Componentes intrínsecas de la aceleración
© Rafael Arteaga
Aceleración normal, radial o centrípeta
Cinemática
dv
dt  
a
Aceleración tangencial
Módulo Vector
dv
dt   
a
Módulo Vector
2
n
v
a


2
n
v
a r

 

23. 5.6 Componentes intrínsecas de la aceleración
© Rafael Arteaga
En un lanzamiento de disco, aunque el atleta mueva el disco a v
constante, existe una aceleración hacia el centro de la curva.
La fuerza central que proporciona dicha aceleración es la fuerza hacia
el centro que realiza el atleta
Cinemática

24. 5.7 Movimiento de Proyectiles.
© Rafael Arteaga
El movto está determinado
por el plano que define la
dirección de la v0 y la
aceleración de la gravedad, g.
las componentes de la v0 y
la a son:
Cinemática
Trayectoria de un proyectil

v v
0 0 0 cos

x

v v sen
0 y
0 0

a
x
 
a g
y
 0
podemos tratar este movimiento como una combinación de un
movimiento horizontal con velocidad constante y un movimiento vertical
con aceleración constante y hacia abajo, la aceleración de la gravedad
El movimiento en el eje OX vendrá determinado por la ecuación 1 y el
movimiento en el eje OY por la ecuaciones 2, 3 y 4. Esto es, con nuestra
notación vectorial, y omitiendo los vectores unitarios en ambos ejes de
coordenadas:
( 1)
( 2)
x  x 
v t
v  v 
gt
h h v t gt
1/ 2 (3)
  
2 ( ) (4)
0
0
2
0
2
2
0
0 0
v v g h h
y y
y
y y
ox
  

25. 5.7 lanzamiento oblicuo de una pelota
© Rafael Arteaga
  Calcule la altura
Cinemática
( 1)
( 2)
x x v t
v  v 
gt
h h v t gt
1/ 2 (3)
  
2 ( ) (4)
0
0
2
0
2
2
0
0 0
v v g h h
y y
y
y y
ox
  
máxima que alcanza, el
tiempo que tarda en caer
y ella distancia
horizontal que recorre
 Las componentes de
las velocidades iniciales
son
 
25 30 21 65
v cos . m/s
x
0
v sen . m/s
y
25 30 12 5
0
 
12 5
h  7.96 m  2   2  
. s
max .
.
t t vuelo 2 6
9 81
 
x x v t ox
   
21 65 2 6 56 29
0
x 0 . . . m

26. 5.7 lanzamiento oblicuo de una pelota
© Rafael Arteaga
si lanzamos un balón desde el
suelo, siempre con el mismo
ángulo, cuanta más velocidad le
imprimamos más lejos llegará.
lancemos el balón con la misma
velocidad y distintos ángulos. El
alcance máximo lo obtendrá para
un ángulo de lanzamiento de 45º,
siempre y cuando llegue al suelo a
la misma altura, como vemos en
la figura 16.
Los ángulos que obtienen el mismo alcance, como 61º y 29º ó 53º y 37º, han de
cumplir
Cinemática
   
º máx 45
2
 
 
Esto mismo se cumplirá cuando el punto de lanzamiento y el punto de llegada no
están al mismo nivel.

27. 5.7 lanzamiento oblicuo de una pelota
© Rafael Arteaga
Cinemática
• Un deporte donde el ángulo de lanzamiento tiene mucha importancia es, sin
duda, el golf. De hecho los distintos fabricantes diseñan las cabezas de los palos
con distintos ángulos, según el alcance que se desee, figura 17.
• El ángulo que forma la cabeza del palo de golf respecto a la vertical, como se
ve en la misma figura a la izquierda determina el ángulo de salida de la bola de
golf, figura 17 a la derecha.

28. 5.7 lanzamiento oblicuo de una pelota
© Rafael Arteaga
En la tabla II podemos ver como al
aumentar el ángulo con respecto a la
vertical del palo (loft), disminuye el
alcance.
Estos valores son relativos, pues también
va a depender de la morfología del golfista,
ya que sus brazos contribuyen a aumentar
el radio de giro en el swing, y por tanto la
velocidad de impacto de la cabeza del
palo.
Los jugadores de golf saben que palo
deben utilizar para cada golpe, en función
de la distancia horizontal que deseen que
alcance la bola.
En algunas ocasiones, cuando la bola
debe evitar un obstáculo utilizan “palos
cortos” para que ésta vuele alto, como por
ejemplo un hierro 9, un Pitch, o un sand-wedge.
Cinemática
valores medios del alcance para un
jugador de hándicap 10

29. © Rafael Arteaga
( 1)
( 2)
x  x 
v t
v  v 
gt
h h v t gt
1/ 2 (3)
Cinemática
5.7 Movimiento de Proyectiles
  
2 ( ) (4)
0
0
2
0
2
2
0
0 0
v v g h h
y y
y
y y
ox
  

30. 5.8 Aplicaciones. Ángulos de lanzamiento, v
mínima de lanzamiento, X máximo.
Aplicaciones
• Aplicaciones: Ángulos de lanzamiento, velocidad mínima de
lanzamiento, tiempo de vuelo
  2 2 1
   
tagα w w 2wh x
x
© Rafael Arteaga
Cinemática
¡ h es la altura desde el punto de lanzamiento !

31. 5.8 Aplicaciones. Ángulos de lanzamiento, v
mínima de lanzamiento, X máximo.
© Rafael Arteaga
 Las dos soluciones para los
ángulos posibles de lanzamiento
las denotaremos por + y - ,
figura 18.
 Esto es, si queremos alcanzar
el punto (x,h) con una v0 tenemos
, en general, dos ángulos, + y -,
mediante los cuales podemos
alcanzar el blanco .
 Ahora bien, la ecuación nos
dice mucho más.
Cinemática
 2 2  tag  1/ x w  w  2wh  x

32. 5.8 Aplicaciones. Alcance máximo para un
móvil con h inicial ≠ h final.
© Rafael Arteaga
para que exista solución "real" para
el ángulo , debe cumplirse que
lo que implica un valor máximo
para el alcance
 Una vez hallado el alcance
máximo, el ángulo con el que
debemos obtener dicho alcance se
deduce fácilmente
Cinemática
1
tag 2 2     
( w w 2wh x )
x
2 0 2 2 w  wh  x 
x w wh máx 2 2  
w
máx x
tag 
Para el caso particular cuya v 1 2 m / s y 0  h 2.30 m 0 
x m máx  16.83
. º
14 .
69
  arctag 
.
41 12
16 83
h = -h0
xmáx
vo
h0
+

33. 5.8 Lanzamiento a canasta.
Un jugador de baloncesto desea lanzar
un tiro a 7m del centro de la canasta. La
distancia vertical desde el punto de
lanzamiento al centro de la canasta es de
0.9m:
© Rafael Arteaga
Oposición de un contrario a 3 metros:
9 19 3 3 62 65 9 19 2 2 2
( . ) ( ( . ) . )
h 3 48
9 19 3 3 34 66 9 19 2 2 2
( . ) ( ( . ) . )
h 1 35
Cinemática
Ángulos posibles de lanzamiento:
62 65

. º
34 66
. º





Para el lanzamiento con +=62.65º,
Para el lanzamiento con -
=34.66º
m
x tag
2 x
9 19
.
.

  

m
x tag
2 x
9 19
.
.

  


34. 5.8 Probablemente uno de los goles más
espectaculares de los últimos tiempos.
Probablemente, uno de los goles más espectaculares de los últimos tiempos, en
finales europeas de clubes, ha sido el gol del jugador del Zaragoza, Nayim, en la
final de la recopa de Europa de 1995. Sabiendo que la distancia horizontal desde
el punto de lanzamiento hasta el punto de entrada a la portería es de 50m, la
altura de la portería es de 2.44m y suponiendo que el lanzamiento lo efectuó a 50
cm del suelo y a una velocidad de 25m/s.¿Entre qué ángulos, con respecto a la
horizontal, pudo haber golpeado el balón Nayim , y que éste entrara en la portería
en la misma vertical? g= 9.81m/s2
© Rafael Arteaga
Cinemática

35. 5.8 Probablemente uno de los goles más
espectaculares de los últimos tiempos.
© Rafael Arteaga
Ángulos de lanzamiento para que el balón
llegue tocando la línea de portería
 2   2  tag 1/ 50 63.71 63.71  2x63.71  0.5  50
/ ( . . . . ) 2 2 tag 1 50 63 71 63 71  2x63 71x1 94 50
Cinemática
64 32

. º
25 10
. º





Ángulos de lanzamiento para que el balón
llegue tocando el larguero
63 41

. º
28 81
. º






36. 5.8 Probablemente uno de los goles más
espectaculares de los últimos tiempos.
© Rafael Arteaga
Hemos cogido la línea de
meta y el larguero como los
puntos extremos de la línea
vertical por la que puede
entrar el balón. Entonces, los
ángulos necesarios para que
el balón llegue entre el
larguero y la línea de meta,
figura 23 serán los intervalos
 
25.10º ,28.81º 3.71º
  
63.41º ,64.32º 0.91º
Cinemática



  

La mecánica newtoniana, a veces, nos da idea de la destreza que requiere algunas
acciones deportivas.

37. 5. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
Ejercicios. Mono
© Rafael Arteaga
Cinemática

38. 5. FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA
Ejercicios. Rebote pelota
© Rafael Arteaga
Cinemática

39. 5.9 Cinemática del angular.
© Rafael Arteaga
La variables de estudio tales como
trayectoria desplazamiento,
velocidad y aceleración angular
son análogas
El movimiento humano se
caracteriza por continuas
combinaciones de movimientos
lineales y angulares:
 En la figura hay un
desplazamiento lineal del atleta a
lo largo del círculo de lanzamiento
 y un movimiento angular del
atleta en torno al eje de rotación
vertical que pasa por el cdg
combinado del lanzador y martillo.
Cinemática

40. © Rafael Arteaga
La mayor parte de los movimientos que realiza
el ser humano son movimientos angulares,
donde uno o varios segmentos rotan en torno a
articulaciones:
 Extensión del codo. Eje de rotación
Cinemática
5.9 Cinemática del angular.
En otras ocasiones el eje de rotación
está en un punto fijo:
 barra fija
O en el cdg de la persona:
 CDG del gimnasta

41. © Rafael Arteaga
Ubicación del eje de rotación:
 normalmente se identifica con la
posición central de la articulación.
 sin embargo el eje de R no es fijo,
debido a las asimetrías en cada
articulación
Por ej: En la rodilla el cóndilo medial
y el lateral del fémur se modifican al
desplazarse durante la extensión, y el
eje instantáneo de rotación va
cambiando durante la extensión.
Cinemática
5.9 Cinemática del angular.

42. © Rafael Arteaga
Unidad de medida angular:
Grado
Radián en MKS o
Internacional
Cinemática
5.9 Posición y desplazamiento angular
• Desplazamiento angular:
ΔΘ = Θ2 – Θ1
• La ecuación que relaciona
el radio r del círculo, el
ángulo y la longitud del arco
es s  R
•El sentido del
desplazamiento angular lo
podemos obtener mediante la
regla de la mano derecha

43. 5.9 Posición y desplazamiento angular
© Rafael Arteaga
Cinemática
Las posiciones angulares
pueden ser:
Ángulos absolutos:
ángulo de salida del balón
respecto al plano del suelo
Ángulos relativos:
normalmente determinado
por los ejes longitudinales de
los segmentos corporales que
se unen en los centros
articulares
articulación del codo
Articulación del hombro

44. © Rafael Arteaga
5.9 Posición y desplazamiento angular
Ángulo de inclinación del retropié
en el estudio de la carrera y la
marcha:
 indica el grado de
pronación/supinación durante la
fase de apoyo de la marcha o la
carrera (salto de h)
 El ángulo se calcula a partir de 4
puntos epidérmicos que determina 2
vectores:
 el que tiene su origen en el
calcáneo
 el dela tibia
Cinemática
Angulación +,- o neutra el pie es
supinador, pronador o normal

45. 5.9 Cinemática del movimiento circular.
Velocidad y aceleración angular
Magnitudes angulares
Desplazamiento
angular
s
R
 
Arco es igual a radio
por ángulo
Velocidad angular

d
  
k k
dt
R




Aceleración angular
2
 
2
d d
   
k k k
dt dt
s 
o s  R
Vector velocidad angular
Vector aceleración
angular



n
o
s
R
R
 
R s

v


r
x
y
z



© Rafael Arteaga
Cinemática

46. © Rafael Arteaga
Cinemática
5.9 velocidad y aceleración angular
Para comprender las
relaciones entre las
variaciones de las
variables cinemáticas
angulares, en la fig.
12 se representan la
posición angular la
velocidad y la
aceleración en
función de t en una
flexión de rodilla
Sentido de la 

47. © Rafael Arteaga
5.9 relación entre movimiento lineal y angular
Los puntos A y B recorren la misma distancia
angular en el mismo tiempo.
Pero el punto B recorre una distancia lineal
mayor, y deberá tener mayor velocidad lineal
La única diferencia está en que el radio de
giro de B, es mayor
 En aquellas actividades deportivas en la
que se pueda aumentar el radio de rotación,
sin disminuir la velocidad angular, se
incrementará la velocidad tangencial del
extremo distal analizado:
Golpeo en fútbol: se puede incrementar la
velocidad angular de la pierna, o el radio de
rotación extendiendo todos sus segmentos, o
las dos cosas.
 Golpeo en Tenis.
Cinemática

48. 5.9 relación entre movimiento lineal y angular
Relación entre magnitudes lineales y angulares
Vector Velocidad
  
 
v r
Vector Aceleración Tangencial Vector Aceleración Normal, Radial o Centrípeta
  
   a v n
a  R
Vector Aceleración
    
   
a r v
a r
  
 
v
2
R
acp

Movimiento circular en el plano xy (centrado en O)
Velocidad vectorial Aceleración vectorial
  
 
v R


o

v
p
R 


    
   
a R v
  
Aceleración tangencial
vectorial
   a v n
a R
  
 
Aceleración normal
vectorial
© Rafael Arteaga

49. © Rafael Arteaga
5.9 relación entre movimiento lineal y angular
Golf:
 Cobra gran a importancia el
alineamiento y la extensión de los
segmentos en la fase final del gesto con el
objetivo de aumentar el radio de rotación.
 Se pueden utilizar palos más largos, o
modificar el agarre de las manos
acercándolo o alejándolo del final de la
empuñadura para modificar el radio de
rotación, en el golpeo
Lanzamiento de martillo:
En algunos tipos de entrenamiento se
utilizan cables más cortos cuando el
objetivo es mejorara la técnica y la v de
giro
Cables más largos para aumentar la
fuerza que tiene que desarrollar el
lanzador(fuerza centrípeta).
Cinemática

50. © Rafael Arteaga
5.9 relación entre movimiento lineal y angular
En el movimiento en la barra fija, cuanto más
velocidad lineal necesite el gimnasta, mayor
aceleración centrípeta necesitará para rotar, y
mayor será la fuerza que deba ejercer el gimnasta
sobre la barra fija.
Cinemática
v
R
acp
2

Existen diferencias entre correr por la calle
5 y la 1:
 Debido al mayor R de rotación la Acp
será menor, suponiendo que ambos sean
capaces de desarrollar la misma v.
 El corredor de la calle 1 debe aplicar una
mayor fuerza cp que el de la 5, tiene una
mayor pérdida de v al tomar la curva.

51. © Rafael Arteaga
5.9 relación entre movimiento lineal y angular
La variables de estudio tales como
trayectoria desplazamiento,
velocidad y aceleración angular
son análogas
El movimiento humano se
caracteriza por continuas
combinaciones de movimientos
lineales y angulares:
 En la figura hay un
desplazamiento lineal del atleta a
lo largo del círculo de lanzamiento
 y un movimiento angular del
atleta en torno al eje de rotación
vertical que pasa por el cdg
combinado del lanzador y martillo.
Cinemática

52. © Rafael Arteaga
5.9 relación entre movimiento lineal y angular
La variables de estudio tales como
trayectoria desplazamiento,
velocidad y aceleración angular
son análogas
El movimiento humano se
caracteriza por continuas
combinaciones de movimientos
lineales y angulares:
 En la figura hay un
desplazamiento lineal del atleta a
lo largo del círculo de lanzamiento
 y un movimiento angular del
atleta en torno al eje de rotación
vertical que pasa por el cdg
combinado del lanzador y martillo.
Cinemática