Curso Electromagnetismo II

Notas de curso de
Electromagnetismo II
Prof. Antonio Fern´andez-Ra˜nada
Curso 2006/07
Universidad Complutense
Facultad de F´ısica
Ciudad Universitaria, Madrid

Bibliograf´ıa
• F. Sánchez Quesada, L. L. Sánchez Soto, M. Sancho Ruiz, y J. Santamar´ıa,
“Fundamentos de electromagnetismo”(S´ıntesis, Madrid, 2000)
• J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, “Fundamentos de la teor´ıa
electromagnética”(Addison Wesley, 1994).
• S. Velayos, “Temas de f´ısica III”(Copigraf, Madrid, 1976).
• P. Lorrain, D.R. Courson, “Campos y ondas electromagnéticas”(Selecciones
Cient´ıficas, Madid, 1994).
• R. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, ”“F´ısica, Vol. II: Electromagnetismo
y materia”(Addison-Wesley Iberoamericana, Madrid, 1987).
• R.K Wangness, “Campos electromagnéticos”. (Editorial Limusa, México,
1979).
Con la colaboración del estudiante Julián Moreno Mestre en la preparación
de las figuras.
0–2
—AntonioFernández-Rañada2006—
notas EM II (v. 1/diciembre/2006)

Índice general
1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell 1–1
1.1. Ecuaciones del electromagnetismo estático . . . . . . . . . . . . . 1–1
1.2. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2
1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos . . . . . 1–3
2. Problemas de contorno en campos estáticos I 2–1
2.1. Teorema de Green. Representación integral del potencial elec-
trostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1
2.2. Unicidad de la solución de los problemas de contorno de Dirichlet
y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–4
2.3. El teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5
2.4. Solución del problema electrostático de valores en el borde con las
funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–6
2.5. El método de las imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9
2.5.1. Carga puntual y plano conductor a tierra . . . . . . . . . . 2–9
2.5.2. Carga puntual y esfera conductora a tierra . . . . . . . . . 2–11
2.5.3. Carga puntual y esfera conductora, cargada y aislada . . . 2–15
2.5.4. Carga puntual y esfera conductora a un potencial fijo . . . 2–15
2.5.5. Esfera conductora en un campo eléctrico uniforme . . . . . 2–16
2.6. Sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–17
3. Problemas de contorno en campos estáticos II: Separación de
variables 3–1
3.1. Método de separación de variables en coordenadas cartesianas . . 3–1
0–3

Índice general
3.1.1. Un caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3
3.2. La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . 3–5
3.2.1. Ecuación de Legendre y polinomios de Legendre . . . . . . 3–6
3.2.2. Problemas simples con simetr´ıa azimutal . . . . . . . . . . 3–8
3.2.3. Funciones asociadas de Legendre y Armónicos esféricos . . 3–10
3.3. La ecuación de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de
Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–12
4. Energ´ıa y fuerzas en campos electrostáticos 4–1
4.1. Energ´ıa electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–1
4.1.1. Caso de varias cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 4–1
4.1.2. Caso de una distribución de carga . . . . . . . . . . . . . . 4–3
4.1.3. Densidad de energ´ıa de un campo electrostático . . . . . . 4–4
4.1.4. Masa electromagnética. El modelo de electrón de Abraham-
Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–7
4.1.5. Desarrollo multipolar de la energ´ıa de una distribución de
carga en un campo exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–10
4.2. Energ´ıa de un sistema de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14
4.3. Energ´ıa electrostática en dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . 4–15
4.4. Fuerzas en sistemas electrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18
5. Energ´ıa y fuerzas en sistemas magnetostáticos. 5–1
5.1. Energ´ıa magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–1
5.2. Energ´ıa de un cuerpo en un campo magnetostático . . . . . . . . 5–4
5.3. Fuerzas en sistemas magnetostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5
5.4. Dipolo en un campo magnetostático. Fuerza, torque y energ´ıa. . . 5–6
5.5. El teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–8
6. Introducción a las ondas electromagnéticas 6–1
6.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1
6.2. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–2
6.2.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y
transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–3
0–4

´Indice general
6.3. Ondas electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–6
6.3.1. Ondas planas en medios no conductores . . . . . . . . . . 6–6
6.3.2. Ondas planas en un medios conductores . . . . . . . . . . 6–8
6.4. Soluciones retardadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–10
0–5

´Indice general
0–6

Cap´ıtulo 1
Recordatorio de las ecuaciones de
Maxwell
1.1. Ecuaciones del electromagnetismo estático
Recordemos que el electromagnetismo estático se basa en las cuatro ecuaciones
siguientes
Electrostática : · E =
ρ
0
, × E = 0, (1.1)
Magnetostática : · B = 0, × B = µ0j, (1.2)
siendo E, B, j y ρ independientes del tiempo de la coordenada espacial r . Para
aplicarlas a sistemas que incluyan part´ıculas cargadas, es preciso añadir la segun-
da ley de Newton y la fuerza de Lorentz
F = q (E + v × B) . (1.3)
Como se ve, los dos pares de ecuaciones (1.1) y (1.2) están desacoplados; por
tanto también lo están la electricidad y el magnetismo estáticos, lo que significa
que podemos resolver separadamente cada uno de esos dos pares. En el caso
no estático, es decir con campos, densidades de carga y de corriente libres que
var´ıan en el tiempo, esas ecuaciones son incompletas. Para completarlas, es preciso
añadir dos términos nuevos en los que aparecen las derivadas temporales de los
vectores eléctrico E y magnético B. Esos dos términos están asociados a dos
fenómenos nuevos de gran importancia: la inducción de Faraday y la corriente de
desplazamiento de Maxwell. La novedades que aportan esos dos términos se puede
resumir as´ı: la derivada del campo E respecto al tiempo es fuente del campo B y
viceversa.
1–1

Cap´ıtulo 1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell
1.2. Las ecuaciones de Maxwell
Concretando lo dicho más arriba, debemos añadir los términos −∂B/∂t a la
segunda ecuación(1.1) y ∂D/∂t a la densidad de corriente j en (1.2), de modo
que las cuatro ecuaciones de Maxwell toman la forma
· E =
ρ
0
, (1.4)
· B = 0 , (1.5)
× E = −
∂B
∂t
, (1.6)
× B = µ0j + µ0 0
∂E
∂t
. (1.7)
Cuando el medio es un material distinto del vac´ıo, estas ecuaciones se escriben
a menudo en la forma
· D = ρ, (1.8)
· B = 0, (1.9)
× E = −
∂B
∂t
, (1.10)
× H = j +
∂D
∂t
, (1.11)
a las que se deben añadir las relaciones constitutivas D = E, B = µH y, si la
corriente no está dada a priori, tambien j = σE.
En muchas ocasiones, se trata de estudiar cómo var´ıa el campo electro-
magnético en interacción con cargas libres cuyo movimiento no está dado a priori
sino que está afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante
de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. Para tratarlo, hay que
acoplar las ecuaciones de Maxwell a las de movimiento de cada carga. Para ello
hay que hacer dos cosas
(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones
ρe = −e
k
δ(3)
(r − rk) , (1.12)
y como densidad de corriente
je = −e
k
δ(3)
(r − rk)vk . (1.13)
(ii) Añadir las ecuaciones de movimiento de los electrones
d
dt
mvk
(1 − v2
k/c2)1/2
= Fk = −e(E + vk × B). (1.14)
1–2

1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos
que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada
carga dada por la expresión de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y
B = B(r, t) en la posición de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos
aproximar el primer miembro por su expresión no relativista d(mv)/dt.
Estas ecuaciones están siendo comprobadas incontables veces cada d´ıa, tanto
desde el punto de vita teórico como en su aplicación a multitud de instrumentos
y dispositivos, de los que tenemos muchos en nuestros hogares. Constituyen una
parte muy importante de la f´ısica básica.
1.3. Condiciones en la frontera entre dos mate-
riales distintos
Cuando dos dieléctricos están en contacto a través de una superficie S, se
plantea un problema, pues la superficie no pertenece propiamente a ninguno (no
está definida su permitividad) y hay una discontinuidad en ella. Para resolver
este problema, se recurre al teorema de Gauss, como veremos a continuación.
Consideraremos aqu´ı solamente una situación estática.
Sean dos medios 1 y 2, en contacto a través de una superficie, con permi-
tividades 1 y 2, tal como indica la figura, siendo n la normal a la superficie de
contacto, dirigida del medio 1 al 2. Tomemos la superficie S, un cilindro con bases
de área ∆a, cada una en uno de los medios, y apliquemos el teorema de Gauss
al vector desplazamiento D, suponiendo que en la superficie de contacto hay una
densidad de cargas libres σ.
D · n da = (D2 · n − D1 · n) ∆a = σ∆a,
o sea
(D2 − D1) · n = σ. (1.15)
Por tanto, si hay densidad de cargas libres en la superifice de contacto, la com-
ponente normal del vector desplazamiento tiene una discontinuidad.
Consideremos ahora el rectángulo de la figura, con dos lados paralelos a la
superficie de contacto y dos de longitud despreciable perpendiculares a ella. Sean
t el vector unitario tangente a la superficie de contacto en el plano del rectángulo.
Aplicando el teorema de Stokes a la circulación del vector E, resulta
(E2 − E1) · t = 0,
1–3

y como el vector t es arbitrario en el plano tangente a la superficie de contacto
(E2 − E1) × n = 0. (1.16)
Como vemos, la componente tangencial del campo eléctrico es continua, con in-
dependencia de que existan o no cargas eléctricas libres en la superficie.
Conviene a veces plantear esta cuestión en términos del potencial Φ. Las
ecuaciones (1.15) y (1.16) se pueden escribir como
2
∂Φ
∂n 2
− 1
∂Φ
∂n 1
= σ, (1.17)
∂Φ
∂t 2
−
∂Φ
∂t 1
= 0, (1.18)
donde ∂n y ∂t son las derivadas según la normal a la superficie y según una
tangente. La segunda establece que, salvo una constante aditiva en uno de los dos
potenciales,
Φ1 = Φ2
a lo largo y ancho del contacto.
Veamos qué ocurre con el vector polarización. Un razonamiento análogo al
hecho para el vector desplazamiento, nos lleva a
(P2 − P1) = −σP .
Si 2 es el vac´ıo, P2 = 0, con lo que
σP = P · n,
como cab´ıa esperar.
Consideremos ahora la frontera entre dos medios sometidos a un campo
magnético. Tomemos una superficie tipo p´ıldora, es decir un cilindro de pequeña
altura, con eje perpendicular a la frontera y con una base en cada medio. Apli-
cando el teorema de Gauss, se tiene que
(B2 − B1) · n = 0, o sea B2n − B1n = 0. (1.19)
La componente normal de B es continua en una frontera.
Sea ahora un circuito C en forma de rectángulo, con dos lados de longitud
y paralelos al vector t, tangente a la superficie, y los otros dos muy cortos y
normales a ella, suponiendo que circula por S una densidad superficial de corriente
1–4

1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos
k (cantidad de corriente por unidad de longitud normal a ella). Calculando la
circulación del vector intensidad magnética H a lo largo de C, resulta
(H2 · t − H1 · t) = |k × t|, o sea H2t − H1t = |k × t| ,
siendo k es la densidad superficial de corriente (o sea la corriente transportada
or unidad de longitud perpendicaula en la capa superficial). Como t es un vector
tangente arbitrario, se tiene
(H2 − H1) × n = k. (1.20)
O sea: si no hay carga libre superficial, la componente tangencial de H es continua.
1–5

1–6

Cap´ıtulo 2
Problemas de contorno en
campos estáticos I
En este cap´ıtulo se explica cómo se resuelve la ecuación de Poisson del poten-
cial electrostático en un volumen V si se conoce la distribución de carga en V y
las condiciones de contorno sobre los valores de Φ o de ∂nΦ = Φ · n en el borde
S = ∂V . Se probará la unicidad de la solución de este problema, de manera que no
pueden existir dos potenciales distintos que cumplan las mismas condiciones de
contorno. Por desgracia son muy pocos los casos que puedan resolverse de modo
simple, por lo que hay que usar métodos aproximados, de tipo númérico, gráfico,
etc. Hay métodos basados en desarrollos en serie que son lentamente convergentes
a menudo.
2.1. Teorema de Green. Representación integral
del potencial electrostático
Supongamos dos funciones φ(r), ψ(r) arbitrarias y continuas, de clase C2
en el
interior de un volumen V bordeado por una superificie S = ∂V . Representaremos
por ∂ /∂n a la derivada en dirección de la normal exterior a S (o sea saliendo de
V ). Se cumple identicamente que
· (φ ψ) = φ 2
ψ + φ · ψ, (2.1)
sobre la superficie se tiene
φ ψ · n = φ
∂ψ
∂n
.
De (2.1) se sigue
2–1

Cap´ıtulo 2. Problemas de contorno en campos estáticos I
V
φ 2
ψ + φ · ψ dv =
S
φ ∂n ψ da, (2.2)
Figura 2.1:
expresión válida para todo par φ, ψ de clase C2
en V y conocida como primera
identidad de Green. Si repetimos intercambiano las dos funciones y se resta, se
tiene
V
φ 2
ψ − ψ 2
φ dv =
S
(φ ∂nψ − ψ ∂nφ) da, (2.3)
que es la segunda identidad de Green o el teorema de Green. Conviene insistir en
que es válida para cualquier par de funciones de clase C2
. Nos interesa especial-
mente esta relación cuando se aplica al potencial electrostático Φ de la siguiente
manera. Tomemos
φ = Φ, y ψ =
1
|r − r |
.
El teorema de Green se puede escribir entonces como
S
Φ(r )
∂
∂n
1
|r − r |
−
1
|r − r |
∂Φ(r )
∂n
da =
−4π
V
Φ(r )δ(r − r ) −
1
4π 0
ρ(r )
|r − r |
dv ,
de donde se deduce la siguiente ecuación integral para el potencial Φ en puntos
de V (en el interior de S)
Φ(r) =
1
4π 0 V
ρ(r )
|r − r |
dv (2.4)
+
1
4π S
1
|r − r |
∂Φ(r )
∂n
− Φ(r )
∂
∂n
1
|r − r |
da ,
2–2

2.1. Teorema de Green. Representación integral del potencial electrostático
Nótese que (i) se han usado las ecuaciones 2
(1/|r − r |) = −4πδ(r − r ) y
2
Φ = −ρ/ 0;
(ii) si el punto r está fuera de S, el primer miembro de (2.4) se anula.
(iii) si se aplica esa fórmula al caso de una carga en el espacio infinito, sólo queda
el primer termino en el segundo miembro, recuperándose el resultado ya conocido.
(iv) en el caso de una distribución ρ dentro de V , se anula la integral de superficie
cuando S tiende a infinito. Para comprobarlo, basta con tomar una esfera SR y
hacer que R → ∞, sustituyendo Φ por su serie multipolar. El primer término
(el de carga, en q/r) da un integrando nulo sobre la esfera y los demas dan
integrandos que decaen como R +1
con ≥ 1.
El primer término del segundo miembro de (2.4) es la contribución de la
densidad de carga en el volumen V . Si ρ = 0 en V queda
Φ(r) =
1
4π S
1
|r − r |
∂Φ(r )
∂n
− Φ(r )
∂
∂n
1
|r − r |
da , (2.5)
Esta integral de superficie es el efecto de las cargas exteriores a S. Si fuera de
S no hay cargas, se anula. Su interpretación es la siguiente. El primer término
es equivalente al potencial creado por una distribución superficial de carga con
densidad
σ = 0
∂Φ
∂n
(2.6)
y el segundo lo es al potencial creado por una distribución superficial de momento
dipolar de potencia
D = − 0Φn. (2.7)
(Recordemos que una capa de momento eléctrico dipolar es una distribución
superficial de dipolos normales a la capa y que su potencia es el momento dipolar
por unidad de área.)
Capa dipolar. Se llama capa dipolar a una superficie que tiene una den-
sidad de momento dipolar eléctrico normal a ella. Se puede considerar como un
par de superficies muy próximas, una trasladada de la otra según el vector d y
con densidades superificiales de carga ±σ, en el l´ımite → 0 con σd = D(r) igual
a una función prefijada.
El potencial creado por una tal capa se puede escribir como
Φ(r) =
1
4π 0 S
σ(r )
|r − r |
da −
S
σ(r )
|r − r − dn|
da
2–3

Teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor (con d |r − r |)
1
|r − r − n|
=
1
|r − r |
− n ·
1
|r − r |
+ · · ·
se llega de inmediato a
Φ(r) =
1
4π 0 S
D(r ) n ·
1
|r − r |
da .
lo que justifica considerar al segundo término de la derecha de (2.4) como una
capa dipolar con potencia (2.6).
2.2. Unicidad de la solución de los problemas de
contorno de Dirichlet y Neumann
Supongamos una distribución de carga ρ en V , para la que queremos hallar
una solución de la ecuación Poisson 2
Φ = −ρ/ 0. La ecuación integral (2.4)
parece indicar que para hallar el potencial son necesarias dos condiciones, los
valores de Φ y de ∂nΦ en la superficie. Pero no es as´ı, pues en general el potencial
y su derivada normal sobre S no son independientes entre s´ı. Por eso (2.4) no es
una solución de un problema de condiciones en el borde sino una ecuación integral
para Φ.
Las condiciones de contorno que vamos a considerar son:
a) de Dirichlet: Φ prescrita en S.
b) de Neumann: ∂nΦ prescrita en S.
Veremos ahora que la solución dentro de V queda determinada por cualquiera
de estas dos condiciones.
Sean dos soluciones Φ1 y Φ2 que tienen la misma laplaciana en V y cumplen
la misma condición en S (bien de Dirichlet, bien de Neumann). Sea
U = Φ2 − Φ1.
En ese caso 2
U = 0 en V y bien U = 0 bien ∂nU = 0 en S. De la primera
identidad de Green (2.2) se sigue
V
U 2
U + U · U dv =
S
U∂nU da. (2.8)
2–4

2.3. El teorema de reciprocidad
Tanto con las condiciones de contorno de Dirichlet como con las de Neumann,
esta ecuación se reduce a
V
| U|2
dv = 0, (2.9)
o sea U = 0, y U = constante en V . La condición de Dirichlet implica que
esa constante se anula; la de Neumann no, pero las dos soluciones se diferencian
entonces en una constante irrelevante pues el campo eléctrico es el mismo para
las dos soluciones.
2.3. El teorema de reciprocidad
Sean n cargas puntuales qj situadas en los puntos rj y sean Φj los valores del
potencial en rj debidos a las demás cargas (distintas a la j-ésima). Se tiene
Φj =
1
4π 0 i
qi
rij
, (2.10)
donde la prima en la sumatoria indica que se excluye el caso i = j. Si se colocan
otras cargas qj en los mismos puntos y eso da lugar a los valores Φj del potencial
Φj =
1
4π 0 i
qi
rij
, (2.11)
y multiplicamos (2.10) por qj y (2.11) por qj, sumando luego en j
j
Φjqj =
j
Φjqj , (2.12)
igualdad que se conoce como teorema de reciprocidad. Es debido a Green. Se
puede generalizar a n conductores. Nótese que los dos miembros de (2.12) son
iguales a
j i
1
4π 0
qiqj
rij
.
Supongamos ahora que todos los conductores excepto los dos correspondientes
a i y j están a tierra, es decir su potencial vale Φ = 0. En ese caso
Φiqi + Φjqj = Φiqi + Φjqj . (2.13)
Sean las dos situaciones A: qi = 0, qj = q y B: qi = q, qj = 0
2–5

Se cumple entonces
Φiq = Φjq, ⇒ Φi = Φj
Esto significa que el potencial que adquiere i debido a una carga q en j (o sea
Φi) es igual al que adquiere j debido a una carga q en i (o sea Φj).
2.4. Solución del problema electrostático de val-
ores en el borde con las funciones de Green
En esta sección se obtienen las soluciones de los problemas de Dirichlet y
Neumann mediante el método de las funciones de Green. Definimos la función
de Green G de la ecuación de Poisson como el potencial creado por una carga
unidad y puntual (o como el potencial por unidad de carga), o sea
2
G(r, r ) = −
1
0
δ(3)
(r − r ). (2.14)
Se tiene
G(r, r ) =
1
4π 0
1
|r − r |
, (2.15)
por lo que el potencial creado por la distribución de carga en el espacio abierto
ρ(r) será
Φ(r) =
R3
G(r − r )ρ(r ) dv =
1
4π 0
ρ(r )
|r − r |
, (2.16)
como se puede comprobar aplicado el operador 2
y derivando dentro del signo
integral, pues
2
Φ = −
1
0 R3
δ(3)
(r − r )ρ(r )dv = −
ρ
0
.
Conviene hacer una advertencia respecto a la notación. En sus tratamientos
generales, los libros de EDP definen la función Green de modo algo distinto como
2
G(r, r ) = δ(3)
(r − r ), G(r, r ) = −
1
4π
1
|r − r |
. (2.17)
Es fácil pasar de una a otra definición.
Una prueba simple de (2.15) es la siguiente:
−
1
4π
1
|r − r |
=
1
4π
r − r
|r − r |3
, 2
−
1
4π
1
|r − r |
= δ(3)
(r − r ), (2.18)
2–6

2.4. Solución del problema electrostático de valores en el borde con las
funciones de Green
La primera ecuación se obtiene simplemente por derivación. Para probar la
segunda, consideremos la integral (tomando r = 0)
I =
R3
f(r) 2 −1
4πr
d3
r =
R3
· f
−1
4πr
d3
r −
R3
f ·
−1
4πr
d3
r,
donde la función f(x, y, z) es arbitraria salvo que la suponemos tendiendo a cero
en el infinito. La primera integral se anula pues es igual a
−
S
f
1
r
· nrr2
dΩ =
S
f(R, θ, φ)dΩ = 0,
ya que (1/r) = ∂(1/r)/∂r eR y siendo S la superficie de radio R → ∞. Como
consecuencia I es igual a la segunda integral (con su signo)
I = −
R3
∂rf∂r
−1
4πr
r2
drdΩ = −
4π
dΩ
4π
∞
0
∂rfdr = f(0).
Es fácil probar que la “función” 2
(1/r) se anula en todas partes salvo en el origen
donde tiene una singularidad. Las dos últimas ecuaciones prueban que, dentro de
una intergral en R3
, se comporta como menos δ(3)
(0) multiplicada por 4π. O sea
que podemos escribir
2 1
r
= −4πδ(3)
(r). (2.19)
Un punto muy importante es que a la solución de (2.14) se le puede sumar una
solución arbitraria de la ecuación de Laplace 2
Φ = 0, de modo que deberemos
definir más generalmente la función de Green
G(r, r ) =
1
4π 0
1
|r − r |
+ F(r − r ), (2.20)
con 2
F = 0. Como ya se dijo antes, la ecuación (2.4) no es de ayuda aqu´ı porque
aparecen en la integral tanto Φ como ∂nΦ que no son independientes. El método
de las funciones de Green permite eliminar una u otra de las dos integrales de
superficie eligiendo adecuadanente la función F. Nótese que r es la coordenada
de la fuente y r, la del punto de observación.
Apliquemos el teorema de Green (2.3) con φ = Φ, ψ = G(r, r ). Resulta la
siguiente generalización de (2.4)
Φ(r) =
V
ρ(r )G(r, r )dv (2.21)
+ 0
S
G(r, r )
∂Φ(r )
∂n
− Φ(r )
∂G(r, r )
∂n
da ,
2–7

Tenemos la libertad de elegir la función F en la función de Green. Podemos
elegirla de modo que cumpla la condición de Dirichlet
GD(r, r ) = 0, si r ∈ S, (2.22)
con lo que el primer término en la integral de superficie en (2.4) se anula de modo
que la solución del problema de contorno es
Φ(r) =
V
ρ(r )GD(r, r )dv − 0
S
Φ(r )
∂GD(r, r )
∂n
, da , (2.23)
En el caso de la condición de Neumann, hay que tener cuidado. Parecer´ıa que
habr´ıa que tomar
∂GN
∂n
(r, r ) = 0 si r ∈ S,
pues de ese modo se elimina el segundo término en la integral de superficie. Pero
eso llevar´ıa a una contradicción, ya que si aplicamos el teorema de Gauss a (2.10)
resulta
S
∂GN
∂n
da = −
1
0
por lo que la condición más simple sobre GN debe ser
∂GN
∂n
(r, r ) = −
1
S 0
si r ∈ S, ) (2.24)
donde S es el área del borde. La solución del problema de Neumann es pues
Φ(r) = Φ S +
V
ρ(r )GN (r, r ) dv + 0
S
∂Φ
∂n
GN (r, r ) da , (2.25)
donde Φ es el valor medio del potencial en S, o sea una constante.
El problema de Neumann más frecuente es el llamado problema exterior, en
el que V está bordeado por dos superficies, una interior y finita y la otra en el
infinito. El área de S es infinita por lo que el valor medio del potencial se anula
y la expresión anterior se simplifica.
Nótese que en el caso de Dirichlet la función de Green es simétrica, es decir
G(r, r ) = G(r , r). No ocurre necesariamente as´ı en el caso de Neumann, pero se
puede encontrar una función simétrica (ver Jackson sección 1.10, p. 40).
2–8

2.5. El método de las imágenes
El método de las imágenes se refiere al cálculo del potencial creado por una o
varias cargas puntuales en presencia de superficies frontera. Como se dijo antes,
la función de Green para unas condiciones de frontera es igual a la de Green en
todo el espacio (2.11) más una solución de la ecuación de Laplace en V , es decir
un potencial creado por cargas exteriores a V . En algunas situaciones es posible
deducir de la geometr´ıa del problema que un cierto número pequeño de cargas,
con valores adecuados y situadas fuera de V , pueden simular las condiciones de
contorno. Esas cargas se llaman imágenes. En esos casos, la solución se reduce
a la suma de los potenciales creados por las cargas reales y las imágenes en una
región ampliada sin condiciones de contorno.
2.5.1. Carga puntual y plano conductor a tierra
Un caso simple e interesante es aquel en que V es un semiespacio bordeado
por un plano conductor infinito conectado a tierra. En el interior de V hay una
carga puntual. Supongamos que el plano es el xy, que está a potencial cero y que
la carga q es positiva y está situada en el punto P ≡ r1 = (0, 0, d). Cabe esperar
lo siguiente: a) que las l´ıneas de campo salgan radialmente de la carga, de modo
que su aspecto muy cerca de ella sea el mismo que el de una sola carga; b) que
la carga q atraiga cargas negativas del conductor que se concentrarán bajo ella
(en el origen de coordenadas), disminuyendo su densidad hacia el infinito; y c)
que las l´ıneas de campo vayan de la carga al plano, de modo que lleguen a él
perpendicularmente. En la figura se representa el aspecto de esas l´ıneas.
Sabemos además que el potencial debe obedecer la ecuación de Laplace. El
problema es cómo calcularlo. Para ello acudimos a un truco. Imaginemos una
carga −q situada en el punto P ≡ r2 = (0, 0, −d) y consideremos el sistema de
las dos cargas sin el plano. El cálculo es sencillo. No cabe duda que el potencial
en el semiespacio z > 0 cumple nuestros requerimientos, pues se aproxima al de
una carga q en el punto P, obedece Laplace en ese semiespacio y es nulo en el
plano z = 0. Podemos imaginar ahora que tenemos dos conductores: el plano
con potencial cero y una esfera pequeña centrada en P con carga q cuyo radio a
hacemos tender a cero. Las condiciones de contorno son: en el plano, condición
de Dirichlet pues se da el potencial Φ = 0, y en la esfera se da la carga total, lo
que es equivalente a dar la densidad superficial de carga q/4πa2
y el potencial
Φ, cuando a es muy pequeño, o sea también de Dirichlet. También en este caso
hay un teorema de unicidad, por eso esa solución, obtenida de una forma tan
2–9

aparentemente artificial, es la buena que buscamos.
Figura 2.2: Carga puntual y plano conductor a tierra. El eje z es la recta que pasa
por la carga real q y su imagen q . Las l´ıneas continuas de campo son las reales y
las de trazos sus imágenes.
En la figura se representa la solución. Podemos interpretarla diciendo que las
l´ıneas salen de la carga y son atra´ıdas por el plano, por lo que sólo la que sale
hacia arriba a lo largo del eje z llega al infinito. Sea ρ la coordenada radial en el
plano. El campo eléctrico en el plano es igual a (0, 0, Ez) con
Ez =
1
4π 0
−2q
ρ2 + d2
cos θ =
1
4π 0
−2q
ρ2 + d2
d
(ρ2 + d2)1/2
=
1
4π 0
−2qd
(ρ2 + d2)3/2
,
donde ρ2
= x2
+ y2
, por lo que la densidad superficial es
σ = 0Ez = 0
1
4π 0
−2qd
(ρ2 + d2)3/2
.
La carga total en el plano debe ser −q. Para comprobar que es as´ı en la solución
obtenida, integremos la densidad de carga
Carga =
∞
0
σ 2πρdρ = −q.
Este método se conoce como método de las imágenes porque hemos tratado el
plano como un espejo y considerado “la imagen” de la carga q. Es muy útil para
calcular campos eléctricos y potenciales, incluso en situaciones más complicadas.
Comparemos ahora este resultado con la teor´ıa formal expuesta en la sección
anterior. Se trata de un problema de Dirichlet, siendo la condición de contorno
2–10

Φ = 0 en S que es el plano xy en este caso. Según (2.14) la función de Green
debe ser
GD(r, r ) =
1
4π 0
1
|r − r |
+ F(r − r ), (2.26)
con 2
F = 0 y de modo que se cumpla (2.15). Tiene que ocurrir para ello que
GD = 0 cuando r ∈ S. Para conseguirlo, basta con tomar para F el potencial
creado por la carga imagen de valor −q y colocada en (0, 0 − d), quedando la
función de Green como
GD(r, r ) =
1
4π 0
1
|r − r |
−
1
|r − r2|
, (2.27)
siendo r2 = r −2dez. Nótese que esta función de Green es el potencial creado por
una carga unidad en r y otra menos la unidad en r − 2dez. Usando la ecuación
(2.22) resulta para el potencial en el semiespacio z > 0
Φ(r) =
V
ρ(r )GD(r, r )dv , (2.28)
pues Φ = 0 en el plano, que da el resultado correcto pues la densidad es ρ =
qδ(3)
(r − r1), con r1 = (0, 0, d).
En el caso general en que, en vez de una carga, hubiese una distribución en
z > 0 dada por la densidad ρ(r), la fórmula anterior ser´ıa válida. Se podr´ıa
interpretar como el efecto de dos distribuciones de carga una la real y otra la
imagen.
Es fácil ver que si la condición fuese de Neumann ∂nΦ = 0 en el plano,
manteniendo la carga q en la misma posición, la carga imagen deber´ıa ser tambien
igual a q. La función de Green ser´ıa entonces
GN (r, r ) =
1
4π 0
1
|r − r |
+
1
|r − r2|
, (2.29)
siendo r2 = r − 2dez, pues ∂n GN = 0 en el plano.
2.5.2. Carga puntual y esfera conductora a tierra
Consideremos una esfera conductora de radio a conectada a tierra, es decir con
Φ = 0 y una carga puntual q situada en p en un sistema de referencia con origen
en el centro de la esfera. El objetivo es encontrar el potencial para r > a que se
anule en r = a. Intentemos resolver el problema con una única carga imagen q .
Parece razonable suponer que la posición de esa imagen p esté en la l´ınea entre
2–11

q y el centro de S. El potencial creado por las dos cargas es
Φ(r) =
1
4π 0
q
|r − p|
+
q
|r − p |
(2.30)
Queremos que este potencial se anule en la esfera, o sea en r = a. Busquemos
si hay valores de q y p que aseguran esa condición. Sean n y n dos vectores
unitarios en las direcciones de r y p, de modo que el potencial se puede escribir
como
Φ(r) =
1
4π 0
q
|rn − pn |
+
q
|rn − p n |
(2.31)
En r = a ese potencial vale
Φ(r = a) =
1
4π 0
q
a|n − (p/a)n |
+
q
p |n − (a/p )n|
(2.32)
Se ve que si elegimos
q
a
= −
q
p
,
p
a
=
a
p
resulta Φ(r = a) = 0. Esto indica que la magnitud y la posición de la carga
imagen es
q = −
a
p
q, p =
a2
p
, (2.33)
Es importante entender el significado del potencial (2.30)
Figura 2.3:
2–12

Las posiciones entre las dos cargas, la real y su imagen, están relacionadas
por una transformación de inversión
(r, ϑ, ϕ) ⇒
a2
r
, ϑ, ϕ ,
más adelante volveremos sobre ello.
Una vez encontrada la carga imagen podemos calcular la densidad superficial
de carga inducida en S por la carga q (ver Figura 2.4). Su valor está dado por
la derivada normal del potencial en la superficie de la esfera, o sea (derivando en
(2.31))
σ = − 0
∂Φ
∂r r=a
= −
q
4πa2
a
p
1 − a2
/p2
(1 + a2/p2 − 2a cos γ/p)3/2
donde γ es el ángulo entre n y n . Nótese que σ = 0E(r) pues el campo en el
borde de la esfera es precisamente E(r = a) = −∂Φ/∂r. La carga inducida total
es la integral sobre S de esa densidad y es igual a q , como se deduce fácilmente
del teorema de Gauss.
Figura 2.4: Densidad superficial de carga σ inducida en la esfera de radio a,
conectada a tierra, como consecuencia de una carga puntual q a la distancia p del
centro (en unidades de −q/4πa2
y como función del ángulo γ, en los casos p = 2a
y p = 4a). El recuadro muestra las l´ıneas de campo para p = 2a.
Nótese también que la función F usada para calcular la función de Green con
la condición de contorno adecuada es el potencial creado por la carga imagen,
cuya laplaciana se anula fuera de la esfera.
2–13

Es interesante calcular la fuerza entre la carga real q y la esfera. Una primera
manera de hacerlo es calcular la que hay entre la carga y su imagen. Entre ellas
hay una distancia p − p = p(1 − a2
/p2
) La fuerza es atractiva y de magnitud
F =
1
4π 0
q2
a2
a3
p3
1 −
a2
p2
−2
(2.34)
A grandes separaciones decrece como la inversa del cubo de la distancia. Cerca
de la esfera es proporcional al cuadrado de la inversa de la distancia de q a la
superficie de S.
Se puede llegar también a (2.34) calculando la fuerza entre la carga q y la
distribución σ mediante una integración sobre S.
Transformación de inversión
En el problema anterior las posiciones p y p de las dos cargas están rela-
cionadas por la llamada transformación de inversión, que pasa del punto P al P
de modo que
P ≡ (r, ϑ, ϕ) ⇒ P ≡
a2
r
, ϑ, ϕ (2.35)
Nótese que los puntos de la esfera centrada en el origen y con radio a son in-
variantes por esta transformación. Ocurre además que si Φ(r, ϑ, ϕ) es el potencial
producido por la distribución de carga ρ(r, ϑ, ϕ), o sea si
2
Φ(r, ϑ, ϕ) = −ρ(r, ϑ, ϕ)/ 0
resulta que el potencial Φ es el producido por ρ donde
Φ (r, ϑ, ϕ) =
a
r
Φ(
a2
r
, ϑ, ϕ), ρ (r, ϑ, ϕ) =
a
r
5
(
a
r
, ϑ, ϕ)
lo que significa que
2
Φ (r, ϑ, ϕ) = −ρ (r, ϑ, ϕ)/ 0
La transformación para una carga puntual es
q en (r, ϑ, ϕ) ⇒
r
a
q en (a2
/r, ϑ, ϕ)
La transformación I de inversión por una esfera (la de radio a en este caso. No
confundir con r ⇒ −r) tiene interés en geometr´ıa. Alguna de sus propiedades
son
i) Es involutiva, o sea I2
= 1.
ii) Transforma el interior de la esfera en el exterior y vicecersa.
iii) Transforma una superficie esférica que no pasa por el centro en otra superficie
2–14

esférica.
iv) Si la superficie esférica pasa por el centro es transformada en un plano y
viceversa.
v) Conserva los ángulos (es conforme).
En otros casos de otra geometr´ıa de los conductores y las cargas existen trans-
formaciones que cumplen la misma función que la inversión en el de la esfera
conductora y el punto.
2.5.3. Carga puntual y esfera conductora, cargada y ais-
lada
Si queremos considerar el problema de una esfera conductora, aislada y con
carga Q podemos hacerlo mediante una superposición. Imaginemos la esfera de
la sección anterior, con su carga q distribuida por su superficie. Se desconecta de
tierra y se le añade la carga (Q − q ), con lo que la carga total se hace igual a
Q. La carga añadida se distribuye uniformemente sobre la superficie, pues es la
única manera de que el campo eléctrico siga siendo normal a la ella. El potencial
de la carga adicional (Q − q ) es el mismo que el de una carga puntual con esa
magnitud situada en el origen. O sea que el total vale
Φ(r) =
1
4π 0
q
|r − p|
+
q
|r − p |
+
Q + aq/p
r
(2.36)
y la fuerza entre la carga q y la esfera
F =
1
4π 0
q
p2
Q −
qa3
(2p2
− a2
)
p(p2 − a2)2
(2.37)
2.5.4. Carga puntual y esfera conductora a un potencial
fijo
Otro problema de solución sencilla es el de una carga puntual y una esfera
conductora conectada a una fuente de tensión que la mantiene al potencial V . La
expresión del potencial es como la del caso anterios, excepto que ahora hay que
poner en el origen la carga 4π 0V a, en vez de (Q − q ). Tendremos pues
Φ(r) =
1
4π 0
q
|r − p|
+
q
|r − p |
+
V a
r
(2.38)
pues la suma de los dos primeros términos es nula para r = a, como ya vimos, y
el tercero produce un potencial V . La fuerza entre la carga y la esfera es ahora,
2–15

como no es demasiado dif´ıcil mostrar
F =
q
p2
V a −
1
4π 0
qap3
(p2 − a2)2
, (2.39)
2.5.5. Esfera conductora en un campo eléctrico uniforme
Sea una esfera de radio a, centrada en el origen de coordenadas, conductora
y a tierra, situada en el campo eléctrico E = E0 ez. Un tal campo eléctrico puede
considerarse como producido por dos cargas ±Q colocadas en los puntos R (ver
figura). Si esas cargas están lejos, o sea si R a, el campo que producen en
los alrededores de la esfera es aproximadamente constante, paralelo al eje z y de
módulo igual a E0 2Q/4π 0R2
. En el l´ımite R, Q → ∞, manteniendo constante
Q/R2
, esa aproximación se hace exacta.
Figura 2.5:
Teniendo en cuante las secciones anteriores, la esfera de radio a sometida a
las cargas ±Q situadas en z = R produce un potencial como el de estas dos
cargas más sus dos imágenes Qa/R en z = a2
/R, o sea
Φ =
Q/4π 0
(r2 + R2 + 2rR cos θ)1/2
−
Q/4π 0
(r2 + R2 − 2rR cos θ)1/2
(2.40)
−
aQ/4π 0
R(r2 + a4/R2 + 2a2r cos θ/R)1/2
+
aQ/4π 0
R(r2 + a4/R2 − 2a2r cos θ/R)1/2
,
siendo r, θ las coordenadas del punto de observación. En los denominadoes de los
dos primeros términos se saca el factor común R y se desarrolla en serie de r/R;
2–16

2.6. Sistemas de conductores
en los términos tercero y cuarto se saca fuera el factor r y se expande en a/R. El
resultado es
Φ =
1
4π 0
−
2Q
R2
r cos θ +
2Q
R2
a3
r2
cos θ + · · ·
por lo que el potencial vale
Φ = −E0 r −
a3
r2
cos θ . (2.41)
El primer término de (2.41) (−E0z) corresponde al campo constante E0ez. El
segundo, al potencial de las cargas inducidas, que es el de un dipolo con momento
dipolar p = 4π 0E0a3
.
Consideremos un sistema de N conductores en un volumen V con borde
∂V = S y consideremos el problema del potencial con condiciones de contorno.
El problema se dice cerrado si todos ellos están dentro de la cavidad formada
por otro conductor que contiene a los demás. Si no lo es, se dice que es abierto.
Podemos imaginar entonces que los conductores están dentro de una superficie
esférica equipotencial con Φ = 0 cuyo radio tiende a infinito.
Tomemos el caso en que se prescriben los valores del potencial en los conduc-
tores Φj, j = 1, 2, . . . , N. Definimos a continuación N estados del sistema de la
siguiente manera. En primer lugar, supongamos que todos los conductores están
a tierra excepto el primero. En ese caso las cargas de todos ellos quedan determi-
nados por Φ1. La dependencia es además lineal. Si se dobla Φ1 se doblan todos
los potenciales y las cargas en los demás, o sea que
Qi = Ci1Φ1,
siendo los Ci1 unos ciertos coeficientes que están determinados por el valor de Φ1.
Si repetimos el argumento considerando estados en que todos menos el k-ésimo
están a tierra, tendremos
Qi = CikΦk.
Como el problema es lineal, el estado general será una superposición de los N
estados as´ı obtenidos, por lo que en general
Qi =
N
j=1
CijΦj
2–17

Esto significa que, dados los Cij, queda determinado el potencial en todo el vol-
umen V , una vez dados los potenciales a que está cada conductor. Pero, como
los coeficientes Cij i = 1, . . . , N quedan determinados por el valor de Φj, según
vimos antes, resulta que el problema está bien planteado. Los Cii se suelen lla-
mar coeficientes de capacidad y los Cij, i = j, coeficierntes de influencia, si bien
algunos autores llaman de capacidad a todos.
Podemos plantear otro problema que es parecido pero distinto. Se trata de la
obtención de los potenciales de los conductores en función de las cargas de cada
uno. Se puede demostrar que existen unos coeficientes Pij, llamados coeficientes
de potencial tales que
Φj =
N
i=1
PjiQi
La matriz Pij es obviamente la inversa de Cij. Nótese que Cij es igual a la carga
que adquiere el conductor i cuando todos los demás están a tierra, excepto el
conductor j que está a potencial unidad positivo de +1 V. Como en tal situación
las l´ıneas de campo salen del conductor j, el único a potencial positivo, y bien se
van al infinito bien entran en los demás conductores, las cargas en estos deben
ser negativas. Por tanto los coeficientes de influencia deben ser negativos y los de
capacidad, positivos,
Cii > 0, Cij < 0, si i = j.
Además la carga positiva debe ser mayor o igual que la suma de las negativas en
valor absoluto (pues algunas lineas pueden ir al infinito), por tanto
Cii ≥ −
N
j=i
Cij.
Podr´ıa parecer que para describir el sistema son necesarios N2
coeficientes, pero
no es as´ı porque la matriz Cij es simétrica, o sea que basta con N(N + 1)/2 (lo
mismo debe ocurrirle a su inversa Pij). Esta es una consecuencia del teorema de
reciprocidad demostrado en la sección 2.3.
Ejemplo: capacidad de un conductor Un condensador es un sistema de
dos condutores en influencia total, lo que significa que las cargas son iguales y
opuestas, o sea que vale el signo igual en la desigualdad anterior, Q2 = −Q1.
Podemos escribir los potenciales en la forma
V1 = (P11 − P12)Q1, V2 = (P21 − P22)Q1,
y como la matriz Pij es simétrica
V1 − V2 = (P11 + P22 − 2P12)Q1
2–18

Si definimos V = V1 − V2 y Q = Q1, resulta que
V =
Q
C
, siendo C =
1
P11 + P22 − 2P 12
la capacidad del condensador. Si el conductor 2 está a tierra (V2 = 0, y Q2 =
−Q1), se tiene Q1 = C11V1,, o sea que la capacidad es
C = C11
y además C12 = −C11.
2–19

Problemas
2.1 La región entre las placas de un condensador de láminas planas y paralelas, de
extensión infinita y separadas por la distancia d está llena con una distribución
de carga con densidad volúmica ρ = ρ0x, siendo x la coordenada en dirección
normal a las placas. El potencial en las placas x = 0 y x = d es igual a 0 y V ,
respectivamente. Calcular:
a) el potencial entre las placas Φ(x);
b) el campo eléctrico entre las placas;
c) La fuerza por unidad de área ejercida sobre las placas.
2.2 Un sistema de conductores consiste en tres largos cilindros coaxiales, uno
interior macizo de radio a, otro intermedio de radios b y c y el más exterior de
radio interior d (a < b < c < d). Los cilindros interior y exterior estan conectados
a potenciales V1 y V2, respectivamente y el intermedio está a tierra. Resolviendo
la ecuación de Laplace hallar:
a) el potencial en las regiones a < r < b y c < r < d, y
b) la carga por unidad de longitud en cada conductor.
2.3 Una esfera conductora maciza de radio R1 tiene una cavidad vac´ıa, también
esférica y de radio R2, pero no concéntrica. Está rodeada por un dieléctrico ex-
terior de permitividad ε. Se coloca una carga puntual q dentro de la cavidad, a
una distancia a de su centro. Hallar la expresión del potencial en las distintas
regiones del espacio.
2.4 Un conductor plano horizontal indefinido, a potencial cero, tiene una protu-
berancia semiesférica de radio R. En la vertical del centro de la semiesférica a
una distancia D (> R) del plano hay una carga puntual q. Hallar:
a) la expresión del potencial en todo el espacio y
b) la fuerza sobre la carga q.
2.5 Alrededor de una esfera conductora de radio R y que está conectada a tierra,
gira en un plano diametral horizontal (sin gravedad) una carga puntual q de masa
m. Calcule:
a) el valor de la velocidad v con que tiene que girar la carga para que se mantenga
en una órbita estable de radio d = 10R, y
b) si la esfera estuviese conectada a una bater´ıa con V voltios, calcule el valor
de V para que la carga q gire con la misma velocidad v en una órbita estable de
radio d = 20R.
2–20

2.6 Una esfera conductora de radio R está aislada y tiene una carga Q. Su centro
está en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Alineadas con su
centro y a ambos lados y a la misma distancia 2R, se colocan dos cargas puntuales
de valor Q (en los puntos (0, 0 ± 2R). Se pide calcular:
a) el potencial de la esfera,
b) la fuerza sobre cada una de las dos cargas puntuales y
c) la densidad superficial de carga en los puntos del ecuador de la esfera, en el
plano z = 0.
2.7 Mediante el método de las imágenes, estudiar el potencial electrostático en
los siguientes casos:
a) una esfera conductora en un campo eléctrico uniforme E0 y
b) un cilindro de longitud infinita en un campo uniforme E0 perpendicular al eje
del cilindro.
2.8 Una esfera conductora de radio R está aislada con una carga Q. Se coloca un
dipolo eléctrico a una distancia a del centro de la esfera, cuyo momento dipolar
p está dirigido radialmente desde el centro de la esfera y hacia afuera. Hallar:
a) el potencial eléctrico de la esfera y
b) el campo eléctrico en los puntos que distan R y 2a del centro de la esfera,
según la dirección del centro al dipolo.
2.9 Un alambre indefinido, por el que circula una corriente de intensidad I,
está situado en un medio de permeabilidad µ1 que ocupa un semiespacio limitado
por un plano paralelo al alambre y a la distacia d de él. En el otro semiespacio
hay un medio de permeabilidad µ2 (> µ1). Determinar
a) los campos en ambas regiones y
b) la fuerza sobre el alambre, indicando si es atractiva o repulsiva respecto al
plano.
2.10 Se tiene una carga puntual q entre dos planos conductores separados por la
distancia d. la carga dista d1 de uno de ellos. Aplicando el teorema de reciprocidad,
hallar la carga inducida en cada uno de ellos.
2.11 Dos esferas conductoras de radios a y b tienen sus centros separados la
distancia c ( a, b). Hallar los coeficientes de influencia del sistema hasta el
segundo orden de aproximación, es decir, despreciando términos en (a/c)3
, (b/c)3
y en potencias más altas.
2–21

2.12 Tres esferas conductoras idénticas de radio a están colocadas en los vérticies
de un triángulo equilátero de lado b ( a). Inicialmente las tres tienen la misma
carga q. A continuación se descargan una a una y sucesivamente se conectan a
tierra y se desconectan. ¿Cuál es la carga de cada una al final de este proceso?
2–22

Cap´ıtulo 3
Problemas de contorno en
campos estáticos II: Separación
de variables
Uno de los métodos más usados en F´ısica Matemática para resolver ecua-
ciones en derivadas parciales es el de la separación de variables. Se sabe que la
ecuación de Laplace y otras relacionadas son separables en once sistemas dis-
tintos de coordenadas (Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 2
vol. McGraw-Hill, New York 1953). En este curso desarrollaremos sólo tres casos:
cartesianas, cil´ındricas y esféricas.
3.1. Método de separación de variables en coor-
denadas cartesianas
La ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas es
∂2
Φ
∂x2
+
∂2
Φ
∂y2
+
∂2
Φ
∂z2
= 0. (3.1)
Se ve claramente que la ecuación anterior tiene soluciones factorizadas de la forma
Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (3.2)
es decir, como el producto de tres funciones, una por cada coordenada. Como
consecuencia el problema de reduce a la solución de tres ecuaciones diferenciales
ordinarias, pues sustituyendo en (3.1) y dividiendo por Φ, se llega a
1
X(x)
d2
X
dx2
+
1
Y (y)
d2
Y
dy2
+
1
Z(z)
d2
Z
dz2
= 0. (3.3)
3–1

Cap´ıtulo 3. Problemas de contorno en campos estáticos II:
Separación de variables
Como cada uno de los tres sumandos depende de una variable independiente
distinta, cada uno de ellos debe ser igual a una constante (una positiva y dos
negativas o al revés), o sea
1
X
d2
X
dx2
= −α2
,
1
Y
d2
Y
dy2
= −β2
, (3.4)
1
Z
d2
Z
dz2
= +γ2
de modo que
α2
+ β2
= γ2
.
Se han elegido como positivas las constantes correspondientes a las coordenadas
x, y, lo cual es arbitrario, podr´ıa ser cualquier par. En todo caso esto indica que
el potencial se puede expresar mediante combinaciones lineales de productos de
funciones
Φαβγ = e±iαx
e±iβy
e±
√
α2+β2z
. (3.5)
Como α, β son completamente arbitrarias y podemos elegir como positiva una
cualquiera de las constantes (sólo importa los signos relativos), se pueden generar
por combinaciones lineales una enorme cantidad de soluciones a la ecuación de
Laplace.
En el caso de que una de las constantes se anule, la solución será un polinomio
de grado 1 en la variable correspondiente. As´ı, si α = 0, X = Ax + A . Si dos
constantes se anulan, lo hacen las tres y entonces tendremos la solución
Φ = (Ax + A )(By + B )(Cz + c ).
Las constantes α y β se determinan mediante las condiciones de contorno. Tomem-
os un ejemplo simple. Sea el volumen V en que queremos calcular el potencial el
interior de una caja en forma de paralelep´ıpedo V ≡ (0 < x < a, 0 < y < b, 0 <
z < c). Sean las condiciones de contorno Φ = 0 en todas las caras, excepto la
z = c que está al potencial V (x, y). Las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0,
y = 0 o z = 0 indican que la solución es una suma de funciones de la forma
X = sen αx,
Y = sen βy, (3.6)
Z = senh( α2 + β2 z)
3–2

3.1. Método de separación de variables en coordenadas cartesianas
Para que Φ = 0 en x = a e y = b, debe cumplirse αa = nπ y βb = mπ, con n, m
enteros. Definiendo
αn =
nπ
a
,
βm =
mπ
b
, (3.7)
γnm = π
n2
a2
+
m2
b2
,
resulta que las funciones
Φnm = sen(αnx) sen(βmy) senh(γnmz),
cumplen las condiciones de contorno en cinco caras (excepto en z = c). Como la
ecuación es lineal, podemos escribir la solución como una serie en esas funciones
Φ(x, y, z) =
∞
n,m=1
Anm sen(αnx) sen(βmy) senh(γnmz). (3.8)
Al mismo tiempo, sabemos que la función V (x, y) puede desarrollarse del modo
V (x, y) =
∞
n,m=1
Vnm sen(αnx) sen(βmy) (3.9)
siendo los coeficientes Vnm
Vnm =
4
ab
a
0
dx
b
0
dyV (x, y) sen(αnx) sen(βmy). (3.10)
Por lo tanto la solución del problema está dada por la serie (3.8) con
Anm =
Vnm
sinh(γnmc)
(3.11)
De esa forma se cumple la condición de contorno en z = c.
En el caso de que el potencial fuese no nulo en las seis caras, se tomar´ıa una
suma de seis potenciales, cada uno como (3.9), nulo en cinco de las seis caras.
3.1.1. Un caso bidimensional
En el caso bidimensional, tendremos en vez de (3.5) las funciones
e±iαx
e±αy
, o también e±αx
e±iαy
.
3–3

Consideremos el problema de determinar el potencial en la región R ≡ (0 ≤ x ≤
a, y ≥ 0), con las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0 y x = a, Φ = V en
y = 0, 0 ≤ x ≤ a y Φ → 0 para y → ∞. Teniendo en cuenta lo dicho más arriba,
resulta que la solución debe ser una suma de funciones del tipo e−αy
sen(αx), con
α > 0. Las condiciones de contorno implican pues que
Φ(x, y) =
∞
n=1
Ane−nπy/a
sen(nπx/a), (3.12)
Los coeficientes An se determinan por la condición de contorno en y = 0. Los
coeficientes de Fourier de Φ(x, 0) son
An =
2
a
a
0
Φ(x, 0) sen(nπx/a)dx. (3.13)
Si Φ(x, 0) = V = constante,
An =
4V
πn



1, si n es impar
0, si n es par
(3.14)
El potencial está pues dado por la serie
Φ(x, y) =
4V
π
n impar
1
n
e−nπy/a
sen(
nπx
a
). (3.15)
3–4

3.2. La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
3.2. La ecuación de Laplace en coordenadas esféri-
cas
En coordenadas esféricas, la ecuación de Laplace toma la forma
1
r2
∂2
∂r2
(r2
Φ) +
1
r2 sen θ
∂
∂θ
sen θ
∂Φ
∂θ
+
1
r2 sen2 θ
∂2
Φ
∂ϕ2
= 0, (3.16)
Si factorizamos el potencial en la forma
Φ =
U(r)
r
P(θ) Q(ϕ). (3.17)
Sustituyendo en (3.16),
PQ
d2
U
dr2
+
UQ
r2 sen θ
d
dθ
sen θ
dP
dθ
+
UP
r2 sen2 θ
d2
Q
dϕ2
= 0
Dividiendo por UPQ/r2
sen2
θ,
r2
sen2
θ
1
U
d2
U
dr2
+
1
Pr2 sen θ
d
dθ
sen θ
dP
dθ
+
1
Q
d2
Q
dϕ2
= 0 (3.18)
Como toda la dependencia en ϕ está concentrada en el último término de la
izquierda, éste debe ser igual a una constante, que tomamos como negativa (−m2
).
O sea
1
Q
d2
Q
dϕ2
= −m2
, (3.19)
cuya solución es
Q = e±imϕ
. (3.20)
Para que Q sea univaluada, m debe ser un entero, si todo el ángulo 2π es admisible
(si la constante en (3.19) fuese positiva tampoco ser´ıa univaluada). Por las mismas
razones podemos separar las dos ecuaciones de P y U, como
1
sen θ
d
dθ
sen θ
dP
dθ
+ ( + 1) −
m2
sen2 θ
P = 0 (3.21)
d2
U
dr2
−
( + 1)
r2
U = 0,
siendo ( + 1) otra constante (real) de integración. La última ecuación (la de U)
tiene como solución general
U = A r +1
+ B r−
, (3.22)
pero no sabemos aún cómo es .
3–5

3.2.1. Ecuación de Legendre y polinomios de Legendre
Es costumbre expresar la primera de las ecuaciones (3.21) en función de x =
cos θ. Toma as´ı la forma
d
dx
(1 − x2
)
dP
dx
+ ( + 1) −
m2
1 − x2
P = 0. (3.23)
Esta es la llamada ecuación generalizada de Legendre y sus soluciones las funciones
asociadas de Legendre.
Consideraremos en primer lugar la ecuación ordinaria de Legendre o simple-
mente ecuación de Legendre que es la correspondiente a m = 0, cuyas soluciones
son conocidas como los polinomios de Legendre. Esa ecuación es pues
d
dx
(1 − x2
)
dP
dx
+ ( + 1)P = 0. (3.24)
Buscaremos soluciones que estén bien definidas en todo el intervalo −1 ≤ x ≤
1, que incluye a los polos norte y sur. Ensayemos una solución en forma de serie
P(x) =
∞
j=0
ajxj
. (3.25)
Si sustituimos en (3.23), resulta la serie
∞
j=0
{j(j − 1)ajxj−2
− [j(j + 1) − ( + 1)]ajxj
} = 0
Los coeficientes de cada potencia de x deben anularse separadamente. Esto de-
termina una relación de recurrencia en los coeficientes
aj+2 =
j(j + 1) − ( + 1)
(j + 1)(j + 2)
aj, (3.26)
La solución queda determinada por a0 y a1. Si se toma a1 = 0 se tiene una
función par en x, si a0 = 0 una función impar. Separaremos los dos casos. En
general, la serie diverge en el eje pues la relación de términos sucesivos cumple
a2xj+2
/ajxj
→ 1, si x → 1 y j → ∞, o sea que no tiene buen comportamiento y
diverge en x = ±1, es decir, en las l´ıneas polares θ = 0, π. La única manera de
que no ocurra as´ı (caso en que no habr´ıa soluciones aceptables) es que la serie
termine, es decir que sea un polinomio porque un coeficiente se anule, y con él
todos los que le siguen a causa de la relación de recurrencia.
Para que eso ocurra, se necesita obviamente que sea un número entero
positivo o nulo. Incluso en ese caso, sólo una de las soluciones linealmente in-
dependientes es acotada en las l´ıneas polares. Esto es esperable, pues si a1 = 0
3–6

(resp. a0 = 0), la serie es par (resp. impar) y sólo puede terminar para par
(resp. impar). Para cada valor de la solución es un polinomio de grado en x,
con la misma paridad que . Esas soluciones son los polinomios de Legendre. Los
primeros son
P0(x) = 1,
P1(x) = x,
P2(x) =
1
2
(3x2
− 1), (3.27)
P3(x) =
1
2
(5x3
− 3x),
P4(x) =
1
8
(35x4
− 30x2
+ 3),
Haciendo un poco de álgebra con la expresión de los coeficientes de la serie (3.25)-
(3.26), se puede obtener la representación siguiente
P (x) =
1
2 !
d
dx
(x2
− 1) . (3.28)
que es la definición canónica, conocida también como formula de Rodr´ıgues (siem-
pre se podria introducir una constante multiplicativa). Los polinomios de Legen-
dre forman un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo (−1, +1), de
modo que toda función definida en ese intervalo se puede escribir como una serie
de polinomios de Legendre. En efecto se puede probar con un cáculo simple, sólo
que usa algo de álgebra, que
1
−1
P (x)P (x)dx =
2
2 + 1
δ , (3.29)
por lo que un conjunto de funciones ortonormales es
U (x) =
2 + 1
2
P (x).
(ver Jackson “Classical electrodynamics”, 3rd edition, John Wiley and Sons, New
York 1995; Abramowitz and Stegun “Handbook of mathematical functions”; Ar-
fken and Weber “Matehmatical methods for physicists”, Academic Press, New
York, 1995.)
Sea una función f(x) definida en el intervalo −1 ≤ x ≤ +1. Su representación
en términos de los polinomios de Lagendre es
f(x) =
∞
=0
A P (x) (3.30)
A =
2 + 1
2
1
−1
f(x)P (x)dx.
3–7

3.2.2. Problemas simples con simetr´ıa azimutal
De la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, resulta que
si el problema tiene simetr´ıa azimutal (también llamada simetr´ıa cil´ındrica, o sea
si el sistema es invariante bajo rotaciones en torno a un eje) entonces m = 0 y la
solución general se reduce a
Φ(r, θ) =
∞
=0
A r + B r−( +1)
P (cos θ). (3.31)
Esfera con hemisferios a distinto potencial. Supongamos que queremos
calcular el potencial en el interior de una esfera de radio a, con la condición de
contorno en su superficie Φ(a, θ, ϕ) = V (θ). Si no hay cargas en el origen, el
coeficiente B = 0, por lo que se debe cumplir
V (θ) =
∞
=0
A a P (cos θ),
que es una expansion en serie de polinomios de Legendre, por lo que los coefi-
cientes valen
A =
2 + 1
2a
π
0
V (θ) P (cosθ) sen θdθ
Sea como ejemplo una esfera en la que dos hemisferios están aislados entre s´ı y a
distinto potencial, de modo que
V (θ) =



+V, if 0 ≤ θ < π/2
−V, if π/2 < θ ≤ π
(3.32)
Los coeficientes se anulan en este caso si es par y si es impar valen
A =
V
a
(2 + 1)
1
0
P (x)dx
Usando la fórmula de Rodrigues se puede probar tras, un cálculo no muy com-
plicado, que si es par A = 0 y si es impar
A = (−
1
2
)( −1)/2 (2 + 1)( − 2)!!
2(( + 1/2)!
V
a
,
por lo que el potencial vale
Φ(r, θ) = V
3
2
r
a
P1(cos θ) −
7
8
r
a
3
P3(cos θ) +
11
16
r
a
5
P5(cos θ) + · · ·
(3.33)
3–8

Para tener el potencial en el exterior de la esfera, basta con sustituir (r/a) por
(a/r) +1
.
Potencial de la carga unidad: desarrollo multipolar. Una propiedad
muy importante y útil es que la serie (3.31) con la condición de contorno es una
representación única del potencial, por lo que puede conocerse en todo el volumen
si se conoce en una región menor. Más concretamente y como P (1) = 1, P (−1) =
(−1) , en el eje de simetr´ıa el potencial se escribe como
Φ(r = z) =
∞
=0
A r + B r−( +1)
(3.34)
para z > 0; para z < 0 cada término debe ser multiplicado por (−1) . Supon-
gamos que se conoce la función que da el potencial en la parte positiva del eje
de simetr´ıa y que se desarrolla en serie de potencias de r = z siendo conocidos
los coeficientes. Pues bien la expresión para todo punto del espacio, se obtiene
simplemente multiplicando cada potencia r y r−( +1)
por P (cos θ).
Como ejemplo tomemos el potencial creado en r por una carga unidad situada
en r , que puede expresarse en la forma
1
|r − r |
=
∞
=0
r<
r +1
>
P (cos γ) (3.35)
donde r< (r>) es el menor (mayor) valor de r y r y γ es el ángulo entre r y r .
La ecuación anterior (3.35) se conoce como desarrollo multipolar del potencial de
la carga unidad o desarrollo en ondas parciales del potencial de la carga unidad.
La prueba es la siguiente.
Tomemos los ejes de modo que r esté en la parte positiva del eje z. El potencial
tiene entonces simetr´ıa azimutal alrededor del eje z, por lo que
1
|r − r |
=
∞
=0
A r + B r−( +1)
P (cos γ).
Si r está en la parte positiva del eje z, el miembro de la derecha de esta ecuación
toma la forma (3.34), mientras que el de la izquierda vale
1
|r − r |
≡
1
(r2 + r 2 − 2rr cos γ)1/2
→
1
|r − r |
.
Esta expresión puede desarrollarse como
1
|r − r |
=
1
r>
∞
=0
r<
r>
.
3–9

Por tanto para obtener la expresión en todo el espacio, basta con multiplicar cada
término por P (cos γ). As´ı se obtiene (3.35) como se quer´ıa probar.
Potencial creado por un anillo. Otro ejemplo es el potencial creado por
una carga q distribuida uniformemente a los largo de un anillo de radio a. El
problema tiene simetr´ıa azimutal alrededor del eje del anillo. Supongamos que
está situado de modo perpendicular al eje z, con su centro en el punto (0, 0, b).
Es evidente que el potencial en el eje de simetr´ıa en el punto con z = r es igual
a q/4π 0 dividido por la distancia AP, o sea
Φ(z = r) =
1
4π 0
q
(r2 + c2 − 2cr cos α)1/2
,
donde c2
= a2
+ b2
y α = arctan(a/b). Podemos usar la ecuación (3.35) para
expresar la inversa de la distancia AP, de modo que para r > c
Φ(z = r) =
q
4π 0
∞
=0
c
r +1
P (cos α)
y para r < c la forma correspondiente es
Φ(z = r) =
q
4π 0
∞
=0
r
c +1
P (cos α).
Lo mismo que antes, podemos escribir el potencial en un punto genérico simple-
mente multiplicando cada término por P (cos θ). O sea
Φ(r, θ) =
q
4π 0
∞
=0
r<
r +1
>
P (cos α)P (cos θ),
donde r< (r>) es el menor (mayor) de r y c.
3.2.3. Funciones asociadas de Legendre y Armónicos esféri-
cos
En la última parte hemos tratado problemas con simetr´ıa azimutal. Si el rango
del azimut es toda la circunferencia [0, 2π], se pueden resolver todos los problemas
(en principio), con m entero pero el problema general necesita de soluciones con
m no entero.
Si pasamos de la ecuación ordinaria de Legendre (3.24) a la generalizada
(3.23), se puede probar que para que tenga soluciones aceptables (por estar bien
definidas y ser finitas) en todo el intervalo −1 ≤ x ≤ +1,
3–10

(i) el parámetro debe ser bien cero bien un entero positivo y
(ii) el entero m sólo puede tomar los valores − , −( − 1), .,0, ..., ( − 1), .
En otras palabras, m y deben ser enteros y además > 0 y |m| ≤ . Con
esas condiciones existe una solución regular para cada par , m, que se conocen
como funciones asociadas de Legendre, denotadas Pm
(x). Se definen mediante la
fórmula
Pm
(x) = (−1)m
(1 − x2
)m/2 dm
dxm
P (x).
Pero nótese que eso implica una elección de signos, aunque es la más habitual. La
fórmula de Rodrigues se puede generalizar para incluir a todas con independencia
del valor de m
Pm
(x) =
(−1)m
2 !
(1 − x2
)m/2 d +m
dx +m
(x2
− 1) . (3.36)
Las funciones Pm
y P−m
deben ser proporcionales ya que son soluciones de la
misma ecuación que depende de m a través de su cuadrado. De hecho se tiene
P−m
= (−1)m ( − m)!
( + m)!
Pm
.
Con un valor fijo de m las funciones Pm
forman un comjunto ortogonal en el
´ındice en el intervalo −1 ≤ x ≤ +1. De hecho
1
−1
Pm
(x)Pm
(x)dx =
2
2 + 1
( + m)!
( − m)!
δ , (3.37)
Resulta muy útil combinar las dos funciones angulares en la solución de la
ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. La funciones as´ı obtenidas se cono-
cen como esféricos armónicos (o armónicos esféricos). Su definición precisa, con
el convenio más usual de signos es
Y m(θ, ϕ) =
2 + 1
4π
( − m)!
( + m)!
Pm
(cos θ)eimϕ
, (3.38)
Propiedades:
i) Cambio de signo de m
Yl,−m(θ, ϕ) = (−1)m
Y ∗
l,m(θ, ϕ)
ii) Las relaciones de normalización y ortogonalidad:
2π
0
dϕ
π
0
dθ sen θ Y ∗
,m (θ, ϕ)Y m(θ, ϕ) = δ δm m.
3–11

iii) Las relaciones de completitud son
∞
=0 m=−
Y ∗
m(θ , ϕ )Y m(θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ )δ(cos θ − cos θ ).
Los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales
sobre la esfera unidad, de modo que cualquier función g(θ, ϕ) se puede expresar
como
g(θ, ϕ) =
∞
=0
A mY m(θ, ϕ), (3.39)
A m =
4π
dΩ Y ∗
m(θ, ϕ) g(θ, ϕ).
Algunos armónicos esféricos
= 0, Y00 =
1
√
4π
= 1,



Y11 = − 3
8π
sen θeiϕ
Y10 = 3
4π
cos θ
(3.40)
= 2,



Y22 = 1
4
15
2π
sen2
θe2iϕ
Y21 = − 15
8π
sen θ cos θeiϕ
Y20 = 5
4π
(3
2
cos2
θ − 1
2
)
Los armónicos con m < 0 se pueden obtener a partir de la propiedad (i) de poco
más arriba.
Solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.
En resumen, la solución general de la ecuación de Laplace en esas coordenadas es
Φ(r, θ, ϕ) =
∞
=0 m=−
A m r + B m r−( +1)
Y m(θ, ϕ). (3.41)
3.3. La ecuación de Laplace en coordenadas cil´ındri-
cas. Funciones de Bessel
En coordenadas cil´ındricas (ρ, ϕ, z) (note that ρ = x2 + y2, ϕ = arctan(y/x), z =
z), la ecuación de Laplace toma la forma
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂Φ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
Φ
∂ϕ2
+
∂2
Φ
∂z2
= 0, (3.42)
3–12

3.3. La ecuación de Laplace en coordenadas cil´ındricas. Funciones de Bessel
o también
∂2
Φ
∂ρ2
+
1
ρ
∂Φ
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
Φ
∂ϕ2
+
∂2
Φ
∂z2
= 0, (3.43)
Para aplicar el método de la separación de variables, escribimos
Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ) Q(ϕ) Z(z), (3.44)
que conduce a las tres ecuaciones diferenciales ordinarias
d2
Z
dz2
− k2
Z = 0,
d2
Q
dϕ2
+ ν2
Q = 0, (3.45)
d2
R
dρ2
+
1
ρ
dR
dρ
+ k2
−
ν2
ρ2
R = 0,
Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son
Z(z) = e±kz
, Q(ϕ) = eiνϕ
.
La constante ν debe ser un entero; k puede ser en principio un número cualquiera.
De momento supondremos que es real y positivo.
La ecuación con el cambio x = kρ toma la forma
d2
R
dx2
+
1
x
dR
dx
+ k2
−
ν2
x2
R = 0, (3.46)
y es conocida como ecuación de Bessel, siendo sus soluciones las funciones de
Bessel de orden ν. Priemro veamos cómo se comportan las soluciones cerca de
x = 0 (o sea del eje z). Para x → 0, podemos despreciar el 1 en el parentesis del
segundo miembroy vemos que
R ∼ x±ν
.
Ensayemos una solución en serie
R(x) = xα
∞
j=0
ajxj
, (3.47)
con α = ±ν, Resulta que podemos elegir series con todos los coeficientes im-
pares iguales a cero. Variando ν se pueden obtener funciones pares e impares.
Sustituyendo la serie en la ecuación, se llega a la relación de recurrencia
a2j = −
1
4j(j + α)
a2j−2,
3–13

para j = 1, 2, 3, .... Iterando esa recurrencia, es posible expresar todos los coefi-
cientes como
a2j =
(−1)j
α!
22j j! (α + j)!
a0
Se toma por convenio a0 = [2α
α!]−1
. Por ello se encuentran as´ı dos soluciones
Jν(x) =
x
2
ν
∞
j=0
(−1)j
j! Γ(j + ν + 1)
x
2
2j
(3.48)
J−ν(x) =
x
2
−ν
∞
j=0
(−1)j
j! Γ(j − ν + 1)
x
2
2j
(3.49)
donde Γ(x) es la función gamma de Euler que es una generalización de la factorial.
De hecho se cumple
Γ(n + 1) =



n! si n ≥ 0
∞ si n < 0
(3.50)
Las dos soluciones J±ν(x) son las funciones de Bessel de primera clase de
orden ±ν. Pero se puede probar que para ν entero no son independientes, pues
J−n(x) = (−1)n
Jn(x).
En ese caso se necesita una segunda solución. Incluso cuando ν no sea entero,
no se usa el par J±ν sino el Jν(x) y Nν(x), siendo esta última
Nν =
Jν(x) cos νπ − J−ν(x)
sen νπ
,
que se conoce como función de Neumann o también función de Bessel de segunda
especie.
Comportamiento cerca de 0 y cerca de ∞. Tomaremos ya ν = n ≥ 0
suponiéndolo entero. Se puede probar que los comportamientos de de las funciones
de Bessel de primera y segunda clase cerca de ρ = 0 y ρ = ∞ son
x 1, Jn(x) →
1
n!
x
2
n
, (3.51)
Nn(x) →



2π log x
2
+ 0,5772... , n = 0,
−(n−1)!
π
x
2
n
, n = 0,
x 1, n, Jn(x) →
√
2πx cos x −
nπ
2
−
π
4
, (3.52)
Nn(x) →
√
2πx sen x −
nπ
2
−
π
4
,
3–14

Mediante estas funciones se puede expresar la solución general de la ecuaciónde
Laplace en coordenadas cil´ındricas en forma de una serie en la que cada término es
el producto de las tres funciones R(ρ)Q(ϕ)Z(z) multiplicadas por un coeficiente
a determinar en función de los coeficientes. El resumen de estas funciones es
R(ρ) = AnJn(kρ) + bnNn(kρ), k = 0,
R(ρ) = Arn
+ Br−n
, k = 0,
Φ(ϕ) = Cn cos nϕ + Dn sen ϕ, n = 0 (3.53)
Φ(ϕ) = Cϕ + D, n = 0, (3.54)
Z(z) = Ekekz
+ Fke−kz
, k = 0,
Z(z) = Ez + F, k = 0.
Si n y k se anulan a la vez
Φ = (A log r + B)(Cφ + D)(Ez + F).
Nótese que que si n = 0 y toda la circunferencia (o sea todo el intervalo 0 ≤ ϕ ≤
2π) está dentro de la región V , entonces C = 0.
3–15

Problemas
3.1 Un bloque conductor, que ocupa el semiespacio y < 0 y está conectado a
tierra, tiene una ranura de sección rectangular, con paredes en los planos x = 0
y x = a, fondo en y = 0 y abierta en y = −b (con b a). La ranura se cubre
por una placa que está aislada del bloque y sobre la que se establece un potencial
V = V0 sen(πx/a). Hallar la distribución del potencial dentro de la ranura.
3.2 Se tiene un sistema formado por dos esferas concéntricas de radios R1 y
R2 (> R1). El potencial es nulo en la esfera interior y vale Φ(R2, θ) = V0 cos θ en
la exterior. Determinar el potencial y el campo en la región r > R1. Comprobar
que el campo eléctrico sólo tiene componente normal en la superficie r = R1.
3.3 En un dieléctrico homogéneo e isótropo, de permitividad y que llena todo el
espacio, se ha practicado una cavidad esférica de radio R en cuyo centro hay un
dipolo de momento p. Calcular el potencial en todo punto del espacio, as´ı como
las cargas de polarización en la superficie de la cavidad.
3.4 Un cono conductor de semiángulo α, a potencial V0 está colocado frente a un
plano conductor a tierra, con su eje perpendicular al plano, tal como se indica en
la figura. Hallar:
a) el potencial eléctrico en la región α ≤ θ ≤ π/2 (o sea fuera del cono, entre éste
y el plano)
b) el campo eléctrico, y
c) la densidad de carga inducida en el cono y en el plano.
3.5 Se tiene un cilindro circular de radio a y longitud ( a), cargado con la
densidad superficial σ = σ0 sen 2ϕ C/m2
, siendo σ0 una constante y ϕ el azimut.
Determinar el potencial en todo el espacio.
3.6 Una esfera conductora de radio a conectada a tierra está rodeada por un
estrato esférico de radio interior a y exterior b cargado con la densidad volúmica de
carga ρ. En conjunto está a su vez rodeado por otra superficie esférica concéntrica
a potencial V . Calcular el potencial y el campo eléctrico en todo el espacio.
3.7 Se tiene una esfera imanada, con imanación uniforme M0 = M0ez (en la
dirección del eje z). Hallar los campos H y B dentro y fuera de la esfera.
3–16

3.8 En un imán permanente con imanación M uniforme se ha hecho una cavidad
esférica pequeña de radio R en una región donde el campo inicial era H0. Hallar
el campo resultante dentro y fuera de la cavidad.
3–17

3–18

Cap´ıtulo 4
Energ´ıa y fuerzas en campos
electrostáticos
4.1. Energ´ıa electrostática
Sea un sistema de cargas eléctricas en una situación estacionaria, o sea en
reposo. La energ´ıa total de un sistema de part´ıculas puntuales se expresa como
la suma de sus energ´ıas cinéticas y sus energ´ıas potenciales. Estas últimas son
de dos clases, las correspondientes a fuerzas entre esas part´ıculas y las debidas
a fuerzas exteriores. Consideraremos ahora un sistema de cargas en posiciones
fijas que formen un sistema a´ıslado, es decir que no esté afectaado por fuerzas
exteriores. En estas condiciones su energ´ıa es la potencial de interacción entre
ellas y se llama su energ´ıa electrostática.
Si una carga q se mueve desde la posición 1 a la posición 2 bajo el efecto de
un campo eléctrico, el trabajo realizado por el campo es W =
2
1
F · dr, o sea
W = q
2
1
E · dr = −q
2
1
Φ · dr = −q (Φ2 − Φ1) .
Conviene suponer que la fuerza electrostática está exactamente equilibrada con
otra fuerza igual a F = −qE, de modo que la carga no se acelere. En esas
condiciones, el trabajo efectuado por esta otra fuerza es W = q(Φ2 − Φ1)
4.1.1. Caso de varias cargas puntuales
Se define la energ´ıa electrostática de un sistema de N cargas puntuales
(q1, . . . , qN ) en las posiciones (r1, . . . , rN ) como la diferencia de energ´ıa poten-
4–1

Cap´ıtulo 4. Energ´ıa y fuerzas en campos electrostáticos
cial entre ese estado y otro en el que las cargas estuviesen infinitamente alejadas
unas de otras. Dicho de otro modo, es el trabajo en contra del campo necesario
para trasladar las cargas desde el segundo estado al primero sin acelerarlas, como
se indicó más arriba.
Supongamos que la primera está en r1 (se puede trasladar a esa posición sin
ningún trabajo). Para colocar la segunda es necesario el trabajo
W2 =
q2q1
4π 0r21
,
siendo r21 = |r2 − r1|. Para colocar la tercera el trabajo es
W3 = q3
q1
4π 0r31
+
q2
4π 0r32
,
siguiendo el proceso, resulta que el trabajo para colocar las N cargas es igual a
U =
N
j=1
Wj =
N
j=1
j−1
k=1
qjqk
4π 0rjk
.
Podemos abreviar esta expresión como
U =
N
j=1
j−1
k=1
Wjk.
Si consideramos Wjk como una matriz, haciendo Wjj = 0 (sin usar el convenio
de los ´ındices repetidos), podemos escribir
U =
1
2
N
j=1
N
k=1
Wjk,
o también
U =
1
2
N
j=1
N
k=1
qjqk
4π 0rjk
=
1
2 j=k
qjqk
4π 0rjk
, (4.1)
donde la misma cantidad aparece escrita de dos formas distintas (la prima en la
primera forma significa que se excluye el término con k = j en la suma). Aún
otra manera es la siguiente. El potencial en la posición de la carga j-ésima debido
a las otras N − 1 es
Φj =
N
k=1
qk
4π 0rjk
por lo que la energ´ıa electrostática del sistema es
U =
1
2
N
j=1
qjΦj. (4.2)
4–2

Conviene subrayar que en la expresión anterior Φj es el potencial creado en la
posición de la part´ıcula j-ésima por las demás N −1. Se excluyen efectos de cada
part´ıcula sobre s´ı misma.
4.1.2. Caso de una distribución de carga
Si se tiene una distribución volúmica ρ(r) y otra superficial σ(r), el resultado
es el mismo. De hecho dividiendo el volumen en elementos diferenciales, se puede
extender el resultado anterior, de modo que la energ´ıa electrostática es
U =
1
2 V
ρ(r)Φ(r)dv +
1
2 S
σ(r)Φ(r)da. (4.3)
Si las distribuciones anteriores no están asociadas a conductores y hay además n
conductores, su carga se distribuye por su superficie y su volumen es una región
equipotencial. Sean Qj y Φj la carga y el potencial del conductor j-ésimo, la
expresión anterior debe sustituirse por
U =
1
2 V
ρ(r)Φ(r) dv +
1
2 S
σ(r)Φ(r) da +
1
2 j
QjΦj. (4.4)
Ejemplo: Esfera uniformemente cargada. Sea una esfera de radio a con
carga q, distribuida uniformemente con densidad volúmica ρ = 3q/4πa3
. Como
se vio más arriba, el potencial vale
Φ =
3q
8π 0a
1 −
r2
3a2
, dentro
Φ =
q
4π 0r
, fuera.
La energ´ıa electrostática es pues
U =
1
2 V
ρΦ(r)dv =
3q2
20π 0a
=
4πa5
ρ2
15 0
,
como se puede comprobar fácilmente haciendo la integral.
En el caso de una distribución de carga en la superficie de la esfera, es fácil
comprobar que la energ´ıa electrostática es
U =
1
2 S
σΦ(a)da =
q2
8π 0a
=
2πa5
ρ2
9 0
.
4–3

4.1.3. Densidad de energ´ıa de un campo electrostático
Veremos ahora cómo se puede expresar la energ´ıa electrostática de una for-
ma alternativa de gran importancia. Sea un sistema formado por las densidades
volúmica ρ y superficial σ. Supongamos que está acotado en el espacio y se puede
encerrar dentro de una superficie esférica Σ. La densidad superficial se extiende
a la superficie S, unión de las de los conductores en el sistema. Sabemos que se
cumple
ρ = 0 · E, σ = 0E · n,
siendo n un vector normal a la superficie de los conductores. La ecuación (4.3)
toma la forma
U =
1
2 V
0Φ · E dv +
1
2 S
0ΦE · n da. (4.5)
Se cumple la identidad
Φ · E = · (ΦE) − E · Φ
por lo que sustituyendo en (4.5) y usando el teorema de la divergencia,
U =
1
2 S+Σ
Φ 0E · n da +
1
2 V
0E · E dv +
1
2 S
Φ 0E · n da.
Nótese ahora que las dos integrales sobre S se cancelan, pues en primera n
apuenta hacia adentro de los conductores (y hacia fuera de Σ) y en la segunda
n apunta hacia afuera de los conductores. Si hacemos que Σ tienda al infinito, la
integral sobre Σ tiende a cero, pues Φ ∼ 1/r y E ∼ 1/r2
mientras que el área
de Σ crece como r2
(podemos imaginar que Σ es una superficie esférica de radio
R → ∞). Queda pues
U =
1
2 V
D · E dv, (4.6)
donde D = 0E es el vector desplazamiento eléctrico. Esta integral parece indicar
que la energ´ıa electrostática está estendida por el espacio, mientras que expre-
siones anteriores parec´ıan decir que está en las part´ıculas. ¿Dónde está realmente
4–4

esa energ´ıa? No es fácil responder a esta cuestión, que tiene aspectos muy sutiles.
En el caso de sistemas dinámicos, es decir dependientes del tiempo, resulta muy
conveniente admitir la idea de que la energ´ıa electrostática está distribuida por el
espacio con densidad de energ´ıa igual a
u =
1
2
D · E. (4.7)
Nótese que esa densidad de energ´ıa puede escribirse también como
u =
1
2
0E2
=
1
2
D2
0
.
Por tanto
U =
1
2
0 E2
dv =
1
2
D · E dv =
1
2
D2
0
dv (4.8)
Autoenerg´ıa electrostática. Examinando las ecuaciones (4.7)-(4.8) obser-
vamos que la energ´ıa electrostática a que conducen es siempre positiva, lo que
sorprende pues es evidente que la de dos cargas puede ser negativa. ¿Cómo es es-
to posible? La razón está en los llamados términos de autoenerg´ıa electrostática.
Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 situadas en r1 y r2. El campo eléctrico
en r es igual a
E =
1
4π 0
q1
r − r1
|r − r1|3
+ q2
r − r2
|r − r2|3
,
por lo que la ecuación (4.8) dice que
U =
1
4π 0
q2
1
8π|r − r1|4
+
q2
2
8π|r − r2|4
+ q1q2
(r − r1) · (r − r2)
4π|r − r1|3|r − r2|3
dv (4.9)
Los dos primeros términos dan la energ´ıa correspondiente al campo electrico de
cada part´ıcula, por eso se conocen como términos de autoenerg´ıa. Son divergentes
si las part´ıculas son puntuales. El tercero es la energ´ıa potencial mutua, como se
prueba a continuación.
Hagamos el cambio de variables
r → ρ =
r − r1
|r1 − r2|
.
La tercera integral de la derecha en (4.9) toma as´ı la forma
Uint =
1
4π 0
q1q2
|r1 − r2|
, (4.10)
4–5

lo que muestra que es la energ´ıa potencial de interacción entre las dos cargas.
Para probarlo, basta con tener en cuenta que (siendo n = (r1 − r2)/|r1 − r2|, un
vector unitario y constante)
r−r1 = ρ r12, r−r2 = (ρ+n)r12, |r−r1| = ρr12, |r−r2| = |ρ+n|r12, d3
r = r3
12d3
ρ.
El tercer término toma la forma
Uint =
1
4π 0
q1q2
|r1 − r2|
×
1
4π
ρ · (ρ + n)
ρ3|ρ + n|3
d3
ρ,
En el integrando se puede sustituir la igualdad
ρ + n
|ρ + n|3
= −
1
|ρ + n|
,
con lo que la última integral vale
I = −
ρ
ρ3
·
1
|ρ + n|
d3
ρ,
= − ·
ρ
ρ3|ρ + n|
d3
ρ +
1
|ρ + n|
·
ρ
ρ3
d3
ρ
=
1
|ρ + n|
4πδ(3)
(ρ)d3
ρ = 4π, (4.11)
donde se ha integrado por partes, siendo nula la integral de superficie en el infinito
(o sea se ha aplicado el teorema de Gauss). Por tanto la integral anterior vale uno
y el tercer término en (4.9) es igual a la energ´ıa de interacción dada por (4.10),
como se quer´ıa probar.
Parece pues que debe haber un error al pasar de (4.3) a (4.8). Pero ¿dónde
está? Nótese que no hay términos de autoenerg´ıa en (4.1), pero s´ı en (4.3), pues
todo el potencial interactúa con toda la carga (Φ(r) se multiplica por ρ(r) con
el mismo r). Por tanto deber´ıamos, para ser coherentes, restar los términos de
autoenerg´ıa, lo que se puede hacer del modo siguiente, si las cargas son puntuales
y ρ(r) = k qkδ(r − rk)
U =
1
2 V
ρ(r)Φ(r)dv −
1
2 k V
Φkqkδ(r − rk)dv
El segundo término es la suma de las N autoenerg´ıas, de modo que
U =
0
2 V
E2
−
k
E(k) 2
dv ,
4–6

donde E es el campo eléctrico total y E(k)
, el creado por cada part´ıcula. O sea
que al eliminar las auotenerg´ıas se recupera (4.1) exactamente.
La expresión (4.6) para la energ´ıa electrostática es indispensable para el es-
tudio de fenómenos dinámicos, pero la fundamentación aqu´ı dada es inevitable-
mente demasiado simple. En la asignatura Electrodinámica clásica se estudia esta
cuestión con mayor profundidad.
Tensión electrostática. Como ilustración, podemos calcular la fuerza por
unidad de área sobre la superficie de un conductor con densidad superficial de
carga σ. En el entorno de la superficie, la densidad de energ´ıa es
u =
0
2
|E|2
=
σ2
2 0
.
Imaginemos un desplazamiento pequeño ∆x de un elemento se área ∆a de la
superficie conductorta, según la normal y hacia afuera. La energ´ıa electrostática
decrece en una cantidad W igual al producto de la densidad de energ´ıa u por el
volumen excluido ∆v = ∆x∆a, igual a
W = −
σ2
2 0
∆a∆x .
Esto significa que hay una fuerza hacia afuera por unidad de área sobre las cargas,
o sea una presión, igual a
p =
σ2
2 0
conocida como tensión electrostática.
4.1.4. Masa electromagnética. El modelo de electrón de
Abraham-Lorentz.
Las integrales de autoenerg´ıa en (4.9) pueden parecer extrañas o molestas.
Para entender esta cuestión conviene decir que hay una diferencia entre las ma-
neras en que fallan la dinámica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell.
La primera tuvo que ser abandonada porque no da buenos resultados a altas
velocidades, pero es una teor´ıa coherente en s´ı misma. Se basa en la idea de acción
a distancia, tan contraria a la mucho más antigua de acción por contacto defendida
por Aristóteles. Usa masas puntuales, idealización de masas muy pequeñas frente
a la escala del problema considerado, pero eso no plantea dificultades.
Al electromagnetismo le ocurre algo muy distinto, pues la idea de carga pun-
tual lleva a divergencias en las energ´ıas de los sistemas, cosa no de despreciar si
4–7

tenemos en cuenta que el electrón parece ser una part´ıcula puntual, al menos su
tamaño no se aprecia hasta escalas del orden de ∼ 10−18
m . Esto no es necesa-
riamente malo, pues lo que importa son las diferencias de energ´ıa, pero un análisis
detallado de los procesos de emisión de radiación por cargas aceleradas y, en gen-
eral, de la dinámica de part´ıculas cargadas encuentra cosas sorprendentes. La
Electrodinámca Cuántica, es decir la versión cuántica del electromagnetismo de
Maxwell, llamada a menudo por sus siglas inglesas QED, sigue teniendo proble-
mas con los infinitos que plagan sus cálculos. En muchos casos se pueden eliminar
esos infinitos mediante un procedimiento conocido como renormalización, pero no
siempre. Para entender el problema tomemos una part´ıcula cargada con su carga
distribuida en una superficie esférica de radio a (lo que se llama a veces modelo
de pelota de pin-pon). Con ese radio, la masa electromagnética vale la del elec-
trón multiplicada por un factor del orden de 1, dependiente de la forma de la
distribución de carga.
El campo electrostático se anula dentro y fuera vale E = q/4π 0r2
. La densi-
dad de energ´ıa u es pues
u =
0
2
E2
=
q2
32π2
0r2
, (4.12)
para r ≥ a y 0 para r < a. La energ´ıa electrostática correspondiente vale
U =
r≥a
u2
d3
r =
q2
8π 0
∞
a
dr
r2
=
q2
8π 0a
, (4.13)
que diverge para una part´ıcula puntual. Esa es la energ´ıa electrostática del campo
del electrón. En 1881, Sir Joseph J. Thomson (1856-1940), quien en 1997 des-
cubrir´ıa el electrón, escribió un art´ıculo argumentando que una parte al menos de
la masa deber´ıa tener origen electromagnético. Mostró en él que si una part´ıcula
cargada se mueve con velocidad v su campo eléctrico tiene energ´ıa cinética igual
a
Telec =
U
c2
v2
2
= f
q2
4π 0ac2
v2
2
, (4.14)
donde f es un número que depende de la forma de la distribución, igual a 1/2 en el
caso del modelo de la pelota de pin-pon. Esto se descubrió antes de la relatividad.
Fue interpretado de inmediato que una parte de la masa es o puede ser de origen
electromagnético, de modo que en general la de una part´ıcula es
m = m0 + melec, siendo melec =
1
2
q2
4π 0ac2
, (4.15)
en el modelo de pelota de pin-pon.
4–8

Esta masa depende del radio a. Por eso se definió el radio clásico del electrón
como
r0 =
q2
4π 0mc2
= 2,8 × 10−15
m. (4.16)
Una esfera cargada con tal radio tiene energ´ıa eléctrica igual a la energ´ıa en reposo
del electrón mc2
multiplicada por un factos del orden de 1, que depende de la
forma particular de la distribución de carga (bola maciza o pelota de pin-pon,
por ejemplo).
En general un campo electromagnético dependiente del tiempo, lleva una den-
sidad de momento lineal que vale
g =
1
c2
(E × H) . (4.17)
Si un electrón se mueve a velocidades no relativistas, produce un campo eléctrico
y un campo magnético que valen
E =
1
4π 0
r
r3
, B =
v
c2
× E, (4.18)
expresiones válidas a pequeñas velocidades. Si consideramos a un electrón como
una esfera hueca de radio a, el momento lineal asociado al campo vale pelec =
r>a
g d3
r, que, tras un poco de álgebra da
pelec =
2
3
q2
4π 0ac2
v =
4
3
melecv, (4.19)
por lo que el momento del electrón vale
p = (m0 +
4
3
melec)v (4.20)
Podr´ıamos definir la masa electromagnética usando (4.19), melec = 4melec/3, pero
entonces la ecuación (4.15) tendr´ıa un factor incorrecto.
Un cálculo que use el valor exacto de los campos (válido a cualquier velocidad)
da en vez de (4.19) la expresión
melec(v) =
melec(0)
1 − v2/c2
, (4.21)
esto sorprendió mucho porque nadie hab´ıa pensado que la masa pudiese depender
de la velocidad y parec´ıa que la masa “neutra” m0 era independiente de v pero la
electromagnética depend´ıa de v según la fórmula anterior. Cuando se descubrió el
electrón se pensó que era un átomo de electricidad, por lo que cabr´ıa suponer que
toda su masa es de origen electromagnético con m0 = 0 en su caso. Con estas idea,
4–9

M. Abraham propuso en 1903 un modelo de electrón, basado en parte en la obra
anterior de Lorentz, conocido como modelo de Abraham o de Abraham-Lorentz.
Desde el punto de vista de la teor´ıa de la relatividad, esa energ´ıa de un electrón
en reposo podr´ıa ser igual a la energ´ıa en reposo mec2
. En ese caso la masa
electromagnética ser´ıa igual
melec =
U
c2
=
q2
8π 0ac2
(4.22)
Sin embargo subsiste el problema del factor 4/3 entre la masa definida as´ı y a
partir de la expresión del momento. La solución a este problema tardó en encon-
trarse. La discrepancia se elimina mediante un tratamiento relativista riguroso,
tomando luego el l´ımite no relativista, en vez de trabajar desde el principio en
el l´ımite de pequeñas veloccidades. De ese modo se transforma el factor 4/3 en 1
(ver F. Rohrlich, “Classical charged particles”, Addison-Wesley, Reading, 1965).
4.1.5. Desarrollo multipolar de la energ´ıa de una distribu-
ción de carga en un campo exterior
Sea una distribución r´ıgida de carga ρ(r), localizada dentro de un volumen V
y sometida a un potencial exterior Φ(r). Su energ´ıa electrostática vale
Uext =
V
ρ(r)Φ(r) d3
r, (4.23)
Suponiendo que el potencial sea desarrollable en serie en la región V y tomando
un origen adecuado, resulta
Φ = Φ(0) + r · Φ(0) +
1
2 i j
xixj
∂2
Φ
∂xi∂xj
(0) + · · ·
Teniendo en cuenta que E = − Φ, la expresión anterior puede escribirse como
Φ(r) = Φ(0) − r · E(0) −
1
2 i j
xixj
∂Ej
∂xi
(0) + · · ·
Como el campo exterior verifica · E = 0, podemos restar el término r2
· E(0)/6,
con lo que queda
Φ(r) = Φ(0) − r · E(0) −
1
6 i j
(3xixj − r2
δij)
∂Ej
∂xi
(0) + · · · (4.24)
4–10

Sustituyendo ahora en (4.23), resulta
Uext = qΦ(0) − p · E(0) −
1
6 i j
Qij
∂Ej
∂xi
(0) + · · · (4.25)
siendo p el momento dipolar y Qij la matriz de momentos cuadripolar, y análoga-
mente para los términos que siguen. Nótese cómo interacciona la distribución de
carga con el potencial exterior: la carga con el potencial, el dipolo con el campo
eléctrico, el cuadrupolo con el gradiente del campo y análogamente los multipolos
sucesivos con derivadas más altes del campo.
Recordatorio sobre dipolos y cuadrupolos eléctricos. El potencial crea-
do por un dipolo eléctrico es
Φ1(r) =
1
4π 0
p · r
r3
, (4.26)
donde p = V
ρ(r )r dv es el momento dipolar eléctrico de la distribución. Es
fácil comprobar que si la distribución es de dos cargas puntuales opuestas +q y
−q a la distancia a, como antes, p se reduce al momento dipolar definido como
p = qa.
El momento dipolar eléctrico tiena una propiedad señalable. Si la carga total
q es distinta de cero, no es una cantidad intr´ınseca pues depende del origen de
coordenadas. En efecto, si se traslada el origen de O a O , el nuevo momento vale
p = p − qOO
como se comprueba fácilmente. Por ello, si q = 0 y se toma como origen el centro
de cargas, definido por el vector R = ρ(r )r dv /q, se anula el término dipolar de
la expansión. As´ı ocurre con el potencial gravitatorio de la tierra, si el origen del
coordenadas se toma en el centro del planeta. Pero si q = 0, caso de una molécula
no ionizada o del sistema de dos cargas +q y −q, el momento dipolar tiene un
sentido intr´ınseco: toma el mismo valor en todos los sistyemas de referencia.
Cuadrupolo eléctrico. El potencial creado por un cuadrupolo eléctrico es
Φ2(r) =
1
2
1
4π 0 ij
Qij
xixj
r5
, (4.27)
donde las Qij son las componentes de la matriz momento cuadrupolar
Qij = ρ(r ) 3xixj − r 2
δij dv . (4.28)
Las Qij juegan respecto al potencial cuadrupolar el mismo papel que las compo-
nentes del vector p en el potencial dipolar. Nótese que no son todas independi-
entes porque la matriz tiene traza nula, o sea que Qkk = 0. Hay pues cinco
4–11

componentes independientes. Es fácil comprobar que este tercer término (4.27)
se reduce al potencial cuadrupolar antes estudiado.
Un caso especialmente frecuente e interesante es el de una distribución de
simetr´ıa cil´ındrica, en el que la función ρ = ρ(r, θ) no depende del azimut. Se
cumple entonces
Q11 = Q22 = −
1
2
Q33,
por lo que
Φ2(r) =
Q
4π 0
2z2
− x2
− y2
4r5
=
1
4π 0
Q
4r3
3 cos2
θ − 1 ,
donde Q = Q33 se suele llamar momento cuadrupolar de la distribución (no con-
fundir con la carga). Si la distribución tiene simetr´ıa esférica, Q = 0. Si es un
elipsoide de revolución macizo con densidad constante en su interior, con semiejes
a, a y c, el valor de Q es
Q =
2
5
q c2
− a2
,
como se prueba fácilmente usando para los puntos del interior del elipsoide las
coordenadas λ, α y β, tales que x = aλ sen α cos β, y = aλ sen α sen β, z =
cλ cos α, con 0 < λ < 1, 0 < α < π, 0 < β < 2π. Nótese que Q > 0 si
c > a (forma de melon) y que Q < 0 si c < a (forma de mandarina). Estos dos
tipos de elipsoide se califican de prolato y oblato, respectivamente. La Tierra es
aproximadamente un elipsoide oblato y como (a − c)/a = 1/298, resulta que el
momento cuadrupolar de masa es Q = −2,016 × 10−3
Ma2
, siendo M la masa
total y a el radio ecuatorial.
Vemos as´ı que una distribución de carga se caracteriza por un conjunto de
momentos multipolares, uno monopolar que coincide con la carga q, tres dipolares
pk que son las componentes del momento dipolar eléctrico, cinco cuadrupolares
Qij componentes de la matriz momento cuadrupolar, etc. En general, el término
-polar se caracteriza por (2 + 1) momentos 2 -polares. Se trata de cantidades
que describen la forma de la distribución. Su enorme interés estriba en que es
mucho más fácil hacer aproximaciones sucesivas gracias a ellos que calcular los
potenciales de modo exacto.
Ejemplo. Momentos cuadrupolares de los núcleos atómicos. Los
núcleos atómicos no suelen tener forma esférica, aunque s´ı simetr´ıa azimutal, sien-
do su momento cuadrupolar eléctrico distinto de cero (sus momentos dipolares
eléctricos se anulan si se toma como origen de coordenadas su centro de masas).
4–12

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