En las presentes diapositivas veremos la forma de aplicacion de la Metodología de Box-Jenkins .

1. Metodología de
Box-Jenkins

2. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 2
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

3. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 3
Función de autocorrelación simple
• La función de autocorrelación simple mide la dependencia de
una variable con sus propios valores retardados en distintos
periodos de tiempo
• El análisis de autocorrelación es de gran utilidad en el análisis,
ajuste y validación de series temporales
• Su fórmula matemática puede deducirse fácilmente a partir de la
fórmula de la correlación cruzada entre dos variables Xt e Yt:
• Así, el coeficiente de autocorrelación de orden 1 de la variable Yt
coincide con el coeficiente de correlación cruzada de la variable Yt
y Xt donde Xt se sustituye por la variable Yt-1, es decir, la variable
Y retrasada un periodo
   
    

 




T
t
T
t
T
t
YX
XXYY
XXYY
r
1 1
22
1 Media de la
variable X(t)

4. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 4
Función de autocorrelación simple (II)
• La fórmula del coeficiente de autocorrelación de orden 1:
• De forma análoga a este coeficiente de autocorrelación de
orden 1, se puede definir el coeficiente de autocorrelación
de orden h, considerando las variables Yt y Yt-h, es decir, la
variable Y retrasada h periodos:
   
 






 T
t
t
T
t
tt
YY
YYYY
r
1
2
2
1
1
   
 






 T
t
t
T
ht
htt
h
YY
YYYY
r
1
2
1

5. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 5
Función de autocorrelación simple (III)
Tiempo Yt Yt-1
t=1 5 -
t=2 8 5
t=3 10 8
t=4 11 10
t=5 13 11
t=6 15 13
t=7 18 15
t=8 19 18
t=9 22 19
t=10 19 22
… … …
• Ejemplo de obtención de una variable desplazada un retardo:

6. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 6
Función de autocorrelación simple (IV)
• Cálculos para la obtención del coeficiente de autocorrelación de
orden 1:
Tiempo
t=1 5 -9 - 81 -
t=2 8 -6 -9 36 54
t=3 10 -4 -6 16 24
t=4 11 -3 -4 9 12
t=5 13 -1 -3 1 3
t=6 15 1 -1 1 -1
t=7 18 4 1 16 4
t=8 19 5 4 25 20
t=9 22 8 5 64 40
t=10 19 5 8 25 40
Suma: 140 0 -5 274 196
YYt  YYt 1  2
YYt     YYYY tt  1tY

7. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 7
Función de autocorrelación simple (V)
• A partir de esos valores, se obtiene el coeficiente de
autocorrelación de orden 1:
• El rango de un coeficiente de autocorrelación de orden 1 es [-1,1],
donde:
– Si r1>0, la variable Y(t) depende de su retardo anterior de
forma proporcional
– Si r1<0, la variable Y(t) depende de su retardo anterior de
forma inversamente proporcional
– Si r1=0, la variable Y(t) no depende de su retardo anterior
   
 
715,0
274
196
1
2
2
1
1 








T
t
t
T
t
tt
YY
YYYY
r

8. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 8
Función de autocorrelación simple (VI)
• Cálculos para la obtención de los coeficientes de
autocorrelación de orden 2 y 3:
Tiempo
t=1 - - - - - -
t=2 - - - - - -
t=3 5 -9 36 - - -
t=4 8 -6 18 5 -9 27
t=5 10 -4 4 8 -6 6
t=6 11 -3 -3 10 -4 -4
t=7 13 -1 -4 11 -3 12
t=8 15 1 5 13 -1 -5
t=9 18 4 32 15 1 8
t=10 19 5 25 18 4 20
Suma: 99 -13 113 80 66 40
2tY YYt 3
   YYYY tt  3   YYYY tt  2YYt 2 3tY

9. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 9
Función de autocorrelación simple (VII)
• A partir de esos valores, se obtienen los coeficientes de
autocorrelación de orden 2 y 3:
   
 
412,0
274
113
1
2
3
2
2 








T
t
t
T
t
tt
YY
YYYY
r
   
 
146,0
274
40
1
2
4
3
3 








T
t
t
T
t
tt
YY
YYYY
r

10. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 10
Función de autocorrelación simple (VIII)
• La representación gráfica de los coeficientes de autocorrelación
para los distintos retardos de la variable recibe el nombre de
correlograma o función de autocorrelación simple (FAS)
• Una variable de ruido blanco se caracteriza por ser nulos todos
sus coeficientes de autocorrelación. Es decir, el correlograma
teórico de una variable de ruido blanco aparece en blanco

11. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 11
Función de autocorrelación simple (IX)
• En el correlograma se define un intervalo de confianza del 95% que
permite determinar si los coeficientes son o no significativamente
distintos de cero
• Así, si el coeficiente se encuentra dentro de dicho intervalo, se
supone que es significativamente nulo
Función de autocorrelación simple (FAS)



 
NN
I 196.1,196.195.0
Sólo los 8 primeros
coeficientes son
distintos de cero
Número de
muestras de la
serie temporal

12. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 12
Función de autocorrelación simple (X)
• El estudio de la estructura de correlación de una serie
temporal permite predecir la dinámica futura de la serie
temporal a partir de valores pasados observados
• De este modo, si la serie temporal tiene una estructura de
correlación, ésta permite descomponer la serie temporal en
una componente determinista y una componente
aleatoria
• La predicción de una serie temporal se basa en
modelar la componente determinista de la serie temporal
de modo que dicha componente se pueda predecir
• La componente aleatoria se asocia al error o incertidumbre
de la predicción

13. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 13
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

14. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 14
Metodología ARIMA
• Metodología creada por Box y Jenkins, de la Universidad de
Wisconsin y ampliamente aplicada en los distintos sectores
empresariales e industriales
Procesos
ARIMA
Procesos
ARMA
Procesos
Autorregresivos
Procesos
de Media Móvil

15. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 15
Procesos autorregresivos
• El modelo más simple de dependencia entre dos variables aleatorias es el
modelo lineal de regresión simple que explica la evolución de una
variable y como función lineal de otra variable x, mediante la ecuación:
• Donde a0 y a1 son los parámetros constantes del modelo y ε(t) es una
variable aleatoria normal, con media nula y varianza constante
• Si aplicamos este modelo a las variables aleatorias y=z(t) y x=z(t-1) se
obtiene el proceso autorregresivo de primer orden
• Por tanto, un proceso autorregresivo hace referencia al uso de la
misma serie temporal para predecirse a sí misma, es decir, por
ejemplo, usar precios históricos pasados del oro para predecir el precio
futuro del oro
)()()( 10 ttxaaty 
)()1()(ˆ 10 ttzaatz 

16. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 16
Procesos autorregresivos (II)
Un proceso autorregresivo se caracteriza por una INERCIA, es
decir, el valor actual del proceso depende en gran medida de
valores anteriores

17. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 17
Procesos autorregresivos (III)
• En la ecuación de un proceso autorregresivo de orden 1:
la constante a1 debe estar comprendida en el rango [-1,1],
indicando:
– Si a1>0, la variable z(t) depende de su retardo anterior de forma
proporcional
– Si a1<0, la variable z(t) depende de su retardo anterior de forma
inversamente proporcional
– Si a1=0, la variable z(t) no depende de su retardo anterior
)()1()(ˆ 10 ttzaatz 

18. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 18
Procesos autorregresivos (IV)
• Para distinguir si un proceso es autorregresivo o no así como su
orden, se recurre a las funciones de autocorrelación simple y
parcial
• En el caso de un proceso autorregresivo de orden 1, la función
de autocorrelación simple (FAS) cumple la siguiente ecuación
matemática:
• Es decir, cuando k=1, el coeficiente de autocorrelación coincide
con el coeficiente a1 del proceso autoregresivo, mientras que
conforme aumenta k, su coeficiente de autocorrelación disminuye
hasta ser cercano a 0
k
k a1

19. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 19
Procesos autorregresivos (V)
• Ejemplos de funciones de autocorrelación simple (FAS) de dos
procesos AR(1)
Coeficiente
a1 = 0.8
Coeficiente
a1 = - 0.8

20. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 20
Procesos autorregresivos (VI)
• La dependencia observada en un proceso autorregresivo de
orden 1 puede generalizarse para permitir la relación entre el
valor actual de la serie z(t), con otros retardos z(t-2), z(t-3), …,
z(t-p), con lo que se obtiene un proceso autorregresivo de
orden p
• La ecuación matemática de un proceso autorregresivo de
orden p es:
)()()2()1()(ˆ 210 tptzatzatzaatz p  

21. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 21
Función de autocorrelación parcial
• Si se representan las funciones de autocorrelación simple (FAS) de
un proceso autorregresivo de orden 1 y otro de orden 2
• Se observa que es difícil determinar el orden de un proceso
autorregresivo a partir de su FAS
• Éste es el principal motivo de emplear adicionalmente la función de
autocorrelación parcial (FAP) para determinar el orden de un
proceso autorregresivo

22. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 22
Función de autocorrelación parcial (II)
• Como se ha visto anteriormente, el coeficiente de
autocorrelación simple de orden k se define como el coeficiente
de correlación entre observaciones separadas k periodos
• Análogamente, el coeficiente de autocorrelación parcial de
orden k se define como el coeficiente de correlación entre
observaciones separadas k periodos cuando se elimina la
dependencia producida por los valores intermedios
• Así, por ejemplo, el coeficiente de autocorrelación parcial de orden
k=2 de una serie temporal z(t) mide la correlación entre las
observaciones z(t) y z(t-2), sin tener en cuenta el efecto de z(t-1)
• La función de autorrelación parcial (FAP) es la representación
de los coeficientes de autocorrelación parcial de una serie
temporal, en función del retardo

23. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 23
Función de autocorrelación parcial (III)
• El método de cálculo del coeficiente de autocorrelación
parcial de orden k de una serie temporal z(t) es el siguiente:
1. Se elimina de z(t) el efecto de z(t-1), …,z(t-k+1), mediante la
regresión:
2. Se elimina de z(t-k) el efecto de z(t-1),…,z(t-k+1), mediante la
regresión:
3. El coeficiente de correlación parcial de orden k de z(t) se calcula el
coeficiente de correlación simple entre u(t) y v(t)
)()()1()( 11 tuktzbtzbtz k  
)()()1()( 11 tvktzctzcktz k  
Las variables u(t) y v(t) recogen la parte de z(t) y z(t-k) que no
es común con los retardos intermedios

24. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 24
Función de autocorrelación parcial (IV)
• Si se representan la FAS y FAP de los anteriores procesos
autorregresivos AR(1) y AR(2)
• Se observa que mientras que AR(1) sólo tiene un coeficiente
de autocorrelación parcial (FAP) distinto de cero, el proceso
AR(2) tiene los dos primeros FAP distintos de cero

25. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 25
Función de autocorrelación parcial (V)
• Un proceso AR(p) se caracteriza por:
– Muchos coeficientes de autocorrelación simple no nulos que
decrecen con el retardo como mezcla de exponenciales y
senoidales
– Los p primeros coeficientes de autocorrelación parcial son
distintos de cero
• REGLA DE IDENTIFICACIÓN DEL ORDEN DE UN
PROCESO AUTORREGRESIVO:
El número de coeficientes de la FAP distintos de cero
indica el orden del proceso AR

26. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 26
Ejemplos de procesos autorregresivos AR(1)
AR(1) con correlación positiva de
la variable con su valor retardado
AR(1) con correlación negativa de
la variable con su valor retardado

27. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 27
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

28. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 28
Procesos de media móvil
• Un proceso de media móvil (MA) se caracteriza por un reajuste
de la estimación, en cada instante de tiempo, a partir de los
errores pasados de estimación
• Se define un proceso de media móvil de orden 1 MA(1) al
generado por una combinación lineal del error de estimación e(t-
1) y una observación de la variable de ruido blanco ε(t)
• Donde:
– El error de estimación en el instante de tiempo t-1, es decir, e(t-1)
es la diferencia entre el valor real y el estimado por el modelo para el
instante t-1, es decir:
e(t-1) = zreal(t-1) - zestimado(t-1)
– Se cumple que el coeficiente b1 debe estar comprendido entre [-1,1]
)()1()(ˆ 10 ttebbtz 

29. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 29
Procesos de media móvil (II)
• La función de autocorrelación simple FAS de un proceso
MA(1) tiene propiedades similares a la función de
autocorrelación parcial FAP de un proceso AR(1), es decir, sólo
existe un coeficiente distinto de cero
• Esta dualidad entre el AR(1) y MA(1) se presenta también
en la función de autocorrelación parcial FAP
• Por tanto, un proceso MA(1) se caracteriza por:
– El primer coeficiente de autocorrelación simple es distinto de
cero
– Muchos coeficientes de autocorrelación parcial no nulos que
decrecen con el retardo como mezcla de exponenciales y
senoidales

30. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 30
Procesos de media móvil (III)
MA(1) con coeficiente positivo MA(1) con coeficiente negativo
• Ejemplos de dos procesos de media móvil MA(1):

31. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 31
Procesos de media móvil (IV)
• Ejemplo de proceso de media móvil: serie temporal del
calentamiento de la tierra
• Los datos corresponden al periodo 1881-2002 y se calculan como las
variaciones de temperatura media en la tierra entre un mes y el
siguiente

32. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 32
Procesos de media móvil (V)
• Ejemplo de proceso de media móvil: serie temporal del
calentamiento de la tierra (II)
• Las funciones de autocorrelación simple y parcial sugieren que la
serie de calentamiento de la tierra sigue un proceso de media móvil
de orden 1

33. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 33
Procesos de media móvil (VI)
• Generalizando la idea de un proceso de media móvil de orden 1, un
proceso MA de orden q tiene la representación general:
• Respecto a las funciones de autocorrelación, un proceso MA(q) se
caracteriza por:
– Los q primeros coeficientes de autocorrelación simple son distintos de
cero
– Muchos coeficientes de autocorrelación parcial no nulos que decrecen
con el retardo como mezcla de exponenciales y senoidales
• REGLA DE IDENTIFICACIÓN DEL ORDEN DE UN PROCESO DE
MEDIA MÓVIL:
)()()2()1()(ˆ 210 tqtebtebtebbtz q  
El número de coeficientes de la FAS distintos de cero
indica el orden del proceso MA

34. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 34
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

35. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 35
Procesos ARMA
• Matemáticamente, los procesos ARMA resultan de añadir
estructura de media móvil (MA) a un proceso autorregresivo (AR)
• Así, un proceso ARMA se caracteriza por contener las dos
siguientes etapas:
– Un análisis de regresión
– Un posterior reajuste a partir de los residuos o errores de
estimación hasta que se obtiene un conjunto óptimo de los
coeficientes
• La parte autorregresiva hace referencia al uso de valores
pasados de la serie temporal para predecirse a sí misma
• Debido a la parte MA, en cada instante de tiempo se reajusta la
estimación a partir de los errores pasados de estimación por lo
que se trata de un proceso adaptativo

36. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 36
Procesos ARMA (II)
• Se define un proceso ARMA(p,q) como el resultante de añadir
una estructura MA de orden q a un proceso AR de orden p
• El proceso más simple es el ARMA(1,1), cuya ecuación es:
• Donde tanto el coeficiente autorregresivo a1 como el de media
móvil b1 deben cumplir que se encuentran en el rango [-1,1]
)()1()1()(ˆ 110 ttebtzaatz 
AR(1) MA(1)

37. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 37
Procesos ARMA (III)
• Generalizando la idea de un proceso ARMA(1,1), un proceso
ARMA(p,q), es decir, con orden autorregresivo p y orden
de media móvil q tiene la representación general:
• Respecto a las funciones de autocorrelación, un proceso
ARMA(p,q) se caracteriza por:
– La FAS y la FAP tienen una estructura similar, es decir, un
decrecimiento geométrico
– La tasa de decrecimiento de la FAS depende del primer coeficiente
autorregresivo a1 mientras que la tasa de decrecimiento de la FAP
depende del primer coeficiente de media móvil b1
)()()1()()1()(ˆ 1010 tqtebtebptzatzaatz qp  
AR(p) MA(q)

38. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 38
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

39. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 39
Proceso ARIMA
• Un proceso ARIMA(p,d,q) parte de un proceso ARMA(p,q)
donde previamente se ha diferenciado la serie
• La metodología ARIMA impone dos condiciones a las
series temporales que se desea modelar:
– Media constante
– Varianza constante
• Por tanto, si una serie temporal posee tendencia, ésta debe
eliminarse previamente. Una alternativa para eliminar esta
tendencia es diferenciar la serie temporal
¿Por qué debe considerarse la diferenciación
de una serie?

40. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 40
Proceso ARIMA (II)
• La diferenciación de una serie temporal consiste en crear una
nueva serie temporal, restando a cada valor actual de la serie el
valor previo, es decir:
)1()()(1  tStStS

41. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 41
Proceso ARIMA (III)
Tiempo S(t) S(t-1) Serie diferenciada
S(t)-S(t-1)
t=1 5 - -
t=2 8 5 3
t=3 10 8 2
t=4 11 10 1
t=5 13 11 2
t=6 15 13 2
t=7 18 15 3
t=8 19 18 1
t=9 22 19 3
t=10 19 22 -3
… … … …
• Ejemplo de diferenciación de una serie temporal:

42. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 42
Proceso ARIMA (III)
• La diferenciación se puede aplicar de forma sucesiva
• Así, la diferenciación anterior se denomina diferenciación de
orden 1:
• Análogamente, la diferenciación de orden 2 es la resultante de
aplicar dos diferenciaciones a la serie temporal, es decir:
)1()()(1  tStStS
)1()()( 112  tStStS
)1()()(1  tStStS
En la mayoría de las series temporales basta con aplicar
una diferenciación de orden 1 para eliminar la tendencia

43. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 43
Proceso ARIMA (IV)
• Por tanto, un proceso ARIMA(p,d,q) consiste en:
– Una diferenciación de orden d
– Un término autorregresivo de orden p
– Un término de media móvil de orden q
– Observando si la serie temporal posee una tendencia:
• Tendencia lineal: diferenciación de orden 1
• Tendencia cuadrática: diferenciación de orden 2
– A partir de las funciones de autocorrelación simple y parcial
¿Cómo se distingue la necesidad de
diferenciar una serie temporal?
1
2

44. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 44
Proceso ARIMA (V)
)()1()()1()( 1 ttzttzatz  
• Así, volviendo al ejemplo del tipo de cambio del eurodólar:
• Es necesario diferenciar una serie temporal cuando su
FAS/FAP revela un término autorregresivo de orden 1, donde
a1=1:
Proceso
autorregresivo AR(1)
con coeficiente igual
a 1

45. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 45
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de autocorrelación
parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

46. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 46
Ajuste y validación de los modelos ARIMA
• El ajuste y validación de un modelo ARIMA consta de los pasos:
– Comprobación de que la serie temporal tiene varianza constante.
En caso contrario, se transforma la serie temporal para que su varianza
sea constante
– Obtención del orden d del modelo ARIMA para que la serie temporal
tenga media constante
– Obtención de los órdenes p y q del modelo ARIMA
– Obtención de los coeficientes del modelo ARIMA
– Validación del modelo ARIMA
1
2
3
¿Es válido
el modelo?
FIN
4
NO
SI
5

47. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 47
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (II)
• Los pasos 1 y 2 se corresponden con la condiciones que imponen
la metodología ARIMA de media y varianza constante
Media y
varianza
constante
Media
decreciente
y varianza
constante
Media y
varianza
creciente

48. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 48
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (III)
PASO 1. Comprobación de que la serie temporal tiene
varianza constante
• En muchas series de precios, la volatilidad (varianza) aumenta con
el nivel del precio (así, en los stocks, una hipótesis común es que
esta relación es log-normal)
• Para obtener una varianza constante, se suele recurrir a la
transformación logarítmica
Transformación
logarítmica

49. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 49
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (IV)
PASO 2. Obtención del orden d de diferenciación del
modelo ARIMA
• Si la serie temporal tiene tendencia, se prueba con el orden 1 de
diferenciación
• Si la serie temporal diferenciada sigue teniendo tendencia, se
prueba con un orden 2 de diferenciación y así sucesivamente
• Normalmente basta con una diferenciación de orden 1 o 2

50. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 50
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (V)
Ejemplo de obtención del orden d de diferenciación
• En primer lugar, se prueba con el orden 1 de diferenciación
• Se observa que la serie temporal diferenciada posee aún una
tendencia no constante

51. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 51
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VI)
• Como el orden 1 no elimina totalmente la tendencia de la serie
temporal, se prueba con el orden 2 de diferenciación
• La serie temporal diferenciada (orden 2) posee una tendencia
constante por lo que el orden de diferenciación es 2

52. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 52
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VII)
PASO 3. Obtención de los ordenes p y q del modelo ARIMA
• Las funciones de autocorrelación simple y parcial permiten
determinar de forma aproximada el orden p autorregresivo y el
orden q de la media móvil
• Una regla importante es empezar con modelos simples (con pocos
términos) e ir añadiendo complejidad mediante el estudio de los
residuos (Principio de Parsimonia)
Parámetros FAS FAP
AR(p) Decrecimiento rápido de tipo
exponencial, sinusoidal o
mezcla de ambos tipos
Los p primeros coeficientes
son distintos de cero
MA(q) Los q primeros coeficientes
son distintos de cero
Decrecimiento rápido de tipo
exponencial, sinusoidal
ARMA(p,q) Decrecimiento lento Decrecimiento lento

53. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 53
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (VIII)
PASO 5. Validación del modelo ARIMA
• Las características del modelo ARIMA ideal son:
– Los residuos o errores de estimación siguen un proceso de
ruido blanco
– Los coeficientes son estadísticamente significativos
– La bondad de ajuste de este modelo es mejor que el
comparado con otros modelos
• MSE menor
• MAPE menor
• Coeficiente de determinación más cercano a 1

54. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 54
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (IX)
PASO 5. Validación del modelo ARIMA (II)
Por tanto, la validación del modelo ARIMA consiste en estudiar si el
modelo obtenido se aproxima al ideal, es decir, se estudia:
– Los residuos siguen un proceso de ruido blanco, es decir:
• Distribución normal con media aproximadamente nula
• Coeficientes FAS/FAP nulos
– Los coeficientes del modelo son estadísticamente
significativos
– La bondad de ajuste de este modelo es mejor que el de otros
modelos
• MSE menor
• MAPE menor
• Coeficiente de determinación más cercano a 1
1
2
3
4

55. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 55
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (X)
• Ejemplo de un proceso ARIMA(1,0,1) con coeficientes AR=0.8 y
coeficiente MA=0.5. El ruido sigue una normal N(0,0.5)

56. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 56
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XI)
PASO 1. Comprobación de que la serie tiene varianza constante
– La serie temporal tiene varianza constante
PASO 2. Obtención del orden “d” del modelo ARIMA
– Como la media de la serie temporal es constante se determina que el
orden d es igual a cero
PASO 3. Obtención de los ordenes p y q del modelo ARIMA
• Se estudia las funciones FAS y FAP de la serie temporal
• Según la regla anterior (principio de parsimonia), se comienza con un
modelo simple: ARIMA(1,0,0)
Existe una mezcla de
términos autorregresivos y
de media móvil pero no están
claros los ordenes

57. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 57
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XII)
PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,0,0)
• Se prueba añadiendo un término autorregresivo al modelo
anterior, es decir: ARIMA(2,0,0)
Aún existe un coeficiente no nulo en
ambas funciones FAS y FAP

58. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 58
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIII)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,0,0)
• Se prueba cambiando un término autorregresivo del modelo
anterior por un término de media móvil, es decir: ARIMA(1,0,1)
Todos los coeficientes son
prácticamente nulos

59. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 59
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIV)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,0,1)
Una vez que ya no queda información en los residuos, se estudia el resto
de condiciones de validación de ambos modelos candidatos:
ARIMA(1,0,1) y ARIMA(2,0,0)
Todos los coeficientes
son nulos

60. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 60
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XV)
Continuación PASO 5. Validación de los modelos ARIMA(1,0,1) y
ARIMA(2,0,0)
Ambas distribuciones son normales de media nula y desviación
típica similar a la del ruido blanco introducido al proceso (0.5)
Sin embargo, la desviación típica del modelo ARIMA(1,0,1) es menor
que la del modelo ARIMA(2,0,0)
ARIMA(1,0,1) ARIMA(2,0,0)

61. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 61
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVI)
Continuación PASO 5. Validación de los modelos ARIMA(1,0,1) y
ARIMA(2,0,0)
Bondad
modelo
ARIMA(2,0,0) ARIMA(1,0,1)
R2
0.5933 0.8086
MSE 0.4729 0.2226
MAPE 240.51 142.73
Las mejores medidas de
bondad corresponden al
modelo ARIMA(1,0,1)

62. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 62
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVII)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,0,1)
Parámetros Valor Error
estándar
Estadístico T
C 0.02548 0.02282 1.116
AR(1) 0.77991 0.02242 34.777
MA(1) 0.51218 0.03102 16.511
Los coeficientes son
estadísticamente
significativos (los
estadísticos T son
mayores que 2)
Los coeficientes estimados
son similares a los del
proceso, es decir, AR1=0.8, y
MA1=0.5

63. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 63
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XVIII)
• Ejemplo de un proceso ARIMA(2,2,1) con coeficientes AR1=0.9 y
AR2=-0.6 y coeficiente MA=0.8. El ruido sigue una normal N(0,0.2)

64. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 64
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XIX)
PASO 1. Comprobación de que la serie tiene varianza constante
– La serie temporal parece tener varianza constante
PASO 2. Obtención del orden d del modelo ARIMA
– Como la media de la serie temporal no es constante se prueba
con una diferenciación de orden 1

65. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 65
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XX)
Continuación PASO 2. Obtención del orden d del modelo ARIMA
– Como la media de la serie diferenciada no es constante se
prueba con una diferenciación de orden 2
Esta serie tiene media constante
por lo que se determina un orden
de diferenciación d=2
Además, se comprueba que la
varianza es constante

66. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 66
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXI)
Parece que existe una mezcla de
términos autorregresivos y de
media móvil pero no están claros
los ordenes
PASO 3. Obtención de los ordenes p y q del modelo ARIMA
• Se estudia las funciones FAS y FAP de la serie diferenciada
• Según la regla anterior (principio de parsimonia), se
comienza con un modelo simple: ARIMA(1,2,0)

67. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 67
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXII)
PASO 5. Validación del modelo ARIMA(1,2,0)
• Se prueba añadiendo un término autorregresivo al modelo
anterior, es decir: ARIMA(2,2,0)
Aún existen coeficientes no nulos en
ambas funciones FAS y FAP

68. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 68
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXIII)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,2,0)
• Se añade un término de media móvil al modelo anterior, es decir:
ARIMA(2,2,1)
Algunos coeficientes no nulos pero
muy pequeños

69. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 69
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXIV)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,2,1)
• Una vez que ya no queda información en los residuos, se estudia el resto
de condiciones de validación del modelo ARIMA(2,2,1)
Todos los coeficientes
son nulos

70. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 70
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXV)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,2,1)
Distribución normal de media 0 y desviación típica igual a la del
ruido blanco introducido al proceso (es decir, 0.2)

71. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 71
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXVI)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,2,1)
Parámetros Valor Error
estándar
Estadístico T
C 0.006981 0.0079745 0.8754
AR(1) 0.91317 0.018485 49.4019
AR(2) -0.59966 0.019157 -31.3021
MA(1) 0.79339 0.015196 52.2095
Los coeficientes son
estadísticamente
significativos
Los coeficientes estimados
son similares a los del
proceso, es decir, AR1=0.9,
AR2=-0.6, MA1=0.8

72. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 72
Ajuste y validación de los modelos ARIMA (XXVII)
Continuación PASO 5. Validación del modelo ARIMA(2,2,1)
• Si se comparan las medidas de bondad de los tres modelos
estudiados:
Bondad
modelo
ARIMA(1,2,0) ARIMA(2,2,0) ARIMA(2,2,1)
R2 -0.21 0.5172 0.8282
MSE 0.2794 0.1113 0.0396
MAPE 509.52 451.33 542.51
Las mejores medidas de
bondad corresponden al
modelo ARIMA(2,2,1)

73. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 73
Índice
• Función de autocorrelación simple
• Procesos autorregresivos y función de
autocorrelación parcial
• Procesos de media móvil
• Procesos ARMA
• Procesos ARIMA
• Pasos de ajuste y validación de los modelos ARIMA
• Predicción con modelos ARIMA

74. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 74
Predicción con modelos ARIMA
• Una vez ajustado y validado un modelo ARIMA, puede
emplearse para predecir series temporales
• Así, por ejemplo, la ecuación matemática resultante del modelo
anterior, ARIMA(2,2,1), sin considerar la diferenciación, es:
• Mediante esta ecuación, puede obtenerse las predicciones de la
serie temporal
)1(79339.0)2(59966.0)1(91317.0006981.0)(ˆ  tetztztz
AR(1) MA(1)AR(2)C

75. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 75
Predicción con modelos ARIMA (II)
Tiempo z(t) z(t-1) z(t-2) Estimación z(t) e(t)
t=1 -0.3815 - - -0.3815 0.0
t=2 0.0881 -0.0073 - 0.0881 0.0
t=3 0.4231 0.2820 -0.0073 -0.1194 0.5425
t=4 0.3174 0.8396 0.2820 -0.4073 0.7248
t=5 0.2811 1.2436 0.8396 -0.3035 0.5847
t=6 0.0697 1.4464 1.2436 -0.1284 0.1982
t=7 -0.5030 1.1921 1.4464 -0.1784 -0.3245
t=8 -0.7494 0.2971 1.1921 -0.2840 -0.4653
t=9 -0.2849 -1.1409 0.2971 -0.2613 -0.0236
t=10 0.2122 -0.0073 -1.1409 -0.1980 0.4102
• Ejemplo de predicción de la serie temporal con modelo ARIMA(2,2,1):

76. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 76
Predicción con modelos ARIMA (III)
• El intervalo de confianza de la predicción se calcula a partir
del error de estimación o residuo, es decir:
 residuoresiduo tytyI   2)(ˆ,2)(ˆ95.0
Desviación típica del error
estimación o residuo
Desviación típica del error
estimación o residuo

77. Curso especialista en finanzas cuantitativas. VI. Series temporales - 77
Referencias
• Estadística, modelos y métodos. II. Modelos lineales y
series temporales, Daniel Peña, Editorial Alianza
• Forecasting Methods and Applications, Spyros Makridakis,
Editorial John Wiley & Sons, 1998
• Análisis de datos. Series temporales y Análisis
multivariante, Ezequiel Uriel, Editorial AC
• Curso de doctorado: Aplicación de redes neuronales a la
predicción de series temporales. Antonio Muñoz San Roque,
Universidad Pontificia Comillas, Madrid, 2003
• Trading Systems and Methods, Perry J. Kaufman, Editorial
John Wiley & Sons, 1998